12. Потоковое мышление. Уравнение Навье — Стокса
Пять из семи задач тысячелетия, включая и три задачи, о которых мы уже говорили, относятся к чистой математике, хотя задача P/NP фундаментальна и для теории вычислительных систем. Оставшиеся две принадлежат к прикладной математике и современной математической физике. Задача из прикладной математики возникает из стандартного уравнения для потока жидкости — уравнения Навье — Стокса, названного в честь французского инженера и физика Клода-Луи Навье и ирландского математика и физика Джорджа Стокса. Уравнение Навье — Стокса — это уравнение в частных производных; следовательно, в нем учитывается скорость изменения характера потока как в пространстве, так и во времени. Большинство важнейших уравнений классической прикладной математики — это уравнения в частных производных (нам уже встречалось одно из таких уравнений — уравнение Лапласа); остальные — обыкновенные дифференциальные уравнения, учитывающие скорость изменения параметров только во времени.
В главе 8 мы видели, что движение тел в Солнечной системе определяется законом всемирного тяготения и законами динамики Ньютона. Эти законы связывают ускорение Солнца, Луны и планет с действующими на них гравитационными силами. Ускорение — это быстрота изменения скорости во времени, а скорость — характеристика изменения положения тела во времени. Это обычное дифференциальное уравнение. Как мы видели, решение таких уравнений может быть очень сложным делом. Как правило, решать дифференциальные уравнения в частных производных намного сложнее.
Если говорить о практических целях, то уравнения движения в Солнечной системе могут быть решены численно при помощи компьютеров. Это тоже непросто, но сегодня уже существуют хорошие методы. То же самое можно сказать и о решении в практических целях уравнений Навье — Стокса. Используемые при этом методики известны как вычислительная гидрогазодинамика и применяются для решения многих важных задач: конструирования самолетов, расчета аэродинамики автомобилей и даже в медицине (например, для расчета тока крови в организме человека).
Задача тысячелетия не просит математиков найти явные решения уравнения Навье — Стокса, поскольку это, по существу, невозможно. Не имеет она отношения и к численным методам решения этих уравнений, несмотря на всю их важность. Вместо этого в задаче требуется найти доказательство фундаментального теоретического свойства: существования решений. При заданном состоянии жидкости в определенный момент времени — при известных характеристиках ее движения — существует ли решение уравнения Навье — Стокса, верное для всего будущего времени начиная с рассматриваемого момента? Интуиция подсказывает, что ответ на этот вопрос должен быть «да», потому что данное уравнение — очень точная модель физики реальной жидкости. Однако с точки зрения математики вопрос существования решения не так очевиден, и это фундаментальное свойство для уравнения Навье — Стокса пока не доказано. А возможно, ответ все же «нет», и решения не существует.
Уравнение Навье — Стокса описывает, как меняется со временем в заданных условиях распределение скоростей в жидкости. О нем часто говорят во множественном числе как об уравнениях Навье — Стокса, но дела это не меняет. Множественное число отражает классический подход: в трехмерном пространстве скорость складывается из трех компонент; в классической теории на каждую компоненту приходится по одному уравнению, а всего их получается три. С современной точки зрения существует всего одно уравнение для вектора скорости (величины, которую характеризует не только размер, но и направление), но это уравнение приложимо к каждой из трех компонент скорости. На сайте Института Клэя используется классическая терминология, но здесь я буду следовать современной практике. Я говорю об этом заранее, чтобы избежать возможной путаницы.
Уравнение датируется 1822 г., когда Навье впервые записал уравнение в частных производных для потока вязкой — липкой — жидкости. Стокс внес свой вклад в 1842 и 1843 гг. Эйлер записал уравнение в частных производных для жидкости с нулевой вязкостью — совершенно не липкой — в 1757 г. Это уравнение тоже полезно, но большинство реальных жидкостей, включая воду и воздух, являются вязкими, поэтому Навье и Стокс модифицировали уравнение Эйлера таким образом, чтобы учесть это свойство. Они вывели примерно одинаковые уравнения независимо друг от друга, поэтому оно названо в честь их обоих. Навье сделал в процессе вывода несколько математических ошибок, но получил верный ответ, а у Стокса с математикой все было в порядке, и именно поэтому мы знаем, что ответ Навье верен, несмотря на ошибку. В самой общей форме уравнение применимо к сжимаемым жидкостям, таким как воздух. Однако существует и важный частный случай, при котором жидкость считается несжимаемой. Эта модель применима к таким жидкостям, как вода, которая под очень большим давлением все же сжимается, но лишь чуть-чуть.
Существует два способа составить математическое описание потока жидкости: можно либо описать маршрут движения каждой частицы жидкости со временем, либо описать скорость потока в каждой точке пространства и в каждый момент времени. Эти два описания связаны между собой: имея одно, можно (не без труда) вывести и второе. И Эйлер, и Навье, и Стокс использовали второй подход, потому что уравнение в этом случае получается гораздо более удобным и решаемым. Так что в их уравнениях фигурирует поле скоростей жидкости. В каждый конкретный момент времени поле скоростей точно определяет скорость и направление каждой частицы жидкости. По ходу времени это описание может меняться, именно поэтому в уравнении присутствуют скорости изменения параметров как в пространстве, так и во времени.
Уравнение Навье — Стокса имеет отличную физическую родословную. Оно основано на законах Ньютона, примененных к каждой крохотной частице (небольшой области) жидкости, и выражает в данном контексте закон сохранения импульса. Каждая частица движется, потому что на нее действуют силы, а закон движения Ньютона гласит, что ускорение частицы пропорционально действующей на нее силе. Основными силами являются трение, вызванное вязкостью, и давление. Присутствуют также силы, порожденные ускорением частицы. В соответствии с классической традицией уравнение описывает жидкость как бесконечно делимую массу. В частности, оно игнорирует дискретность атомной структуры жидкости в микромасштабе.
Уравнения сами по себе не имеют особой ценности: их надо еще научиться решать. Для уравнения Навье — Стокса решение означает расчет поля скоростей: скорости и направлении движения жидкости в каждой точке пространства в каждый момент времени. Уравнение налагает ограничения на эти величины, но не определяет их непосредственно. Вместо этого мы должны при помощи этого уравнения соотносить будущие скорости с текущими. Уравнения в частных производных, такие как уравнение Навье — Стокса, имеют много разных решений; точнее говоря, бесконечно много. И это неудивительно: жидкости способны течь очень по-разному: ток жидкости по капоту автомобиля отличается от тока жидкости по крылу самолета в полете. Существует два способа выбрать конкретный поток из бесконечного множества возможностей: используя либо начальные, либо граничные условия.
Начальные условия определяют поле скорости в какой-то конкретный момент времени; обычно его считают нулевым. Физически идея состоит в том, что если вам известно поле скорости в этот момент, то уравнение Навье — Стокса однозначно определяет это поле через очень короткий промежуток времени. Если для начала вы дадите жидкости толчок, она будет двигаться до тех пор, пока это не будет противоречить законам физики. Граничные условия более полезны в большинстве приложений, потому что начальные условия трудно обеспечить в реальной жидкости, да и вообще, они не слишком подходят для применения, скажем, в автомобильном дизайне. Там главное — форма машины. Вязкие жидкости прилипают к поверхностям. Математически это моделируется определением скорости на этих поверхностях, образующих границу занятой жидкостью области, а именно в ней уравнение действительно. К примеру, мы могли бы потребовать, чтобы скорость на границе была нулевой или наложить какое-то другое условие, которое наилучшим образом моделирует реальность.
Но даже в тех случаях, когда определены начальные или граничные условия, мы очень редко можем написать в явном виде формулу для поля скорости, потому что уравнение Навье — Стокса нелинейно. Сумма двух его решений, как правило, не является решением. Это, кстати, одна из причин, по которым задача трех тел из главы 8 настолько сложна, хотя это не единственная причина, ведь задача двух тел тоже нелинейна, но тем не менее решается в явном виде.
Для практических целей мы всегда можем решить уравнение Навье — Стокса на компьютере, представив поле скорости в виде набора чисел. Этот набор чисел можно очень наглядно представить в графическом виде и использовать для расчета величин, которые в первую очередь интересуют инженеров: к примеру, напряжений, возникающих в крыле самолета. Поскольку компьютеры не умеют работать с бесконечным количеством чисел и не могут проводить вычисления с бесконечной точностью, нам приходится заменять реальный поток его дискретной аппроксимацией, т. е. набором чисел, представляющих поток в конечном числе точек и моментов времени. При этом очень важно, чтобы аппроксимация была достаточно качественной.
Обычный подход состоит в том, чтобы разделить пространство на большое число маленьких областей, образовав таким образом расчетную сетку. Скорость при этом вычисляется только в узлах этой сетки. Сама сетка может состоять из обычных квадратов (или кубов, если речь идет о трех измерениях), как шахматная доска, но для расчета автомобилей или самолетов она должна быть более сложной и иметь вблизи границы ячейки помельче, позволяющие уловить более тонкие детали происходящего. Сетка может быть динамической и менять форму с ходом времени. Обычно считается, что время идет дискретно, небольшими шагами, иногда одинаковыми, а иногда меняющими длительность в соответствии с ходом расчетов.