Во-первых, что происходит, если мы работаем с пространствами, отличными от плоскости? Трехмерное евклидово пространство имеет три координаты (x, y, z) вместо двух. В пространстве одно уравнение, как правило, определяет поверхность, а два уравнения — кривую, по которой поверхности пересекаются. Три уравнения, как правило, определяют точку. (Говоря «как правило», я имею в виду, что бывают и исключения, но они очень необычны и удовлетворяют особым условиям. Что-то подобное мы видели на плоскости в случае того самого «глупого» уравнения x = x.)
Здесь мы опять же можем придумывать новые уравнения и тем самым определять новые поверхности или кривые, которых нет у Евклида. В XIX в. это было модным занятием. Можно было даже опубликовать статью про новую поверхность, если у вас было что сказать о ней — что-нибудь по-настоящему интересное. В качестве типичного примера можно вспомнить поверхность, представленную Куммером в 1864 г., с уравнением
На рис. 46 представлен соответствующий график. Самое интересное в нем — 16 «двойных точек», где поверхность напоминает поверхности двух конусов, соединенных вершина к вершине. Как раз 16 — максимально возможное число таких точек для поверхности четвертого порядка, т. е. поверхности, описываемой уравнением четвертой степени. Это обстоятельство показалось достаточно интересным для публикации.
К XIX в. математики успели познать пьянящие радости пространств высоких измерений. Нет нужды останавливаться на трех координатах; почему не попробовать четыре, пять, шесть… миллион? И это не пустопорожние рассуждения. Это алгебра множества уравнений с множеством переменных, а они всплывают то и дело в самых разных точках математического ландшафта. К примеру, они упоминались в главе 5 (гипотеза Кеплера) и главе 8 (задача трех тел). Не идет речь и о пустых искусственных обобщениях: возможность размышлять о подобных вещах не только алгебраически, но и геометрически — мощный инструмент, который нет смысла ограничивать двумя или тремя измерениями просто потому, что только в таких пространствах мы можем рисовать картинки и строить модели.
Слово «измерение» может казаться внушительным и загадочным, но в данном контексте его значение вполне прозрачно: сколько вам нужно координат. К примеру, в четырехмерном пространстве четыре координаты (x, y, z, w), и в математическом смысле этого достаточно для определения. В четырех измерениях единственное уравнение обычно определяет трехмерную «гиперповерхность», два уравнения — поверхность (два измерения), три уравнения — кривую (одно измерение), а четыре — точку (нуль измерений). Каждое новое уравнение расправляется с одним измерением, т. е. с одной переменной. Так что мы можем предсказать, что в пространстве 17 измерений 11 уравнений определяют шестимерный объект, за исключением редких (и легко опознаваемых) случаев, когда некоторые из уравнений избыточны.
Объект, определенный таким образом, называется алгебраическим многообразием. В русском языке слово «многообразие» употребляется и в топологии, и в дифференциальной геометрии (топологии пополам с дифференциальным исчислением), и в алгебраической геометрии. В некоторых других языках традиционно существует два различных термина (в частности, в английском языке используются слова manifold и variety){41}. Конечно, алгебраическое многообразие можно было бы называть «многомерным пространством, определенным системой алгебраических уравнений», но вы сами, вероятно, понимаете, почему так никто не говорит.
Второй многообещающий способ обобщить представления координатной геометрии состоит в том, чтобы разрешить комплексные координаты. Припомним, кстати, что в системе комплексных чисел существует число нового типа i, квадрат которого равен −1. Зачем усложнять все на свете таким странным образом? Затем, что алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел ведут себя гораздо лучше. На множестве действительных чисел квадратное уравнение может иметь два решения или ни одного. (Оно может также иметь одно решение, но в определенном — и весьма разумном — смысле лучше считать, что одно решение повторяется дважды.) На множестве комплексных чисел квадратное уравнение всегда имеет два решения (опять же если корректно учитывать повторяющиеся решения). В некоторых случаях такое свойство может оказаться очень полезным. Можно сказать: «Решаем уравнение для седьмой переменной» — и быть уверенным, что такое решение действительно существует.
Тем не менее, хотя в этом отношении все очень удобно, некоторые свойства комплексной алгебраической геометрии без привычки воспринимаются довольно тяжело. Если говорить о действительных переменных, то там прямая может пересекать окружность в двух точках, касаться ее или проходить в стороне и не иметь с ней общих точек. В случае комплексных переменных третья возможность исчезает. Но если привыкнуть к изменениям, то окажется, что комплексные алгебраические многообразия ведут себя куда лучше, чем действительные. Иногда действительные переменные необходимы, но в большинстве случаев в комплексном контексте работать удобнее. Во всяком случае нам теперь известно, что представляет собой комплексное алгебраическое многообразие.
Как насчет слова «проективное»? Это третье обобщение, и для него требуется несколько иное представление о пространстве. Проективная геометрия выросла из интереса, который живописцы эпохи Возрождения питали к законам перспективы, и в ней отсутствует особое поведение параллельных прямых. В евклидовой геометрии две прямые либо пересекаются, либо параллельны, и тогда они не встретятся никогда, сколько их ни продолжай. А теперь вообразите себя стоящим с кистью в руке перед мольбертом на бесконечной плоскости. Все готово, палитра ждет, а перед вами две параллельные прямые уходят к закатному горизонту, как два бесконечных идеально прямых железнодорожных рельса. Что вы видите и, соответственно, что появится на вашем холсте? Вовсе не две линии, которые никак не могут сойтись. Вы увидите, как линии постепенно сближаются и на горизонте сходятся в точку.
Какой части плоскости соответствует горизонт? Той части, где встречаются параллельные линии. Но такого места нет. Горизонт на вашей картине представляет собой границу изображения плоскости. Если с окружающим миром все в порядке, то горизонт должен быть изображением границы плоскости. Но у плоскости нет границ. Она продолжается бесконечно. Все это слегка сбивает с толку, как будто часть евклидовой плоскости куда-то пропала. «Проектируя» плоскость (ту самую, с рельсами) на другую плоскость (ваш холст на мольберте), вы получаете на картине линию — горизонт, — которая не является проекцией никакой линии на изображаемой плоскости.
Существует способ избавиться от этой загадочной аномалии: добавить к евклидовой плоскости так называемую линию бесконечности, представляющую отсутствующий горизонт. После этого все сильно упрощается. Две прямые всегда встречаются в точке; прежнее представление о параллельных прямых соответствует случаю, когда две прямые встречаются в бесконечности. Эту идею после надлежащего осмысления можно совершенно разумно перевести на язык математики. Результат такого перевода и называется проективной геометрией. Это очень элегантный предмет, и математики XVIII и XIX вв. его обожали. Со временем оказалось, что сказать им по этому вопросу больше нечего — все уже сказано, и в таком состоянии эта область пребывала до тех пор, пока математики XX в. не решили обобщить алгебраическую геометрию на многомерные пространства и использовать комплексные числа. В этот момент стало ясно, что с тем же успехом можно довести дело до логического конца и вместо действительных решений систем алгебраических уравнений в евклидовом пространстве изучать комплексные решения в проективном пространстве.
Позвольте мне суммировать сказанное. Проективное комплексное алгебраическое многообразие похоже на кривую, определенную алгебраическим уравнением, за исключением того, что:
• число уравнений и переменных может быть любым по нашему желанию (алгебраическое многообразие);
• переменные могут быть комплексными, а не действительными (комплексность);
• переменные могут принимать бесконечные значения разумным образом (проективность).
Добавим здесь же, что несложно разобраться и с еще одним термином из формулировки: с невырожденностью. Это слово означает, что многообразие является гладким и не имеет острых гребней или мест, где его форма сложнее, чем просто гладкий кусок пространства. Поверхность Куммера, например, имеет сингулярности в 16 двойных точках. Разумеется, нам нужно еще объяснить, что означает «гладкость», когда переменные комплексны и некоторые из них могут быть бесконечными, но на это есть рутинные общепринятые методики.
Вот мы и добрались почти до середины формулировки гипотезы Ходжа. Мы уже знаем, о чем идет речь, но пока не понимаем, как, по мнению Ходжа, эта штука должна себя вести. Теперь нам нужно разобраться с самыми глубокими и в то же время формальными аспектами: алгебраическими циклами, классами и особенно классами Ходжа. Однако самую суть я могу раскрыть прямо сейчас. Все это технические средства, помогающие получить частичный ответ на фундаментальнейший вопрос о нашей обобщенной кривой: какой она формы? Оставшаяся часть формулировки — «рациональная линейная комбинация» — говорит о том, как в соответствии с общими надеждами следует ответить на этот вопрос.
Смотрите, как далеко мы продвинулись. Мы уже понимаем, что примерно представляет собой гипотеза Ходжа. Она говорит о том, что форму любой обобщенной поверхности, задаваемой некими уравнениями, можно определить при помощи каких-то алгебраических манипуляций с вещами, известными как циклы. Я мог бы сказать об этом в самом начале главы, но тогда эта формулировка вряд ли объяснила бы много больше, чем официальная. Теперь же, когда мы знаем, что такое многообразие, все понемногу проясняется.