ее, что означает, что и ее следует перенести в первый список. Если мы продолжим этот процесс, мы неизбежно придем к выводу, что в мире вообще нет – и никогда не было – ни одного неинтересного человека. Я уверен, что вы давно уже обнаружили ошибку этого рассуждения.
В мире математики существует своя популярная версия парадокса скучных людей: в ней речь идет о множестве натуральных чисел, которые невозможно описать, используя менее 1000 слов. Отметим, что количество слов конечно (например, двадцатое издание «Оксфордского словаря английского языка» содержит ровно 171 476 слов), а в нашем распоряжении ограниченное число слов (1000), следовательно, и количество таких чисел конечно. Тем не менее существует наименьшее натуральное число, которое невозможно описать, используя менее 1000 слов. Обозначим его n и определим его следующим образом: «Наименьшее число, описание которого требует не менее одной тысячи слов».
Но что это?! Мы только что описали число n десятью словами (убедитесь сами), а следовательно, число n попадает в список чисел, которые можно описать, используя менее 1000 слов, что противоречит нашему определению этого числа.
Число n и Реджинальд Зевокк оказываются в этих двух парадоксах в одном и том же положении. Оба они определены как элементы некоторого списка, но затем их приходится исключать из этого списка в силу самого этого определения.
В чем проблема с этими двумя парадоксами? Математики терпеть не могут парадоксов и всегда ищут какое-нибудь объяснение, которое помогло бы им сохранить душевное спокойствие. Однако в этих случаях необходимо отметить, что мы использовали нематематическое свойство «можно описать», так и не дав его смыслу точного определения.
Это подводит нас к следующей теме нашего разговора.
Бывают ли вообще скучные числа?
Можно ли сказать, что некоторые числа более или менее интересны, чем другие?
Пифагор считал, что скучных чисел вообще не существует, что любое и каждое число чем-нибудь да интересно, что каждое число имеет по меньшей мере одно свойство, делающее его уникальным, или таит в себе нечто красивое или особенное.
А поскольку Пифагор придавал числам огромное значение, он стремился не только понять их с математической точки зрения, но и разглядеть в каждом из них красоту, загадку или тайну.
Какие именно характеристики числа делают его особенным или привлекательным? Это, по-моему, вопрос вкуса. «Привлекательна» ли принадлежность к совершенным числам? На мой взгляд, привлекательна. Мне также кажутся интересными пары дружественных чисел – эти числа по-настоящему умеют дружить. Было бы желание, а красоту можно найти в чем угодно – недаром говорят, что красота в глазу смотрящего.
Посмотрим, например, на число 64. В том факте, что 64 – квадрат 8 (8² = 64), нет ничего особенно выдающегося: многие другие числа тоже являются полными квадратами. Но число 64 может быть выражено и следующим образом: 64 = 26 = 4³.
Это уже гораздо интереснее. Оказывается (и это очень легко проверить), 64 – первое число (не считая 1), которое является не только квадратом (то есть второй степенью некоторого числа), но и третьей и шестой степенями.
Так что же, можем ли мы назвать 64 особенным числом? Поможет ли делу тот факт, что ему равно число клеток на шахматной доске? А еще в Камасутре описаны 64 позиции, а в «И цзин», китайской «Книге перемен», – 64 гексаграммы. Делает ли это число 64 хоть сколько-нибудь более выдающимся? Не знаю – решайте сами. А еще вы можете попробовать найти другие свойства, которые делают число 64 уникальным.
Предположим, нечто интересное есть в любом числе, и рассмотрим число 65, идущее сразу после 64. Можно ли найти что-нибудь замечательное в нем?
Разумеется, можно! Это число – второе в множестве натуральных чисел (после 50), выражаемое двумя разными суммами двух квадратов: 65 = 8² + 1² = 7² + 4². Кроме того, его еще можно выразить суммой двух кубов! 65 = 1³ + 4³. Более того, 65 – первое число, которое может быть выражено как суммой двух квадратов (причем двумя разными способами!), так и суммой двух кубов. Поразительно!
Сам Пифагор считал самым интересным число 36. Он полагал, что это идеальный возраст для мужчины (было ли у него какое-нибудь мнение об идеальном возрасте для женщины, я не знаю).
Математические свойства числа 36 впечатляли Пифагора, потому что:
36 = (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³.
Когда я был моложе, я был согласен с Пифагором (и относительно вариантов выражения числа 36, и в том, что 36 лет – очень приятный возраст), но теперь я придерживаюсь более оптимистической точки зрения и считаю «идеальным возрастом» – как для мужчин, так и для женщин – 100 лет:
100 = (1 + 2 + 3 + 4)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³.
Те равенства, о которых мы только что говорили, далеко не случайны. Возможно, вы уже догадались, что квадрат суммы любого количества последовательных чисел равен сумме кубов всех этих чисел:
Мы обнаружили некоторые весьма интересные свойства некоторых чисел. Но наверняка существуют какие-то числа, в которых нет ничего по-настоящему уникального. Однако, если применить к числам парадокс «самого скучного человека на свете», то, может быть, число, не имеющее никаких особенных свойств, можно считать «интересным» именно этой особенностью.
2Рамануджан и камешки Пифагора
I. Человек, познавший бесконечность
Сриниваса Рамануджан был математическим гением. Он родился в 1887 г. в Ироду, в индийской провинции Мадрас, и уже в детстве проявил необычайные математические способности.
Однако там, где он жил, ему было не у кого учиться, и даже не было никого, кто смог бы посоветовать, чему учиться. Можно сказать, что Рамануджан был самоучкой. Хотя он не получил никакого формального образования, он добился беспрецедентных достижений в нескольких математических дисциплинах. Главной областью его работы была теория чисел, и, подобно Пифагору, Рамануджан поддерживал с числами близкие личные отношения.
В 1913 г. Рамануджан отправил несколько своих математических результатов (равенств, или тождеств) трем известным британским математикам, но лишь один из них, Годфри Гарольд Харди, сумел понять, насколько блестящим человеком был автор этих результатов. Хотя эти результаты во многом были подобны неотшлифованным алмазам, они все равно были прекрасны. Харди приложил все усилия, чтобы перевезти Рамануджана в Лондон, а затем, во время Первой мировой войны, – в Кембридж. Впоследствии Рамануджан стал первым индийцем, избранным членом кембриджского Тринити-колледжа.
Ниже представлены два из тех самых результатов (равенств), которые так поразили Харди. Когда я впервые увидел эти равенства, я был третьекурсником математического факультета, и они были настолько прекрасны, что я сразу же подумал о музыке. Они казались мне нотами прекрасной симфонии. Эти равенства кажутся очень сложными, и они действительно сложны, но вам необязательно понимать их. Вам даже необязательно рассматривать их как математические выражения. Просто посмотрите на великолепную красоту, заключенную в этих численных узорах.
Какое великолепие!
Формула не имеет для меня смысла, если она не выражает мысли божества.
Хотя можно просто любоваться эстетическими аспектами математических формул Рамануджана, нам, возможно, захочется проявить некоторый педантизм и проверить, действительно ли его результаты верны.
Посмотрим на первое равенство.
У нас есть бесконечный ряд слагаемых, разделенных поочередно плюсами и минусами. Первое слагаемое – единица, но каждое следующее после него – произведение целого числа и дроби. Целое число каждый раз увеличивается на 4. Числитель дроби равен степени произведения нечетных чисел, а ее знаменатель – степени произведения четных чисел, причем количество множителей каждый раз увеличивается на единицу. Рамануджан утверждает, что чем больше в этой формуле сомножителей, тем ближе ее результат становится к двойке, деленной на π (отношение длины окружности к ее диаметру)! При бесконечном числе сомножителей результат будет в точности равен отношению двойки к π.
Откуда взялось это равенство? У Рамануджана были тысячи (!) таких формул (точнее, почти 3900). Вы, вероятно, не поверите, но те, что приведены выше, относятся к числу самых простых из них!
Чтобы быть до конца честным, я должен сказать, что некоторые из формул Рамануджана не были стопроцентно точными, но я твердо придерживаюсь того мнения, что из ошибок великого человека можно узнать гораздо больше, чем из истинных утверждений посредственности.
Харди и Рамануджан разительно отличались характерами. Харди был атеистом (и считал Бога своим злейшим врагом) и отличался исключительным педантизмом во всем, что касается математики: он хотел видеть доказательство каждой формулы. Рамануджан же был человеком во всех отношениях глубоко религиозным, а в отношении математики больше полагался на интуицию. Он не только видел в своих уравнениях и тождествах проявление божества, но и не любил рассказывать, как именно он к ним пришел, опасаясь, что его могут признать сумасшедшим. Это напоминает мне одну сцену из фильма «Амадей» Милоша Формана: Сальери читает ноты Gran Partita[12] Моцарта и приходит к уверенности, что ее продиктовал Моцарту сам Бог. Потом Сальери разглагольствует о том, почему Бог не выбрал его самого, чтобы продиктовать ему столь возвышенное сочинение. Видимо, некоторые считают, что гений может даваться только Богом.