Более того, еще в IX столетии иракский математик, астроном и врач Сабит ибн Курра (826–901) сформулировал достаточное условие{7} дружественности двух чисел{8}. Много веков спустя Декарт и Ферма нашли его формулу и использовали ее для своих «открытий».
Интересно отметить, что вторая по порядку возрастания пара дружественных чисел (1184 и 1210) не была открыта до 1866 г. Ее открыл итальянский мальчик по имени Б. Николо И. Паганини (не знаменитый скрипач и композитор!). Непонятно, как все до единого математики со времен Пифагора умудрились не заметить эту прекрасную пару. Одной из причин этого может быть то обстоятельство, что к ней неприменим критерий, который разработал Сабит ибн Курра. Но может быть, дело просто в том, что «если ищешь ничто, то ничего и не найдешь».
К 2007 г. было открыто около 12 000 000 пар дружественных чисел. Как это ни странно, мы, по-видимому, живем в очень дружелюбном мире.
Числа женские и числа мужские
У Пифагора было много разных концепций относительно чисел: в частности, он верил, что у чисел бывают женские и мужские черты. Например, нечетные числа можно считать числами женского пола, а четные – мужского. Заметим теперь, что во все упомянутые до сих пор пары дружественных чисел входят только мужские (четные) числа.
Это, естественно, заставляет спросить: существуют ли и пары дружественных женских чисел? Оказывается, существуют. Вот несколько таких примеров: (11 285 и 14 595), (67 095 и 71 145) и (522 405 и 525 915).
А это подводит нас к самому главному вопросу: возможна ли «дружба» между числом мужским и числом женским? Другими словами, может ли быть так, чтобы суммы делителей нечетного и четного числа были равны этим числам?
На время написания этой книги никто еще не нашел ответа на этот вопрос. С одной стороны, до сих пор не найдено ни одной такой пары; с другой – невозможность ее существования тоже пока что никем не доказана.
На этом я временно оставлю Пифагора (я еще вернусь к нему в этой главе), потому что разговор о дружественных числах навел меня на мысль о некоторых других антропоморфных характеристиках чисел, о которых интересно сделать несколько отступлений.
Самовлюбленные числа
У меня нет почти ничего общего с самим собой.
Я вполне уверен, что существуют такие люди, про которых можно сказать, что у них установились глубокие дружеские отношения с самими собой. Но давайте попытаемся мыслить так, как мог мыслить Пифагор, и поинтересуемся не ими, а числами: существуют ли такие числа, суммы собственных{9} делителей которых равны самим этим числам?
Числа, обладающие этим свойством, называют совершенными числами. Сразу (то есть, разумеется, после некоторого размышления) становится ясно, что первые два совершенных числа – это 6 и 28. Здесь я сделаю небольшую паузу, чтобы мой умудренный читатель смог самостоятельно убедиться в том, что 6 и 28 – действительно совершенные числа.
Ответ: 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Что касается числа 6, вот что писал в книге «О граде Божьем» (De Civitate Dei) Блаженный Августин Иппонийский (354–430): «Не потому шестеричное число совершенно, что Бог создал все дела Свои в шесть дней, а потому Он и создал Свои дела в шесть дней, что шестеричное число совершенно».
Следующее после 28 совершенное число – 496, а следующее за ним – 8128. Русский писатель Лев Толстой любил хвастаться, что родился в «почти совершенном» году – 1828-м. Вот если бы он родился 28 июня, тогда ему действительно было бы чем гордиться (не говоря уже о том, что число 6,28 к тому же близко к 2π)[10].
Возможно, вы заметили в этой последовательности – 6, 28, 496, 8128… – некую закономерность. Любители выдвигать гипотезы могут сделать следующее предположение: последняя цифра совершенного числа бывает поочередно равна 6 и 8.
Однако эта гипотеза оказывается ошибочной. Пятое совершенное число равно 33 550 336, то есть вписывается в эту тенденцию. Но уже шестое – 8 589 869 056 – тоже заканчивается на шестерку и тем самым нарушает закономерность. Может быть, гипотезу можно слегка подправить и предположить, что все совершенные числа заканчиваются либо на 6, либо на 8.
Посмотрим на первые девять совершенных чисел:
6
28
496
8128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
В последнем из них 37 знаков (а сумма всех его собственных делителей равна самому этому числу!).
В десятом числе 54 знака, а в одиннадцатом – 65, и заканчивается оно цифрами 8128, то есть в точности четвертым совершенным числом. Кстати говоря, найдены совершенные числа с миллионом (!) знаков. Не стесняйтесь – выдвигайте свои гипотезы.
Докажите, что любое четное совершенное число заканчивается либо на 6, либо на 8. В этом вам могут помочь приведенные ниже равенства.
6 = 1 + 2 + 3.
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1³ + 3³.
496 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 31 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³.
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 127 = 1³ + 3³ + 5³ + … + 15³.
Более того, французский математик Эдуард Люка (1842–1891) доказал даже, что любое четное совершенное число должно заканчиваться на 16, 28, 36, 56, 76 или 96. Как ему это удалось? Не без труда!
Пока что мы видели только семь совершенных чисел, и все они четные. Естественно, хочется спросить: а бывают ли нечетные совершенные числа?
В конце XIX в. британский математик Джеймс Сильвестр писал, что открытие нечетного совершенного числа было бы настоящим чудом. Даже теперь многие математики склонны полагать, что ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. Тем не менее доказать это пока что никто не смог. Вот вам еще одна «открытая проблема» – и еще одна возможность добиться славы и успеха!
Нет ответа и на другой интересный вопрос: бесконечно ли множество совершенных чисел? Можно ли продолжать находить совершенные числа, как бы далеко мы ни продвигались по множеству натуральных чисел? Или же где-то существует самое большое совершенное число?
Эта задача еще не решена и тесно связана с числами Мерсенна, к которым мы еще вернемся.
Сколько весит число? Числа совершенные, «толстые» и «тонкие»
Раз уж мы живем в эпоху диет, можно сказать, что натуральные числа делятся на три категории: совершенные, «толстые» и «тонкие». У «толстого» числа сумма собственных делителей больше самого числа, а сумма собственных делителей «тонкого» числа (вы, наверное, уже догадались…) меньше самого этого числа[11]. Например, 12 – число упитанное, потому что сумма его делителей (1, 2, 3, 4 и 6) равна 16. А вот 10 – число худощавое, так как 1 + 2 + 5 = 8.
А как обстоит дело с женскими числами? То есть нечетными? Бывает ли и у них лишний вес? Существуют ли такие нечетные числа, суммы собственных делителей которых больше самих этих чисел? Если немного поэкспериментировать, может показаться, что сложение собственных делителей нечетного числа всегда дает значение, меньшее самого числа (проверьте несколько чисел и убедитесь в этом сами). Если брать только числа меньше 900, можно прийти к убеждению, что нечетные числа никогда не бывают «толстыми». Но пусть это вас не обманывает! Исследование конечного количества чисел, каким бы большим оно ни было, не означает, что следующее число не окажется исключением из правила. На самом деле нечетные числа бывают «толстыми»: сумма собственных делителей 945 (сложите 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189 и 315) равна… 975. Таким образом, мы открыли число 945 – наименьшее «толстое» нечетное число. И все же избыточный вес встречается у нечетных чисел довольно редко.
Мы еще вернемся в этой книге к теме совершенных чисел.
Интересные и скучные люди, интересные и скучные числа
Попытки создания «окончательных» списков иногда приводят к возникновению парадоксов следующего типа: из самого определения немедленно следует, что объект, задаваемый этим определением, должен быть исключен из списка. Что это значит?
Представим себе, что мы составляем два списка. Один из них – это список имен всех интересных людей на свете в порядке их интересности. Второй – список всех остальных. Он тоже будет упорядоченным: от самого скучного человека на свете до «слегка» неинтересного.
Вот как выглядят верхние части обоих списков.
Интересные люди: Пифагор, Леонардо да Винчи, Клеопатра, Моцарт, Эйнштейн, Мэрилин Монро, Сократ, Мессалина, Байрон, Наполеон, Будда, Жанна д’Арк, Александр Македонский…
Неинтересные люди: Реджинальд Зевокк, Брунгильда Дремотная, Якоб Снотвор, Владимир Сиестин, Билл Занудинг, Найлз Коматоз, Бернард Нуичтович, Карл Спячкин, Гарри Тоскливер, Тим Тупп…
Однако не все так просто. Вот, например, Реджинальд Зевокк. Если верить нашему списку, он самый скучный человек на свете. Но сам этот факт делает его человеком интересным. Ну в самом деле представьте себе титул САМОГО скучного человека в мире! Поэтому мы должны перенести его в список интересных людей. Разумеется, он не попадет даже близко к вершине этого списка, но тем не менее должен оказаться в нем, причем, вероятно, на каком-нибудь вполне достойном месте.
А теперь посмотрите, что происходит дальше. Поскольку мы убрали Реджинальда из скучного списка, теперь самым скучным человеком на свете стала Брунгильда Дремотная. Но это, в свою очередь, делает несколько интересной