Вернемся, однако, к канторовой теории множеств.
Сколько элементов содержится в множестве всех четных чисел, которые не могут быть выражены в виде суммы двух простых чисел? Я надеюсь, что вы помните гипотезу Гольдбаха, которая утверждает, что таких чисел не существует. Другими словами, в этом множестве нет ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается вот так: Ø.
Можно сказать, что множество всех четных чисел, которые не могут быть выражены в виде суммы двух простых чисел, с очень высокой вероятностью может быть пустым множеством, но абсолютной уверенности в том, что это действительно так, у нас нет. А вот множество чисел, которые больше самих себя, и множество ежей, говорящих на идиш, совершенно точно пусты.
Ну хорошо; может быть, и можно проявлять некоторую гибкость относительно того, входит ли тот или иной элемент в то или иное множество, – как это делается в теории нечетких множеств, – но до сих пор мы не встречали ничего особенно необычного, что не позволило бы нам определить множество как некий набор элементов. Более того, я должен отметить, что подобное же определение дал концепции множества и сам Кантор.
Однако в мире математики нет почти ничего действительно простого и самоочевидного – есть только кажущееся таковым на первый взгляд.
«Очевидно» – самое опасное слово в математике.
Оказывается, в таком интуитивном определении множества – как некоего набора элементов – есть несколько скрытых проблем. В качестве примера я расскажу о неприятности, которая случилась с немецким математиком, логиком и философом Готлобом Фреге (1848–1925).
В 1902 г. Фреге собирался опубликовать второй том своей монументальной работы под названием «Основные законы арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik), в которой он показывал, как можно воссоздать правильную арифметику исходя из заложенного Кантором основания теории множеств и используя только наивное определение множества по Кантору. Но 16 июня Фреге почувствовал, что весь его труд грозит развалиться на части: он получил от Бертрана Рассела письмо, в котором тот изложил сформулированный им парадокс, ставший с тех пор чрезвычайно знаменитым. Он известен как «парадокс Рассела» или «антиномия Рассела».
Брить или не брить – парадокс Рассела
Парадокс Рассела существует во многих вариантах, но наиболее известен в формулировке так называемого «парадокса брадобрея».
В маленькой удаленной английской деревушке жил-был Эдвард, профессиональный брадобрей, известный своим крайним педантизмом. Несколько лет назад, когда он только открыл свою парикмахерскую под вывеской «Эдвард Руки-ножницы», он провозгласил следующее правило: он будет брить всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их.
В первый день все шло хорошо. В деревне были те, кто брился самостоятельно, и те, кто приходил к Эдварду ради того гладкого бритья, на которое были способны только его искусные руки. На второй день Эдвард начал замечать на своих щеках и подбородке пробивающуюся щетину, которая его вовсе не красила. Однако за мгновение до того, как он взялся за бритву, дотошный брадобрей осознал, что правило, которое он же сам и ввел, поставило его в затруднительное положение.
В соответствии с этим правилом он должен был брить только тех жителей деревни, которые не брились сами. Можно ли ему побрить самого себя? Брить или не брить? Вот в чем вопрос.
Тщательно обдумайте то, что тут происходит. Если он побреется, то нарушит свое собственное правило, потому что тем самым побреет человека, который бреется самостоятельно; но, если он не побреется, то станет жителем деревни, не бреющимся самостоятельно, а такого человека он должен побрить.
Парадокс Рассела порождается принципом так называемого «порочного круга». Из этого принципа следует, что множеству лучше не содержать элементов, которые могут быть описаны при помощи определения самого этого множества (если только вы не хотите попасть в такую парадоксальную ситуацию).
Интереснейший анализ этого парадокса приводится в книге Рэймонда Смаллиана «Алиса в стране смекалки» (1982)[43]. Там этот парадокс объясняет Алисе Шалтай-Болтай. Смаллиан приходит к следующему выводу: парадокс брадобрея эквивалентен утверждению «Я знаю человека низкорослого и в то же время высокого».
Вот другой вариант парадокса Рассела. Библиотекарь решает составить два каталога своей библиотеки: один из них желтый и называется «Желтый каталог книг, в которых упоминаются они сами», а второй – «Синий каталог книг, в которых не упоминаются они сами».
Библиотекарь рассматривает одну за другой все книги библиотеки и вносит их названия либо в желтый каталог, либо в синий. Последний получается очень большим, а первый – весьма тонким, поскольку в большинстве книг они сами не упоминаются. Наконец библиотекарь доходит до двух последних книг, которые нужно каталогизировать: это сами желтый и синий каталоги.
Желтый каталог можно внести в него самого (потому что тогда в нем будет упоминаться он сам, так что все будет в порядке). Но что, спрашивается, делать с синим каталогом, в котором должны быть перечислены книги, не содержащие упоминания о самих себе? Если его внести в самого себя, то в синем каталоге будет упоминаться он сам, а следовательно, его там быть не должно. Однако если вписать его в желтый каталог, то в синем каталоге не будет упоминаться он сам… следовательно, его не должно быть в желтом каталоге, который предназначен для книг, содержащих упоминания о самих себе. Мы явно зашли в тупик. Что бы мы ни делали с синим каталогом, мы в любом случае нарушаем правило.
Я не хочу состоять в клубе, в члены которого принимают таких, как я.
Два типа множеств
Вернемся к нашей теме. Есть два типа множеств. Множества первого типа называют обычными множествами: это множества, не содержащие в качестве элемента самих себя. Например, к этому типу относится множество всех кроликов, потому что множество всех кроликов – не кролик и, следовательно, не является элементом самого себя.
А вот множество всех «не-кроликов» – это множество второго типа, к которому относятся множества, содержащие самих себя. Множество «не-кроликов» – тоже не кролик. Аналогичным образом «множество всех объектов, которые можно описать при помощи ровно одиннадцати слов» – тоже множество второго типа. Необычное свойство этих множеств заключается в том, что они сами обладают свойствами, которых требует определение их элементов. Проще говоря, они содержат сами себя в качестве элементов. Представьте себе, например, множество всех идей, которые можно вообразить. Это множество содержит в качестве одного из своих элементов и само себя: очевидно, множество всех идей, которые можно помыслить, – тоже идея. Этот второй тип множеств принято обозначать буквой R, в честь Рассела. Другими словами, любое множество, которое может содержать само себя в качестве элемента, называется сейчас множеством типа R[44]. Любое множество может быть только обычным или расселовским, что означает, что никакое конкретное множество, предположительно, не может быть в одно и то же время множеством обычным и множеством расселовским.
Но так ли это на самом деле?
Рассмотрим множество всех обычных множеств. Назовем это множество М. И тут нас ожидает сюрприз: множество М – не обычное множество, но и не расселовское. Сейчас объясню.
Если бы М было обычным множеством, тогда его следовало бы включить в качестве элемента в множество обычных множеств, то есть в множество М. Но тогда М будет элементом М, а значит, М не может быть стандартным множеством, потому что оно содержит само себя и, следовательно, относится к расселовским множествам. Мы пришли к противоречию.
Вместе с тем, если М – расселовское множество, значит, оно не принадлежит к «множеству обычных множеств». Но это и есть множество М! Снова получается противоречие.
Как можно видеть из всего этого, исходное «интуитивное» определение множества, которое Кантор сформулировал на естественном языке в так называемой «наивной теории множеств», может приводить к неразрешимым парадоксам. Поэтому теперь используются другие методы определения множеств.
Из всего этого можно сделать следующие выводы:
1. Неограниченное применение интуитивного определения понятия множества может порождать нежелательные парадоксы.
2. Не следует устанавливать такие правила, которые люди не могут выполнять.
3. Множество всех «не-кроликов» слишком велико, чтобы его можно было обсуждать.
1. Поскольку я нежно люблю Италию, я никак не могу не упомянуть, что итальянский математик Чезаре Бурали-Форти (1861–1931) открыл нечто похожее на парадокс Рассела еще раньше его, в 1897 г. Он занимался исследованиями теории множеств и изучал концепцию так называемого «множества всех порядковых чисел».
2. Французский философ Жан Буридан также представил – еще в XIV в. – парадокс, очень похожий на парадокс брадобрея по Расселу. В главе VIII книги «Софизмы» (Sophismata), называющейся «Неразрешимое» (Insolubilia), Буридан рассказывает следующую историю:
Платон встречал своих учеников у некоего моста и не позволял никому перейти на другую сторону без его разрешения. Однажды к мосту пришел Сократ, который потребовал, чтобы Платон его пропустил. Платону не понравился тон, которым разговаривал с ним его учитель; он ответил: «Если первое утверждение, которое ты выскажешь, будет истинным, я тебя пропущу; если же первое утверждение, которое ты выскажешь, будет ложным, я брошу тебя в бурную воду». Сократ немного подумал и сказал: «Ты бросишь меня в воду».