Кроме того, Тодд Роуз приводит историю из мирной жизни. Газета Plain Dealer объявила конкурс среди женщин и девушек. Им предлагалось прислать параметры своего тела, и победить должны были те представительницы прекрасного пола, которые окажутся ближе всего к параметрам «типичной женщины» Нормы, увековеченной в статуе из медицинского музея Кливленда (рис. 5.5). Норма родилась вследствие усреднения 15 000 женщин разного возраста и должна была олицетворять идеал, «определенный самой Природой». Всего рассматривалось девять параметров, и из 3864 конкурсанток ни одна не попала в средние значения. По пяти критериям «нормальными» оказались лишь 10 % участниц, что дает нам возможность оценить использованную жюри «толщину корки» в 75 %. С таким суровым подходом надеяться найти хотя бы один «идеал» в пространстве девяти измерений можно, лишь рассмотрев 260 тысяч красавиц. На все человечество таких «идеальных» барышень наберется от силы пара тысяч человек.
Рис. 5.5. Почти коллинеарные и почти ортогональные векторы в двумерном и трехмерном пространстве
Далее Роуз отмечал: Дэниэлс и организаторы конкурса получили одинаковый результат, но сделали совершенно разные выводы. Большинство врачей и ученых того времени не сочли, что Норма представляет неправильный идеал. Наоборот: они решили, что большинство американских женщин нездоровы и не поддерживают нормальную форму. Одним из них был доктор Бруно Гебхард, директор медицинского музея Кливленда. Он сокрушался, что послевоенные женщины малопригодны к службе в армии, и упрекал их, ссылаясь на плохую физическую форму, в том, что они «плохие производители и плохие потребители». Дэниэлс говорил прямо противоположное: о том, что усреднение людей — ловушка, которая многих приводит к просчетам. Ведь почти невозможно найти среднего летчика не в силу каких-то индивидуальных черт его группы, а из-за большого разброса параметров в размерах тела у людей.
Тот самый закон подлости
Один из классических законов подлости, сформулированный в сердцах инженером Эдвардом Мёрфи, гласит:
Сейчас мы можем взглянуть на него не только иронично.
Пусть для выполнения некоторой работы требуется совершить ряд действий, и для каждого из них существует маленькая, но отличная от нуля вероятность неудачи. Какова вероятность того, что все задуманное пройдет без сучка без задоринки? Мы имеем дело с пересечением множества событий, каждое из которых соответствует успешному завершению того или иного этапа работы. Как посчитать вероятность для пересечения двух событий, мы уже знаем: для этого нужно перемножить вероятность второго события при условии, что первое случилось, на вероятность первого события:
P(A1∩A2) = P(A2|A1)∙P(A1).
Операция пересечения ассоциативна: мы можем в произвольном порядке расставлять скобки для трех и более пересекающихся событий.
A1∩A2∩A3 = (A1∩A2)∩A3 = A1∩(A2∩A3)
Отсюда легко получить общую формулу для пересечения произвольного числа событий:
P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1|A2∩…∩An)∙P(A1|A3∩…∩An)∙…∙P(An)
Если события независимы, то мы получаем произведение вероятностей наступления каждого из них:
P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)∙P(A2)∙…∙P(An)
Но для нас важно, что вероятности, условные или нет, по определению должны быть меньше единицы, а значит, мы вправе использовать закон арбузной корки: чем больше число шагов, тем существеннее роль границ. В нашем случае границами становятся нештатные ситуации. Достаточно дюжины шагов, чтобы средняя вероятность такой ситуации или ошибки в 5 % на одном шаге выросла до вероятности провала всего дела!
Эти наши рассуждения чрезвычайно просты, а закон Мёрфи — скорее эмоции, чем объективность, да и в целом кажется трюизмом. Но все же именно с этого наблюдения в сороковые-пятидесятые годы двадцатого века началась новая большая наука: теория надежности. Она добавила в рассмотрение время, взаимосвязь элементов систем, экономику, а также человеческий фактор, и нашла применение за пределами инженерных наук: в экономике, теории управления и, наконец, программировании. Мы еще вернемся к этой теме, когда будем изучать проклятие режиссера, заставляющее принтер барахлить именно в день сдачи проекта. Закон Мёрфи с учетом времени — поистине страшная сила!
В связи с рассуждениями о вероятности пересечения множества событий может возникнуть интересный и непростой вопрос. Если вероятность определена как мера, то она должна обладать свойством аддитивности. Иначе говоря, мера целого должна быть суммой мер его частей. Но мы рассмотрели вероятность успеха для некого дела со множеством этапов и увидели другую картину: вероятность целого оказалась равна произведению вероятностей для его частей, а не сумме. Это соответствует свойству мультипликативности. Так аддитивна вероятность или мультипликативна? Тут следует различать вероятностное пространство, на котором вероятность играет роль аддитивной меры и в котором сложение целого из частей выполняется с помощью операции объединения событий, и фазовое пространство некоторой системы, содержащее все возможные ее состояния. Фазовое пространство измеримо, но вероятность мерой в нем не является. Чтобы произошло событие, соответствующее попаданию системы в заданное состояние, все ее составные части должны одновременно попасть в свои конкретные состояния — тогда возникнет пересечение соответствующих событий. Таким образом, вероятности этих событий перемножаются. Однако превратить вероятность в «нормальную» аддитивную меру на фазовом пространстве можно и нужно. Мы совершим это превращение, когда будем говорить об энтропии систем и распределений случайных величин в главе 9.
Счастье — это найти друзей с тем же диагнозом, что и у тебя
А можно ли вообще ставить вопрос о соответствии какой-то норме, не пытаемся ли мы при этом оценивать и сравнивать? Вы спросите: что же в этом плохого? Мы все время кого-нибудь с кем-нибудь сравниваем, чаще всего себя с другими, но иногда позволяем себе оценить и кого-нибудь еще. Однако с точки зрения математики все не так просто. Чтобы сравнивать что-либо с чем-либо, нужно правильно определить отношение порядка или ввести метрику.
Определить отношение порядка — значит обозначить, что один элемент некоего множества в каком-то смысле предшествует другому. Этому мы научились еще в школе: 2 меньше 20, слон слабее кита, уговор дороже денег и т. п. Но вот вам ряд вопросов. Что идет раньше — понедельник или вторник? А воскресенье или понедельник? А какое воскресенье — то, что перед понедельником, или то, которое после субботы? А какое комплексное число больше: 2 + 3i или 3 + 2i? Мы можем назвать по порядку цвета радуги и даже ассоциировать все промежуточные цвета с вещественным числом — частотой света. Но кроме этих цветов существует множество неспектральных. Они образуют хорошо знакомое типографам и дизайнерам цветовое пространство, в котором каждый цвет имеет три «координаты». Так можно ли все видимые глазом цвета выстроить по порядку?
Эти примеры показывают, что с отношением порядка бывают трудности. Например, для отношения «один день недели наступает после другого» не работает свойство транзитивности (из того, что воскресенье наступает позже четверга, а четверг — позже понедельника, не следует, что воскресенье всегда наступает позже понедельника), так же как не транзитивно отношение «сильнее» в игре «камень-ножницы-бумага». Попытка ввести понятие больше / меньше на поле комплексных чисел не согласуется с арифметикой этих чисел, а цвета, которые можно параметризовать тремя «координатами» (тон, насыщенность, яркость), обладают обоими этими недостатками: и отсутствием транзитивности для тона — своеобразной «угловой» характеристики цвета, которая зациклена подобно дням недели; и существенной многомерностью. Даже на привычном нам множестве рациональных чисел отношение порядка хоть и определено, но не дает возможности указать наименьшее или наибольшее число на каком-либо открытом интервале.
Итак, мы видим, что отношение порядка вовсе не так просто, как мы привыкли думать, а главное — не универсально. Но мы все-таки можем сравнивать людей, книги, блюда, языки программирования и прочие объекты, имеющие множество параметров, пусть даже условно формализуемых? Можем, используя вместо сравнения другую концепцию — степень подобия объектов между собой, или метрику. Фильмы про Индиану Джонса ближе к «Пиратам Карибского моря», чем к комедиям Вуди Аллена или документалистике. Русский язык ближе к польскому, чем к немецкому, и совсем не похож на суахили. Числа 2+3i или 3+2i ближе друг к другу, чем к числу 100. Если мера обобщает размеры (длину, объем и т. д.), то метрика, введенная в математику Морисом Фреше в 1906 году, — это обобщение понятия «расстояние». Вот ее определение.
Пусть имеется произвольное множество X. Метрика — функция ρ, сопоставляющая любым двум элементам x и y множества вещественное число ρ(x,y) и при этом удовлетворяющая таким условиям: