С этой неприятностью вполне можно бороться математическим способом: нужно либо исключить концы, что в случае наушников неинтересно, либо убрать петли. А это можно сделать с помощью операции сложения. Но не той, что мы изучали в школе, а той, что применяется к петлям на веревках и лентах. Как и числа, петли бывают разных знаков, причем для каждой «положительной» можно построить такую «отрицательную», что в сумме они дадут «ноль»: прямую веревку. Примеры таких петель показаны на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Примеры сложения петель разных знаков
Попробуйте мысленно нанизать на шнурок несколько таких петель разных знаков и вычислите результат и его знак. Чтобы наушники не запутывались, число положительных и отрицательных петель должно оказаться равным. Таких способов сложения проводов несколько, один из них показан на рис. 1.2. Здесь петли разных «знаков» появляются сразу парами и взаимно уничтожают друг друга, не формируя узлов. Уже много лет я складываю наушники именно так, чувствуя себя крутым топологом, и всякий раз радуюсь как фокусу, когда они сами собой полностью разматываются от одного небрежного встряхивания рукой.
Рис. 1.2. Один из способов складывания проводов, не приводящий к их запутыванию. Он хорош еще и тем, что попутно вы складываете пальцы в мудру любви
Но и среди стохастических по природе законов не все одинаково интересны. Например, закон Бука («Ключи всегда находишь в последнем кармане») не имеет рационального основания. Простой подсчет показывает, что при равной вероятности отыскать ключи для всех карманов последний ничем не отличается от прочих. Впрочем, этот закон можно трактовать разве что как забавный трюизм: утверждение Бука верно всегда, поскольку тот карман, в котором ключи будут обнаружены, окажется завершающим в процессе поиска и, следовательно, последним. Однако и здесь есть о чем поговорить. В процессе перебора карманов так называемая условная вероятность того, что ключи лежат в последнем из них, действительно повышается. Но это уже нельзя трактовать как вероятность того, что ключи находятся в последнем кармане, тут уже другая задача. Мы вернемся к этому примеру в главе 5.
Нас будут интересовать законы парадоксальные и поучительные, те, которые выглядят злым роком, выбирающим из множества вариантов самые досадные и неприятные, наперекор интуиции, подсказывающей, что этот вариант не должен быть самым вероятным. И, прежде чем приступить к детальным и точным рассуждениям о случайностях и вероятностях, предположим, что какая-то интуиция в отношении случайных процессов и вероятностей у нас уже есть. Это вполне допустимо даже в математической книге — до какого-то момента использовать интуитивное представление о предмете, а потом дать строгое определение. Тем самым, во-первых, мы определяем границы применимости нашей интуиции, а во-вторых, расширяем их в правильном с научной точки зрения направлении. Но не будем забывать о законе Вертерна: «Предположение — мать любой неразберихи», и все наши гипотезы и даже строгие выводы постараемся, где возможно, проверять с помощью имитационного моделирования.
А при чем тут математика?
Петли, наушники, законы подлости, неприятности… при чем же тут математика? Почему вообще имеет смысл рассуждать о законах подлости не так, как Артур Блох, когда он просто посмеялся и нашел меткий афоризм?
С математикой знакомы все, но мало кто готов ответить на вопрос: что делают математики? Считают и вычисляют? Рисуют треугольники и круги на бумаге в клеточку? Передвигают туда-сюда буквы в уравнениях? Придумывают странные значки и закорючки, чтобы потом писать непонятные тексты? Решают задачи, вычисляя что-то по заказу инженеров, медиков, химиков и других практиков?
Если вы никогда этого не делали, загляните в какой-нибудь математический журнал — просто из любопытства. Сейчас это легко сделать не выходя из дома: поищите в Сети что-то на тему «гомологическая теория типов» или «топология». Вы поразитесь тому, насколько то, что вы там обнаружите, не похоже на школьный образ математики. Но вот что важно: эта колоссальная разница не говорит о том, что есть одна, «простая» математика и другая, «сложная». Математику часто называют языком. Как на любом живом человеческом языке можно писать анекдоты и незамысловатые детские стишки или неуловимо тонкую поэзию, тяжеловесный роман или многостраничный договор, так и с помощью математики можно рассуждать о числах и отрезках, а можно — о петлях и поверхностях, многомерных пространствах и даже основах самой этой науки. Не нужно думать, что числа и отрезки — самое простое, с чем работают математики! Современные теория чисел и геометрия — огромные и во многом неизведанные области, в которых ведутся очень интенсивные исследования.
Но что же все-таки изучают математики? Для чего им этот язык? Чаще всего речь идет о тех или иных моделях. Например, что может быть моделью количества? Число, скажете вы. Но любое ли число годится для этого? Младшие школьники, впервые сталкиваясь с отрицательными числами, испытывают замешательство, ведь модель числа оказывается шире привычного им понятия количества. Переход от количества к шагам помогает понять, что числа годятся для моделирования движений на прямой. Тогда отрицательные числа обретают наконец смысл. А чем можно моделировать скорость? Тоже числом. Но если я скажу вам, что двигаюсь со скоростью 60, будет ли этого достаточно для описания того, что со мной происходит? Точно нет! Остается неясно ни куда я двигаюсь, ни, собственно, с какой скоростью: 60 может означать как 60 км/ч, так и 60 мм/год. Отсюда можно заключить, что для моделирования скорости только числа недостаточно. А если, желая объяснить вам, как я перемещаюсь, я изображу стрелку, станет ли понятнее? Стрелка — ориентированный отрезок — в качестве модели скорости лучше. Она показывает направление, а сравнив ее с какой-то эталонной стрелкой, принятой за единицу, можно определить ее масштаб. Более того, стрелки можно складывать и умножать на числа, получая новые корректные стрелки! И, главное, если мне удастся придумать, как однозначно сопоставлять скорости предметов стрелкам на бумаге, причем окажется, что если v1 соответствует стрелка a, а скорости v2 — стрелка b, сумме скоростей 3v1 + v2 будет соответствовать стрелка 3a + b и никакая иная, — то это уже будет свойством, позволяющим мне не бегать по двору, изучая скорости, а, сидя в кресле, рисовать стрелки на бумаге.
А можно ли чем-то моделировать стрелки? Абстрактной моделью в этом случае способен стать упорядоченный набор чисел с определенными правилами сложения и умножения на число, который называется вектором. Так математики пришли к мысли о линейных векторных пространствах, элементами которых являются векторы. Изучая свойства этих пространств (изучая, а не придумывая, разницу мы обсудим позже), математики выработали единый язык, который называется линейной алгеброй, для разговора о таких разных вещах, как, например, цвета, вращения предметов в пространстве, спектры звуковых сигналов. Пользуясь этим языком, уже можно найти оптимальную стратегию в экономической игре или научить компьютер распознавать нашу речь, рукописные буквы либо лицо человека в толпе.
Математики работают с математическими структурами — универсальными моделями всего, с чем имеет дело человеческий разум. Группы, поля, решетки, графы, петли, косы, языки и бесконечномерные пространства… Все это структуры с четко определенными свойствами и, если угодно, поведением. Вот уже тысячи лет математики исследуют взаимосвязи между ними, обнаруживают в реальном и математическом мире, что еще можно с их помощью моделировать и при каких условиях.
Я не случайно называл манипуляции с петлями на проводе наушников «сложением», а сами петли «положительными» и «отрицательными». Такая терминология оправдана тем, что петли на струне образуют структуру, называемую группой. Для ее построения нужно иметь множество[4]A и некую операцию +, которая будет удовлетворять следующим четырем свойствам.
1. Замкнутость: для любых двух элементов из множества A результат операции + всегда будет элементом этого же множества.
2. Ассоциативность: для любых a, b, c из множества A верно, что (a + b) + c = a + (b + c).
3. Существование нейтрального элемента: в A есть единственный элемент 0, такой, что 0 + a = a + 0 = a для любого a из A.
4. Обратимость: для каждого элемента a в A существует единственный обратный ему элемент (—a), такой, что a + (—a) = 0.
Группа — общая модель для обратимого ассоциативного комбинирования действий или объектов. Ее образуют числа с операцией сложения, и они же формируют группу с операцией умножения. Несложно убедиться, что аксиомам группы удовлетворяют и петли на веревке или ленте. Понятие группы настолько важно в математике, что, хотя они сами нам в этой книге и не понадобятся, нелишним будет о них рассказать тем, кто с таким подходом еще не знаком, или напомнить тем, кто о группах уже слышал, но не связал свою жизнь с их изучением.
Мы в основном будем иметь дело с двумя структурами: случайными величинами и случайными функциями. Но, знакомясь с ними, мы встретим многие другие понятия и модели и обозначим некоторые связи между ними.
А начнем мы с простого инструментария, который будет полезен на протяжении всего рассказа. И для этого нам потребуется… велосипед!
Закон велосипедиста
Я большой энтузиаст любительского велосипедного спорта. Многие задачи, вошедшие в эту книгу, я обмозговывал в седле, вертя их мысленно и так и эдак, пытаясь найти наиболее наглядный и простой подход к их объяснению. Что может быть лучше, чем мчаться по трассе ранним утром, по холодку, скатываясь с легкого склона… Это ощущение стоит того, чтобы ради него преодолевать бесконечные подъемы или сопротивление встречному ветру! Правда, порой кажется, что подъемов больше, чем спусков, а ветер норовит быть встречным, куда ни поверни. В книгах по мерфологии в связи с этим приводится