17. Двенадцать задач на будущее
Не хочу оставить у вас неверное впечатление, что большинство математических задач (за исключением нескольких особенно сложных) уже решено. Математические исследования напоминают изучение новооткрытого материка. По мере того как расширяется уже исследованная область, становится длиннее и граница между известным и неизвестным. Я не утверждаю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем меньше знаем. Я говорю, что чем больше математических закономерностей мы открываем, тем лучше представляем себе объемы непознанного. Но непознанное изменяется со временем: одни задачи уходят в прошлое, на горизонте появляются другие. А область известного только расширяется, если, конечно, не говорить о случайно утерянных документах.
Чтобы дать вам некоторое представление о том, чего мы не знаем в настоящий момент (помимо тех проблем, о которых мы уже говорили), я приведу 12 нерешенных задач, которые уже некоторое время ставят в тупик математиков всего мира. Я выбрал их таким образом, чтобы несложно было понять суть вопроса. Мы уже видели, что простота формулировок ничего не говорит о том, насколько легким или сложным может быть доказательство. Некоторые из этих проблем еще могут обернуться великими: это будет зависеть в основном не от ответа на вопрос, а от того, какие методы будут придуманы и применены для их решения и к чему соответствующие исследования в конце концов приведут.
Задача Брокара
Для любого целого числа n факториал n! равен произведению
Это число различных способов расставить по порядку n объектов. К примеру, английский алфавит, содержащий 26 букв, можно расставить
26! = 403 291 461 126 605 635 584 000 000
разными способами. В статьях, опубликованных в 1876 и 1885 гг., Анри Брокар отметил, что
представляют собой полные квадраты. Он не обнаружил других факториалов, которые при прибавлении единицы давали бы полный квадрат, и задался вопросом, существуют ли такие. Индийский гений-самоучка Шриниваса Рамануджан независимо задался этим же вопросом в 1913 г. В 2000 г. Брюс Берндт и Уильям Голуэй при помощи компьютера показали, что для факториалов чисел до 1 млрд других решений не существует.
Нечетные совершенные числа
Число является совершенным, если оно равно сумме всех его собственных делителей (т. е. чисел, на которые оно делится без остатка, включая единицу, но исключая само число). Примеры таких чисел:
Евклид доказал, что если число 2n − 1 простое, то число 2n−1(2n − 1) совершенно. Приведенные выше примеры соответствуют n = 2, 3. Простые числа такого вида называются простыми Мерсенна, их известно 47 штук, и самое большое из них 243 112 609 − 1 (кроме того, это самое большое известное простое число). Эйлер доказал, что все четные совершенные числа должны иметь такой вид, но никому еще не удалось отыскать хотя бы одно нечетное совершенное число или доказать, что их не существует. Померанс предложил нестрогое рассуждение, которое вроде бы указывает, что таких чисел действительно нет. Любое нечетное совершенное число должно удовлетворять нескольким жестким условиям. По величине оно должно быть не меньше 10300, должно иметь простой делитель больше чем 108, его второй по величине простой делитель должен быть по крайней мере 104; кроме того, у него должно быть по крайней мере 75 простых делителей и по крайней мере 12 различных простых делителей.
Гипотеза Коллатца
Возьмем целое число. Если оно четное, разделим на 2. Если нечетное, домножим на 3 и прибавим 1. Повторим эту операцию бесконечное число раз. Что произойдет?
К примеру, можно начать с числа 12. Получим следующую последовательность:
после чего последовательность 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 будет повторяться бесконечно. Гипотеза Коллатца утверждает, что конечный результат будет одним и тем же, с какого бы числа мы ни начали. Гипотеза названа в честь Лотара Коллатца, предложившего ее в 1937 г., но имеет и множество других названий: гипотеза 3n + 1, гипотеза градины, гипотеза Улама, проблема Какутани, гипотеза Туэйтса, алгоритм Хассе или сиракузская проблема.
Что делает эту задачу такой сложной, так это то, что нередко числа буквально взрываются. Так, если начать с 27, последовательность поднимется до 9232, но при этом все равно через 111 шагов сойдется к 1. Компьютерное моделирование подтверждает гипотезу для всех первоначальных чисел вплоть до 5,764 × 1018. Доказано, что не существует циклов, за исключением 4 → 2 → 1, в которых было бы меньше 35 400 шагов. Возможность того, что некоторое начальное число дает последовательность, содержащую все более крупные числа, разделенные более мелкими, не исключена. Илья Красиков и Джеффри Лагариас доказали, что для начальных величин вплоть до n по крайней мере n0,84 из них со временем сходится к 1. Так что исключения, если они существуют, встречаются редко.
Существование правильного кубоида
Здесь в качестве начального пункта берется существование пифагоровых троек и формула для них, а затем вся проблема переводится в третье измерение. Эйлеров параллелепипед — это кубоид (блок в форме кирпича) с целыми ребрами, все грани которого имеют целые диагонали. Самый маленький параллелепипед Эйлера открыл в 1719 г. Пауль Хальке. Его ребра составляют 240, 117 и 4; диагонали граней равны 267, 244 и 125. Эйлер нашел формулы для таких прямоугольных параллелепипедов, аналогичные формуле для пифагоровых троек, но они выдают не все возможные решения.
Неизвестно, существует ли совершенный кубоид, т. е. существует ли такой параллелепипед Эйлера, главная диагональ которого тоже имеет целую длину. (Главная диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины прямоугольного параллелепипеда и проходящий сквозь его внутреннюю часть. Таких отрезка четыре, но все они равны по длине.) Известно, что формулы Эйлера не дают примера такого параллелепипеда. Он, если существует, должен удовлетворять нескольким условиям — к примеру, по крайней мере одно его ребро должно быть кратно 5, другое — 7, третье — 11, четвертое — 19. Компьютерные эксперименты показали, что длина одного из ребер должна быть не менее одного триллиона.
Есть достаточно близкие варианты. У прямоугольного параллелепипеда со сторонами 672, 153 и 104 главная диагональ целая, как и две из трех диагоналей граней. В 2004 г. Хорхе Сойер и Клиффорд Рейтер доказали, что существуют совершенные непрямоугольные параллелепипеды. Грани таких параллелепипедов представляют собой не прямоугольники, а параллелограммы, а сам параллелепипед как бы скошен на сторону. Ребра совершенного непрямоугольного параллелепипеда имеют длины 271, 106 и 103; малые диагонали граней равны 101, 266 и 255; большие диагонали граней — 183, 312 и 323; внутренние диагонали (а у такого параллелепипеда они все разные) имеют длины 374, 300, 278 и 272.
Гипотеза об одиночестве бегуна
Эта задача из трудной для понимания области математики, известной как теория диофантовых приближений. Сформулировал ее в 1967 г. Йорг Виллс. А название — гипотеза одинокого бегуна — придумал в 1998 г. Луис Годдин. Положим, что n бегунов бегают по кольцевой дорожке единичной длины с постоянной скоростью, причем скорости всех бегунов различны. Можно ли утверждать, что каждый из бегунов в какой-то момент времени окажется одиноким, т. е. будет находиться на расстоянии более 1/n от остальных? Разумеется, для разных бегунов это будут разные моменты времени. Гипотеза состоит в том, что ответ всегда «да»; на данный момент она доказана для n = 4, 5, 6 и 7.
Гипотеза Конвея о трекле
Трекл — это сеть, размещенная на плоскости таким образом, что каждые два ее ребра имеют ровно одну общую точку (см. рис. 48). Встречаться они могут либо в вершине, либо в точке пересечения, но не то и другое одновременно. Если они пересекаются, то обязательно поперек; это значит, что ни одно из них не может целиком остаться по одну сторону от другого (а это могло бы произойти, если бы они, скажем, соприкасались). Джон Конвей в неопубликованной работе высказал гипотезу о том, что в любой сети такого рода число линий меньше или равно числу точек. В 2011 г. Радослав Фулек и Янош Пач доказали, что любая такая сеть с n точками имеет не более 1,428n линий.
Иррациональность постоянной Эйлера
Не существует готовой «замкнутой» формулы для суммы гармонического ряда
Более того, такой формулы, по всей вероятности, не существует. Однако существует прекрасная ее аппроксимация: по мере того как n увеличивается, Hn стремится к logn + γ. Здесь γ — постоянная Эйлера, численно равная примерно 0,5772156649. Эйлер вывел эту формулу в 1734 г., а Лоренцо Маскерони изучал постоянную в 1790 г. Ни тот, ни другой не использовали символ γ.
Постоянная Эйлера — одно из тех странных чисел, которые время от времени возникают в математике (вспомните π и e); у них нет красивого или простого выражения, они то и дело появляются в самых разных местах, но при этом складывается впечатление, что они существуют сами по себе. В главе 3 мы убедились, что и π, и e трансцендентны: они не являются решениями каких-либо алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Они иррациональны: не выражаются точными дробями. Многие математики считают, что постоянная Эйлера трансцендентна, но мы даже не знаем наверняка, иррациональна ли она. Если все же γ =