Пифагорейцы знали о додекаэдре еще 2500 лет назад. Граница додекаэдра состоит из 12 правильных пятиугольников, соединенных в приблизительно сферическую решетку. В каждой его вершине встречаются три пятиугольника. А теперь склеим каждую грань с противоположной… Только для этого их нужно перекрутить. Буквально. Каждую грань, чтобы она совпала с противоположной, нужно повернуть на подходящий угол. Угол берем наименьший из тех, что позволяют совместить соответствующие грани, т. е. 36°. Можно считать это правило своеобразной версией правила изготовления ленты Мёбиуса: конец ленты нужно повернуть на 180°, а затем склеить с противоположным.
Так, пространство получено. А теперь посмотрим на инвариант. Нет, я не растекаюсь мыслью по древу: все это нам потребуется для понимания гипотезы Пуанкаре.
Пуанкаре назвал свой новый инвариант фундаментальной группой. Мы до сих пор пользуемся этим термином, но иногда называем его и иначе: первой гомотопической группой. Гомотопия — это геометрическая конструкция, которая целиком размещается внутри пространства и несет в себе информацию о топологическом типе этого пространства. Она делает это при помощи абстрактной алгебраической структуры, известной как группа. Группа — это набор математических объектов, таких, что комбинация любых двух подобных объектов дает еще один объект той же группы. Для закона комбинирования — его часто называют сложением или умножением, даже если это не те простые операции, которые мы знаем из арифметики — должны выполняться несколько простых и естественных условий. Если мы называем операцию сложением, основные условия такие:
• группа содержит элемент, который ведет себя как нуль: при добавлении к любому другому элементу группы ничего не меняется;
• каждый элемент имеет в группе соответствующий ему элемент с противоположным знаком: при сложении такой пары получается нуль;
• при сложении трех элементов группы не имеет значения, какие два вы складываете первыми. Иными словами, (a + b) + c = a + (b + c). Это называется законом ассоциативности.
Единственный алгебраический закон, который не считается обязательным (хотя иногда и выполняется), — это закон коммутативности{35}a + b = b + a.
Фундаментальная группа Пуанкаре представляет собой своего рода упрощенный скелет пространства. Это топологический инвариант: топологически эквивалентные пространства имеют одну и ту же фундаментальную группу. Чтобы лучше разобраться в этом полезном понятии и, очень может быть, отчасти восстановить мотивы Пуанкаре, посмотрим, как это работает, на примере окружности. Воспользуемся образом, который восходит еще к Гауссу: представьте себе муравья, вся вселенная которого ограничена окружностью. Как он может определить, какой формы его вселенная? Сумеет ли он отличить окружность от, скажем, прямой линии? Не забывайте, что муравей не может выйти за пределы своей вселенной, не может взглянуть на нее со стороны и понять, что она круглая. Он может лишь бродить по вселенной, что бы она собой ни представляла. В частности, муравей не в состоянии понять, что его вселенная изогнута, потому что и свет в ней движется только по кругу. И не обращайте, пожалуйста, внимания на практические сложности, к примеру, на то, что объектам придется, встречаясь, проходить сквозь друг друга, — в любом случае наша аналогия достаточно свободна.
Муравей может определить форму вселенной несколькими способами. Я сосредоточусь на методе, который можно обобщить на любые топологические пространства. Для целей данного обсуждения муравей — точка. Он живет на автобусной остановке, которая тоже представляет собой точку. Каждый день муравей выходит из домика, садится в автобус (который, конечно, тоже точка), а вечером возвращается обратно. Самый простой маршрут — № 0: он просто стоит на остановке и никуда не едет. Для более интересной экскурсии муравей садится в автобус № 1, который объезжает вселенную ровно один раз против часовой стрелки и останавливается, вернувшись домой. Автобус № 2 объезжает вселенную дважды, № 3 — трижды и т. д.; один автобус, движущийся против часовой стрелки, для каждого положительного целого числа. Есть и отрицательные автобусы, которые ездят в противоположном направлении. Автобус № −1 объезжает вселенную один раз по часовой стрелке, № −2 — два раза и т. д.
Муравей быстро замечает, что две последовательные поездки на автобусе № 1, по существу, эквивалентны одной поездке на № 2, а три поездки на № 1 — одной поездке на № 3. Аналогично, следующие одна за другой поездки на автобусах № 5 и № 8 соответствуют одной поездке на автобусе № 13. Более того, для любых двух положительных номеров поездка на автобусе с первым номером плюс следующая за ней поездка на автобусе со вторым номером сводится к поездке на автобусе с номером, соответствующим их сумме.
Следующий шаг тоньше. Примерно то же соотношение сохраняется для автобусов с отрицательными номерами и для № 0. Поездка на № 0 плюс поездка на № 1 очень похожа на поездку на № 1. Однако есть и небольшая разница. В поездке 0 + 1 автобус № 0 некоторое время стоит на остановке, отрабатывая свой маршрут, а в поездке только на № 1 ничего подобного не происходит. Поэтому мы вводим понятие со странным названием гомотопия («то же место» по-гречески). Две петли гомотопичны, если одна из них может быть непрерывно преобразована в другую. Если мы позволим гомотопиям менять расписание автобусов, можно будет постепенно снизить время, которое муравей проводит в стоящем на остановке автобусе № 0, и, в конце концов, период сидения на месте просто исчезнет. Теперь между поездкой 0 + 1 и поездкой 1 нет никакой разницы, так что «с точностью до гомотопии» результат — это просто поездка на автобусе № 1. Иными словами, уравнение для автобусных номеров 0 + 1 = 1 остается верным не для поездок, а для гомотопических классов поездок.
А если за поездкой на автобусе № 1 последует поездка на автобусе № −1? Нам хотелось бы, чтобы в ответе стояла поездка № 0, но это не так. Автобус в этом случае проезжает весь путь сначала против часовой стрелки, а потом — обратно. Это далеко не то же самое, что провести все время поездки в стоящем на остановке автобусе. Поэтому 1 + (−1), т. е. 1−1, не равно 0. На помощь опять же приходит гомотопия. Комбинация автобусов 1 и −1 в целом гомотопна поездке на автобусе 0. Чтобы понять, почему, представьте, что муравей следует по суммарному маршруту автобусов 1 и −1 на автомобиле, но, чуть-чуть не доехав до остановки, разворачивается и едет назад. Такая поездка очень близка к двойной поездке на автобусе: пропущен всего лишь крохотный кусочек маршрута. Таким образом, первоначальное двойное путешествие непрерывно уменьшилось и превратилось в немного более короткую поездку на машине. Теперь муравей может снова чуть-чуть укоротить поездку, повернув назад чуть раньше. Он может таким образом укорачивать поездку, разворачивая автомобиль все раньше и раньше, пока не окажется просто сидящим на остановке. Процесс сжимания поездки — тоже гомотопия. Она показывает, что поездка 1 плюс поездка −1 гомотопна поездке на автобусе № 0. Иными словами, 1 + (−1) = 0 для гомотопических классов поездок.
Теперь любой алгебраист без труда сможет доказать, что поездка на автобусе любого маршрута плюс вторая поездка на каком-нибудь автобусе гомотопна поездке на автобусе, номер которого получается сложением двух автобусных номеров. Это верно для положительных автобусов, для отрицательных автобусов и для автобуса № 0. Так что если мы складываем поездки — или, вернее, гомотопические классы поездок, — то получаем группу. Более того, очень знакомую группу. Ее элементами являются целые числа (номера автобусов), а ее операцией — сложение. Такая группа традиционно обозначается символом Z от немецкого слова Zahl (“целый”).
Гораздо труднее, но все же можно доказать, что в кольцевой вселенной любая кольцевая автомобильная поездка — даже если она предусматривает множество возвратов, отступлений или метаний взад-вперед на одном и том же участке дороги — гомотопична одной из стандартных автобусных поездок. Более того, автобусные поездки с разными номерами не гомотопичны. Доказательство требует некоторых теоретических познаний. Его основа — гауссов порядок кривой, или число вращения. Это число полных обходов окружности против часовой стрелки, которое совершает муравей за всю поездку{36}, и это номер маршрута, которому гомотопична ваша конкретная поездка.
Если заполнить все пробелы и расставить все точки над i, это описание доказывает, что фундаментальная группа окружности совпадает с группой целых чисел Z по операции сложения. Чтобы складывать поездки, нужно просто складывать соответствующие им числа вращения. При помощи этого топологического инварианта муравей может отличить свою кольцевую вселенную от, скажем, бесконечной прямой линии. На прямой любая поездка, как ни мечись, в какой-то момент должна достичь максимально удаленной от дома точки. Тогда мы можем непрерывно сжать поездку, постепенно уменьшая все расстояния от дома в одной и той же пропорции — сначала до 99 %, затем до 98 % и т. д. Поэтому на прямой любая поездка гомотопна нулю: можно просто остаться дома. Фундаментальная группа прямой содержит только один элемент: 0. Ее алгебраические свойства тривиальны: 0 + 0 = 0, и называется она тривиальной группой. А поскольку тривиальная группа не совпадает с группой целых чисел, муравей может понять, живет ли он на прямой или на окружности.
Как я уже говорил, существуют и другие методы, но именно так муравей может заметить разницу при помощи фундаментальной группы Пуанкаре.
А теперь предположим, что наш муравей живет на поверхности и это опять же вся его вселенная. Он не может отойти в сторону и посмотреть, какая именно поверхность является его домом. Может ли он разобраться в топологии своей вселенной? В частности, сможет ли он различить сферу и тор? Ответ по-прежнему «да», а метод тот же, при помощи которого мы исследовали вселе