одов. Функция вероятности для подобной суммы хорошо известна — это биномиальное распределение, похожее на колокол, который симметрично разбегается вокруг среднего значения m = M/n. Обычно студенты знакомятся с этим распределением на примере вычисления вероятности получить указанную сумму при бросании игральных костей. В нашем случае мы бросаем честную кость с n гранями M раз. Для больших значений биномиальное распределение становится практически неотличимым от нормального (рис. 9.2).
Рис. 9.2. Результат раздачи денег по принципу «на кого бог пошлет» — биномиальное распределение. Чем больше денег мы раздаем, тем больше кривая Лоренца приближается к кривой равенства. Здесь M = 10 000, n = 100
Это распределение с точки зрения справедливости выглядит очень неплохо; более того, оно становится тем справедливее, чем больше денег мы раздаем публике! Просто замечательно! Жаль, что общество устроено не так и денежный дождь не сыплется на всех нас поровну.
Для полноты картины рассмотрим еще одно простое искусственное распределение денег — такое, чтобы в группе были как бедные, так и богатые, и чтобы вероятность иметь тот или иной достаток была одинакова для всех уровней достатка (рис. 9.3). Иными словами, чтобы распределение оказалось равномерным. При этом мы вынуждены ввести ограничение на максимальный уровень достатка для участника группы. Думаю, затей мы социологический опрос, многие респонденты с улицы согласились бы, что это звучит справедливо.
Рис. 9.3. Равномерное распределение не означает, что деньги распределяются всем равномерно. При таком распределении число богатых, бедных и середнячков одинаково, но деньги в основном принадлежат богатым: половина всех средств сосредоточена лишь у четверти группы
Однако кривая Лоренца показывает, что такое распределение уже далеко от справедливости. Для равномерного распределения она представляет собой квадратичную параболу. Если левая граница распределения равна 0, как в нашем случае, то из-за нормировки парабола становится независимой от положения правой границы. Иными словами, для всех равномерных распределений с нулевой левой границей она будет одинаковой, и индекс Джини для всех таких распределений равен в точности 1/3. Такое значение индекса (но не такое же распределение!) было, например, у экономики Австралии в 2000-е — это вполне неплохой показатель, но далекий от совершенства.
Рассмотренные нами способы распределить средства по группе людей очень просты и вполне естественны. Но может возникнуть вопрос: а смогут ли они как-нибудь реализоваться в жизни? Насколько сами эти распределения вероятны? Ведь рынок есть рынок: если дать людям волю обмениваться деньгами, менять их на услуги, копить их и проматывать в одну ночь, смогут ли эти идеальные распределения сохранить устойчивость? Не превратятся ли они в какие-нибудь другие? Что нужно сделать с рынком, чтобы он сам, без принудительной раздачи средств, приблизился, например, к биномиальному или нормальному распределению, очень привлекательному с точки зрения справедливости?
Мы уже встречались с такой постановкой вопроса, говоря о центральной предельной теореме — одной из основ математической статистики. Согласно этой теореме, распределение для суммы одинаково распределенных случайных величин стремится к нормальному независимо от распределения этих величин. Таким образом, можно сделать вывод, что нормальное распределение и будет наиболее вероятным и устойчивым. Мы уже говорили, что оно соответствует минимальной информации о случайной величине, а раздавая деньги всем без дополнительных условий, мы и получили распределение, неотличимое от нормального. Так что, возможно, и в реальных обществах должно наблюдаться такое распределение богатства? Почему же индекс Джини для большинства государств, считающихся весьма успешными, почти никогда не бывает ниже 0,25, а для всего мира он близок к 0,4? Откуда берется столь существенное неравенство? Кто мешает наступлению устойчивого золотого века? Неужели это заговор богачей или непреодолимая жадность человека?!
Мы привыкли судить о роде человеческом плохо, упрекать его в стяжательстве и прочих грехах, но сейчас я хочу выступить в роли адвоката и показать, что греховность людей тут ни при чем. Все дело в математических законах, которым подчиняются не только слабый смертный, но и бесстрастная физика. Если бы не мысль и не воля человека разумного, придумавшего и внедрившего ряд рыночных механизмов, получить экономическую систему с индексом Джини меньше 0,5 было бы крайне непросто. Именно ради поиска фундаментальных законов экономики и создавалась эконофизика. Чтобы немного разобраться в них, нам предстоит погрузить нашу группу испытуемых в модель рынка.
Новая экономическая политика
Вновь рассмотрим группу из n человек и раздадим всем участникам эксперимента по равной денежной сумме — по m рублей каждому, получив самое справедливое в мире шариковское распределение средств в обществе. После раздачи в нашей системе будет находиться M = nm денежных единиц. Теперь предоставим им свободу богатеть и беднеть по воле собственной судьбы, согласно следующей примитивной модели рынка. Попросим кого-нибудь, выбранного случайно, отдать один рубль любому человеку из группы, также выбранному случайно. Можно счесть это приобретением некой услуги по фиксированной цене Δm = 1. Распределение богатства ожидаемо изменится: у кого-то денег станет меньше, у кого-то больше. Станем повторять эту процедуру снова и снова и посмотрим, как будет изменяться распределение богатства в группе.
Пусть вас не смущает нереалистичная примитивность описанной нами модели. Ее достоинство в том, что она требует минимальной априорной информации и соответствует некоторой базовой системе. Если мы обнаружим какие-то закономерности на этой модели, то они проявятся и в более сложных моделях.
Разумно перед проведением эксперимента поразмыслить, что же мы ожидаем увидеть. Получение денег участниками происходит равновероятно, как в случае пуассоновской стратегии раздачи, но в то же время игроки и теряют деньги, причем по такому же пуассоновскому принципу и с той же интенсивностью. Если вместо одного шага мы будем рассматривать сразу сотню, то вместо фиксированного количества денег участники группы будут обмениваться какими-то случайными суммами. Из опыта с пуассоновской раздачей денег следует заключить, что как положительные, так и отрицательные приращения будут распределены практически нормально и расположены симметрично относительно нуля. Каждый игрок в итоге будет получать разность этих приращений, которая для двух нормально распределенных случайных величин будет тоже нормально распределена[39], в данном случае вокруг нуля, поскольку потери и выигрыши симметричны (рис. 9.4).
Рис. 9.4. После множества обменов каждый игрок получит и потеряет суммы, которые подчиняются распределению, близкому к нормальному. Суммарный доход также будет нормально распределен вокруг нуля
Таким образом, мы получаем классическое случайное блуждание с нормально распределенными приращениями. Нам уже знаком этот процесс, окрашивающий жизнь в темные и светлые полосы. Поведение множества случайно блуждающих частиц подобно диффузии: их плотность будет расплываться гауссовым колоколом вокруг неизменного среднего значения, увеличивая дисперсию пропорционально квадратному корню из числа обменов (времени). Вроде бы все просто. Если нет каких-то механизмов, сдерживающих эту диффузию, колокол расплывется по всей числовой оси. Таким же образом диффузия выравнивает неоднородности концентрации веществ в некотором замкнутом объеме или теплообмен распределяет температуру в изначально неравномерно нагретом стержне.
Но есть нюанс. Если по каким-то причинам у кого-либо из группы не осталось средств, он не сможет приобретать услуги, отдавая деньги, но по-прежнему может получать их. Возможное значение благосостояния ограничено слева нулем, а это значит, что диффузия богатства не сможет распространяться во все стороны бесконечно и наблюдаемая функция вероятности рано или поздно перестанет быть симметричной.
Есть еще один нюанс. Количество денег в нашей замкнутой системе ограничено и неизменно; это значит, что случайные блуждания не независимы. Какой-нибудь везучий игрок сможет получить очень большие суммы и уйти от ансамбля очень далеко, но только если общая масса настолько же обеднеет. Участников эксперимента стягивает невидимой сетью закон сохранения денежной массы в системе. К чему же будет стремиться распределение богатства в таких условиях? Похоже, ответ не столь очевиден, как может показаться на первый взгляд. Обратимся к имитационному моделированию и посмотрим, что у нас получится.
Для любопытных читателей, которые захотят сами провести этот эксперимент, приведу алгоритм процесса перераспределения денег для фиксированного Δm, равного для всех участников группы (рис. 9.5).
Рис. 9.5. Результат имитационного моделирования процесса перераспределения для фиксированного Δm для т = 100 рублей и n = 5000 человек. a — 10 шагов, b — 5000 шагов, c — 5∙1010 шагов, d — 108 шагов алгоритма
Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m.
Повторять для каждого i от 0 до n· · · · если xs[i] > 0· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до nxs[i] <- xs[i] — 1· · · · · · · · xs[j] <- xs[j] + 1Сначала действительно наблюдается явление, подобное диффузии, однако по мере достижения левой границы распределение искажается и начинает стремиться к характерной несимметричной форме. Если эту книгу читает физик, то он сможет уверенно предположить, что это может быть за распределение: он назовет его