раздо более точно определенное: 10гугол. Даже не пытайтесь представить себе это число. Астроном и писатель Карл Саган (1934–1996) отмечал в своем телесериале «Космос: Личное путешествие», что записать гуголплекс невозможно в связи с одной очень серьезной проблемой: в наблюдаемой Вселенной не хватит места для всех его цифр.
Тем не менее даже гуголплекс бесконечно далек от бесконечности. На самом деле это число ничуть не ближе к бесконечности, чем 1 или 7, да и любое другое число, которое вы можете назвать.
Даже число, равное гуголплексу в степени гуголплекса остается определенно конечным. Я буду называть это число пухплексом в честь своего любимейшего друга, милого, пухлого медвежонка Винни-Пуха. Если даже гуголплекс превосходит всякое человеческое воображение, то что уж говорить о пухплексе? Вы можете придумывать сколь угодно большие числа и даже давать им названия по своему вкусу. Можно возвести пухплекс в степень пухплекса, а потом подумать о факториале получившегося числа – одна только попытка осознать размеры таких чисел вызывает у меня головную боль – и все равно эти числа будут конечными и останутся не менее далеки от бесконечности, чем число 7.
Вернемся же к разговору о бесконечности.
8Кардинальные числа и укрощение бесконечности
О футболистах и манекенщицах(одно-однозначное соответствие)
Вернемся к вопросу о том, когда можно считать, что два множества имеют одинаковые размеры.
В случае конечных множеств никаких затруднений не возникает. По меньшей мере в принципе эту задачу можно решить методом подсчета: если в множестве А столько же элементов, сколько и в множестве В, можно сказать, что эти множества равного размера.
Трудности возникают, однако, когда речь заходит о бесконечных множествах. В этом случае подсчет их элементов невозможен. Как вы думаете, можно ли сравнить размеры двух групп без подсчета? Оказывается, можно.
Для начала попытаемся немного разобраться в ином подходе к сравнению конечных множеств. Представим себе модный клуб, в котором идет полным ходом ежегодная встреча топ-моделей и знаменитых футболистов. Праздник в самом разгаре, и многие футболисты, так же как и многие манекенщицы, самозабвенно пляшут на танцплощадке.
Можем ли мы определить, не считая, кого там больше – футболистов или манекенщиц, или же, может быть, и тех и других присутствует поровну?
У этой задачи есть одно чрезвычайно простое решение: нужно всего лишь включить какую-нибудь спокойную музыку и объявить, что каждый футболист должен пригласить на танец манекенщицу. После этого есть три варианта развития событий:
1. Танцуют все, что означает, что число футболистов равно числу манекенщиц.
2. Остаются футболисты, которые не смогли найти себе пары и стоят, печальные и одинокие, возле бара. В этом случае ясно, что футболистов оказалось больше, чем манекенщиц.
3. Не танцуют некоторые из манекенщиц: множество манекенщиц оказалось больше, чем множество футболистов.
Важно отметить, что этот метод сравнения не позволяет нам узнать точное число футболистов и манекенщиц. Однако хотели-то мы сравнить размеры этих двух групп, и именно это мы и сделали.
Этот метод сравнения работает и при сравнении бесконечных множеств, подсчет элементов которых невозможен.
Теперь нам пора познакомиться с двумя довольно скучными – но важными – концепциями.
Одно-однозначное, или инъективное, соответствие или отображение (1:1)
Соответствие между элементами множества А и множества В, при котором разные элементы множества А находятся в соответствии (образуют сочетания) с разными элементами множества В и наоборот, называется одно-однозначным отображением (или инъекцией). Для краткости соответствие такого типа обозначают 1:1.
Например, предположим, что у нас есть три футболиста – Роналду, Месси и Мбаппе – и четыре манекенщицы – Адриана, Жизель, Кейт и Нина. Если мы составим следующие пары футболистов и манекенщиц:
то получим одно-однозначное соответствие между двумя сформированными таким образом множествами, потому что любые два футболиста (разные элементы множества А) попадают в пары с разными манекенщицами (разными элементами множества В). То обстоятельство, что Адриана осталась без пары, с точки зрения этого определения не имеет значения. Раз у каждого элемента множества А есть уникальная пара, соответствие можно считать одно-однозначным.
Кроме того, пары можно составить и следующим образом:
В этом случае соответствие не будет одно-однозначным, потому что два разных футболиста попали в пары с одной и той же манекенщицей, Кейт. В множестве А больше элементов, чем в множестве В.
Сюръективное соответствие
Когда существует такое соответствие элементов множества В элементам множества А, что для каждого элемента множества В имеется по меньшей мере один соответствующий элемент множества А, такое соответствие называют сюръективным. Обратите внимание, что на один и тот же элемент множества В могут отображаться несколько элементов множества А (в этом случае получившееся отображение не будет одно-однозначным). При таком соответствии говорят, что множество А сюръективно отображается на множество В.
Предположим, например, что у нас есть теперь пять футболистов – Роналду, Месси, Мбаппе, Кен и Неймар – и те же четыре манекенщицы – Адриана, Жизель, Кейт и Нина. Для них можно образовать следующее сюръективное соответствие:
Это соответствие сюръективно, потому что каждый из элементов множества В (четырех манекенщиц) образует пару по меньшей мере с одним элементом множества А (футболистом). Заметим, что в этом случае два футболиста «отображаются на» одну из манекенщиц (Кейт). В то же время следующее соответствие не будет сюръективным:
Почему? Потому что один из элементов множества В (Жизель) не образует пары ни с одним из элементов множества А. Обратите внимание, что на двух манекенщиц «отображаются» по два футболиста, в результате чего бедная Жизель остается в одиночестве.
Если между двумя множествами А и В существует и одно-однозначное, и сюръективное соответствие, это означает, что элементы этих множеств могут быть разбиты на «идеальные» пары – каждому индивидуальному элементу множества А может быть сопоставлен элемент множества В, а каждому элементу множества В может быть сопоставлен элемент множества А. Соответствие, которое является одновременно инъективным и сюръективным, называется биективным[46].
Совершенно ясно, что, если оба множества А и В конечны, то существование между ними и одно-однозначного, и сюръективного соответствий возможно, только если оба множества содержат одинаковое количество элементов. Поясню: наличие одно-однозначного (инъективного) соответствия означает, что количество элементов множества В равно количеству элементов множества А или больше его, а наличие сюръективного соответствия предполагает, что большее или равное число элементов содержит множество А (поскольку каждый элемент множества В может быть связан с несколькими элементами множества А). В сочетании эти два условия означают, что, если А и В – конечные множества, то количество элементов в них должно быть одинаковым.
Можно продемонстрировать, что соответствие между множеством футболистов и множеством манекенщиц является одновременно одно-однозначным и сюръективным тогда, и только тогда, когда оба эти множества содержат одно и то же количество элементов, как в следующем примере (приведенном для тех, кто тоскует по прошлому):
Вот еще один пример:
В нем также имеются одно-однозначное и сюръективное соответствие, и нам даже не пришлось привлекать футболистов или манекенщиц.
Теперь, прояснив все эти вопросы, вернемся к бесконечным множествам. Исходя из изложенного выше, кажется естественным дать следующее определение равенства количества элементов двух множеств (будь то конечных или бесконечных):
Два множества А и В имеют равную мощность, если между элементами множества А и элементами множества В существует некоторое (любое) соответствие, одновременно одно-однозначное (инъективное) и сюръективное.
Что же это за «мощность»? Возможно, вы помните, что мы уже упоминали ее некоторое время назад. Смысл мощности конечных множеств вполне ясен.
В случае конечных множеств мощность – это просто вычурное обозначение «количества элементов множества». Например, множество A = {17, 42, 1729, 1 234 321} содержит четыре элемента; следовательно, его мощность (которую называют также кардинальным числом) равна 4. Это утверждение можно записать следующим образом: #A = 4[47].
Однако в случае бесконечных множеств понятие «количества элементов множества» не очевидно и не может быть очевидно. Когда речь идет о бесконечных множествах, мы можем только сравнивать их мощности.
Парадокс Галилео Галилея
В начале XVII в. Галилео Галилей описал парадокс, который был назван его именем. В парадоксе Галилея речь идет об одно-однозначном и сюръективном соответствиях между множеством натуральных чисел {1, 2, 3, 4…} и множеством полных квадратов {1, 2, 4, 9, 16…}. Из элементов этих множеств можно составить пары, как показано в приведенной ниже таблице. Должно быть очевидно, что для каждого элемента множества А существует один, и только один, соответствующий ему элемент множества В, и наоборот:
Возникающий здесь парадокс состоит в том, что множество натуральных чисел и его собственное подмножество – то есть подмножество, не равное самому этому множеству