Если бы оба множества А и Т были счетными – то есть счетными были бы и множество алгебраических чисел, и множество трансцендентных чисел, – то их элементы можно было бы упорядочить: A = (a1, a2, a3…) и T = (t1, t2, t3…). Следовательно, их объединение T∪A тоже было бы счетным, так как его элементы можно было бы упорядочить следующим образом:
Но, как мы знаем, множество R несчетно. Поскольку нам известно, что множество А счетно (см. раздел под названием «Каникулы алгебраических чисел в отеле Гильберта»), а T∪A = R, множество Т никак не может быть счетным.
Что же, если количество трансцендентных чисел так велико, что они образуют несчетное множество, казалось бы, найти пример трансцендентного числа должно быть совсем не трудно. Да что там, математики должны то и дело на них натыкаться.
Но так ли это? На самом деле нет. Даже к нынешнему моменту выявлено очень немного трансцендентных чисел.
Давайте попробуем. Может быть, трансцендентно число (√2 + ϕ)? Ничего подобного. Это число оказывается алгебраическим: можете попытаться составить алгебраическое (полиномиальное) уравнение (с целыми коэффициентами), решением которого оно является. Собственно говоря, готов поспорить, что вы не сможете найти ни одного неалгебраического числа.
Что же получается? Мы доказали, что количество трансцендентных чисел не просто бесконечно, но и несчетно. Проблема состоит в том, что это доказательство существования, а не конструктивное доказательство. Другими словами, хотя это доказательство может убедить нас в существовании бесконечно многих трансцендентных чисел (что вытекает из мощности континуума), оно не дает ни малейшей подсказки относительно того, как найти хотя бы одно такое число.
Как мы уже сказали, в 1844 г. Лиувилль открыл одно трансцендентное число. Вот оно:
Вам может быть не вполне ясно, что именно это за число; позвольте мне объяснить.
Число Лиувилля строится следующим образом:
Шаг 1. Вычисляем все факториалы: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120…
Шаг 2. Составляем число, в котором после запятой встречаются только нули и единицы, причем 1 стоит на 1-м, 2-м, 6-м, 24-м, 120-м – и так далее – местах, а на всех остальных местах стоит 0.
Лиувилль доказал, что это число не является корнем какого бы то ни было алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.
Как вы можете вообразить, это доказательство не слишком просто, так что вам придется поверить мне (и Лиувиллю) на слово – это действительно так.
Посмотрите на следующее число: 3,140001000000000000000005… сформированное сходным образом. Это число получено из десятичного представления числа π, в котором все цифры после запятой, кроме 1-й, 2-й, 6-й, 24-й, 120-й и так далее (их номера соответствуют 1! 2! 3!..), заменены нулями. На упомянутых же местах стоят последовательные цифры числа π.
Поскольку π =3,141592653589793… на 24-м месте оказывается цифра 5, на 120-м месте – цифра 9, на 720-м – цифра 2 и так далее.
Математики могут доказать, что это число также трансцендентно (а вам снова придется поверить, что они знают свое дело).
А как обстоит дело с самим π? Трансцендентно ли это число?
π: Я не рационально!
Вы не можете угадать, как я себя поведу…
Тот факт, что число π иррационально (то есть не существует такой дроби a/b, которая давала бы значение π), отметил – но не доказал – еще персидский математик, астроном и географ IX в. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (в латинской транскрипции его имя передавалось как Algoritmi, и от него произошло слово «алгоритм»). Он был заметной фигурой знаменитого «Дома мудрости» в Багдаде в эпоху наивысшего расцвета исламской культуры. Ему принадлежит множество чрезвычайно важных достижений в области алгебры; более того, само слово «алгебра» происходит от сочетания «аль-джебр», взятого из названия фундаментального труда по этой науке, который аль-Хорезми написал около 820 г.[52].
Маймонид также верил в иррациональность π, но не доказал его. Строгое доказательство получил только в 1768 г. швейцарский математик (Эйлер был не единственным швейцарским математиком!) Иоганн Генрих Ламберт.
Доказательство иррациональности числа π сравнительно просто; доказать же, что π – число трансцендентное, оказалось чрезвычайно трудно. Прошло еще более 100 лет, прежде чем немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал в 1882 г., что π трансцендентно, то есть не является корнем какого-либо многочлена с целочисленными коэффициентами.
За несколько лет до этого, в 1873 г., французский математик Шарль Эрмит (вы заметили, как много нам встречается французских математиков?) доказал трансцендентность е – числа Эйлера{31}. Доказательство трансцендентности числа (особенно числа π) – процесс долгий и сложный, и здесь мы не станем входить в его подробности. В общем, просто представьте себе, каким образом можно получить доказательство того, что существует число, не дающее нуля ни в каком уравнении вида
Это отнюдь не простая задача!
Чтобы проиллюстрировать ее сложность, скажу только, что в настоящее время все еще неизвестно, к каким числам – алгебраическим или трансцендентным – относится π в степени π (ππ). Давид Гильберт (который, напомню, является счастливым «владельцем» бесконечной гостиницы) задавался вопросом об алгебраичности или трансцендентности числа 2√2. Сегодня мы знаем, что это число трансцендентно. Собственно говоря, доказательство этого факта – часть общей теоремы, которая называется теоремой Гельфонда – Шнайдера, утверждающей, что число ab трансцендентно, если а – любое алгебраическое число, не равное 0 или 1, а b – иррациональное алгебраическое число. При помощи этой теоремы мы можем заключить, что е в степени π (eπ) должно быть трансцендентным, так как, если вы помните, eπ = eiπ(–i) = (–1)–i.
Почему? В этом случае число (–1), стоящее на месте а, – это алгебраическое число, не равное ни 0, ни 1. На месте b стоит число, и это действительно число алгебраическое (i – корень уравнения x² + 1 = 0) и иррациональное.
Эту прекрасную теорему независимо друг от друга доказали в 1934 и 1935 гг. русский математик Александр Гельфонд и немецкий математик Теодор Шнайдер. Теорема Гельфонда – Шнайдера дала ответ на вторую часть седьмой проблемы из списка 23 нерешенных математических задач, который Гильберт представил в 1900 г. Международному конгрессу математиков, собравшемуся в Парижском университете – Сорбонне.
Таким образом, мы знаем, что оба числа 2√2 и eπ = eiπ(–i) = (–1)–i трансцендентны. С двумя числами мы разобрались, осталось бесконечное количество других.
Континуум-гипотеза и недостающая аксиома
Мы уже знаем, что мощность множества вещественных чисел больше мощности множества натуральных чисел. Но насколько она больше? И почему мы обозначаем ее ℵ? Почему бы не сказать, что кардинальное число множества вещественных чисел равно ℵ1? Казалось бы, такое обозначение было бы естественным продолжением ℵ0.
Как мы уже говорили, тот факт, что множество несчетно, не всегда означает, что его мощность равна ℵ. Отсюда возникает естественный вопрос: существуют ли множества чисел, мощность которых больше, чем ℵ0, но меньше, чем ℵ? В 1877 г. именно этим вопросом задался Георг Кантор.
В математике умение поставить вопрос должно цениться выше, чем умение разрешить его.
Кантор считал, что множеств, мощность которых больше, чем ℵ0, но меньше, чем ℵ, не существует. Другими словами, он предположил, что мощность множества вещественных чисел есть ℵ1. Эта гипотеза известна под названием «континуум-гипотеза».
Не существует множества с мощностью, строго промежуточной между мощностью множества целых чисел, ℵ0, и мощностью множества вещественных чисел, ℵ.
В течение многих лет и несмотря на огромные усилия математики не могли ни доказать, ни опровергнуть эту гипотезу. В знаменитом Гильбертовом списке 23 наиболее важных открытых проблем в математике она стояла первой.
Чтобы понять то историческое событие, которое привело к решению проблемы СН, нам нужно сделать шаг назад и посмотреть, что происходило в то время в геометрии. Как вы помните, геометрия по большей части основывается на системе аксиом (они же постулаты), разработанной Евклидом более 2000 лет назад и до сих пор применимой в том, что можно назвать «базовой» геометрией. Несмотря на древность этой системы, существовала давняя открытая проблема, касающаяся пятого постулата Евклида, «аксиомы параллельности прямых». Этот постулат гласит: если на плоскости есть прямая m и точка А, не лежащая на этой прямой, то через эту точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной. По правде говоря, этот вариант пятого постулата Евклида предложил шотландский математик XVIII в. Джон Плейфер. В формулировке самого Евклида речь шла о сумме углов и не использовалось слово «параллельная». Вопрос заключался вот в чем: можно ли вывести пятый постулат из других аксиом? Другими словами, избыточна ли эта аксиома? Оказалось, что эта аксиома фундаментальна, то есть не может быть выведена исходя только из четырех других аксиом. Эта идея, вероятно, побудила математиков исследовать, как СН соотносится с аксиомами теории множеств, и рассуждения об аксиомах в конечном счете оказали влияние на теорию множеств.