Гомология и когомология не сообщают нам всего, что мы хотели бы знать о форме топологического пространства, — различные пространства могут обладать идентичными гомологией и когомологией, — но дают немало полезной информации, а также обеспечивают системные рамки для его расчета и использования.
Алгебраическое многообразие — будь оно действительным или комплексным, проективным или нет — представляет собой топологическое пространство. Поэтому оно имеет форму. Чтобы выяснить об этой форме что-нибудь полезное, мы рассматриваем многообразие как топологи и вычисляем его гомологическую и когомологическую группы. Но естественными ингредиентами алгебраической геометрии являются не геометрические объекты вроде триангуляционных сеток и циклов, а вещи, которые проще всего описываются алгебраическими уравнениями. Вернитесь немного назад и взгляните еще раз на уравнение поверхности Куммера. Как это соотносится с триангуляцией? В формуле нет ничего, что указывало бы на треугольники.
Может быть, нам нужно начать сначала. Вместо треугольников нам следовало бы использовать естественный строительный материал для многообразий — подмногообразия, определенные дополнительными ограничивающими уравнениями. Теперь нам придется переопределять циклы: вместо набора треугольников с целыми ярлыками мы воспользуемся набором подмногообразий с такими ярлыками, которые лучше всего подойдут в данном случае. По различным причинам — по большей части потому, что, если использовать целые ярлыки, гипотеза Ходжа неверна, — разумным выбором будут рациональные числа. Вопрос Ходжа сводится к следующему: содержит ли новое определение гомологии и когомологии всю ту же информацию, что и топологическое определение? Если гипотеза верна, то алгебраический цикл — не менее острый инструмент топологии, чем когомологический резец. Если она неверна, то алгебраический цикл — всего лишь твердый тупой предмет.
Вот только… прошу прощения, я немного переборщил. Гипотеза утверждает, что достаточно воспользоваться определенным типом алгебраического цикла — того, что обитает в классе Ходжа. Чтобы объяснить это, нам потребуется еще один ингредиент в уже и без того густой смеси: анализ. Одной из важнейших концепций анализа является дифференциальное уравнение, которое представляет собой условие, наложенное на скорости изменения переменных (см. главу 8). Почти вся математическая физика XVIII, XIX и XX вв. моделирует реальность при помощи дифференциальных уравнений. По существу, это верно даже для XXI в. В 1930-е гг. эта идея привела Ходжа к целой группе новых методик. Сегодня все это называется теорией Ходжа. Она естественным образом связана с множеством других мощных методов в объединенной области анализа и топологии.
Идея Ходжа заключалась в том, чтобы использовать дифференциальное уравнение для распределения классов когомологий по типам. Каждый из них обладает дополнительной структурой, которую можно успешно применять при решении топологических задач. Определяются они при помощи дифференциального уравнения, появившегося впервые в конце XVIII в. в работе Пьера-Симона де Лапласа и известного, соответственно, как уравнение Лапласа. Основные работы Лапласа были посвящены небесной механике, движению и форме планет и их спутников, комет и звезд. В 1783 г. он работал над определением точной формы Земли. К тому времени уже было известно, что Земля — не сфера, что она сплющена у полюсов и представляет собой приплюснутый сфероид — как если сесть сверху на пляжный мяч. Но даже такое описание не отражает деталей. Лаплас нашел способ рассчитать форму Земли с любой заданной точностью на основании физической величины, представляющей гравитационное поле планеты: это не само поле, но его гравитационный потенциал. Это мера энергии, содержащейся в гравитационном поле, численная величина, определяемая в каждой точке пространства. Тяготение действует в том направлении, в котором потенциал уменьшается с максимальной скоростью, а абсолютное значение силы соответствует скорости уменьшения.
Гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: грубо говоря, это означает, что в отсутствии вещества, т. е. в вакууме, среднее значение потенциала по очень маленькой сфере равно его значению в центре сферы. Это своего рода демократия: ваша ценность получается путем усреднения ценностей ваших соседей. Любое решение уравнения Лапласа называется гармонической функцией. Ходжа среди классов когомологий интересуют те, что имеют особые отношения с гармоническими функциями. Теория Ходжа и изучение этих типов помогли открыть глубокую и чудесную область математики: отношения между топологией пространства и специальным дифференциальным уравнением на этом пространстве.
Вот мы и у цели. Гипотеза Ходжа постулирует глубокую и мощную связь между тремя столпами современной математики: алгеброй, топологией и анализом. Возьмем любое многообразие. Чтобы разобраться в его форме (это топология с выходом на когомологические классы), выбираем частные случаи таких классов (анализ с выходом на классы Ходжа через дифференциальные уравнения). Эти частные случаи коголомологических классов могут быть реализованы с использованием подмногообразий (алгебра: добавьте несколько уравнений и внимательно посмотрите на алгебраические циклы). Иными словами, чтобы ответить на топологический вопрос («Какой формы эта штука?») для многообразия, следует перевести его в плоскость анализа, а затем решить средствами алгебры.
Почему это так важно? Гипотеза Ходжа — это предложение добавить в инструментарий специалиста по алгебраической геометрии два новых инструмента: топологические инварианты и уравнение Лапласа. В самом деле, если разобраться, то в этой гипотезе речь не идет о какой-то математической теореме: речь о новых инструментах. Если гипотеза верна, эти инструменты обретают новое значение и становятся потенциальным средством поиска ответов на бесчисленное количество вопросов. Разумеется, гипотеза может оказаться и ошибочной. Было бы обидно, но, если возможности наших инструментов ограничены, лучше знать об этом заранее, чем то и дело натыкаться на проблемы в самый неподходящий момент.
Теперь, когда мы оценили природу гипотезы Ходжа, можно посмотреть, какие у нас есть свидетельства в ее пользу. Что нам известно? Чрезвычайно мало.
В 1924 г., еще до того, как Ходж выдвинул свою гипотезу, Соломон Левшец доказал теорему, которая сводится к гипотезе Ходжа для второй (или двумерной) группы когомологий любого многообразия. При помощи рутинных методов алгебраической топологии можно показать, что из этого следует гипотеза Ходжа для размерностей 1, 2 и 3. Для многообразий более высоких размерностей известно лишь несколько частных случаев гипотезы Ходжа.
Первоначально Ходж сформулировал свою гипотезу в терминах целых маркеров (или индексов). В 1961 г. Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали, что для высших измерений эта версия гипотезы неверна. Поэтому сегодня мы формулируем гипотезу Ходжа с использованием рациональных коэффициентов: для этой версии у нас есть некоторое количество обнадеживающих данных. Самое сильное свидетельство в ее пользу состоит в том, что одно из наиболее глубоких ее следствий — еще более технически сложная теорема, известная как теорема об «алгебраичности локусов Ходжа», уже доказана без опоры на гипотезу Ходжа. Эдуардо Каттани, Пьер Делинь и Арольдо Каплан нашли соответствующее доказательство в 1995 г.
Наконец, в теории чисел имеется симпатичная гипотеза, аналогичная гипотезе Ходжа и получившая название гипотезы Тейта в честь Джона Тейта. Она связывает алгебраическую геометрию с теорией Галуа — совокупностью идей, доказывающих, что у полиномиальных уравнений пятой степени не существует явных решений, выражаемых формулой. Формулировка гипотезы Тейта достаточно сложна: в ней фигурирует еще один вариант когомологии. Есть причины надеяться, что гипотеза Тейта верна, хотя она не доказана. Но по крайней мере можно сказать, что у гипотезы Ходжа есть разумный родич, хотя как подступиться хоть к той, хоть к другой гипотезе, пока совершенно неясно.
Гипотеза Ходжа — одно из тех математических утверждений, которые почти нечем ни подтвердить, ни опровергнуть и у которых свидетельства и в ту и другую сторону не слишком убедительны. К тому же существует опасность, что гипотеза может оказаться попросту неверной. Возможно, существует многообразие с миллионом измерений, опровергающее гипотезу Ходжа по причинам, которые сводятся к серии неструктурированных расчетов, настолько сложных, что никто и никогда не сможет их провести. Если это так, то гипотеза Ходжа может оказаться ошибочной по совершенно глупой причине — просто так получилось, — но доказать это практически невозможно. Я знаю несколько специалистов по алгебраической геометрии, которые считают именно так. В этом случае обещанному миллиону долларов в обозримом будущем ничего не грозит.
16. Куда дальше?
Предсказывать очень трудно, особенно будущее. По легенде, так любили говорить знаменитый физик и нобелевский лауреат Нильс Бор и знаменитый бейсболист и спортивный менеджер Йоги Берра{44}. Правда, Берра, как утверждают, еще говорил так: «Имейте в виду, я никогда не говорил большей части того, что говорил».
Артур Кларк, знаменитый своими научно-фантастическими романами и фильмом «Космическая одиссея — 2001», был, помимо всего прочего, футурологом: он писал книги о будущем техники и общества. В его книге «Очертания будущего» (Profiles of the Future), написанной в 1962 г., среди прочих предсказаний можно найти следующие:
• к 1970 г. — расшифровка языка китов и дельфинов;
• к 1990 г. — создание термоядерного реактора;
• к 1990 г. — обнаружение гравитационных волн;
• к 2000 г. — колонизация планет.
Ничего подобного пока не произошло. Но, с другой стороны, у него были и удачные предсказания:
• к 1980 г. — приземление на другие планеты (хотя он, возможно, имел в виду высадку человека);