Если «то, что существует» было создано, оно должно было быть создано из чего-то, либо из того «что есть», либо из того «чего нет». Ничто не может быть создано из того «чего нет», потому что там ничего нет. Но, если «то, что существует» было создано из чего-то «что есть», это значит, что «то, что существует» уже существовало. Следовательно, «то, что существует» никогда не было создано.
Ч. т. д.
Предлагаю хитроумному читателю самостоятельно доказать аналогичным образом, что «то, что существует», никогда не может исчезнуть.
Затем философ доказал свою Вторую теорему Парменида:
Все существующее равномерно и бесконечно плотно.
Доказательство этого утверждения тоже поразительно просто. То, что существует, должно быть бесконечно плотным, потому что, если это не так, значит, оно содержит по меньшей мере некоторое количество «того, что не существует». Но «того, что не существует» не существует. Мнение Парменида, что «того, чего нет» нет, многократно истолковывалось в смысле отрицания пустоты. Пустота – это «то, чего нет», а следовательно, ее не существует.
Аналогичным образом все то, что существует, должно быть равномерное плотным, потому что, если есть нечто, что существует и обладает меньшей плотностью, это значит, что в нем больше «того, что не существует». Но «того, что не существует» не существует!
Опять же ч. т. д.
Вам уже кажется, что происходит нечто странное? То ли еще будет!
Доказательство этого утверждения совершенно очевидно: если все бесконечно плотно, как может быть возможно движение?
Тот факт, что мало кто отрицает существование движения, Парменида совершенно не заботил. Его не интересовал мир чувств и мнений, в котором существует возможность ошибки. В его мире истины (мире аксиом и теорем) все неподвижно, ничто не создается и ничто не исчезает.
Апория № 1. Дихотомия, или Иллюзия движения
Вернемся к Зенону. В той единственной книге, которую он, по-видимому, написал, он пытался защищать философию своего наставника. В частности, он хотел подкрепить утверждение Парменида относительно невозможности движения – утверждение, за которое Парменида больше всего критиковали, если не сказать высмеивали. И действительно, верить, что движения не существует, – занятие очень странное.
Защищая своего учителя, Зенон изложил свои знаменитые апории, которые увлекают бесчисленных математиков и философов вот уже более двух тысяч лет. В число тех, кто всерьез размышлял над ними, пытаясь понять, входят Аристотель, Маймонид, Декарт, Лейбниц, Спиноза, Бергсон, Рассел, Льюис Кэрролл, Кафка, Сартр, Гегель и Ленин (который прочитал об апориях в книге Гегеля и написал в своих «Философских тетрадях», что они совсем неплохи) – а также многие, многие другие.
Что же это за апории?
Первая апория называется «Дихотомия», и в ней Зенон демонстрирует невозможность движения при помощи чрезвычайно рационального и логичного объяснения.
Посмотрите на приведенный ниже чертеж. Зенон утверждает, что, чтобы попасть из точки А в точку В, необходимо пройти расположенную посередине между ними точку С.
Но, чтобы попасть из С в В, необходимо сначала пройти половину расстояния между ними и добраться до точки D. Однако и попав в эту точку, особо радоваться не следует, так как, чтобы добраться из нее до точки В, теперь необходимо сначала преодолеть половину оставшегося расстояния и попасть в точку Е. И так далее и так далее.
Вот рассуждение Зенона: «Невозможно пройти бесконечное число точек за конечное время. Следовательно, попасть из точки А в точку В вообще невозможно». Наконец-то мы понимаем, как решить задачу, в которой спрашивается «сколько времени понадобится поезду, чтобы прибыть в одну точку, после того, как он выйдет из другой точки?». Правильный ответ – этот поезд никогда никуда не придет. А поскольку точки А и В выбраны совершенно произвольно, отсюда следует, что переместиться из любого места в любое другое также невозможно. Следовательно, невозможно и движение.
Во множестве книг излагается разрешение этого противоречия. Рассуждение движется (Зенон резко возражал бы против использования слова «движется») более или менее по следующему пути: предположим, что время, необходимое для преодоления определенного расстояния, пропорционально его величине. Тогда мы можем доказать, что Зенон был неправ, потому что все бесконечные «половинные расстояния» (которые становятся все меньше и меньше) можно преодолеть за конечное время. Например, если предположить, что перемещение из точки А в точку С занимает в точности одну единицу времени – скажем, минуту, – то перемещение из точки С в точку D займет полминуты (поскольку это расстояние равно половине предыдущего), из точки D в точку Е – четверть минуты и так далее. Обозначим суммарное время, требуемое для перемещения из А в В, буквой S:
Разделив обе части на 2, получим:
Вычтем второе равенство из первого:
.
Следовательно,
Другими словами, преодоление бесконечного числа серединных точек между А и В займет ровно две минуты.
Честно говоря, этот ответ не так уж и удивителен. Мы начали с предположения, что одну минуту занимает перемещение от А до С, то есть ровно на половину суммарного расстояния; поэтому никого не должно удивлять, что все это расстояние преодолевается за две минуты.
Зенон, несомненно, возражал бы против такого решения самым энергичным образом, потому что мы получили его, предположив именно то, что нужно было доказать. Когда мы сказали «если предположить, что перемещение из точки А в точку С занимает одну минуту», мы уже предположили, что движение возможно и из точки А можно переместиться в точку С. Однако именно это положение и нужно доказать, и, следовательно, наши рассуждения образуют так называемый порочный круг.
Зенон, вероятно, пояснил бы свою точку зрения, сказав что-нибудь вроде: «Как и на каком основании вы предполагаете, что из точки А можно попасть в точку С? Мне совершенно очевидно, что вы совершаете гигантскую ошибку. Ясно, как солнце летним днем на прекрасном греческом острове, что, прежде чем попасть из точки А в точку С, необходимо преодолеть половину расстояния между ними и достичь точки Х. После этого нужно преодолеть половину оставшегося расстояния до С и добраться до точки Y и так далее и так далее.
Вы, разумеется, понимаете, что за конечное время невозможно пройти бесконечное число серединных точек. Следовательно, в противоречии с тем, что вы только что сказали, невозможно и переместиться из точки А в точку С. Я надеюсь, вы сознаете, что так же невозможно и переместиться из точки А в точку Х, потому что и в этом случае нужно сначала преодолеть половину расстояния – и все такое прочее. На самом деле из какой бы то ни было точки вообще невозможно переместиться в какую бы то ни было другую точку. Другими словами, невозможно даже начать какое бы то ни было движение».
Похоже, Зенон победил в этом споре? Не так ли?
Как вы думаете?
Апория № 2. Пята Ахиллеса и крадущаяся черепаха
Вторая апория Зенона, кажется, наиболее знаменита. В ней утверждается, что если Ахиллес, прославленный легконогий герой Троянской войны, побежит наперегонки с черепахой, не отличающейся особой стремительностью, что свойственно всем черепахам, причем у черепахи будет на старте хоть какая-нибудь фора (даже самая микроскопическая), то Ахиллес никогда не сумеет догнать черепаху. Вам это кажется нелогичным? Дадим слово любимому ученику Парменида – пусть он сам изложит свои доводы.
Зенон объясняет это так: «Как только Ахиллес добежит до той точки, с которой начала гонку черепаха, он обнаружит, что той уже там нет. Черепаха действительно уползла недалеко, но это несущественно: Ахиллес все равно остается позади».
Затем нужно всего лишь повторять то же рассуждение снова и снова. Каждый раз, когда Ахиллес добирается до той точки, в которой раньше была черепаха, он видит, что черепаха уползла еще дальше. Черепаха движется вперед с черепашьей скоростью, но Ахиллесу так и не удается ее догнать.
Мне кажется, тут имеет смысл задержаться на секунду (или даже две) и обдумать доводы Зенона.
Предположим, что состязание проводится на дистанции 100 метров. Предположим также, что скорость Ахиллеса равна 10 метрам в секунду (в конце концов, он же знаменитый спортсмен и воин, не так ли?), а черепаха ползет вперед со скоростью 1 метр в секунду (что не так уж и плохо для черепахи). Чтобы состязание было более справедливым, черепахе дается фора 10 метров.
Вполне ясно, что Ахиллес победит в этом забеге, причем без труда. Наш герой пролетит эти 100 метров за поразительно короткое время – всего 10 секунд. Черепахе нужно преодолеть лишь 90 метров, но, поскольку на прохождение каждого метра у нее уходит целая секунда, в конце дистанции она окажется лишь через 90 секунд. Итак, Ахиллес первым приходит к финишу, получает лавровый венок, кланяется собравшимся болельщикам и чрезвычайно терпеливо ждет, пока финиширует его соперник. Черепаха, истекающая потом и чуть не валящаяся с ног, прибывает через целых 80 секунд после финиша Ахиллеса.
Все это кажется абсолютно очевидным. Но Зенон смотрел на эту историю совершенно по-иному. Вот рассуждения Зенона.
Как только Ахиллес добегает до 10-метровой отметки, с которой стартовала черепаха, он обнаруживает, что черепахи там уже нет, потому что ей удалось уковылять на один метр вперед, и теперь она находится на 11-метровой отметке. Расстояние между соперниками сократилось от 10 метров до всего лишь одного, но черепаха по-прежнему впереди.