> 0, мы имеем тор с g отверстиями. Аналогичный ряд поверхностей, начиная с простейшей неориентируемой поверхности — проективной плоскости, — образуют и неориентируемые поверхности. Этот метод был расширен и на поверхности с краями. Каждый край — это замкнутая петля, и единственное, что нужно знать дополнительно, это количество таких петель.
Гипотезу Пуанкаре легче понять, если рассмотреть для начала один из базовых методов, используемых при классификации поверхностей. Ранее я сравнил топологию с деформированием объекта, изготовленного из резины или геля, и подчеркнул, что преобразование обязательно должно быть непрерывным. По иронии судьбы, один из центральных методов топологии включает операцию, которая, на первый взгляд, нарушает непрерывность: разрезание объекта на кусочки. Однако непрерывность восстанавливается при помощи серии правил, описывающих, какие куски соединены друг с другом и как именно. Примером может служить то, как мы определили тор, отождествив противоположные стороны квадрата (см. рис. 12, глава 4).
Отождествление четко различимых точек позволяет нам представлять сложные топологические пространства при помощи простых составляющих. Квадрат — это всего лишь квадрат, и ничего больше, но с правилами отождествления квадрат может быть тором, бутылкой Клейна, цилиндром, лентой Мёбиуса или проективной плоскостью, в зависимости от характера правил (см. рис. 37). Так что когда я, объясняя непрерывное преобразование, сравнил его с растягиванием и сгибанием резинового листа, я, строго говоря, требовал больше необходимого. Нам разрешено также разрезать лист на промежуточной стадии при условии, что, в конце концов, мы либо соединим куски в точности так же, как было вначале, либо обозначим правила, которые позволят это сделать. С точки зрения тополога, сформулировать правило склеивания краев — это то же самое, что склеить их. Если, конечно, не забывать это правило в ходе дальнейших операций.
Классический метод классификации поверхностей начинается с рисования на поверхности сети треугольников. Затем мы делаем достаточно много разрезов вдоль сторон треугольника так, чтобы фигура развернулась в плоский многоугольник. Правила склеивания, определяемые тем, как мы делаем разрезы, подскажут нам, как отождествить разные края многоугольника, восстанавливая первоначальную поверхность. В этот момент вся интересующая нас топология заключена в правилах склеивания. Эта классификация доказывается алгебраической обработкой правил и превращением их в правила, определяющие тор с g отверстиями или одну из аналогичных ему неориентируемых поверхностей. У современной топологии есть и другие способы добиться того же самого, но и она часто пользуется техникой «разрезания и склеивания». Этот метод легко обобщается на пространства любой размерности, но он слишком ограничен, чтобы дать возможность классифицировать многоразмерные топологические пространства без дополнительной помощи.
Около 1900 г. Пуанкаре занимался тем, что развивал более раннюю свою работу по топологии поверхностей и разрабатывал значительно более общую методику, применимую к пространствам с любым числом измерений. Основной идеей его исследования был поиск топологических инвариантов: чисел или алгебраических формул, связанных с пространствами, которые при непрерывной деформации остаются неизменными. Если топологические инварианты двух пространств различны, то одно из них невозможно преобразовать в другое и, значит, они топологически различны.
Начал он с обобщения топологического инварианта Люилье F — E + V на многомерные пространства, сделанного итальянским математиком Энрико Бетти в 1870 г. Сейчас оно, отчасти несправедливо, известно как эйлерова характеристика. Бетти заметил, что наибольшее число замкнутых кривых, которые можно нарисовать на поверхности рода g, не поделив ее при этом на несвязные куски, равняется g − 1. Это еще один способ топологически охарактеризовать поверхность. Бетти обобщил эту идею на «числа связности» любой размерности, которые Пуанкаре назвал числами Бетти, и этот термин используется до сих пор. Так, k-мерное число Бетти означает число k-мерных отверстий в пространстве.
Пуанкаре определил на основе чисел Бетти более чувствительный инвариант, получивший название гомологии. Для него характерна гораздо более четкая алгебраическая структура. Подробнее мы поговорим о гомологии в главе 15. Пока же достаточно сказать, что гомология анализирует наборы многомерных «граней» в подобной сети и задается вопросом о том, какие из них образуют границу топологического диска. Диск не имеет отверстий, в отличие от тора, так что мы можем быть уверены, что в пределах любого набора граней, образующего границу, отверстий нет. Напротив, мы можем обнаруживать отверстия путем разделения наборов граней на те, что образуют границу, и на те, что границы не образуют. Таким образом мы можем построить серию инвариантов пространства, известных как его гомологические группы. Слово «группа» здесь используется как термин из абстрактной алгебры, означающий, что из любых двух объектов группы при помощи операции, для которой выполняются несколько соответствующих алгебраических правил, может быть получен объект той же группы. Позже, когда нам потребуется это понятие, я расскажу о нем немного больше. Для каждого измерения от 0 до n существует одна такая группа, и для каждого пространства мы получаем серию топологических инвариантов со всевозможными интереснейшими алгебраическими свойствами.
Листинг классифицировал все топологические поверхности — пространства размерности 2. Очевидным следующим шагом было посмотреть на пространства размерности 3. И простейшим пространством для начала стала сфера, т. е. бесконечно тонкая поверхность шара. Внутренняя часть шара не считается частью сферы: это всего лишь особенность, возникающая вследствие вложения сферической поверхности в пространство. По существу, у нас есть только поверхность, топологически эквивалентная поверхности шара. Можно представить ее себе как пустотелый мяч с бесконечно тонкой оболочкой.
«Правильный» трехмерный аналог сферы, называемой трехмерной, — это не шар. Шар, конечно, трехмерен, но у него есть граница — его поверхность, сфера. Сама сфера границы не имеет, не должен иметь ее и трехмерный ее аналог. Простейший способ определить трехмерную сферу состоит в том, чтобы в точности воспроизвести координатную геометрию обычной сферы. При этом возникает пространство, которое довольно трудно зрительно представить: я не могу показать вам модель в трех измерениях, поскольку трехмерная сфера хотя и имеет всего три измерения, не вкладывается в обычное трехмерное пространство. Для нее необходимо четырехмерное пространство.
Традиционная единичная сфера в трехмерном пространстве включает в себя все точки, расположенные на расстоянии 1 от заданной точки — центра сферы. Аналогично, единичная трехмерная сфера в четырехмерном пространстве включает в себя все точки, расположенные на единичном расстоянии от ее центра. В системе координат мы можем записать формулу для этих точек, воспользовавшись для определения расстояния обобщением теоремы Пифагора{34}. В более общем случае трехмерная сфера представляет собой любое пространство, топологически эквивалентное единичной трехмерной сфере, в точности так же, как всевозможные выпуклые версии единичной двумерной сферы топологически являются двумерными сферами. Разумеется, то же относится и к более высоким размерностям.
Если этого вам недостаточно и нужен более геометрический образ, попробуйте вот что: трехмерную сферу можно представить как заполненный шар, вся поверхность которого отождествляется с точкой. Это еще один пример применения правила склеивания. В данном случае процесс аналогичен одному из способов превращения круглого диска в двумерную сферу. Если протянуть нитку вдоль края тканевого диска, а затем туго стянуть ее, как будто затягивая торбу, то результат будет топологически идентичен двумерной сфере. А теперь проведите аналогичную операцию с шаром, но не пытайтесь зрительно представить себе результат: просто представьте шар и как бы приложите к нему правила склеивания.
В любом случае Пуанкаре очень интересовался трехмерной сферой, потому что это, предположительно, простейшее трехмерное топологическое пространство конечной протяженности, не имеющее границы. В 1900 г. он опубликовал статью, в которой объявил, что группы гомологий представляют собой достаточно мощный инвариант, чтобы топологически охарактеризовать трехмерную сферу. А именно, если трехмерное топологическое пространство обладает теми же группами гомологий, что и трехмерная сфера, то оно топологически эквивалентно трехмерной сфере (т. е. может непрерывно в нее преобразовываться). К 1904 г., однако, он обнаружил, что это заявление ошибочно. Существует по крайней мере одно трехмерное пространство, которое не является трехмерной сферой, но имеет те же группы гомологий, что и она. Это пространство стало настоящим триумфом подхода, связанного с правилами склеивания, а доказательство того, что это не трехмерная сфера, привело к созданию нового инварианта, заведомо более мощного, чем гомология.
Сначала о пространстве. Оно известно как додекаэдрическое пространство Пуанкаре, потому что в современном построении используется именно заполненный додекаэдр. Пуанкаре не подозревал о родстве своего пространства с додекаэдром. Сам он поступил иначе: склеил два заполненных тора весьма неочевидным способом. Додекаэдрическую интерпретацию опубликовали в 1933 г., через 21 год после смерти Пуанкаре, Герберт Зейферт и Константин Вебер, и она намного проще для понимания. Аналогия, которую здесь следует помнить, это получение тора путем склеивания противоположных сторон квадрата. Как всегда, не нужно пытаться действительно что-то склеить, — достаточно просто помнить, что соответствующие точки рассматриваются именно таким образом. Теперь мы проведем ту же операцию, но возьмем для этого противоположные грани додекаэдра (см. рис. 38).