ешения, позволяющие получить почти все остальные, может быть очень трудно. Они выяснили, что для p = 877 простейшим решением такого рода является рациональное число
Доказано огромное число теорем, имеющих отношение к гипотезе Берча — Свиннертон-Дайера (обычно с очень серьезными формальными ограничениями), но это пока мало помогло в продвижении к полному решению этой задачи. В 1976 г. Коутс и Уайлс обнаружили первые указания на то, что эта гипотеза может быть верна. Они доказали, что один частный случай эллиптической кривой имеет ранг 0, если L-функция Дирихле не обращается в нуль в точке 1. Для такой эллиптической кривой число решений связанного с ней диофантова уравнения конечно, возможно, равно нулю, и определить это можно по соответствующей L-функции. После этого момента удалось сделать несколько технических шагов, по-прежнему ограниченных в основном рангами 0 и 1. В 1990 г. Виктор Колывагин доказал, что гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера верна для рангов 0 и 1.
Более детальные гипотезы, требующие серьезной компьютерной поддержки, соотносят константу c в гипотезе Берча — Свиннертон-Дайера с различными концепциями теории чисел. Существуют аналогичные гипотезы — впрочем, столь же загадочные, — для алгебраических числовых полей. Известно также, что большинство (в точном смысле) эллиптических кривых имеет ранг 0 или 1. В 2010 г. Манджул Бхаргава и Арул Шанкар объявили, что им удалось доказать: средний ранг эллиптической кривой не превосходит 7/16. Если это доказательство и доказательство некоторых других недавно опубликованных теорем будут признаны математическим сообществом, то получится, что гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера верна для ненулевой доли всех эллиптических кривых. Однако речь пока идет о простейших кривых, не представляющих, по существу, кривые более сложной структуры, ранга 2 и более. Они пока остаются для нас загадкой.
15. Комплексные циклы. Гипотеза Ходжа
Некоторые области математики вполне можно соотнести с тем, с чем мы встречаемся в повседневной жизни. Уравнение Навье — Стокса невозможно встретить на кухне, но мы все понимаем, что такое жидкости, и представляем, как они текут. Другие области можно соотнести с эзотерическими вопросами переднего края науки: так, чтобы разобраться в квантовой теории поля, нужна хотя бы докторская степень в области математической физики, но аналогии с электричеством и магнетизмом или такие хоть сколько-то представимые образы, как волны вероятности, позволяют кое-что понять. Третьи можно объяснить при помощи картинок, и хороший пример тому — гипотеза Пуанкаре. Но некоторые области математики не поддаются ни одному из перечисленных способов и никак не позволяют сделать сложные абстрактные понятия доступными.
Гипотеза Ходжа, сформулированная в 1950 г. шотландским геометром Уильямом Ходжем, — одна из таких задач. Проблемы здесь возникают не из-за доказательства, поскольку его просто нет. Все дело в утверждении. Вот так примерно эта задача сформулирована на сайте Института Клэя:
«На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов».
На первый взгляд в этой формулировке понятны, пожалуй, только предлоги и такие слова, как «любой». Остальное понятно, как отдельные слова: «многообразие», «класс», «рациональный», «цикл». Но образы, порождаемые этими словами, — виды в живой природе, школа, разум без эмоций, какой-то повторяющийся процесс — явно относятся не к тому, что имел в виду Институт Клэя. Остальное еще более очевидный жаргон. Но не просто жаргон ради жаргона — не сложные слова, за которыми прячется профессиональная лексика. Точнее, это простые слова для обозначения сложных вещей. В обычном языке нет готовых названий для подобных концепций, так что часть приходится заимствовать в других областях, а часть изобретать заново.
Если говорить о хорошем, то здесь у нас появляются немалые возможности. Можно сказать, что гипотеза Ходжа лучше представляет реальную математику XX и XXI вв., чем любая другая из рассмотренных в этой книге тем. Подойдя к ней надлежащим образом, мы сможем получить представление о том, насколько концептуально продвинута на самом деле современная передовая математика. В сравнении со школьной математикой она как Эверест в сравнении с кучкой земли, оставленной кротом.
Но, может быть, это всего лишь пустое сотрясание воздуха, претенциозная чепуха, которой занимаются отшельники в башнях из слоновой кости? Если ни один нормальный человек не в состоянии понять, о чем идет речь, зачем впустую переводить деньги налогоплательщиков на тех, кто думает о подобных вещах? Однако давайте взглянем на это с другой стороны. Предположим, любой человек мог бы понять все, о чем думают математики. Неужели тогда вы с удовольствием отдали бы математикам деньги налогоплательщиков? Разве им платят не за профессиональные знания? Если бы все было настолько просто и понятно, что разобраться в этом мог бы любой, зачем вообще надо было бы готовить математиков? А если бы каждый умел налаживать центральное отопление и сваривать трубы, для чего были бы нужны водопроводчики?
Я не могу сказать вам, как именно могла бы быть с пользой применена гипотеза Ходжа. Но я могу объяснить, насколько важное место она занимает в математике. Современная математика — единый организм, так что значительное продвижение в любой из основных областей со временем принесет вполне материальный доход, измеряемый в долларах и центах. Может быть, сегодня мы не найдем на своей кухне ни одного прибора, сделанного на основе этой гипотезы, но завтра — кто знает? Тесно связанные с ней математические концепции уже доказывают свою полезность в различных областях науки — от квантовой физики и теории струн до робототехники.
Иногда новые математические идеи получают практическое применение почти сразу. Иногда этот процесс занимает не одно столетие. Быть может, в последнем случае лучше было бы подождать, пока возникнет нужда в этих идеях, а затем ударными темпами провести их разработку? Быть может, все математические задачи, не имеющие немедленного и очевидного применения, следует откладывать в дальний ящик на будущее? Однако если бы мы так поступали, то всегда отставали бы от жизни, поскольку математики уже несколько сотен лет играют в догонялки с прикладной наукой. Да и не всегда можно точно сказать, какая идея необходима в данный момент. Как вы думаете, понравилось бы вам, если бы никто даже не задумался о производстве кирпичей, пока вы не пригласили бы рабочих для строительства дома? Чем оригинальнее математическая концепция, тем более маловероятно, что она родится в результате ударной разработки.
Куда разумнее было бы позволить математической науке развиваться по собственным законам и не ждать от нее немедленной пользы. Не пытайтесь выбирать лучшее, позвольте ей расти свободно. Математики стоят недорого: им, в отличие от физиков-экспериментаторов, не нужно дорогостоящее оборудование (на Большой адронный коллайдер уже потрачено €7,5 млрд, и расходы растут). Кроме того, в качестве компенсации математики обучают студентов. И вряд ли было бы разумно не разрешить некоторым из них работать над гипотезой Ходжа, если эта проблема их захватила.
Я планирую разобрать приведенную формулировку гипотезы Ходжа слово за словом. Простейшая из встречающихся в ней концепций — «алгебраическое многообразие». Это естественное следствие декартова подхода, когда тот при помощи координатной сетки связал геометрию с алгеброй (см. главу 3). При этом крохотный набор инструментов-кривых, введенный Евклидом и его последователями, — прямая, окружность, эллипс, парабола, гипербола — превратился в бездонный рог изобилия. Прямая линия — основа евклидовой геометрии — представляет собой совокупность точек, удовлетворяющих соответствующему алгебраическому уравнению: к примеру, y = 3x + 1. Замените тройку и единицу на другие числа — и получите другие прямые линии. Окружности нуждаются в квадратных уравнениях — как и эллипсы, параболы и гиперболы. В принципе, все, что можно определить геометрически, можно интерпретировать и иначе — алгебраически, — и наоборот. Так что, система координат делает геометрию ненужной? Или, может быть, она делает ненужной алгебру? Зачем пользоваться двумя инструментами, если оба они делают одно и то же?
У меня в гараже в ящике с инструментами есть и молоток, и клещи. Дело молотка — забивать в дерево гвозди. Дело клещей — вытаскивать их оттуда. Хотя, в принципе, гвозди можно забить и клещами, а у молотка с обратной стороны есть раздвоенный конец, предназначенный специально для выдергивания гвоздей. Зачем же мне оба инструмента? Затем, что одни вещи лучше делать молотком, а другие — клещами. Так же обстоит дело с алгеброй и геометрией: одни подходы более естественно реализуются при помощи геометрии, другие — при помощи алгебры. Главное — связь между ними. Если алгебраическое мышление буксует, переключайтесь на геометрию.
Координатная геометрия предлагает новую свободу выдумывать кривые. Просто напишите уравнение — и смотрите на его решения. Если ваше уравнение не слишком глупое, вроде x = x, должна получиться кривая. (Решениями уравнения x = x является вся координатная плоскость.) К примеру, я мог бы записать уравнение x³ + y³ = 3xy, решения которого можно увидеть на рис. 45. Эта кривая — декартов лист, и вы не найдете ее у Евклида. Ассортимент новых кривых, которые может выдумывать каждый, буквально бесконечен.
Математики всегда стремятся к обобщениям — это рефлекс, он включается автоматически. Стоит кому-нибудь натолкнуться на интересную идею, и тут же все задаются вопросом: возможно ли что-нибудь подобное в более общем случае? Идея Декарта, в частности, имеет по крайней мере три серьезных варианта обобщения, или модификации, и все они необходимы для понимании гипотезы Ходжа.