P↓(x,h) для всех значений x, умножив их предварительно на вероятность попадания в конкретный диапазон значений. Разобьем отрезок от 0 до 0,5 на n частей и вычислим оценку вероятности в виде суммы:
Здесь множитель 2/n выражает вероятность для случайной величины x попасть в отрезок ширины 1/n. Вот как выглядят результаты для значительного числа разбиений (n = 100) на фоне серии численных экспериментов с нулевой горизонтальной скоростью (рис. 3.10).
Рис. 3.10. Теоретическая и экспериментальная оценка вероятности приземления бутерброда маслом вниз при падении с большой высоты. Начальная горизонтальная скорость в экспериментах равна нулю
Решение, которое мы приводили до этого, содержит больше случайных параметров, поэтому оно оказалось более сглаженным и приближенным к 50 %, но в принципе подобный анализ можно провести и для более общего случая.
Обратите внимание на то, что вероятность P↓ при увеличении h стремится к значениям, близким к 50 %. И это происходит вовсе не из-за неопределенности и влияния начальных ошибок. Вычисления показали, что это результат сложения множества гармоник, образуемых значениями x при суммировании P↓(x,h). Если мы забудем про несчастный бутерброд и продолжим график P↓, то увидим, что оценка вероятности так и продолжит колебаться вблизи 50 %, постепенно стремясь к этому значению.
А можно ли выяснить без прямых вычислений, будет ли вероятность продолжать сходиться к 50 % или когда-нибудь снова станет расти? И здесь тоже есть место нетривиальной и глубокой математике. Дело в том, что каждому значению x соответствует определенная частота колебаний[13], а весь набор формирует так называемый спектр суммарной функции. Если он дискретный, то есть состоит из отдельных частот, суммарная функция (она называется Фурье-образом) будет периодичной. Непрерывному спектру в виде константы на отрезке от 0 до 0,5 будет соответствовать апериодичная функция, похожая на убывающие колебания. Но это мы заглянули в другой большой и важный раздел математики — функциональный анализ. Больше он нам не понадобится, так что если вас напугал этот абзац, не переживайте. Его смысл выразим одной фразой: можно строго показать, что при падении бутерброда с большой высоты вам не удастся угадать, упадет он маслом вверх или вниз.
Великий итальянец Энрико Ферми, «дедушка» метода Монте-Карло (отцом считается польский математик Станислав Улам), приучал своих учеников проводить простые оценочные вычисления, прикидывать на клочке бумаги или на пальцах, что мы ожидаем получить, прежде чем приступать к точному решению задачи. Примечателен такой момент: если оценка окажется верной, станет понятно, что суть проблемы ухвачена; если же нет, то это тем более полезный результат — значит, задача оказалась интереснее, чем кажется!
В нашем случае простой оценки достаточно, задача о бутерброде не стоит более тщательного решения. Метод Монте-Карло продемонстрировал нам только наметки решения, анализ размерности очертил лишь некоторую его общую структуру, но вместе они смогли показать нам, как устроена искомая вероятность. В повседневной работе эрудиция позволяет математику видеть в подобных наметках решения готовые структуры, выбирать подходящие методы и делать далеко идущие предположения и выводы.
Роберт Мэтьюз в своем эпохальном исследовании тоже использовал анализ размерностей, чтобы показать, что закон бутерброда фундаментален. Его вывод основан на том, что предельная высота организма, вставшего на задние конечности с целью передними взять бутерброд с маслом, определяется прочностными свойствами биологических тканей и гравитацией. В свою очередь, характерный размер бутерброда должен соответствовать масштабу существа — и коренастые карлики на какой-нибудь тяжелой планете, и хрупкие дылды на планете с малой гравитацией будут выбирать себе бутерброды по размеру. Тут мы подходим к тому, что в науке называется спекуляцией. Это не перепродажа всякого добра втридорога, а сомнительные предположения, ложащиеся в основание логического построения. В частности, мы предполагаем наличие у существ рук, пропорции которых сходны с нашими, а это более чем спорно.
Виновато ли масло?
В мерфологии известно неправильное цитирование закона Менкена Гроссманом:
Очень часто можно услышать, что в законе бутерброда виновато масло, которое плотнее хлеба и потому «перевешивает». И хотя это не относится к предмету нашей книги, я хочу разобрать этот вопрос, чтобы поставить в нем наконец точку. Чтобы кто угодно потом мог сослаться на то, что «ученые доказали, что наличие масла не влияет на то, какой стороной шлепнется бутерброд»!
В детстве мы забавлялись тем, что подбрасывали высоко вверх голубиное маховое или хвостовое перо, воткнутое в кусочек пластилина диаметром один-два сантиметра. Перо подлетало метра на четыре, после чего красиво и плавно спускалось на авторотации, как вертолет с заглушенным двигателем. Потом мы подросли, и наши забавы стали менее безобидными. Мы раздобывали гайку и вкручивали в нее два болта с противоположных сторон, спрессовывая начинку из накрошенных спичечных головок. Оставалось привязать к одному из болтов ленту или кусок веревки, хорошенько раскрутить и запустить в небо метров на пятнадцать. В падении легкая лента стабилизировала вертикальное положение снаряда, обеспечивая качественный удар об асфальт и небольшой взрыв; порой гайка разлеталась на куски. (Будьте осторожны, если решитесь поделиться этим опытом со своими детьми!)
В обоих экспериментах мы видим, что легкое перо или лента быстро оказывались над тяжелой частью аппарата и стабилизировали падение. Это, видимо, и приводит к интуитивному мнению, что тяжелое масло и легкий хлеб тоже должны вести себя так. Представим себе воздушный шар: более плотная корзина всегда располагается под менее плотным шаром. Более того, опыт подсказывает, что если взяться двумя пальцами за геометрическую середину предмета с несимметрично распределенной массой, то он кувыркнется так, чтобы тяжелая часть оказалась внизу. Но ни одно из этих явлений не работает в случае падающего бутерброда.
Начнем со второго процесса — «перевешивания». Я не случайно занудно уточнил: «…если взяться за геометрическую середину предмета…». Здесь имеется в виду, что точки касания лежат на некой прямой, образующей ось вращения, которая проходит сквозь геометрическую середину предмета. В таком случае действительно устойчивым положением будет такое, в котором центр тяжести ниже оси. Но если образуемая пальцами ось вращения проходит через него, то система окажется в безразличном равновесии и ей будет все равно, как она ориентирована.
Что же заставляет ориентироваться «правильно» перышко с грузиком, мину из гайки или воздушный шар с воздухоплавателями в корзине? Воздух. Он «держит» наши предметы так, что ось вращения проходит выше центра тяжести. Точнее, набегающий поток воздуха, который создает силу, распределенную по площади тела. И условная точка ее приложения будет располагаться вблизи геометрического центра площади фигуры. Чтобы стало яснее, нарисуем силы, действующие на условный воздушный шар как на предмет с неравномерной плотностью (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Силы, приводящие воздушный шар в устойчивое положение
А что бутерброд?
Во-первых, если мы «выключим» воздух, он будет просто падать. В свободном падении тело вращается именно вокруг центра масс, так что у бутерброда нет резона поворачиваться как-то по-особому. Как нам говорили в школе: «В падающем лифте наблюдается невесомость». Масло в бутерброде столь же «невесомо».
Плотное масло может повлиять на процесс соскальзывания, оно эффективно поднимет центр масс над точкой касания и изменит в выражении для углового ускорения l на где δ = d/l — относительная толщина бутерброда. При небольших значениях δ это выражение приближенно равно l(1 + δ2/2). Получаем, как говорят, эффект второго порядка. Для бутерброда с соотношением ширины к толщине 5 к 1 эти относительные изменения не превышают 2 %. И это максимальная верхняя граница эффекта: мы переместили центр масс на поверхность бутерброда, что соответствует бесконечно плотному маслу!
Теперь «включим» воздух обратно, оставив плотность масла бесконечно превышающей плотность хлеба. Имеем тонкую плотную пластину масла с невесомым, но сопротивляющимся воздуху «парашютом» хлеба. Пока плоскость бутерброда расположена горизонтально или близко к тому, на нее действует момент сил воздушного сопротивления, пропорциональный парусности — площади, с которой взаимодействует поток воздуха: M-∝l2. В вертикальном положении парусность уменьшится и, соответственно, момент будет другим: M|∝ld. Отношение этих моментов: M| /M-∝δ. Я использовал здесь знак пропорциональности, поскольку коэффициенты сопротивления для пластинки, расположенной поперек и вдоль потока, различаются, и мне они неизвестны. Но они и не нужны — уже видно, что влияние воздуха в вертикальном положении (а именно оно делает неравнозначным положение масла) слабее, чем в горизонтальном. Теперь вспомним, что бутерброд вращается, а значит, он подставляется потоку то торцом, то плоскостью. Мы можем ввести меру действия сил сопротивления. Если угловая скорость вращения несущественно изменяется за один период (а для воздуха это так), то имеет смысл в качестве меры взять изменение момента импульса, пропорциональное времени действия силы. В свою очередь, период действия пропорционален углу, «заметаемому» бутербродом в течение этого периода. В итоге меры действия моментов