устранить то, что казалось как Фреге, так и Расселу логическими постоянными, а именно: «для всех х» и «существует по крайней мере один х, такой, что».
Что же тогда можно сказать в отношении молекулярных предложений или, если угодно, других логических постоянных, которыми являются пропозициональные связки? Можно ли их тоже устранить, или мы должны признать, что они добавляют что-то к значению предложений, в которых содержатся?
Для ответа на этот вопрос нам потребуется вспомнить, каким образом Фреге и Рассел использовали логические связки, о чем уже вкратце упоминалось. Рассмотрим, к примеру, следующее молекулярное предложение: «Ширак болен, и телевизор выключен». Что может означать «и»? Самый простой ответ: «и» указывает на то, что предложение является истинным, если хотя бы одно из элементарных предложений, входящих в его состав (или оба), является истинным. Мы можем подобным образом подойти к другим логическим связкам вроде «или», «если… то» и т. д. Впрочем, в этом нет ничего нового: схожее определение связок, как отмечалось выше, мы обнаруживаем не только у Фреге с Расселом, но и у стоиков в Античности.
Приняв вышесказанное за основу, Витгенштейн переходит к общим выводам. В молекулярном предложении определенным образом сочетаются элементарные предложения, которые входят в эти сочетания как обладающие общей формой, то есть как способные быть истинными или ложными (как говорящие, что дело обстоит так-то и так-то).
В целях упрощения рассмотрим только два возможных положения вещей, α и β, отображенные соответственно двумя элементарными предложениями – p и q. Напомним, что простые положения вещей являются взаимно независимыми, то есть существование или несуществование одного простого положения вещей совершенно не зависит от существования или несуществования другого простого положения вещей. Поэтому α и β могут сочетаться ни много ни мало четырьмя разными способами. Если мы условимся обозначать α тот факт, что α не существует, у нас получится четыре возможных сочетания: {<α, β>, <α, β>, <α, β>, <α, β>} (при наличии 3 положений вещей получилось бы соответственно 8 возможных сочетаний, и т. д.).
Итак, можно сказать, что форма возможной сложной ситуации, состоящая из двух положений вещей α и β, является совокупностью четырех возможных сочетаний, так же как и форма возможного положения вещей является совокупностью способов, которыми сочетаются простые объекты, составляющие его. Легко установить, что оба элементарных предложения p и q, если принимать во внимание исключительно их истинность или ложность, также могут сочетаться лишь четырьмя разными способами; если мы условимся обозначать pv тот факт, что p является истинным, а pf – тот факт, что p является ложным, у нас получится: {<pv, qv>,
О чем говорит элементарное предложение? О том, что положение вещей, которое оно отображает, является существующим. О чем говорит молекулярное предложение, состоящее из p и q? О том, что некоторые, все или ни одно из четырех сочетаний {<α, β>, <α, β>, <α, β>, <α, β>} не являются существующими. Например, p или q говорит, что α и β являются существующими, или что α является существующим, или что β является существующим, и исключает то, что ни α, ни β не являются существующими. Другими словами, с одной стороны, это предложение выражает согласие с тремя первыми возможностями <α, β>, <α, β>, <α, β>, с другой – несогласие с возможностью <α, β>. Следовательно, в отличие от элементарного предложения, которое является истинным только при условии, что отображаемое им положение вещей является существующим, молекулярное предложение типа p или q является истинным только при условии, что одно из трех возможных сочетаний <α, β>, <α, β> или <α, β>является существующим. Таким образом, «условия истинности» p или q состоят в том, что p и q являются одновременно истинными, или в том, что p является истинным, или, наконец, что q является истинным.
До этого мы признавали, что знаем значение связки «и», для понимания которого одной записи p или q недостаточно. Тем не менее легко определить это значение с помощью следующей символики:
Буква «и» означает «истинное», буква «л» – «ложное», а правый столбец указывает, с какими «истинностными возможностями» p и q согласуется молекулярное предложение. Истинностные возможности, с которыми предложение согласуется, Витгенштейн называет основаниями истинности этого предложения. Таким образом, в правом столбце указано, каковы основания истинности молекулярного предложения. Здесь мы имеем дело с пропозициональным знаком, в котором слово «и» больше не присутствует и достоинством которого является то, что он прямо показывает, каковы условия истинности молекулярного предложения. Запомнив порядок расположения истинностных возможностей p и q, мы сможем записать это предложение еще более кратко, в доступном для понимания виде: (v, v, v, f) (p, q).
Наличие «множественности» у данного пропозиционального знака зависит от того, насколько точно соответствуют истинностные возможности предложения возможностям существования или несуществования положений вещей, отображаемых элементарными предложениями. Следовательно, пропозициональный знак не может согласовываться с одной (или несколькими) истинностной возможностью элементарных предложений, которые не соответствовали бы возможности существования или несуществования положений вещей, отображенных элементарными предложениями. Напротив, мы видели, как предложение «в 22 часа 30 минут у Жана была температура 37,5, и в 22 часа 30 минут у Жана была температура 39 градусов» согласовывалось с иллюзорной возможностью существования положений вещей: соединению элементарных предложений не соответствует ни одна возможность существования положений вещей, изображенных посредством этих двух элементарных предложений.
В более общем плане пропозициональный знак отражает, с каким подмножеством множества истинностных возможностей элементарных предложений он согласуется. Это замечание позволяет нам продвинуться дальше и выявить множество молекулярных предложений, состоящих из двух элементарных предложений, поскольку данное множество является лишь множеством подмножеств множества из четырех элементов {<pv, qv>, β>, <α,β>, <α, β>}. Так как множество из четырех элементов имеет шестнадцать (24) подмножеств, можно составить следующую таблицу:
Небольшие символы, написанные в верхней части некоторых столбцов, обозначают логические союзы:
– p ˅ q соответствует p или q (инклюзивная дизъюнкция: оба элементарных предложения могут быть истинными);
– р ← q соответствует р если q;
– р → q соответствует если р, то q (импликация);
– р ↔ q соответствует если, и только если р, то q (двойная импликация);
– р ˄ q соответствует р и q (конъюнкция);
– рq соответствует или р, или q (эксклюзивная дизъюнкция: два элементарных предложения не могут быть одновременно истинными);
– ~q (~p) соответствует не q (не р);
– р ↓ q соответствует ни р, ни q (инверсия).
Буквы «т» и «п» в верхней части двух столбцов обозначают два особых случая, которые мы вскоре рассмотрим, а именно «тавтологию» и «противоречие».
Столбец под знаком «˅» мы использовали в качестве исходной точки.
Из всего вышеизложенного можно сделать несколько выводов, которые приводит Витгенштейн.
– Не существует логической константы.
Прежде всего, представляется очевидным, что пропозициональные связки взаимовыразимы. Например, предложение если р, то q(p → q) имеет ту же «истинностную функцию» р и q, что и предложение не р или q (~p ˅ q), и не (р и не q)(~(p ˄ ~q)). Так что достаточно воспользоваться связками «~» и «˅» или «~» и «→», а то и вовсе одной связкой «↓», чтобы записать какое угодно молекулярное предложение, состоящее из двух элементарных предложений. Из этого следует, что нет никаких оснований для того, чтобы присваивать этим связкам особое значение; единственное, что важно, – знать, какая «истинностная функция» элементарных предложений есть молекулярное предложение, что в случае с p → q становится очевидным посредством обозначения (и, л, и, и,) (p, q), без каких-либо связок. Напротив, использование логических союзов может запросто навести на мысль, что они обладают особым значением, обозначая то, что Рассел называл «логическими данными».
Теперь мы лучше понимаем «основополагающую идею» Витгенштейна: не существует ни логического «объекта», ни логической константы, а логика как наука не должна заниматься изучением свойств этих так называемых объектов. По сути использование логических союзов создает иллюзию, что они сообщают нечто о форме (то есть условиях истинности) молекулярных предложений, которые образуются с их помощью, и это приводит к колоссальной путанице, в которую оказались втянуты Фреге с Расселом (и не только они одни!).