8.1. Скопление одинаковых звезд
Вспомним, что при увеличении потока света в 100 раз блеск небесного объекта, по определению, сокращается на 5 звездных величин. Математически это можно выразить так: группа из N одинаковых звезд на 2,5 lg N звездных величин ярче каждой из них. Действительно, десятичный логарифм 100 равен двум:
lg 100 = lg 102 = 2 lg 10 = 2 · 1 = 2,
поэтому 2,5 lg 100 = 5. Заметьте, что 2,5 — это не сокращенное основание шкалы звездных величин 2,512…, а именно и ровно 2,5.
Теперь наша задача решается легко: полный блеск скопления равен m − 2,5 lg N.
8.2. Скопление разных звезд
Сначала решим задачку попроще: есть две звезды с блеском m1 и m2. Каков их суммарный блеск? Сначала перейдем к потокам света, сложим их, а затем вернемся к звездным величинам. Тогда суммарный блеск (msum) составит
msum = −2,5 lg (2,512 — m1 + 2,512 — m2).
Теперь вспомним задачу «Скопление одинаковых звезд» и найдем суммарный блеск N1 одинаковых звезд с блеском m1 у каждой, обозначив его m (1), и суммарный блеск N2 одинаковых звезд с блеском m2 у каждой, обозначив его m (2):
m (1) = m1 — 2,5 lg N1
m (2) = m2 — 2,5 lg N2.
А теперь используем первую формулу, чтобы найти суммарный блеск скопления:
msum = −2,5 lg (2,512 — m (1) + 2,512 — m(2)).
Подобным методом можно суммировать блеск любого количества однотипных звезд. В высшей математике суммирование большого количества небольших чисел называют интегрированием. Поэтому астрономы вместо слов «полный» или «суммарный» обычно говорят «интегральный блеск звездного скопления».
8.3. Движется звезда
В году 3,156 · 107 секунд, а в столетии 3,156 · 109 секунд. За это время звезда пройдет V · 3,156 · 109 км, или V · 3,156V · 109/150 · 106 = 21V астрономических единиц. По определению парсека, одна астрономическая единица с расстояния в 1 парсек видна под углом в 1″. А 21V а. е. с расстояния R парсеков видны под углом 21″(V/R). Например, если звезда летит со скоростью 50 км/с на расстоянии 100 пк от нас, то за 100 лет она сместится относительно более далеких светил на 10,5″, что без труда можно заметить даже с помощью небольшого телескопа.
8.4. Сверхновая Тихо Браге
Любой электронный планетарий поможет вам восстановить картину той ночи. Если в вашей программе не обозначена Nova Tycho, то ее приблизительные координаты 0h, +62°. В эти дни Тихо жил в Швеции, в местечке с координатами 56° с. ш., 13° в. д.
Как видим, ночное небо в тот период было очень привлекательным для астронома: Луна приближалась к первой четверти и еще не засвечивала небо, к полуночи высоко поднимался яркий (−3m) Юпитер. А новая звезда сияла недалеко от зенита. Не заметить ее было просто невозможно, поскольку располагалась она прямо внутри астеризма «W» Кассиопеи. В конце ночи поднималась Венера, а в лучах утренней зори восходил Меркурий.
Под утро, когда Венера была уже на высоте 20°, Nova опускалась на севере до 30°. Сравнивать их блеск было удобно. До полудня Nova проходила через нижнюю кульминацию на высоте около 28° и к вечеру вновь поднималась над горизонтом к высоте 70°. Трудно было бы ожидать более удобных условий для наблюдения этого замечательного события — взрыва сверхновой звезды в эпоху рождения современной науки. А самое приятное и неожиданное, что в те дни поздней осени над Северной Европой было ясное небо!
8.5. Сверхновая Кеплера
В эти дни было редкое сочетание планет: в южной части Змееносца на расстоянии всего нескольких градусов друг от друга сошлись Юпитер, Сатурн и Марс, притягивая к себе внимание астрономов. И в этом же месте вспыхнула сверхновая! Правда, вся эта компания ярких светил скрывалась на юго-западе под горизонтом вскоре после захода Солнца. Луна в эти дни была близка к полнолунию и уже довольно высоко поднималась на востоке. Оценить блеск сверхновой удавалось именно благодаря ее близости к ярким планетам. Во второй половине дня Сверхновая Кеплера кульминировала на высоте около 18° над горизонтом, что делало ее дневное наблюдение весьма непростым делом.
После этих двух вспышек сверхновых — Тихо и Кеплера — прошло три века, пока в 1885 г. на земном небосклоне люди вновь заметили вспышку сверхновой, но уже в соседней галактике Туманность Андромеды (S Andomedae, 6m). Скорее всего, она осталась бы незамеченной, если бы в те годы астрономы уже активно не пользовались телескопами. Следующую сверхновую невооруженным глазом увидели лишь четыре века спустя — в 1987 г. Она вспыхнула совсем недалеко от нашей Галактики, в Большом Магеллановом Облаке, и в максимуме блеска достигла +2,9m.
8.6. Хаббл на шаре
Расстояние между точками на сфере D = αR, где α — центральный угол, R — радиус сферы. Скорость взаимного удаления точек
Но для любой пары точек dα/dt = 0. Поэтому
Но (1/R)dR/dt для всех точек на шаре одинаково, поэтому в любой фиксированный момент времени V ~ D.
Для модели в виде точек на поверхности надуваемого шара закон Хаббла справедлив.
8.7. Отверстие в небе
Гюйгенс открыл Большую туманность Ориона, известную сегодня всем любителям астрономии. Позднее выяснилось, что до Гюйгенса, возможно первым в Европе, в 1618 г. эту туманность наблюдал в телескоп швейцарский астроном Иоганн Цизат (1586–1657), но не обратил на это должного внимания.
8.8. Путешествие света
Красным смещением называют относительное изменение длины волны линий в спектре удаляющейся галактики: z ≡ Δλ/λ. Оно возникает в результате эффекта Доплера. Если скорость удаления галактики значительно меньше скорости света (v ≪ c), то эффект Доплера описывается очень простой формулой: Δλ/λ = v/c. Отсюда v = cz.
Закон Хаббла говорит, что скорость удаления галактики и расстояние до нее (D) связаны линейной зависимостью: v = H0D. Следовательно, D = cz/H0. А время путешествия света от галактики до наблюдателя составит t = D/c = z/H0.
Осталось вычислить значение H-10. Как известно, 1 парсек = 206 265 а. е. = 206 265 · 150 млн км = 3,1 · 1013 км. А 1 Мпк = 106 пк. Дальше совсем просто:
Итак, если красное смещение линий в спектре галактики равно z и при этом не очень велико (скажем, не более 0,2 · 0,3), то свет от нее до наблюдателя путешествовал t = z · 14 млрд лет.
8.9. «Гайя» смотрит на Солнце
Радиус орбиты Юпитера 5,2 а. е., а его масса в 1000 раз меньше солнечной, значит, полный размах колебаний Солнца относительно их общего с Юпитером центра масс составляет 10,4 а. е./1000. Отрезок в 1 а. е. с расстояния в 1 пк виден под углом в 1″ (по определению парсека). Значит, отрезок в (10,4/1000) а. е. под углом в 0,00002″ будет виден с расстояния (10,4/1000)/0,00002 = 520 пк.
8.10. Андромеда и Треугольник
Угловое расстояние на небе между галактиками М31 и М33 составляет 14,8°. Расстояние до М31 оценивается в 778±33 кпк. Расстояние до М33 оценивается со значительно меньшей точностью: от 730 до 940 кпк. Поэтому минимальным расстоянием между ними в пространстве будет такое, при котором мы будем считать их на одинаковом расстоянии от Земли. Пусть это будет расстояние до М31 (778 км), поскольку оно известно лучше. Учитывая невысокую точность измеренных расстояний, угол 14,8° можно считать небольшим по сравнению с радианом (≈ 57,3°) и ограничиться простой пропорцией: минимальное расстояние между галактиками составляет 778 кпк − (14,8/57,3) ≈ 200 кпк.
8.11. Сколько скоплений в Галактике
Диск Галактики — плоская звездная система с характерной толщиной существенно меньше чем 3 кпк. Поэтому наши наблюдения «вырезают» из него не сферу, а круг радиусом 3 кпк, составляющий от полной площади диска (3/18)2 = 1/36 часть. Если плотность числа звездных скоплений в других частях диска примерно такая же, как в окрестности Солнца, то всего в диске 1500 · 36 = 54 000 скоплений.
8.12. Столкновение с Андромедой
Скорость света 300 000 км/с, значит, за год наши две галактики сближаются на (110/300 000) = 3,7 · 10–4 светового года. Соответственно, на путь в 2,5 млн световых лет им понадобится 2,5 · 106/3,7 · 10–4 = 6,8 · 109 лет, т. е. около 7 млрд лет. На самом деле взаимное притяжение галактик ускоряет из сближение и сократит его время до 4 млрд лет. При этом, скорее всего, галактики не столкнутся «в лоб», а лишь пройдут недалеко друг от друга. Но приливное взаимодействие затормозит их движение, и, развернувшись обратно, они окончательно сольются через 6 млрд лет.
8.13. Галактики столкнулись
Представим галактику как плоскую мишень радиусом R, содержащую N звезд. Средняя поверхностная плотность числа звезд в ней составляет N/πR2. Все звезды будем считать одинаковыми, имеющими радиус r. Поскольку скорость сближения галактик (1000 км/с) существенно больше второй космической скорости на поверхности звезд (типичная, как у Солнца, около 620 км/с), слаб будет эффект гравитационной фокусировки, т. е. сближения траекторий звезд под действием взаимного тяготения можно не учитывать. Поэтому будем считать их траектории прямыми, а фактом столкновения — пролет на взаимном расстоянии менее 2r между их центрами. Следовательно, вероятность для одной звезды, пролетающей сквозь галактику, испытать столкновение составит 4πr2N/πR2. А для оценки полного числа столкновений нужно умножить эту вероятность на количество звезд в галактике. Получим
Подставим типичные для нашей Галактики значения: N = 1011, R = 10 кпк, r = R⊙. В результате получим вероятность столкновения хотя бы одной пары звезд равной 0,2. С чистой совестью мы можем сказать, что при столкновении галактик в большинстве случаев не происходит ни одного столкновения их звезд.
8.14. Перемены в звездном небе
Утверждение о том, что по сравнению с земным небом картина звездного неба на Марсе или Сатурне будет совсем иной и с детства знакомая всем Большая Медведица вполне может «разойтись» по разным созвездиям, совершенно неверно. Расстояние между планетами в сотни тысяч и даже миллионы раз меньше, чем расстояние до околосолнечных звезд, определяющих картину звездного неба. Поэтому перемещение наблюдателя с одной планеты Солнечной системы на другую никак не скажется на картине звездного неба, доступной невооруженному глазу.
Утверждение о том, что Полярная звезда утратит свою способность показывать на север, в общем случае совершенно справедливо. У каждой планеты своя ориентация оси вращения, следовательно, и свое положение северного полюса мира, т. е. точки на небе, в которую направлен северный конец оси вращения планеты. У Земли этот полюс располагается вблизи Полярной звезды (α Малой Медведицы). У Марса — близ границы созвездий Лебедь и Цефей, не очень далеко от яркой звезды Денеб (α Лебедя). У Сатурна — в северной части созвездия Цефей, недалеко от нашей Полярной звезды, всего лишь в 5 градусах. Так что для путешественников по поверхности Сатурна Полярная звезда вполне могла бы служить указателем севера. Жаль только, что твердой поверхности у Сатурна нет.
Последнее утверждение в приведенном отрывке состоит в том, что «конфигурация созвездий меняется со временем: 100 000 лет назад та же Большая Медведица могла выглядеть несколько иначе». Заметим сразу, что М. Э. Рут путает понятия «созвездие» (площадка на небе) и «астеризм» (фигура из ярких звезд). Разумеется, речь идет об астеризмах. И тут автор пособия права: собственное движение звезд в пространстве (в том числе и движение Солнца) приводит за длительное время к существенному изменению конфигураций звезд. Например, Ковш Большой Медведицы сильно меняет свою форму за 150 000 лет.