Зилия. Зенон, ты постоянно споришь о самых простых и очевидных вещах и всюду вносишь ненужные усложнения.
Зенон. Не бывает ничего простого и ясного.
Зилия. О чем ты говоришь на этот раз?
Зенон. На прошлом уроке вы учили нас, что прямая состоит из бесконечного множества точек, так?
Зилия. Именно так.
Зенон. А еще вы сказали, что длина точки равна нулю, не правда ли?
Зилия. Разумеется. Потому что, если бы она была какой-нибудь другой, то точку можно было бы разделить на части, что противоречит нашей основополагающей предпосылке. Если бы у точки была длина, она была бы не точкой, а отрезком прямой. Кроме того, у точки не может быть никакой длины, потому что между любыми двумя точками всегда есть еще одна точка – на самом деле даже несколько дополнительных точек. Если бы точка имела длину большую нуля, а расстояние между двумя точками было меньше этой длины, то первую точку было бы невозможно разместить между двумя другими. А это полностью противоречит всей фундаментальной логике геометрии.
Зенон. Хорошо. Напрасно вы так старались. Я согласен с вами, что длина точки равна нулю. Но теперь я хочу задать один маленький вопрос: как отрезок длиной, скажем, 17 см может состоять из точек нулевой длины? Мы выучили еще в первом классе, что сумма любого количества нулей всегда равна нулю. Повторю свой вопрос: как множество точек, имеющих нулевую длину, может образовывать отрезок длиной 17 см? Жду разъяснений и ответов.
Зилия. Мне нужно будет немного подумать. Я отвечу тебе на следующем уроке.
Зенон. Не спешите, я подожду. Вот еще одна похожая задача, которая может помочь вам в поисках ответа. Квадрат состоит из бесконечного количества линий, каждая из которых имеет нулевую площадь. Как может быть, что этим линиям удается заполнить квадрат, имеющий положительную площадь? Может быть, вам следует пойти обсудить этот вопрос с Зилотисом, учителем физики. Спросите его на языке, который он понимает: «Как может быть, что стрела, пролетающая за время t = 0 расстояние s = 0, может перемещаться из одного места в другое? Разве неверно, что в любой произвольный момент она преодолевает расстояние, равное нулю? Можно сфотографировать стрелу – да, я знаю, что фотография еще не изобретена, – и увидеть, что в любой конкретный момент она находится в состоянии покоя. Возможно, время не состоит из моментов? Возможно, если взять достаточное количество нулей, их сумма может не быть равной нулю?» Ну ладно, я пойду проверять свою теорию при помощи пращи.
(Звенит звонок. Все ученики радостно выбегают из класса на школьный двор. Учительница быстро скрывается в учительской, чтобы выпить капельку узо и слегка расслабиться. Только Зенон остается в классе, размышляя о стрелах, о пращах и о черепахах, ползущих быстрее прославленных легконогих героев. Ему ясно, что он все равно не сможет выйти из класса, потому что для этого ему нужно сначала пройти половину расстояния…)
Французский философ еврейского происхождения Анри-Луи Бергсон (1859–1941) оказал огромное влияние на философскую мысль первой половины XX в. Он был убежден, что человеческий разум не может и никогда не сможет осознать апории Зенона. По мнению Бергсона, единственное, что можно сделать, – это сформулировать практический подход для сосуществования с ними.
Однако другие французы относились к Зенону и его апориям с меньшей терпимостью. Например, выдающийся математик, физик-теоретик и философ науки Анри Пуанкаре (1854–1912) заявил следующее:
Зенон был идиотом, и только идиоты могут заниматься его апориями.
Англичанин Бертран Рассел не был согласен с французами. В книге «Основания математики»[35] (1910–1913) Рассел называл апории Зенона «неизмеримо тонкими и глубокими».
Гипотеза Пуанкаре – одна из семи открытых математических проблем, которые Математический институт Клэя внес в 2000 г. в список «Задач тысячелетия». На момент написания этой книги это единственная решенная задача из тех семи.
Эту задачу решил блестящий российский математик еврейского происхождения Григорий Перельман (р. 1966). За доказательство гипотезы Пуанкаре Перельмана должны были наградить медалью Филдса и «Премией тысячелетия» Института Клэя, составляющей миллион долларов. Я говорю «должны были наградить», потому что Перельман отказался от обеих премий. «Деньги и слава меня не интересуют. Важна только точность доказательства», – объяснил Перельман{23}.
Он даже не опубликовал статьи со своим доказательством. О нем написали другие математики.
Перельман вообще известен отказами от премий и наград. В свое время он отказался и от престижной премии Европейского математического общества, заявив, что те, кто присуждает эту премию, не способны понять и оценить его работы.
В 2003 г., когда ему было всего 37 лет, Перельман отошел от исследовательской работы в математике. Сейчас он нигде не работает и живет с матерью в Санкт-Петербурге.
Великие математики – от Зенона до Ньютона, от Галуа до Перельмана – по большей части бывают совершенно непохожими на обычных людей. Возможно, именно это отчасти и делает их великими математиками.
Но нам пора вернуться к теме нашей беседы.
После того как Ахиллесу так и не удалось обогнать черепаху, он решил начать интенсивные тренировки. Он явился на олимпийский стадион и разметил себе беговую дорожку, которая начиналась в точке А и заканчивалась в точке В. Однако боги – которых было бесконечное количество – решили помешать Ахиллесу добиться цели. Первый бог решил не позволить Ахиллесу пробежать половину дистанции, второй бог решил не позволить Ахиллесу пробежать четверть дистанции, третий бог – одну восьмую… и так далее.
В предположении, что эти боги могут сделать все, что захотят, докажите, что Ахиллес не сможет даже начать бежать к точке В.
Если вы пришли к выводу, что Ахиллес вообще не сможет сдвинуться с места, почему это так? Пока Ахиллес стоит на линии старта, ни один из богов ему не мешает. Так что или кто останавливает нашего (почти) непобедимого воина?{24}
Представьте себе, что в состязание Ахиллеса с черепахой вносится небольшое изменение. Каждый раз, когда Ахиллес добирается до точки, в которой раньше была черепаха, оба бегуна останавливаются и отдыхают минуту (черепахе такой отдых очень нужен). В этом случае Ахиллес догонит черепаху через бесконечное число минут – то есть никогда ее не догонит. Сколько же вариаций у этой темы!
Назавтра после забега стаккато чрезвычайно обескураженный Ахиллес решил все же продолжать тренироваться. Он решил начать тренировку в два часа дня. Без одной минуты два Ахиллес явился на стадион. Однако у героя Троянской войны никогда ничего не выходит просто. Бесконечных олимпийских богов привел в ярость шум, поднятый воином, как раз когда они готовились к своей божественной послеполуденной сиесте, и они решили разделаться с ним, поразив его в пятку отравленной стрелой. Первый бог решил выстрелить в Ахиллеса через полминуты после двух часов, а второй бог решил убить его в другое время – через четверть минуты после двух. Третий бог предпочел запланировать это злодеяние на одну восьмую минуты после двух… ну и так далее.
К двум часам и одной минуте здоровье Ахиллеса оказывается, мягко говоря, подорвано: он лежит мертвый, а из его пятки торчит бесконечное количество отравленных стрел. Однако никого из богов нельзя обвинить в его смерти. У каждого из них есть превосходное оправдание, причем одно и то же: «Когда я выпустил свою стрелу в Ахиллеса, он уже был мертв, так как в его пятку попало бесконечное количество стрел. Я признаю, что стрелять в труп – дело неблаговидное, но это вовсе не значит, что меня можно обвинить в убийстве».
Вопрос: кто же убил Ахиллеса? И когда?
Математик в космосе
Вы, вероятно, уже заметили, что, как только мы начинаем задевать концепции вроде нуля и бесконечности, многие из «нормальных» законов перестают работать. Я расскажу вам об одном знаменитом мысленном эксперименте под названием «Космический корабль».
Попытайтесь представить себе, что произойдет с космическим кораблем, который летит по следующим правилам: первые полчаса он летит со скоростью 2 километра в час (то есть очень медленно по меркам космических кораблей). На следующую четверть часа его скорость несколько возрастает – до 4 километров в час. В течение следующей одной восьмой часа он летит со скоростью 8 километров в час – и так далее. Где этот космический корабль окажется через час?
Расчет несложен. За первые полчаса, пока корабль летит со скоростью 2 километра в час, он пролетит один километр. За следующие четверть часа, летя со скоростью 4 километра в час, он тоже пролетит один километр. И так далее и так далее: еще километр, и еще километр, и еще один. Легко видеть, что расстояние, которое преодолевает космический корабль, равно 1 + 1 + 1 +… Однако число единиц, которые нужно сложить, бесконечно, и, следовательно, бесконечна и итоговая сумма. Так где же наш космический корабль? По-видимому, нигде, потому что он должен оказаться на бесконечном расстоянии от точки запуска. Если бы космический корабль находился в какой-либо определенной точке, она была бы расположена на определенном расстоянии от точки запуска, но этого быть не может, так как корабль улетел на бесконечное расстояние. Где же он? Неизвестно. Поиски космического корабля продолжаются до сих пор.