С годами стало ясно, что вопросы о бесконечности должны быть очень близки к самым основам математики, и подходить к ним следует с чрезвычайной осторожностью.
В 1908 г. был создан набор аксиом, который называется системой Цермело – Френкеля (ZF). Мы уже знакомы с Цермело (это он защищал Кантора и сформулировал первую теорему теории игр); Абрахам Галеви Френкель был израильским математиком, ставшим первым деканом Математического факультета Еврейского университета в Иерусалиме. Они сформулировали свою систему, чтобы создать для теории множеств – и математики в целом – надежную основу, которая дала бы математикам строгие методы для работы с бесконечными множествами и решения некоторых задач в этой области – например парадокса Рассела. Аксиомы ZF – это попросту в высшей степени элементарные утверждения о концепции множеств, которые, как мы верим (да, верим всем сердцем!), настолько самоочевидны, что не вызывают сомнений. Вот, например, «аксиома пустого множества»:
В переводе на человеческий язык это означает «существует множество, не содержащее элементов»[54].
Предполагалось, что аксиоматическая система будет играть в теории множеств ту же роль, которую играет в геометрии система аксиом Евклида. Однако на деле вышло не совсем так.
В 1938 г. австрийский логик, математик и философ Курт Гёдель доказал, что континуум-гипотезу невозможно опровергнуть, используя аксиоматическую систему Цермело – Френкеля для теории множеств. 25 лет спустя, в 1963 г., Пол Коэн (1934–2007), профессор математики из Стэнфордского университета, продемонстрировал невозможность доказательства континуум-гипотезы на основе аксиом Цермело – Френкеля. Коэн и Гёдель доказали, что континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть. В результате оказалось, что вопрос об истинности континуум-гипотезы не может быть решен исходя только из аксиом ZF. Так явилось на свет первое «неразрешимое» утверждение.
В старом Евклидовом мире действовала Аристотелева логика, предполагавшая лишь два варианта правильности утверждения: оно могло быть либо истинным (Т), либо ложным (F). Теперь у нас появился третий вариант: утверждение может быть неразрешимым (U)[55].
Очевидно, можно спросить: не вызвана ли эта проблема с неразрешимыми утверждениями тем, что в системе Цермело – Френкеля не хватает каких-нибудь аксиом? Вполне может быть так, что существует еще одна «очевидно истинная» концепция, пока не открытая, добавление которой к системе ZF позволит доказать СН. Или, если рассматривать этот вопрос с еще более оптимистической точки зрения, можно ли усовершенствовать ZF какими-нибудь дополнительными аксиомами так, чтобы все утверждения стали разрешимыми в этой системе?
В 1931 г. Гёдель, которому было тогда всего 25 лет, выдвинул три теоремы – одну о полноте и две о неполноте, – которые рассматривают общий случай неразрешимых утверждений. Суть первой теоремы о неполноте сводится к тому, что в какой бы системе аксиом мы ни работали, если эта система достаточно развита, чтобы порождать натуральные числа, в ней всегда существуют неразрешимые утверждения{32}. Такое ограничение того, чего можно было бы ожидать от аксиоматической системы, было непредвиденным.
Эти три теоремы настолько потрясли математический мир, что споры о их сути продолжаются и по сей день. Эта интереснейшая тема, несомненно, заслуживает отдельного рассмотрения.
На протяжении более чем полувека математики, работающие в области аксиоматической теории множеств, пытались найти «недостающую аксиому» (или аксиомы). Успеха никто из них не добился. Сейчас большинство специалистов в этой области считают, что никаких недостающих аксиом нет, и правильный подход к этому вопросу заключается в рассмотрении взаимосвязей между разными аксиомами. Можно, конечно, принять за аксиому саму континуум-гипотезу, но тут важно помнить, что аксиомы должны быть сформулированы так, чтобы в их справедливость было легко поверить, а в случае континуум-гипотезы это требование явно не выполняется.
В 2006 г. (за год до смерти) Пол Коэн прочитал интереснейшую лекцию о континуум-гипотезе на конференции в честь Гёделя, проходившей в Вене. Его лекцию (в шести частях) можно найти на YouTube по запросу: Paul Cohen part 1 of 6, Centennial, Vienna.
Тем временем в геометрии восстали из пепла некоторые интересные теории относительно невозможности обоснования пятого постулата при помощи евклидовой аксиоматической системы. В XIX в. были разработаны две другие геометрические системы, которые считаются неевклидовыми геометриями. Первая из них (гиперболическая геометрия[56]) предполагает, что через точку А, не лежащую на прямой m, можно провести более одной прямой, не пересекающей прямую m. Вторая (эллиптическая геометрия[57]) предполагает, что через точку А, не лежащую на прямой m, невозможно провести ни одну прямую, не пересекающую прямую m.
Подобно тому, как попытки обоснования пятого постулата в евклидовой геометрии привели к появлению в геометрии новых, неевклидовых теорий, обоснование континуум-гипотезы также дало толчок развитию неканторовой теории множеств, не предполагающей континуум-гипотезы. Честно говоря, неканторовых теорий существует много, потому что в последние годы математики, применяя предложенный Полом Коэном систематический метод «форсинга», доказали неразрешимость многих еще не решенных классических открытых проблем.
В прошлом можно было считать, что любое математическое утверждение может быть либо доказано, либо опровергнуто – если только над ним будут достаточно долго работать достаточно умные математики. Теоремы Гёделя доказали, что существуют утверждения не истинные и в то же время не ложные. Они, собственно говоря, неразрешимы.
Математику можно определить как область, в которой мы никогда не знаем, ни о чем мы говорим, ни истинно ли то, что мы говорим.
Парадокс Ришара (о большинстве вещей нам сказать нечего)
Парадокс, о котором мы сейчас будем говорить, носит имя французского математика Жюля Ришара (1882–1956) и был опубликован в 1905 г. Ниже я даю словесное (а не формальное) описание этого парадокса.
Фраза «вещественное число, целая часть которого равна 42, а после запятой на нечетных местах стоят нули, а на четных местах – единицы» точно определяет число 42,0101010101… Аналогичным образом фраза «число, которое, будучи дважды умножено само на себя, дает число 7» точно определяет число³√7.
Ришар сказал: обозначим буквой Е множество всех вещественных чисел, которые можно определить с использованием конечного количества слов. Такое множество, несомненно, будет счетным (поскольку мы можем расположить числа в порядке возрастания количества слов в определениях, а если определения содержат равное количество слов – в лексикографическом (алфавитном) порядке). Затем, применив диагональный метод Кантора, он построил число, которого не было в исходном множестве чисел. Тем не менее это число также можно определить, используя конечное количество слов. Таким образом, это число не входит в состав множества, но должно быть его элементом.
Получился парадокс.
Один из способов разрешения этого парадокса – отметить, что свойство «число, которое невозможно определить с использованием конечного количества слов» не является свойством, которое можно определить на математическом языке. Чтобы развить эту идею, рассмотрим тот же парадокс с другой точки зрения. Представим себе, что в словаре содержится всего пять слов, например: «бор», «вор», «мор», «сор» и «тор». Более чем вероятно, что при наличии такого ограничения мы не смогли бы говорить ни на какую тему, требующую слов, не входящих в эту пятерку. Например, мы не смогли бы обсуждать континуум-гипотезу и уж тем более разговаривать о возможных противоречиях между разными физическими теориями.
Любая система символической логики (в том числе и математика) содержит набор формул. Слово «формула» используется здесь не в сравнительно узком математическом смысле. Его следует понимать гораздо более широко: под формулой мы можем понимать символ, слово, выражение, фразу, определение – все то, что мы используем для выражения идей. Поскольку между множеством формул и множеством натуральных чисел существует одно-однозначное соответствие, ясно, что мощность множества формул равна ℵ0. Если это так, как можно обсуждать вещественные числа? Мощность их множества больше ℵ0. Из этого следует, что должны существовать вещественные числа, которые невозможно описать формулами.
В этом контексте интересно отметить, что американский математик и философ Чарльз Пирс, которого мы уже упоминали, также открыл, причем независимо от Кантора, что установить соответствие между числами натуральными и числами вещественными невозможно. Однако, в отличие от Кантора, Пирс не стал продолжать исследования в этом направлении. Вместо этого он решил, что вещественные числа не существуют в завершенном виде, и то, что мы можем сказать о них, не слишком важно.
О чем невозможно говорить, о том следует молчать[58].
Вычислимые числа
Вещественное число называется вычислимым, если существует некоторый алгоритм, при помощи которого можно получить десятичное представление этого числа с любой заданной точностью.
Рациональные числа вычислимы, потому что их десятичное представление либо конечно, либо бесконечно, но периодично и получается при помощи старой доброй операции деления.