Единственное различие между общепринятым символом и нашим цветком состоит в том, что цветок менее удобно использовать. На самом деле нас вообще не интересуют символы: мы хотим записать число, квадрат которого равен 2. Но оказывается, что сделать этого мы не можем: сколько бы цифр после запятой мы не выписали, их никогда не будет достаточно. Нам нужно выписать бесконечно много цифр, а этого не случится никогда.
Феодор (465–398 до н. э.), родившийся лет через тридцать после смерти Пифагора и бывший личным учителем математики у Платона, доказал, что квадратные корни из 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и 17 также равны иррациональным числам. Платон восхищался Феодором и даже упомянул его открытие иррациональности квадратных корней в диалоге «Теэтет»{19}. Мнения о том, почему он остановился на 17, разнятся. В диалоге Теэтет просто говорит Сократу, что Феодор остановился на этом числе. Популярная версия утверждает, что Феодор строил из треугольников спиральную конструкцию, которая носит сегодня его имя. Если вы продолжите это построение, то сразу же увидите, почему его последовательность прекратилась именно на этом числе. Вот спираль Феодора:
Докажите, что квадратный корень из 3 – иррациональное число.
Попробуйте доказать, что квадратный корень из любого целого числа может быть только либо целым, либо иррациональным числом. Другими словами, квадратный корень из любого целого числа, кроме полного квадрата – 4, 9, 16, 25 и так далее, – всегда иррационален.
Ну хорошо. Когда Пифагор решил, что на свете не существует числа, квадрат которого равен 2, он слегка преувеличивал. На свете есть число, квадрат которого равен 2, и число это иррационально. Сегодня математики умеют обращаться с такими числами без особых затруднений – даже несмотря на то, что мы не можем записать их полностью. Честь основания математической теории иррациональных чисел в первую очередь следует приписать трем математикам – Рихарду Дедекинду (1831–1916), Карлу Вейерштрассу (1815–1897) и Георгу Кантору (1845–1918). Не следует полагать, что работать с такими числами легко и просто. Подумайте, например, как сложить √2 и √3 – притом что оба эти числа имеют бесконечное десятичное представление.
В самом деле, как сложить 1,41421356237309504880168872420969807… и 1,73205080756887729352744634150587236…?
Фундаментальные правила сложения, которым нас научили еще в школе, гласят, что начинать надо со сложения самых правых цифр. Но здесь мы не можем найти самые правые цифры – десятичное представление этих чисел бесконечно! Что же делать? Я же говорил вам, что не следует насмехаться над Пифагором из-за того, что он не желал считать иррациональные числа числами.
Многие считают сделанное Пифагором открытие иррациональных чисел самым важным открытием во всей истории математики{20}.
Легенда утверждает, что Пифагор велел своим ученикам хранить его открытие иррациональности длины диагонали квадрата относительно длин его сторон в секрете. Однако один из них, Гиппас, нарушил данное ему обещание (неизвестно, по каким причинам – научным или политическим) и разгласил эту тайну. Далее легенда рассказывает, что Гиппас был изгнан из сообщества пифагорейцев, а кое-кто утверждает даже, что его утопили в море (он попросту не вернулся из одного из своих плаваний вокруг греческих островов). По другой версии, иррациональные числа открыл именно Гиппас, а Пифагор не имел к этому открытию никакого отношения.
Более чем через две тысячи лет после смерти Пифагора Кантор показал, что «почти» все вещественные числа иррациональны. В число таких чисел входят и два из самых важных чисел в математике – число Эйлера e и отношение длины окружности к ее диаметру, число π.
Комментарий и пять упражнений
Я обещал, что буду использовать в этой книге только четыре базовые математические операции. Но кому нужен такой «закон», который нельзя нарушить хотя бы один раз? Вот сейчас мы его и нарушим.
Числа, доказать иррациональность которых легче всего, порождаются операцией логарифмирования{21}. Например, рассмотрим log23, то есть логарифм 3 по основанию 2. Докажем его иррациональность. Для начала предположим, что этому числу равно отношение m/n:
Исходя из определения логарифма и законов операций со степенями, из этого следует, что 2 m/n = 3, а (2 m/n)n = 3n, а следовательно, 2 m = 3n.
Однако никакая степень 2 не может быть равна какой бы то ни было степени 3[28]: 2 в любой степени всегда дает четное число, а 3 в любой степени – нечетное. Значит, мы пришли к противоречию. Другими словами, не существует таких чисел m и n, для которых
что означает, что m/n не может быть рациональным. Следовательно, log23 – иррациональное число.
1. Докажите, что золотое сечение{22} ϕ[29] – иррациональное число.
2. Символом секты пифагорейцев была пентаграмма, вписанная в пятиугольник.
Докажите, что отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине одной из его сторон иррационально. Покажите также, что это отношение равно не произвольному иррациональному числу, а числу ϕ (см. предыдущую задачу). Другими словами, отношение любой диагонали этой фигуры к любой ее стороне равно золотому сечению!
Как же повезло Пифагору, что он так и не узнал, что эти нахальные иррациональные числа, которые он не желал считать равноправными членами семейства чисел, скрывались даже в его собственной эмблеме!
Пифагорейский символ можно дополнить следующим образом:
И такие «дополнения» можно продолжать до бесконечности!
1. Рационально ли число 0,07007000700007…?
2. Рационально ли число 0,123456789101112…?
3. А как насчет числа 0,01123581321345589144…, образованного из членов последовательности Фибоначчи – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… (эта последовательность начинается с 0 и 1, после чего каждый следующий член равен сумме двух предыдущих)?
5Черепаха, Ахиллес и стрела: апории Зенона
Страх бесконечности, присущий древним грекам, замечательно выражается в знаменитых апориях[30] Зенона Элейского, родившегося около 490 г. до н. э. Он в основном работал в Греции[31] около 450 г. до н. э. О жизни Зенона известно мало. По-видимому, он провел большую ее часть на родине, в городе Элее, хотя Платон рассказывает нам в диалоге «Парменид» об интереснейшей встрече в Афинах, на которой присутствовали Зенон, Парменид и молодой Сократ.
Первоисточник Зенона не сохранился, и исследователи по большей части ссылаются на Аристотеля, который пересказывает апории Зенона в своей «Физике».
Зенон создавал свои апории на основе философии своего учителя и друга Парменида. Поэтому, прежде чем мы перейдем собственно к апориям Зенона, давайте узнаем кое-что о Пармениде и его необычной философии.
Взгляды Парменида на жизнь
Парменид, учитель и друг Зенона (Платон намекал даже, что Зенон с Парменидом были любовниками[32]), считается явлением исключительным не только в греческой философии, но и во всей истории западной философии. Единственная известная работа Парменида «О природе», написанная в форме поэмы, дошла до нас лишь в отрывках. Парменид описывает два взгляда на реальность: «путь истины» и «путь чувств». Говоря о «пути истины», он объясняет, что реальность безвременна, однородна, бесконечно плотна и неизменна. Говоря о «пути чувств», он объясняет мир кажущегося и мнений, ложный и обманчивый. Жизненная философия Парменида состояла в том, что мир чувств – всего лишь иллюзия, а истинная Вселенная, которую можно познать только путем строгих размышлений, безмолвна и неподвижна. Он утверждал, что истинная Вселенная находится сейчас точно в том же состоянии, в котором она находилась секунду назад, год назад, миллиард лет назад, – и пребудет в нем же вовеки.
Что??? Это утверждение кажется несусветным даже для греческого философа.
Вот в чем заключалась суть его философии и каким образом он к ней пришел.
Парменид искал истины столь очевидной, что любые сомнения относительно ее справедливости были бы невозможны. Он хотел положить такую несомненную истину в основу всей своей философии. В математике такая истина называется аксиомой. Проведя много дней в утомительных размышлениях, Парменид заснул, и во сне ему явилась Афина – богиня мудрости, дочь Зевса и покровительница города Афин, – которая и помогла ему найти то, что он искал: То, что есть, есть, а того, чего нет, нет.
То есть Парменид утверждает, что существующее есть, а несуществующего нет. Это утверждение кажется очевидным и неопасным. Вы уверены? Тогда читайте дальше.
Вооружившись этой аксиомой, Парменид сформулировал несколько новых истин (на языке математики они называются теоремами). Сперва он предложил Первую теорему Парменида:
Существующее (то, что есть) не могло быть создано и не может исчезнуть.
Эта теорема доказывается почти мгновенно. В математике мы называем этот метод (как уже было упомянуто в другом месте) «доказательством от противного»: мы предполагаем, что справедливо обратное утверждение – что «то, что существует» когда-то было создано, – и проверяем, приводит ли это к логическому противоречию. Если приводит, это означает, что исходное предположение было неверным.