2 + 1 = 3
(2 × 3) + 1 = 7
(2 × 3 × 5) + 1 = 31
(2 × 3 × 5 × 7) + 1 = 211
(2 × 3 × 5 × 7 × 11) + 1 = 2311
(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 59 × 509.
Последний, да и последующие примеры дают осечку! Получается, доказательство Евклида неверно? Нет, оно совершенно справедливо, поскольку ничего не говорит о простоте результата, но утверждает существование числа, не делящегося ни на одно из полного (по нашему предположению) множества простых чисел. Число 30 031 и вправду не делится ни на одно из перемножаемых чисел. Позже, в 1990 году, тот же Ричард Ги выпустил в свет еще одну статью «Второй сильный закон малых чисел»[38], в которой приводит еще полсотни примеров последовательностей, ломающих интуицию математика!
Воспетая мной математическая интуиция без строгого доказательства может сыграть злую шутку. Более того, и в строгое, но очень сложное доказательство может вкрасться незаметная коварная ошибка, чему есть множество примеров. Обязательно прочтите чудесную книгу «Великая теорема Ферма» Саймона Сингха, чтобы почувствовать, с какими поистине циклопическими законами подлости приходится иметь дело в большой математике. Но удивительное дело: именно эти примеры и рассказы вдохновляют меня на добросовестный поиск математической истины там, где вполне хватило бы наблюдения или приблизительного результата.
Быстрее, еще быстрее!
Давайте теперь исследуем само явление цейтнота и его выматывающие свойства. Для этого обратимся к методу Монте-Карло и построим несколько тысяч стохастических цепочек, после чего усредним их, получив некую гладкую функцию. Она показана сплошной линией на рис. 8.5 и представляет собой математическое ожидание случайной функции, описывающей наш нестационарный стохастический процесс. Назовем эту случайную функцию темпом выполнения работы.
Рис. 8.5. Множество стохастических цепочек с дедлайном и ожидаемый темп выполнения работы
В предыдущей главе мы говорили о таких функциях, рассматривая очень простой случай стационарных процессов с неизменной интенсивностью. Сейчас же мы видим иную картину. Наша функция имеет переменную дисперсию, уменьшающуюся ближе к дедлайну. Это говорит о том, что последовательности, порождаемые случайной функцией, при приближении к правому краю сливаются и становятся неотличимы друг от друга.
Обратите внимание на то, что оси графика приведены к общему числу дел и всему отпущенному времени. Это, с одной стороны, позволяет нам сравнивать как разные сроки, так и различные по длине цепочки, а с другой — мы опять получили что-то подобное кривой Лоренца: некое формализованное отражение несправедливости.
Наблюдаемый темп, увы, очень неравномерен: в первую половину срока будет сделано едва ли 10 % работы, а добрую половину всех дел придется выполнять, имея в распоряжении менее 10 % времени. Но главная особенность: темп, вернее его наклон, стремительно увеличивается при приближении к дедлайну! Мы получили модель предновогоднего ража или паники в преддверии годового отчета, а также нащупали закон подлости, знакомый всякому, кому приходилось организовывать концерт, костюмированный вечер или иное мероприятие:
Прекрасные живые примеры таких процессов описаны, например, в рассказах Карела Чапека «Как делают газету» и «Как ставится пьеса». Неужели причина этого проклятия кроется только в нашей неорганизованности и безалаберности? Это, конечно, основные причины, но мы не настолько в них виноваты, чтобы нельзя было попробовать оправдаться каким-нибудь математическим законом. Стратегия балбеса, конечно, выглядит глупо, но взрывной рост темпа — это не шутки! Можно ли вообще с ним справиться?
Имея в распоряжении функцию вероятности для распределения Стирлинга, ожидаемый темп выполнения работы можно вычислить точно. Формула не слишком изящна, однако примечательно, что в нее входит число дней n и не входит число запланированных дел:
Логарифм — функция медленная, если только его не прижать к стенке. В последние дни перед дедлайном темп растет катастрофически — с такой же скоростью, с которой логарифм проваливается в бездну при приближении к нулю. Однако от числа выделенных дней он все же зависит. Можно посмотреть, как выглядит ожидаемый темп для недели, месяца и года (рис. 8.6).
Рис. 8.6. Наиболее вероятный темп выполнения работы в ограниченный срок
Обратите внимание на то, что жесткое ограничение по времени благотворно. Имея в запасе всего неделю, мы, скорее всего, станем выполнять работу равномернее (к середине срока будет готова треть), а если впереди целый год, то можно и расслабиться, а потом об этом пожалеть. У идеального исполнителя-перфекциониста, который выполняет работу равномерно, темп соответствует диагонали (пунктирная линия на рисунке). Это похоже на кривую равенства на диаграмме Лоренца, знаменующую справедливость. Подобно тому как мы вычисляли коэффициент Джини для диаграммы Лоренца, мы можем, основываясь на площади между кривой темпа выполнения работ и идеальной кривой, определить некий коэффициент подлости, который покажет, насколько мы далеки от идеала. Он зависит от длины выделенного срока и потихоньку увеличивается с ростом n. В приведенных нами примерах для недели, месяца и года коэффициент подлости равен соответственно 0,37, 0,49 и 0,63. Этот индекс увеличивается с ростом n очень медленно, но если устремить число дней к бесконечности, он будет стремиться к единице. Итак, мы приходим к парадоксальному, но по-своему красивому результату: имея в распоряжении бесконечное время, балбес может запланировать бесконечное число дел, однако ожидаемый темп выполнения будет почти всюду равен нулю. Это значит, что почти наверняка он не выполнит ничего из запланированного, отложив все дела на бесконечное будущее! Вспоминаются привычные сетования: «Целое лето (каникулы, жизнь) пролетело, а я так ничего и не успел!» Что ж, даже этому есть математическое объяснение.
Даосы в Древнем Китае крепко размышляли о вечной жизни, причем очень грамотно: наряду с упражнениями тела, необходимыми для решения такой задачи, они занимались упражнениями ума, чтобы приспособить его к вечному существованию, породив оригинальную и интересную философию. Как видно, вечная жизнь требует большой дисциплины, иначе даже вечность — весьма вероятно — можно потратить впустую.
Мостим дорогу благими намерениями
Но как же бороться с нарастающей волной забот и цейтнотом? Например, взять себя в руки. Человек с синдромом отличника может стремиться выполнить следующее дело как можно раньше, насколько это возможно, конечно. Правдоподобной моделью будет выбор момента для выполнения следующего дела, следуя экспоненциальному распределению с интенсивностью, обратно пропорциональной оставшемуся времени. Это не исключит некоторой неопределенности, присущей нашей жизни, но выразит благие стремления делать всё как можно скорее. Назовем эту стратегию стратегией благих намерений. Вот какими будут распределения вероятностей выполнения заданий в срок для ее приверженца, который в половине случаев сделает очередное дело в первую четверть оставшегося времени (рис. 8.7).
Рис. 8.7. Распределение вероятности не успеть в срок для стратегии благих намерений
Что же, существенно лучше! В течение недели можно с неплохой вероятностью успеть сделать пять дел и оставить себе два выходных дня. Но все же для больших периодов увеличение возможностей не революционное. Проблема в том, что ожидаемое число успешно завершаемых дел все равно остается пропорциональным логарифму отпущенного времени, а логарифм растет крайне медленно! Так что, планируя многое, нужно иметь в виду, что интенсивность процесса будет неизбежно возрастать, а времени в преддверии дедлайна, скорее всего, станет не хватать. В любом случае необходимо помнить, что жизнь коротка. Чтобы успеть реализовать задуманное, нужно действовать прямо сейчас!
Полюбуемся на математическое ожидание темпа благонамеренного отличника (рис. 8.8).
Рис. 8.8. Ожидаемый темп выполнения работы методичным человеком, старающимся приступить к следующему этапу работы как можно скорее. Число k показывает количество запланированных задач
Нашему аккуратисту удалось более равномерно распределить работу и выполнить существенно больше дел, но его все равно ожидает цейтнот. Короткие цепочки такой человек будет реализовывать с существенным перевыполнением плана, а цепочку из семи дел — практически идеально. Однако по мере увеличения числа дел ожидаемый темп быстро стремится к теоретическому, полученному с помощью стратегии балбеса! Увеличилась общая производительность, но запарка перед самым дедлайном никуда не делась. Так что нагрузкой можно доконать и заправского зануду!
Впрочем, существует еще один широко известный способ внести дисциплину в выполнение работ: вместо одного дедлайна сделать много. Разобьем срок выполнения работы на две равные части и будем придерживаться этого нового дедлайна, считая его, скажем, промежуточным отчетом. Для каждой из этих частей мы можем построить кривую ожидаемого темпа выполнения работ, как показано на рис. 8.9.
Рис. 8.9. Разбиение времени выполнения на несколько промежуточных отчетных периодов позволяет сделать работу более равномерно, но добавляет стресс при приближении каждого нового отчета
Несмотря на нервотрепку с промежуточным отчетом, мы достигли своей цели: площадь между общей кривой темпа выполнения и диагональю сократилась, и коэффициент подлости уменьшился с 0,65 до 0,3. Кроме того, сокращение срока (вместе с сокращением числа дел, разумеется) приближает ожидаемый темп выполнения работы к идеальному, поэтому коэффициент подлости уменьшился более чем в два раза. Добавление еще двух, скажем, квартальных отчетов уменьшит его уже до 0,13, но тем самым мы вгоним наших исполнителей сразу в четыре стрессовых периода, и они все равно станут громко страдать, жалуясь на судьбу и руководство! Что же, мы можем показать работникам наши выкладки и доказать, что, введя ежеквартальную отчетность, в пять раз понизили коэффициент подлости их жизни — если это, конечно, станет им утешением. Более того, при стремлении количества промежуточных дедлайнов к числу дней, отпущенных на работу, темп приблизится к идеальному, но очень занудному.