В книге «Апология математика» Г. Г. Харди приходит к заключению, что упомянутое открытие Ферма – пример «изящной математики» и красивейшая из математических теорем наравне с евклидовым доказательством бесконечности простых чисел.
Что же, раз мы заговорили о «заключениях», нам пора заключить этот раздел о тайной жизни простых чисел и отправиться в (безграничный) мир бесконечности.
Математика, если взглянуть на нее с правильной точки зрения, обладает не только истиной, но и совершенной красотой – красотой холодной и суровой, как красота скульптуры, не потакающей нашим слабостям, лишенной роскошных приманок живописи или музыки, и все же безукоризненно чистой и способной на строгое совершенство, доступное лишь величайшему искусству[26].
4Великое открытие Пифагора
Математическая теория бесконечности, как и почти все остальное в западной цивилизации, уходит корнями в Древнюю Грецию. Интересно отметить, что греческое слово ἄπειρον (апейрон), обозначающее бесконечность, имеет два значения. Одно из них – нечто неограниченное; второе имеет скорее отрицательный смысл – «нечто неопределенное». Понятие бесконечности впервые ввел в философию Анаксимандр, философ и астроном, ученик Фалеса и учитель Пифагора, живший в VI в. до н. э. В космологии Анаксимандра бесконечность считалась одной из основ мироздания, своего рода неограниченным, неопределенным материалом, который служит основой всего сущего. Некоторые из исследователей досократовской философии видят в Анаксимандре первого метафизика, который включил в греческую философию абстрактную концепцию бога.
Какое бы значение слова «апейрон» мы ни взяли, в мире Пифагора ему не было места. Как вы, разумеется, помните, Пифагор был убежден, что мир состоит из чисел, и все в нем может быть сведено к представлению, построенному при помощи натуральных, то есть положительных целых, чисел. По сути дела, натуральные числа были атомами Пифагора.
И ошибочность этого убеждения открыл не кто иной, как сам Пифагор.
Иррациональное число!!!
Есть некая ирония в том, что препятствие на пути рассуждений Пифагора о том, что все на свете в конечном счете может быть выражено при помощи чисел, явилось, каким бы невероятным это ни показалось, именно из геометрии – когда сам Пифагор обнаружил, что соотношение между стороной квадрата и его диагональю невозможно выразить отношением натуральных чисел.
Сейчас объясню.
Начнем с квадрата, стороны которого имеют единичную длину. Обозначим длину его диагонали с:
Вот что говорит теорема, прославившая Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.
В приложении к нашему чертежу это означает, что 1² + 1² = с², а следовательно, c = √2.
Отметим, что √2 – всего лишь символ, обозначающий число, которое, будучи умножено само на себя, дает число 2. Теоретически мы могли бы нарисовать цветок и сказать, что он обозначает число, квадрат которого равен 2. Очевидно, не существует такого целого числа, квадрат которого был бы равен 2 (поскольку 1 в квадрате равно 1, 2 в квадрате равно 4, а других целых чисел между 1 и 2 нет).
Но может ли существовать некая дробь a/b, такая, что при возведении ее в квадрат получает- ся 2? Здесь я напомню вам, что числа вида a/b, где a – целое число (которое может быть и нулем), а b – натуральное (то есть положительное целое) число, называются рациональными числами. Пифагор, несомненно, был бы очень рад, если бы такая дробь существовала, потому что это отлично согласовывалось бы с его философским воззрением, что все на свете может быть представлено натуральными числами.
Однако Пифагора ожидали чрезвычайно неприятные новости!
Сейчас мы докажем, что √2 никак не может быть выражен дробью вида a/b, где оба числа a и b – натуральные. Другими словами, мы докажем, что √2 – число не рациональное.
Для этого мы воспользуемся методом доказательства от противного, с которым мы уже встречались в этой книге. Другими словами, сначала мы предположим, что утверждение, которое мы хотим доказать, ложно, то есть что существуют такие два числа a и b, что a/b = √2. Затем мы покажем, что логические следствия из этого предположения приводят к противоречию.
Начнем наше доказательство с предположения, что a/b – приведенная дробь[27], то есть дробь, записанная с наименьшим возможным знаменателем (так, например, дроби 21/14 и 15/10 могут быть сведены к дроби 3/2). Чтобы доказать, что √2 – иррациональное число, достаточно показать, что не существует приведенной дроби, равной квадратному корню из 2. Такое дополнительное предположение относительно этой дроби пригодится нам для доказательства. Это предположение допустимо, потому что записать в приведенном виде можно любую дробь; следовательно, если не существует приведенной дроби, равной √2, то это означает, что не существует и вообще никакой дроби, которая была бы равна √2.
Итак, возьмем приведенную дробь a/b и предположим, что a/b = √2. Небольшое преобразование дает нам √2·b = a, а после возведения обеих частей этого равенства в квадрат мы получим 2b² = a². Из этого явно следует, что a² – четное число, что означает, что и число a должно быть четным. Следовательно, в предыдущем равенстве мы можем произвести подстановку a = 2k и получим:
2b² = (2k)²;
2b² = 4k²;
b² = 2k².
Мы видим, что b² – четное число, что означает, что и число b должно быть четным.
Однако если оба числа a и b – четные, дробь a/b не может быть приведенной, потому что и числитель, и знаменатель можно разделить на 2. Следовательно, мы получили противоречие с предыдущим предположением о том, что мы начали с приведенной дроби. Другими словами, мы только что доказали, что √2 не может быть отношением двух целых чисел. Вывод: √2 должен быть числом иррациональным.
Ч. т. д.
Но каково значение того утверждения, которое мы только что доказали?
С точки зрения геометрии оно означает следующее: мы легко можем построить прямоугольный треугольник с катетами единичной длины и столь же легко построить его гипотенузу, но не можем точно определить длину этой гипотенузы относительно длин двух других сторон треугольника за конечное число шагов.
Столь простая геометрическая концепция – гипотенуза треугольника – опровергает основополагающий принцип философии Пифагора, который утверждает, что всё образовано из натуральных чисел. Легко вообразить, что вместе с радостью открытия Пифагор ощутил сильнейшее разочарование.
Мы можем пойти и другим путем – использовать калькулятор. Введите √2 и посмотрите, что из этого получится. Я получил число 1,4142136. Попробуйте умножить это число в столбик само на себя. Если это число – точное значение квадратного корня из 2, то результат его умножения само на себя должен быть точно равен 2. Но это не так! Если хотите, проверьте сами. Дело в том, что мы не получаем ровно 2, потому что калькулятор выдает лишь приближенное значение √2. Даже если купить самый лучший, самый совершенный калькулятор, выдающий больше десятичных знаков после запятой, результат все равно будет лишь приближением к √2, но никогда – точным значением √2.
Взяв вместо калькулятора компьютер, я получаю следующий результат:
1,41421356237309504880168872420969807.
Если вам нужно невероятно скучное занятие на дождливый вечер, попробуйте самостоятельно умножить это число само на себя и проверить, получится ли 2. Не получится. Вы снова получите некий результат, близкий к 2, но не равный 2.
А теперь объяснения
Вот удобный способ понять, что такое иррациональное число: когда мы пишем, что √2 равен 1,4142135… очень трудно объяснить, что обозначает это многоточие в конце. Иррациональность числа подразумевает, что 1) его десятичное представление бесконечно, и 2) в нем никогда не возникают какие бы то ни было повторяющиеся структуры.
Если число десятичных знаков после запятой конечно, такое число явно рационально – то есть вполне может быть выражено в виде дроби a/b. Например, 0,174271 = 174 271 / 1 000 000.
Число, имеющее бесконечное десятичное представление с повторяющейся структурой также рационально, хотя понять это может быть немного труднее. Например, рассмотрим число r = 0,123123123123… В этом числе имеется простая повторяющаяся структура, и легко доказать, что это число рационально, то есть может быть представлено в виде a/b.
Умножим число r на 1000 (число 1000 было выбрано в связи с длиной повторяющейся структуры) и вычтем из результата r:
1000r – r = 999r = 123,123123123… – 0,123123123… = 123.
Следовательно, r = 123/999, что можно сократить до 41/333, а это явное отношение двух целых чисел, и, если вы разделите в столбик 41 на 333, вы сможете убедиться, что эта дробь действительно равна 0,123123123…
Однако проделать тот же фокус с √2 нельзя, потому что десятичное представление этого числа бесконечно и не повторяется. Мы можем найти дроби, очень близкие к √2, – например 577/408. Они дают весьма хорошее приближение, но и только – всего лишь приближение. Интересно отметить, что сам Пифагор отказывался считать √2 числом. Многие упрекали – и до сих пор упрекают – его за это; на мой взгляд, безосновательно.
Важно помнить, что √2 – всего лишь символ числа, которое при умножении само на себя дает 2. Как я уже говорил, можно было выбрать символом этого числа не √2, а цветок, и сказать, что этот цветок обозначает число, при возведении которого в квадрат получается 2. Отличается ли общепринятый математический символ от цветка? Может быть, нам следовало бы начать использовать в математике побольше цветов – тогда она стала бы гораздо более веселой.