Существует два основных подхода к этим вопросам. Можно попытаться доказать, что сингулярностей не возникает, а можно попытаться найти одну из них, подобрав подходящие начальные условия. В том и другом могут помочь численные решения: они могут предложить полезные общие свойства потоков, а могут дать кое-какие указания на возможную природу потенциальных сингулярностей. Однако в численных решениях потенциально теряется точность, поэтому к любым указаниям такого рода следует относиться с осторожностью и обосновывать их более строго.
В попытках доказать регулярность, т. е. отсутствие сингулярностей, ученые пытаются получить контроль над потоком при помощи целого ряда методов. Среди них сложные оценки величины тех или иных ключевых переменных или еще более абстрактные методики. Популярный подход предлагает воспользоваться так называемыми слабыми решениями, которые являются не потоками в точном смысле этого слова, а более общими математическими структурами с некоторыми свойствами потоков. Известно, к примеру, что набор сингулярностей любого слабого решения трехмерных уравнений Навье — Стокса всегда мал.
Уже исследованы многие сценарии, которые могли бы вести к сингулярностям. Так, в 1941 г. Андрей Колмогоров разработал стандартную на сегодня модель турбулентности в виде каскада бесконечно уменьшающихся вихрей. Он предположил, что на очень мелких масштабах все формы турбулентности выглядят исключительно похоже. Пропорции вихрей заданного размера, к примеру, подчиняются универсальному закону. В настоящее время известно, что по мере уменьшения вихри меняют форму, становятся длиннее и тоньше и образуют элементарные струйки. Из закона сохранения момента импульса следует, что завихренность — степень закрученности вихрей — должна возрастать. Этот процесс называется растягиванием вихрей, и именно такое поведение, в принципе, может привести к сингулярности: к примеру, если мельчайшие вихри растянулись бы и стали бесконечно длинными за конечное время, а завихренность в некоторых точках стала бы бесконечной.
На рис. 43 можно увидеть сильно увеличенное изображение турбулентного потока, смоделированного Пабло Мининни и его коллегами с использованием программы VAPOR — платформы визуализации и анализа для океана, атмосферы и солнечных исследований. На изображениях видна интенсивность завихренности: насколько быстро вращается жидкость. Они иллюстрируют формирование вихревых струек (видны как длинные тонкие структуры) и показывают, что элементарные струйки могут собираться в пучки и образовывать более крупные структуры. Программа позволяет проводить моделирование на кубической решетке более чем с тремя миллиардами узловых точек.
В статье, посвященной этой теме и размещенной на сайте Института Клэя, Чарльз Фефферман написал:
«Существует множество интереснейших задач и гипотез о поведении решений уравнений Эйлера и Навье — Стокса… Поскольку мы не знаем даже, существуют ли эти решения, наши представления о них находятся на очень примитивном уровне. Стандартные методы [из теории дифференциальных уравнений в частных производных] представляются недостаточными для решения этой задачи. Вместо этого нам, вероятно, требуются новые глубокие идеи».
Сложность потока на изображениях, подобных рис. 43, помогает представить себе трудности, с которыми, вероятно, столкнутся исследователи в поисках таких идей. Но математики не сдаются — они продолжают идти вперед, пытаясь отыскать простые принципы в видимой сложности.
13. Квантовая головоломка. Массовая щель
В нескольких километрах к северу от Женевы граница между Швейцарией и Францией делает резкий изгиб. На поверхности в этом месте видны лишь проселочные дороги и небольшие деревеньки. Но под землей, на глубине от 50 до 175 м, находится самый крупный на планете научный прибор. Это гигантский кольцевой туннель более 8 км в диаметре, соединенный с другим, меньшим (примерно вчетверо) туннелем. Большая его часть находится под территорией Франции, но две секции приходятся на Швейцарию. По туннелям проложено по паре труб, которые сходятся в четырех точках.
Это Большой адронный коллайдер стоимостью €7,5 млрд (около $9 млрд). С его помощью ученые ведут исследования на переднем крае физики элементарных частиц. Ключевой целью 10 000 ученых более чем из 100 стран, вместе работающих на этой экспериментальной установке, было найти бозон Хиггса или не найти его, если так устроена Вселенная. Частица эта нужна была, чтобы дополнить Стандартную модель элементарных частиц, согласно которой все во Вселенной состоит из элементарных частиц 17 разновидностей. В теории бозон Хиггса — то, что придает всем частицам массу.
В декабре 2011 г. два основных детектора Большого адронного коллайдера — ATLAS и CMS — независимо друг от друга обнаружили предварительные свидетельства существования бозона Хиггса с массой около 125 ГэВ (гигаэлектронвольт — единица, которую в физике элементарных частиц используют для обозначения равно массы и энергии, поскольку то и другое эквивалентно). А 4 июля 2012 г. ЦЕРН — Европейский центр ядерных исследований, управляющий Большим адронным коллайдером, — объявил заинтересованной аудитории ученых и научных журналистов, что Вселенная высказалась в пользу Хиггса. Обе группы собрали большое количество дополнительных данных, и вероятность того, что данные показали случайную флуктуацию, а не присутствие новой частицы с хиггсовскими характеристиками, составляет теперь менее одной двухмиллионной. Именно такую степень уверенности традиционно требуют в физике элементарных частиц, прежде чем открывать шампанское.
Только дальнейшие эксперименты позволят с уверенностью сказать, обладает ли новая частица всеми теми свойствами, которые теоретически должны быть у бозона Хиггса. К примеру, теория предсказывает, что спин бозона Хиггса должен быть равен нулю, а на момент объявления наблюдаемые данные указывали на значение 0 либо 2. Может также оказаться, что «настоящий» бозон Хиггса состоит из других, меньших частиц или что это всего лишь первая ласточка из нового семейства хиггсоподобных частиц. В итоге либо существующая модель элементарных частиц будет подтверждена и закреплена, либо мы получим новую информацию, которая со временем позволит нам разработать другую, лучшую теорию.
Последняя из семи задач тысячелетия тесно связана со Стандартной моделью и бозоном Хиггса. Это центральный вопрос квантовой теории поля — математической области, в рамках которой изучается физика элементарных частиц. Его еще называют гипотезой «щели» в спектре масс, и он устанавливает конкретный нижний предел для возможной массы элементарной частицы. Это лишь одна репрезентативная задача, выбранная из целой серии крупных нерешенных вопросов в этой новейшей области математической физики, и она связана как с вопросами из самых передовых разделов чистой математики, так и с давней мечтой физиков — теорией, которая объединила бы две важнейшие физические теории: общую теорию относительности и квантовую теорию поля.
В классической ньютоновой механике фундаментальными физическими понятиями являются пространство, время и масса. Пространство считается трехмерным и евклидовым, время — одномерная величина, не зависящая от пространства, а масса указывает на присутствие вещества. Массы изменяют свое положение в пространстве под действием различных сил, и скорость, с которой меняется их положение, измеряется относительно времени. Ньютонов закон движения описывает, как ускорение тела (скорость изменения его скорости, которая, в свою очередь, отражает скорость изменения его позиции) соотносится с его массой и приложенной к нему силой.
Классические теории пространства, времени и вещества поднялись на максимальную высоту в уравнениях электромагнетизма, предложенных Джеймсом Максвеллом. Эта элегантная система уравнений объединила две силы природы, которые раньше рассматривались исключительно по отдельности. Оказалось, что вместо отдельных явлений электричества и магнетизма существует единое электромагнитное поле. Это поле пронизывает все пространство, как если бы Вселенная была наполнена какой-то невидимой жидкостью. В каждой точке пространства мы можем измерить величину и направление этого поля, как будто эта жидкость течет по математическим законам. Конечно, для некоторых целей электромагнитное поле можно разбить на два компонента, два поля: электрическое и магнитное. Но переменное магнитное поле порождает электрическое поле, и наоборот, так что, когда дело доходит до динамики, оба они должны рассматриваться совместно, как единое более сложное поле.
Эта удобная и уютная картина физического мира, в котором фундаментальные физические концепции описывали предметы и явления, воспринимаемые с помощью человеческих органов чувств, резко изменилась в самом начале XX в. Именно тогда физики начали понимать, что на очень маленьких масштабах, слишком мелких для тогдашних микроскопов и вообще каких бы то ни было средств наблюдения, вещество выглядит совсем не так, как считалось прежде. Физики и химики начали принимать всерьез странную теорию, возникшую более 2000 лет назад и восходящую к философствованиям древнего грека Демокрита и индийских ученых. Идея заключалась в том, что, хотя мир, судя по всему, сделан из бесчисленного множества различных материалов, все вещество на самом деле построено из крохотных частичек — атомов. Слово «атом» по-гречески означает «неделимый».
Химики XIX в. нашли немало косвенных свидетельств существования атомов: элементы, соединяясь вместе и образуя более сложные молекулы, делают это в очень конкретных соотношениях, часто близких к целым числам. Джон Дальтон сформулировал свои наблюдения в виде закона кратных пропорций и предложил в качестве объяснения атомы. Если каждое химическое соединение состоит из фиксированного числа атомов разных видов, то такое соотношение появится автоматически. К примеру, нам сегодня известно, что каждая молекула двуокиси углерода состоит из двух атомов кислорода и одного атома углерода, так что атомы в этом веществе всегда будут присутствовать в отношении два к одному. Однако есть и сложности: разные атомы имеют разную массу, а многие элементы существуют в виде молекул,