Числа одинарной точности распределяются экспоненциально, как уменьшающиеся степени 2. Этих чисел между 0,125 и 0,25 существует столько же, сколько между 0,25 и 0,5 или между 0,5 и 1 и т. д. Из четырех миллиардов примерно один скрывается между 0 и 1, еще один – между 0 и –1, а остальные два миллиарда охватывают диапазон от ±1 до ± «бесконечности» (рис. 13).
То, как этот уменьшенный набор чисел может затуманить хрустальный шар компьютерного моделирования, было впервые обнаружено в начале 1960-х гг. в Массачусетском технологическом институте в Кембридже, штат Массачусетс, когда метеоролог Эдвард Лоренц (1917–2008) использовал компьютер размером с письменный стол (LGP-30, или компьютер общего назначения Librascope) для разработки простой модели прогнозирования.
Рисунок 12. Превращение аналогового сигнала в цифровой
Лоренц пытался смоделировать атмосферу Земли с помощью набора трех связанных обыкновенных дифференциальных уравнений (упрощенных уравнений Навье – Стокса), описывающих конвекцию – движение жидкости, которое можно наблюдать в кастрюле с кипящей водой или чашке горячего кофе. Но когда он попытался повторить свою первоначальную симуляцию, он получил другие результаты. При ближайшем рассмотрении Лоренц обнаружил, что различия возникли из-за крошечной ошибки округления чисел, введенных в его компьютер.
Рисунок 13. Числа с плавающей запятой отражают лишь небольшую часть математической реальности
Можно подумать, что небольшая ошибка привела бы к небольшой разнице. Но реальность была шокирующей: результаты сильно расходились, даже если менялся последний десятичный знак. Однако эти явно случайные колебания возникают из-за детерминистских законов, управляемых дифференциальными уравнениями, а это означает, что результат полностью определяется вводимыми числами.
Его наблюдения о чувствительности хаотических систем в конечном итоге привели Лоренца к формулировке того, что стало известно как «эффект бабочки» – что отражено в названии статьи, которую он представил в 1972 г.: «Предсказуемость: вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?»[109]. С тех пор предпринимаются усилия по исследованию, пониманию и укрощению динамического хаоса.
От аттракторов к ансамблям
Математический объект, столь же полезный, сколь и красивый, стал символом хаоса, средством его понимания и даже использования. В своей модели конвекции Лоренц выделил три ключевых фактора влияния: изменение температуры сверху вниз и из стороны в сторону, а также скорость конвекции. Он мог отображать эти свойства, отслеживая их момент за моментом.
Работая с Эллен Феттер, Лоренц обнаружил отличительную черту хаоса. Точно так же, как погода имеет закономерности (проявляющиеся в виде смены времен года от лета к зиме), но сильно варьируется изо дня в день (в Лондоне это определенно так), они обнаружили, что и точка в целом прослеживает траекторию в форме бабочки, но при этом никогда не идет по одному и тому же пути по «крыльям».
Даже начав с наименее различных стартовых точек, вы всегда окажетесь на разных треках по мере того, как компьютер движется вперед во времени: две точки аттрактора, которые изначально лежат рядом друг с другом, в конечном итоге оказываются экспоненциально далеко. Однако, какой бы ни была отправная точка, в конечном итоге вы оказываетесь в ловушке общей формы бабочки, состоящей из множества траекторий[110].
Чтобы понять весь масштаб того, что может произойти в хаотической динамической системе, необходимо исследовать поведение этой формы бабочки для всех – или как можно большего числа – начальных условий. Результирующий набор симуляций, начинающийся с совокупности начальных условий, называется ансамблем. Этот подход тесно связан с тем, который использовал Больцман для расчета возникновения температуры и других объемных или макроскопических свойств из микроскопического – молекулярного – описания материи, скажем, скорости молекул воды, что дало начало целому направлению, известному как статистическая механика[111].
В этом случае ансамбль создается путем моделирования всей системы молекул воды – скажем, наполненного чайника – и последующего повторения этого процесса огромное количество раз с использованием разных начальных условий. Хотя вы можете вычислить температуру на основе кинетической энергии, связанной с движением всех различных молекул воды в каждой «копии» чайника, термодинамическая температура будет средней по ансамблю, а именно средней по каждой из реплик – идея, предложенная американцем Дж. Уиллардом Гиббсом (1838–1903).
Рисунок 14. Ансамблевое прогнозирование. Адаптировано из The Quiet Revolution of Numerical Weather Prediction Питера Бауэра, Алана Торпа и Гилберта Брюне (Nature, 2015)
Ансамбли также фигурировали в некоторых из первых моделей поведения атомов, использовавшихся для моделирования цепных ядерных реакций, к которым мы вернемся в следующей главе. Сегодня они широко используются, особенно в прогнозировании погоды, где слегка отличающиеся начальные условия и значения неопределенных параметров вводятся в модели прогнозирования, чтобы охватить диапазон возможных ожидаемых погодных явлений, например, когда может случиться ураган. Первый прогон кода, чрезвычайно чувствительного к начальным условиям, даст ответы, отличные от следующего. Однако важно отметить, что ансамблевые расчеты действительно дают, как кажется, надежные средние значения.
Английский физик Тим Палмер, работая с Джеймсом Мерфи в Метеорологическом бюро Великобритании, более 25 лет назад подготовил первый в мире вероятностный прогноз погоды, основанный на ансамблях[112]. Они обнаружили, что если прогнозы сильно различаются по ансамблю, их необходимо хеджировать с точки зрения значительных неопределенностей, тогда как если они похожи, уверенность в результате возрастает.
Рисунок 15. Аттрактор Лоренца (Шуньчжоу Ван, Центр вычислительных наук, UCL)
Таким образом, хаос можно измерить количественно. Вычисляя свойства ансамбля, мы переходим от ненадежных попыток детерминистического описания к надежному, но вероятностному описанию, выраженному в терминах средних значений и стандартных отклонений. Однако математика также показывает нам, почему хаос невозможно полностью укротить.
Странные аттракторы
Математическая картина в форме бабочки, которую мы описали выше, представляет собой аттрактор Лоренца, где термин «аттрактор» означает состояние, к которому динамическая система стремится независимо от начального состояния, и где динамическая система включает все, что меняется во времени, от качающегося маятника до человека или даже популяции, растущей в соответствии с определенным математическим соотношением. Например, когда речь идет об управляемых (то есть далеких от равновесия) динамических системах, говорят, что шарик, который катится и останавливается на дне чаши, достиг устойчивого равновесия, называемого аттрактором с неподвижной точкой. Между тем ритмы клеток сердца улавливаются так называемым периодическим аттрактором. Однако, поскольку крылья бабочки Лоренца не принадлежат ни к одному из этих типов аттракторов, они получили название странного (или хаотического) аттрактора.
Это запоминающееся прозвище придумал бельгийский физик-математик Давид Рюэль вместе с голландским математиком Флорисом Такенсом[113]. Странный аттрактор имеет так называемую фрактальную геометрию – термин, предложенный франко-американским математиком Бенуа Мандельбротом (1924–2010), – которая обладает свойством самоподобия. Увеличьте масштаб следов странного аттрактора, и вы увидите, что они следуют по схожим, но не идентичным траекториям и орбитам. Увеличьте масштаб еще раз, и вы увидите ту же картину. И так до бесконечности.
Знакомые примеры фрактальных объектов – цветная капуста или брокколи романеско, где, приближая фотографию соцветия, вы видите уменьшенную версию того же самого соцветия. Фракталы таятся и внутри нас: от колебаний ритма здорового сердца до распределения крови в системе кровообращения, структуры дыхательных путей в легких и нейронов[114].
Работа Лоренца также открыла альтернативный способ описания хаоса турбулентности в теле, поскольку странный аттрактор улавливает хаотическую сущность текущей жидкости, хотя и требует бесконечных измерений (вместо трех). Точно так же, как сложное музыкальное произведение можно разбить на чистые ноты, так и турбулентность можно выразить через бесконечное число периодических орбит. Турбулентность может показаться беспорядочной, но странный аттрактор предполагает, что жидкость исследует фрактальное гнездо орбит. Несмотря на то, что он называется аттрактором, на самом деле он состоит из орбит, на которых жидкость никогда не задерживается надолго: орбиты неустойчивы, будучи по своей природе одновременно притягивающими и отталкивающими, так что в турбулентных потоках жидкость движется как бы хаотично с одной орбиты на другую. В результате эти нестабильные периодические орбиты можно рассматривать как фундаментальные единицы турбулентности, подобно тому, как простые вибрации являются фундаментальными единицами любых нот, исполняемых на музыкальном инструменте. Предраг Цвитанович из Технологического института Джорджии в Атланте называет эти орбиты «скелетом хаоса»[115]. В следующей главе мы увидим, как Питер, чтобы разблокировать турбулентность, использовал их как отмычку.
Цифровые патологии
Другая проблема не давала Питеру покоя, когда дело дошло до использования вычислимых чисел для решения классической многомасштабной задачи, подобной той, которую решал Больцман, например, определение «макроскопических» свойств такого вещества, как газ, давления, температуры и т. д., с помощью его молекулярных свойств. Обсуждая этот вопрос с Шуньчжоу Ваном в Университетском колледже Лондона, Питер понял, что вычислимые числа могут привести к проблемам по той же причине, по которой округление чисел вызывало головную боль у Лоренца