К 2000 г. гипотеза по-прежнему оставалась не доказанной; после вхождения в число семи проблем тысячелетия она приобрела еще более широкую известность и признание. К тому моменту стало ясно, что если каким-то образом удастся все же добиться, чтобы идея Гамильтона сработала, то тем самым будет доказана не только гипотеза Пуанкаре, но и гипотеза Терстона о геометризации. Приз был соблазнителен и близок, но в руки не давался.
В математике, как и в остальных отраслях науки, работа, чтобы ее признали, должна быть опубликована, а для этого — пройти рецензирование. Специалисты в соответствующей области должны внимательно прочитать работу, проверить логические выкладки и убедиться в безошибочности вычислений. Для сложной и значительной математической работы этот процесс может занять немало времени. Как упоминалось в главе 4, раньше выходом в каких-то ситуациях становился препринт, но сегодня существует стандартный веб-сайт arXiv.org, своеобразный архив, где после частичного рассмотрения и утверждения (чтобы отсечь всякие глупости) разрешается размещать электронные препринты. В настоящее время большинство исследователей знакомится с новыми результатами на сайте arXiv или на собственном сайте автора.
В 2002 г. Григорий Перельман разместил на сайте arXiv препринт о потоке Риччи. В работе было сделано замечательное утверждение: поток Риччи градиентоподобен. Иными словами, существует вполне определенное направление вниз — единственная числовая величина, связанная с формой многообразия, и многообразие всегда течет вниз в том смысле, что эта величина всегда уменьшается со временем. Она чем-то напоминает высоту в ландшафте и позволяет количественно оценить «упрощение» многообразия. Градиентоподобные потоки имеют немало ограничений: к примеру, они не могут ходить кругами или вести себя хаотично. Никто, похоже, не подозревал, что поток Риччи окажется таким ручным. Но Перельман не просто выдвинул предположение: он доказал это. В конце он наметил цепочку рассуждений, которые должны были бы доказать гипотезу Терстона о геометризации — а она, если помните, подразумевает гипотезу Пуанкаре, но заходит на самом деле гораздо дальше, — и пообещал подробнее изложить все это в следующих статьях на сайте arXiv. В течение следующих восьми месяцев он разместил там две статьи, содержавшие большую часть обещанных подробностей.
Первая статья вызвала немалый переполох. Перельман утверждал, что ему удалось реализовать всю программу Гамильтона — использовать поток Риччи для упрощения трехмерного многообразия и доказать, что результат получился в точности таким, как предсказывал Терстон. Две другие статьи добавили рассуждениям Перельмана убедительности: у математиков возникло чувство, что это человек знает, о чем говорит, и что его идеи — не просто очередная правдоподобная стратегия с неизменной логической прорехой или недоказанным допущением. Обычный скепсис математического сообщества по отношению к любым заявлениям о решении одной из великих задач слегка поутих. Возникло ощущение, что его попытка вполне может увенчаться успехом.
Однако дьявол, как всегда, кроется в деталях, а в математике детали бывают дьявольски непокорными! Работу необходимо было проверить, не спеша и на полную глубину, причем сделать это должны были те, кто разбирается в соответствующих областях и в состоянии распознать потенциальные ловушки. А это было непросто, поскольку Перельман в своей работе свел воедино по крайней мере четыре очень разные области математики и математической физики, а мало кто из математиков может похвастать знаниями более чем в одной-двух областях. Анализ корректности его доказательства потребовал бы много усилий и командной работы. Более того, в препринтах на сайте arXiv не было всех подробностей, необходимых в публикуемой статье. Для препринтов они были написаны довольно ясно, но точки над i там были расставлены не все. Так что экспертам нужно было реконструировать часть рассуждений Перельмана — при том, что сам-то он занимался этой работой несколько лет!
На все это требовалось время. Перельман читал лекции по своему доказательству и отвечал по электронной почте на вопросы, касавшиеся различных его этапов. Всякий раз, как кто-нибудь находил кажущуюся прореху, он быстро откликался, объяснял необходимое и заполнял пробелы. Все выглядело обнадеживающе. Однако никто не собирался рисковать репутацией и заявлять публично, что Перельман доказал гипотезу Пуанкаре и, тем паче, еще более сложную гипотезу о геометризации. Нужна была полная уверенность в том, что доказательство безошибочно. Поэтому, несмотря на общее благосклонное отношение к работе Перельмана, публичного признания она поначалу не получила. Это было ожидаемо, но время шло, и Перельмана все больше охватывало раздражение, потому что, как ему казалось, он впустую тратил время. Он-то знал, что его доказательство верно, и не мог понять, почему у остальных возникают такие сложности. Он отказался написать о своей работе подробнее или представить статью в какой-нибудь журнал. С его точки зрения, дело было сделано, а препринты на arXiv содержали всю необходимую информацию. Он перестал отвечать на вопросы, касавшиеся недостающих вроде бы деталей. Для него все было очевидно. Да ладно, ребята, вы и сами можете разобраться в этом, без моей помощи. Это не так уж сложно.
Некоторые писали, что математическое сообщество было несправедливо к Перельману. Но те, кто так говорят, просто не понимают, как принято действовать, когда появляется заявка на решение одной из великих задач. Было бы безответственно просто похлопать автора по плечу, сказать: «Отлично! Молодец!» — и забыть о том, чего не хватает в его препринтах. Вполне справедливо было попросить его подготовить более подробное изложение доказательства, пригодное для публикации. Когда речь идет о столь важной задаче, спешить нельзя. Специалисты из кожи вон лезли, тратили кучу времени на доказательство Перельмана и больше обычного старались сдержать свой естественный скептицизм. Сказать по правде, к автору отнеслись даже более благожелательно, чем обычно. И со временем, когда процесс проверки был завершен, его работу приняли и признали.
К этому моменту, однако, Перельман успел потерять терпение. Возможно, сказалось и то, что решенная им задача была настолько значительной, что ничто, по существу, уже не могло с ней сравниться. Он был как альпинист, сумевший подняться на Эверест в одиночку и без кислорода. Сравнимых вызовов просто не осталось. Успех в средствах массовой информации его не прельщал: он ждал признания со стороны равных, а не со стороны телеведущих всех сортов. Потому можно понять, почему, когда коллеги наконец признали, что он прав и предложили ему Филдсовскую медаль и премию Института Клэя, он не захотел принять эти награды.
Доказательство Перельмана отличается глубиной и элегантностью и открывает перед исследователями целый новый мир топологии. Автор сумел реализовать план Гамильтона по потоку Риччи, придумав хитрые способы обойти существование сингулярностей. Один из таких способов заключается в том, чтобы изменить масштабы пространства и времени и таким образом избавиться от сингулярности. Когда такой подход не работает, говорят, что сингулярность схлопывается. В подобных случаях Перельман анализирует геометрию потока Риччи в подробностях и разбирает, как именно может произойти схлопывание. По существу, пространство как бы выпускает бесконечно тонкие щупальца, иногда во множестве, как ветви дерева. Если какая-то ветка близка к схлопыванию, ее можно срезать и заменить гладкой крышечкой. Перед некоторыми из этих щупальцев поток Риччи буксует: если так, оставляем их в покое. Если же нет, поток Риччи можно запустить заново. В итоге некоторые щупальца заменяются гладкими крышками, а другие временно прерываются, но поток продолжает работать.
Процедура срезания и замазывания щупалец рубит пространство примерно так же, как терстоново рассечение на куски, каждый со своей геометрией (одной из восьми). Оказывается, что обе процедуры приводят к более или менее одинаковым результатам. Но есть один принципиально важный технический момент: операция обрезки не должна бесконечно ускоряться, так чтобы за конечное время проводилось бесконечное число операций. Это часть доказательства — одна из сложнейших.
Некоторые комментаторы критикуют математическое сообщество за несправедливое отношение к Перельману. Конечно, никто не должен быть закрыт для критики, да и инциденты, в которых, в принципе, можно разглядеть несправедливость или по крайней мере необдуманность, действительно имели место, но в целом математическое сообщество отреагировало на работу Перельмана быстро и положительно. Кроме того, реакция была осторожной, что абсолютно естественно в математике и науке вообще, и не без причин. Неизбежная публичность и слава, еще более яркая благодаря премии в миллион долларов, сказалась бы на любом человеке, и Перельман не исключение.
С момента размещения первой статьи Перельмана на arXiv в ноябре 2002 г. до объявления в марте 2010 г. о присуждении ему премии Института Клэя прошло восемь лет. Кажется, что это серьезная и, возможно, безосновательная задержка. Однако та, первая, публикация содержала лишь часть доказательства. Остальное по большей части было размещено на сайте в марте 2003 г. К сентябрю 2004 г., полтора года спустя после этой второй публикации, сообщество специалистов по потоку Риччи и топологии успело проработать доказательство — следует отметить, что этот процесс начался всего через несколько дней после первой публикации, — и ведущие эксперты объявили, что «поняли его». Они нашли в нем ошибки, нашли пробелы, но выразили уверенность в том, что все это можно исправить. Полтора года — совсем немного, когда речь идет о таком важном вопросе.
В конце 2005 г. Международный математический союз связался с Перельманом и предложил ему Филдсовскую премию, высшую математическую награду. Присудить ее предполагалось на Международном математическом конгрессе в 2006 г. Конгресс проводится раз в четыре года, так что это была бы первая возможность почтить ученого за серьезное достижение. Поскольку в полноте доказательства гипотезы Пуанкаре оставались некоторые сомнения — в нем все еще время от времени обнаруживались ошибки, — премия официально присуждалась за успехи в понимании потока Риччи (эта часть препринтов Перельмана к тому моменту уже считалась свободной от ошибок).