15 г, а черные дыры тяжелее 1026 г (это примерно масса Луны) вообще наращивают массу, а не уменьшают ее. Откуда же берутся такие черные дыры?
Еще в конце 1960-х гг. начали обсуждать возможность рождения черных дыр в молодой вселенной, когда плотность вещества была очень велика (одними из первых такие идеи высказали Яков Зельдович и Игорь Новиков). А начиная с 1970-х гг. благодаря трудам Стивена Хокинга и других ученых эта идея стала весьма популярной гипотезой, в верности которой сейчас мало кто сомневается.
Сама идея крайне проста, и ее можно объяснить «на пальцах». Уже в самые ранние эпохи существования вселенной (первые доли секунды) плотность не распределена равномерно. Из-за флуктуаций (в инфляционной модели за эти вариации плотности ответственны квантовые эффекты) вещество распределено «где-то густо, а где-то пусто». Под действием гравитации области повышенной плотности могут сжиматься, а если масса и размер области соответствуют параметрам черной дыры, то и коллапсировать.
Существенно, однако, что вселенная еще очень молода. Поэтому сигналы (в том числе гравитационное взаимодействие) успели распространиться лишь на небольшое расстояние. Как говорят, «горизонт еще мал», т. е. размеры причинно-связанных областей невелики. Коллапсировать может лишь причинно-связанная область (иначе одна часть «не знает» о гравитационном влиянии другой). Если критическая комбинация массы и радиуса достигается лишь при большем размере, то придется подождать. По мере жизни вселенной размер горизонта растет как произведение времени на скорость света. Но не будем забывать, что и сама вселенная расширяется! Иначе говоря, области повышенной плотности могут растягиваться. И тут уж «кто кого переборет»: или размер горизонта успеет дорасти до нужного масштаба и произойдет коллапс, или флуктуация растянется и формирования черной дыры удастся избежать.
Важно, что коллапсирует область размером порядка текущего горизонта[109]. Соответственно, в разное время формируются черные дыры разной массы: чем позже – тем больше[110]. Процесс идет от самых ранних моментов (когда теоретически в некоторых моделях масса может доходить до планковской – 10–5 г) до примерно одной секунды (тогда могут образовываться дыры с массой около 100 000 масс Солнца). Для массы черной дыры в зависимости от времени формирования существует простая формула, определяемая массой вещества внутри горизонта:
где c – скорость света, G – ньютоновская постоянная, а t – время.
Результат приведен в граммах, и время нормировано на момент формирования тех дыр, чья жизнь сейчас, согласно хокинговской модели, подходит к концу.
В своей знаменитой работе 1975 г. Стивен Хокинг предложил механизм, с помощью которого черная дыра может «испаряться»[111]. Детали механизма довольно нетривиальны с бытовой точки зрения, а упрощенные иллюстрации лишь вводят в заблуждение. Но, как бы то ни было, вблизи горизонта (что не означает микроскопических расстояний от него!) за счет квантовых эффектов формируются частицы (и кванты электромагнитного излучения, и частицы, имеющие массу покоя), уносящие энергию дыры, т. е. уменьшающие ее массу. Чем меньше черная дыра, тем активнее она излучает. Для внешнего наблюдателя черная дыра выглядит как источник теплового излучения.
Температура излучения черной дыры определяется следующей формулой:
где h – постоянная Планка, а k – постоянная Больцмана.
Видно, что с уменьшением массы температура растет. Давайте попробуем получить эту формулу с точностью до численного коэффициента.
Начнем мы, как ни странно, с принципа неопределенности Гейзенберга и корпускулярно-волнового дуализма. Легенда гласит, что в разговоре с Яковом Борисовичем Зельдовичем Владимир Наумович Грибов высказал следующую мысль. Возникает парадокс, если мы применим принцип Гейзенберга к черным дырам. С одной стороны, мы говорим, что из них ничего не вылетает, а с другой – как же мы локализуем в маленькой черной дыре частицу, длина волны которой превосходит размер черной дыры? Иными словами, в некотором смысле квантовая механика вступает в противоречие с ОТО. Грибов полагал, что «квантовая механика победит».
Предельный масштаб, на котором мы можем локализовать частицу, связан с ее комптоновской длиной волны:
где m – масса частицы.
Что же это за длина волны? Это можно пояснить таким образом (хотя в таком упрощенном комментарии есть элемент передергивания). Каждой длине волны соответствует частота, которую можно рассчитать, используя скорость распространения волны. В данном случае – скорость света: ν = c /λ. С одной стороны, если мы рассматриваем волну, то энергия частицы будет равна E = hν. С другой – энергия частицы при такой предельной локализации будет порядка ее энергии покоя: E = mc2. Таким образом, hν = hc /λ = mc2. А отсюда мы сразу получаем, что
Принцип неопределенности Гейзенберга записывается таким образом:
где Δx – неопределенность координаты, а Δp – неопределенность импульса частицы.
В нашем рассуждении существенно, что мы пытаемся локализовать частицу по координате с точностью порядка ее комптоновской длины волны. Это приведет к тому, что неопределенность импульса будет порядка Δp = mc (именно поэтому выше мы могли использовать скорость света при сопоставлении частоты и длины волны). Тогда для Δx получим:
Таким образом, эта величина равна комптоновской длине волны, деленной на 2π. Эту величину называют приведенной комптоновской длиной волны и записывают так: (а величину называют приведенной или редуцированной постоянной Планка).
Теперь получим оценку температуры черной дыры. С одной стороны, пределом для «вылезания» частицы из дыры будет равенство диаметра черной дыры и приведенной комптоновской длины волны (напомним, что мы всего лишь даем некую иллюстрацию, на самом деле никакие частицы из черной дыры не «вылупляются», они не пересекают горизонт «оттуда сюда», а возникают «с нашей стороны» из-за изменений параметров вакуума, связанных с нестационарностью горизонта). С другой стороны, при излучении у нас есть равенство для тепловой энергии частицы и энергии кванта:
где длина волны – это комптоновская длина.
Приведенную длину мы оценили как удвоенный радиус черной дыры, для которого используем стандартную формулу Шварцшильда:
Таким образом получаем:
Теперь соберем все вместе и получим выражение для температуры:
Формула лишь коэффициентом π отличается от точного значения. Разумеется, это совсем не строгий вывод, и, только зная аккуратно полученный правильный результат, можно потирать руки, радуясь тому, что мы таким простым способом получили столь фундаментальную формулу. Тем не менее приятно, что можно построить такую наглядную цепочку рассуждений.
Отметим, что при уже упоминавшейся массе 1026 г температура будет примерно равна современной температуре реликтового излучения, заполняющего всю вселенную (в прошлом температура была выше). Так что, даже если мы сейчас поместим черную дыру в совсем пустую область космоса, она все равно будет расти за счет поглощения фотонов реликта при массе больше 1026 г.
Итак, у нас есть температура, значит, в первом приближении мы можем посчитать светимость[112]. Для теплового излучения сферы радиуса R она рассчитывается по формуле
Напомним, что постоянная Стефана – Больцмана равна:
В качестве радиуса излучающей поверхности подставим шварцшильдовский радиус. Затем светимость запишем в таком виде:
т. е. мощность излучения определяется темпом потери массы. Тогда мы сможем записать:
Проведем интегрирование от начальной массы M до нуля (полное испарение) и для времени полного испарения получим:
Точная формула выглядит так:
Мы снова с точностью до численных коэффициентов получили верный результат!
Можно получить его и несколько иначе. Пусть энергия уносится квантами электромагнитного излучения (напомним, что на первых этапах испарения, пока температура недостаточно велика, частицы не рождаются – только излучение). Энергия одного кванта равна Характерное время испускания составляет Δt = λ/ c. Запишем вначале такое выражение (оно соответствует светимости L):
Значит:
Нам надо оценить время излучения всей массы черной дыры, т. е. время потери энергии E = Mc2. Обозначим это время, как и выше, буквой τ и вместе с Eγ подставим в уравнение E = Mc2. Это можно описать и иначе:
Получим:
Иначе говоря, снова тот же результат, верный с точностью до небольшого численного коэффициента.
Когда температура черной дыры становится достаточно высокой для того, чтобы рождались не только кванты электромагнитного излучения, но и частицы, коэффициент в формуле немного изменяется. Поэтому для совсем легких черных дыр формула работает лишь примерно: они испаряются несколько быстрее.
Что здесь для нас важно с точки зрения астрофизики? Испаряющиеся черные дыры являются уникальными источниками, проявления которых можно надеяться выявить. Здесь астрономы идут разными путями.
Во-первых, можно искать сами вспышки, связанные с последними моментами жизни черных дыр, причем как в гамма-диапазоне (ведь температура растет с падением массы, и на финальных стадиях испускается много гамма-излучения), так и в других, в первую очередь в радиодиапазоне. К сожалению, ничего пока не обнаружено. Заметим, что на финальных стадиях, несмотря на высокую температуру, светимость объекта невелика (намного меньше солнечной). Действительно, ведь от черной дыры почти ничего не осталось – за последнюю десятую долю секунды испаряются последние тонны вещества (а за последнюю минуту – несколько сотен тонн). Поэтому вспышки в гамма-диапазоне (где их легче искать) доступны с помощью современной аппаратуры лишь с расстояний порядка одного парсека и меньше.