Неопределенность и непримиримость
Маршрут:Атом не должен существовать. – Природа не терпит траекторий. – Спасибо неопределенности. – Атом почти не существует. – Вражда, отбирающая свойства. – Господство целых чисел. – Напряженное существование. – Почему Менделеев был прав. – Неугомонные колебания. – Квантовая первооснова. – Кипящая пустота. – Один мир и две системы. – Вращение без движения. – Спин электрона, наконец-то! – Лишняя половина, и такая разница. – Про что же уравнение?
Главный герой:непримиримая вражда
Атом не должен существовать. Неожиданно скоро после того, как окончательно утвердилась реальность атомов, случился «взрыв внутрь» – проникновение вглубь атома[198]. Атом оказался делимым и сложенным из некоторого числа «деталей», которые, очевидно, не могли не пребывать в движении, но одновременно с этим должны были соединяться между собой каким-то относительно устойчивым образом. Эти требования оказались взаимно противоречивыми. Для понимания происходящего потребовался переворот во взглядах на движение и, как следствие, на устройство мира, кульминация которого – неповторимая эпоха Sturm und Drang («бури и натиска») – пришлась на 1925–1926 гг., когда была сформулирована новая механика, названная квантовой. Слово «механика» указывает на изучение движения, в первую очередь с точки зрения его причин, т. е. выражает желание ответить на вопрос о том, что будет, исходя из того, что имеется сейчас, если известны все действующие факторы. Смысл же прилагательного «квантовая» оказался значительно шире, чем у слова «квант», как его использовал Планк[199].
Начало этой цепочки событий пришлось на 1908–1911 гг., когда – всего через несколько лет после смерти Больцмана – для прощупывания внутренности атомов удалось использовать движение. Идея была близка к следующему, довольно затратному способу знакомства с окрестным ландшафтом. Если перед вами находится начисто затянутая туманом узкая полоса зеленых насаждений (деревьев или кустов), то способ разобраться, что там скрыто от глаз, – усердно бросать в туман камни и фиксировать, пролетают ли они насквозь. Из моего пристрастия к рогаткам можно, наверное, сделать вывод, что в детстве я не настрелялся вволю, но здесь и правда подойдет хорошая рогатка, используемая с некоторым «стандартным» натяжением. Через кустарник камни будут пролетать насквозь, испытывая лишь небольшое влияние встреченного ими по дороге, но в случае отдельно стоящих деревьев вроде сосен картина будет иной: камни или пролетят через исследуемую область без какого-либо сопротивления, или, в достаточно редких случаях, вообще не пролетят насквозь, из чего вы сможете со временем сделать вывод о густоте, с которой посажены деревья, и даже о средней толщине стволов. Революционное предложение состояло в том, чтобы похожим образом простреливать слой вещества. Подходящими «камнями» оказались альфа-частицы (ядра атомов гелия, по другому поводу уже встречавшиеся нам в главе «прогулка 5» и далее; они электрически заряжены и поэтому поддаются ускорению электрическим полем, хотя в первых экспериментах достаточно было скоростей, с которыми они вылетали из радиоактивного источника). Альфа-частицы направили на фольгу из золота толщиной всего в несколько сотен атомов, а затем фиксировали, как они разлетаются; все работало даже лучше, чем с рогаткой, потому что альфа-частицы никогда не оставались где-то внутри, а всегда вылетали, отклоняясь из-за взаимодействия с веществом. Эти отклонения оказались очень информативными. За выяснение того, что происходит, взялся Резерфорд.
Исходно ожидался вариант, относящийся скорее к типу «кустарник». Было понятно, что где-то в недрах вещества имеются электроны, которые несут отрицательный электрический заряд; существование электрона в качестве заряженной частицы – «корпускулы» – установил в 1897 г. Дж. Дж. Томсон[200]. А раз вещество в целом электрически нейтрально, там же должны находиться и положительные заряды. Про них совсем ничего известно не было, и Томсон не стал делать предположений о корпускулах, которые не наблюдались, а высказал идею, что известные ему электроны погружены в атоме в какое-то облако, несущее положительный заряд. Это звучало приемлемо с учетом имевшегося знания, но к 1911 г. выяснилось, что природа устроена совсем не так.
Оказалось, что альфа-частицы, сами несущие положительный заряд, проходят насквозь, практически не встречая положительного заряда нигде, за исключением областей крайне малого объема, диаметром в несколько тысяч раз меньше, чем предполагаемый размер атома. Зато при попадании в эту малость альфа-частица отклонялась радикально, вплоть до отскока практически назад. Этого никак не могло случаться, если бы положительный заряд был распределен по всему атому. Сам Резерфорд еще не употреблял слова «ядро», но именно он и обнаружил таким образом атомное ядро: весь положительный заряд в атоме оказался сконцентрирован в очень малом объеме. Для оценки можно считать диаметр атома равным 10–8 см, а размер ядра – 10–12 см. Разделяющие их четыре порядка означают различие в объеме в триллион раз. Там же, в крохотном ядре, как вскоре удалось выяснить, сидит и практически вся масса атома. Масштаб, которым оперировало человечество, в одночасье распространился на четыре порядка вглубь. Это было достигнуто только и единственно с использованием движения, и с тех пор исследование мира на все более мелких масштабах идет безостановочно в том темпе, в каком удается обеспечивать движение, необходимое для исследования (для чего и строятся ускорители элементарных частиц).
Недоразумение же возникло после этого (и долго не исчезало) из-за того, что известные законы природы остро конфликтовали с идеей, что в центре атома сконцентрирован положительный заряд, а на некотором удалении от него каким-то образом удерживаются электроны. Источник конфликта в том, что электрон совершенно нечем «закрепить» внутри атома. На этом масштабе уже нет ни «гвоздиков», ни «подставок». Все силы, которые там имеются, – это электрическое притяжение электрона, несущего отрицательный заряд, к положительному заряду в ядре (и еще отталкивание между любыми двумя электронами, что сейчас не так важно). Под действием притяжения к ядру все электроны должны были бы на него «упасть», но тогда и сам атом имел бы примерно размер ядра, а это очевидным образом не так. Из этого виден только один выход, если рассуждать в привычных нам терминах: электроны могли бы вращаться вокруг ядра. Однако любое движущееся по орбите тело меняет направление своей скорости (потому что постоянно «заворачивает»), другими словами – ускоряется. А ускоряющийся электрический заряд непременно излучает электромагнитные волны. С ними уходит энергия, электрон может взять эту энергию только из своего движения и, как показывают простые вычисления, чрезвычайно быстро отдав всю энергию движения, упадет на ядро. Конец атому. Атомы не должны существовать. (И такой вывод – вскоре после преодоления сомнений в существовании этих самых атомов!)
Атом не может быть организован как планетная система, сколь бы часто в массовой культуре ни рисовали что-то вроде ядра с мечущимися вокруг него шариками-электронами (рис. 10.1); антинаучная картинка настолько укоренилась в массовом сознании, что входит в эмблему МАГАТЭ (Международного агентства по атомной энергии). Ветви оливкового дерева на этой эмблеме изображены способом, который, возможно, не нарушает базисных представлений о семействе маслиновых, но «изображение» атома является вызывающим. Электроны – не шарики, какими они там нарисованы; и у электронов в атоме в действительности нет орбит – ни изящных, как нарисовал художник, ни каких-либо еще[201].
Рис. 10.1. Планетарная модель атома (шарики, летающие по изящным орбитам вокруг общего центра). Она не имеет отношения к устройству атома и поэтому не изображена
У электронов, как мы знаем с середины 1920-х гг., вообще нет траекторий.
Природа не терпит траекторий. Орбита и вообще траектория – понятие отчасти умозрительное: движущиеся тела все-таки не оставляют за собой прочерченные линии. Точнее говоря, оставляют, когда для этого применяют специальные средства, скажем, на воздушных парадах (рис. 10.2). Тем не менее идея траектории хорошо передает все то, что мы понимаем под движением в пространстве. Она «прочерчивается» по мере того, как течет время. Каждая точка на траектории – мгновенное положение тела. В каждой точке траектории можно определить скорость, которую имеет движущееся тело в данной точке (и направлена она всегда по касательной). Нам потребуется говорить не о скорости, а о количестве движения (которое есть «скорость с учетом массивности» – просто произведение скорости на массу, если оставить в стороне эффекты специальной теории относительности). Я нарочно выскажусь еще раз в терминах количества движения: в каждой точке траектории четко определено количество движения, которым обладает движущееся тело, когда оно находится в этой точке.
Рис. 10.2. Линии, остающиеся в воздухе, дают представление о траекториях, которым следовали концы крыльев
А вот этого в природе быть не может. На фундаментальном уровне мира обнаруживаются непреодолимые препятствия к тому, чтобы положение и количество движения были точно определены одновременно. Поэтому и точные траектории отсутствуют. Траектория – лишь приближенное понятие, пригодное для всех окружающих нас тел во всех обычных вариантах их движений. Траекторию кончика крыла можно в принципе описать во много тысяч раз точнее, чем ее задает дымный след в воздухе, но, продолжая увеличивать точность, мы в конце концов упремся в предел. В свойства нашей Вселенной встроено фундаментальное ограничение на точность в связи с движением; актуальным и даже определяюще важным это ограничение становится для разнообразной мелочи типа электрона. С чем-то похожим – и по существу близким – мы уже сталкивались в связи с рис. 9.15. Там изображена плоскость, которую я на свой страх и риск назвал Плоскостью действия. Каждая точка на ней, как и на всякой плоскости, имеет две координаты. Одна из них показывает положение интересующего нас небольшого тела вдоль выбранного в пространстве направления, а другая показывает количество движения, которое имеет тело, когда проходит эту точку, – точнее, количество движения вдоль выбранного направления. На рис. 9.15 на Плоскости действия показаны прямоугольные площадки разных пропорций, но одной и той же площади. Совсем безобидное жульничество с моей стороны состоит в том, что на рис. 10.3 я повторил то же изображение Плоскости действия, но площадь всех прямоугольников установил равной не h, как раньше, а ħ/2 – такой она должна быть в задаче, которая сейчас обсуждается: о точности, с которой определена траектория. Буква ħ здесь – это, как мы упоминали мимоходом, постоянная Планка h, деленная на длину окружности единичного радиуса (2π). Поступать так с постоянной Планка h приходится столь часто, что специальное обозначение оказалось не лишним. Придумал его, по-видимому, Дирак, но никаких пояснений по поводу мотивировки символа ħ он не приводит[202]. Закон природы, иллюстрируемый рис. 10.3, состоит в том, что на Плоскости действия не существует позиционирования более точного, чем в пределах прямоугольника площадью ħ/2.
Рис. 10.3. Несколько прямоугольников на Плоскости действия, которые имеют одну и ту же площадь ħ/2. Они задают фундаментальные «ограничения на фокусировку», но не в обычном пространстве, а на воображаемой плоскости, объединяющей координату и количество движения вдоль нее
Можно представить себе программу рисования на компьютере с не совсем обычным инструментом «кисть» или «карандаш»: желая поточнее разместить, например, электрон на Плоскости действия, вы пытаетесь поставить точку штрихом покороче, но кисть не позволяет сделать отметку, которая имела бы площадь меньше заданной. Можно сделать прямоугольник очень узким по горизонтали, как самый левый из прямоугольников на рис. 10.3: тогда вы с неплохой точностью заявите пространственное положение электрона, но, увы, точность, с которой определено его количество движения, получится очень низкой. Если же настроить кисть так, чтобы ее узкий штрих с высокой точностью определял количество движения, то она непременно будет красить очень широко вдоль направления, определяющего положение в пространстве. Это и означает, что у электрона нет траектории, потому что траектория – это и положение, и количество движения. Заколдованные прямоугольники работают только для пар: положение вдоль выбранного направления – количество движения вдоль того же направления. Крест-накрест (скажем, положение вдоль направления 3 – количество движения вдоль направления 1) никаких ограничений нет.
Что происходит?
Сначала о названиях. Власть заколдованных прямоугольников называется принципом неопределенности, часто – принципом неопределенности Гайзенберга. Слово «принцип» обычно означает, что это утверждение принимается за основное; «заколдованные прямоугольники», впрочем, можно вывести математически, приняв в качестве основного набор из нескольких других идей (сам Гайзенберг, впрочем, был склонен придавать своему принципу самостоятельное значение вне зависимости от других положений). Этот набор идей и составляет квантовую механику – основу нашего понимания мира на малых масштабах; а поскольку современные технологии часто опираются на управление происходящим именно на таких масштабах, это еще и основа технологий. В первоначальной постановке задачи требовалось разобраться с тем, как же электрон «движется» в атоме. Это понимание возникло в 1925–1926 гг., и первым к нему пришел Гайзенберг. Позже у квантовой механики появилось много других задач; в наше время часто говорят о квантовой теории.
Описание мира в рамках квантовой механики сильно отличается от привычного тогда, когда некоторые величины имеют значения, сравнимые с постоянной Планка h; когда же их значения много больше h, эффекты квантового устройства становятся несущественными и вполне годятся упрощенные правила, по которым существует привычный мир вещей вокруг нас[203]. Сравнивать, конечно, можно только величины одной и той же размерности: например, со скоростью света можно сравнить только скорость. Что же можно сравнивать с этой h или ħ? Во-первых, количество вращения[204]. Камень весом сто граммов, который крутится на веревке длиной один метр со скоростью три оборота в секунду, обладает количеством вращения, примерно равным 6 × 1033ħ, тогда как некоторый аналог количества вращения для электрона всегда составляет 1/2 ħ; пожалуйста, почувствуйте разницу. Во-вторых, с h или ħ можно сравнивать «присутствие энергии» – не саму энергию, а энергию, умноженную на то время, в течение которого данная энергия в том или ином виде присутствует. И наконец – площади на Плоскости действия. Эти площади появляются при описании целого ряда явлений, и любую такую площадь можно поделить на ħ и получить «голое» число: если оно большое, значит, об эффектах квантовой механики можно не беспокоиться, но если оно невелико, то смотрите в оба и забудьте про все, что «интуитивно очевидно».
Посмотрим, что означают заколдованные прямоугольники для частицы массой в один миллиграмм (почувствуем себя ботаником Брауном; см. главу «прогулка 9»). Если считать, что положение такой частицы задано с точностью в один нанометр, что составляет одну сторону заколдованного прямоугольника на Плоскости действия, то, зная его площадь, мы найдем ограничение на неопределенность в количестве движения частицы, а после деления на массу – и в ее скорости. Подставляя конкретные числа, мы видим, что неопределенность в скорости составляет одну двадцатую от одной миллиардной нанометра в секунду – что едва ли можно назвать ограничением. Вполне можно было задать положение в двадцать миллиардов раз точнее, и все равно неопределенность скорости осталась бы на уровне одной миллионной миллиметра в секунду. Со всех практических точек зрения можно считать, что частица весом в один миллиграмм прекрасно пребывает на своей траектории. Так получается из-за того, сколь огромна ее масса. Возьмем что-нибудь полегче, например бактерию Escherichia coli (кишечную палочку). Для оценки можно считать, что ее диаметр около одного микрона, длина около двух микрон, а масса – 1 пг. Вот пикограмм – это мало: 10–12 г. Испытывает ли E. coli квантовое беспокойство или, хуже того, квантовые метания из-за невозможности иметь одновременно точное положение и точную скорость? Определим условие ее комфорта как неопределенность положения максимум в одну десятитысячную от ее длины; для сравнения, мне кажется, что меня не должна беспокоить неопределенность моего положения в десятитысячную долю моего роста, т. е. около 0,2 мм. Для бактерии это означает, что мы локализовали ее с точностью до двух десятых нанометра. Тогда из заколдованного прямоугольника получается, что неопределенность ее скорости составляет около четверти нанометра в секунду. Нет, E. coli может жить спокойно, не испытывая ни малейшего квантово-механического дискомфорта.
Но для электрона все уже по-другому – из-за его массы. Желание локализовать электрон в пределах одного нанометра означает, что неопределенность его скорости составляет около (чуть меньше) 58 километров в секунду. Точнее этого определить его скорость нельзя, а с такой неопределенностью в скорости никак не получается сказать, что электрон движется по траектории: даже из пределов десяти нанометров он норовит выскочить за доли пикосекунды. Попытка четко локализовать электрон оказывается совершенно бесполезной, потому что невозможно предсказать, где мы его встретим при следующей попытке, даже если она делается почти сразу после первой.
Спасибо неопределенности. Принцип неопределенности, при всей его необычности, работает на благо человечества, да и вообще практически всего сколько-нибудь интересного, что есть во Вселенной: он позволяет звездам гореть. Дело в том, что принцип неопределенности позволяет проходить сквозь стены.
Все, что говорилось о «горении» Солнца на прогулке 5, было правдой, но это была не вся правда. Да, Солнце и другие звезды черпают энергию из дефекта массы при слиянии меньших атомных ядер в большие, прежде всего из слияния протонов. Но чтобы соединиться в составное ядро, протонам необходимо преодолеть взаимное электрическое отталкивание и сблизиться так, чтобы «защелкнулся замок» ядерного взаимодействия: на очень малых расстояниях оно намного сильнее электрического, и это позволяет протонам оставаться в тесных взаимных объятиях. Но пока этого не произошло, электрическое отталкивание играет роль разделительной стенки между любыми двумя протонами. В обычном веществе вокруг нас у протонов, которые еще не попали в одно ядро, совсем нет возможности для сближения, необходимого для слияния. Шансы могли бы появиться в недрах звезд: температура в ядре Солнца – около 15 млн градусов, из-за чего протоны мечутся там со средней скоростью около 600 км/с (и каждый испытывает миллиарды столкновений в секунду). Однако и этого оказывается недостаточно: на том расстоянии, где ядерное взаимодействие готово всерьез взяться за дело, электрическое отталкивание между двумя протонами настолько велико, что для преодоления его «с наскока» – за счет движения – требуется температура не 15 млн, а около 10 млрд градусов. Стена продолжает разделять каждую пару протонов, которые могли бы соединиться. Солнце «не должно» светить[205].
Солнце все-таки светит
Звезды все-таки светят (рис. 10.4), потому что протоны проходят сквозь стены. Слово «стена» не надо брать в кавычки, когда мы говорим, что два сближающихся протона натыкаются на стену взаимного электрического отталкивания. Привычные нам стены – это тоже тем или иным образом организованные силы отталкивания[206], просто из-за размера как нас самих, так и обычных стен мы вправе ничего не знать об атомах и молекулах, когда натыкаемся на твердую поверхность. Поэтому стена, разделяющая два протона, – это не метафора; любая стена/барьер – это просто сила в определенной конфигурации.
Рис. 10.4. Бурные процессы на поверхности Солнца – результат выделения энергии в его ядре
Протоны внутри Солнца иногда туннелируют сквозь запрещающий барьер
И еще во фразе «могут проходить сквозь стены» пояснения заслуживает слово «могут». Если вы оставили апельсины в вазе на столе и ушли на работу, то, вернувшись домой, вы «можете» обнаружить один из апельсинов лежащим на столе из-за того, что он прошел сквозь стенку вазы. Впрочем, не пытайтесь воспроизвести это в домашних условиях, потому что вероятность такого события запредельно, невыразимо мала – из-за огромной массы апельсина и огромной же толщины стенки. Для протонов, разделенных барьером взаимного отталкивания, вероятность прохождения сквозь стену в обычных условиях тоже исчезающе мала, но для «разогретых» протонов в ядре Солнца она перестает быть запрещающе малой, а актов столкновений там, наоборот, очень много (раскладывая апельсины, нам нечего и пытаться сравняться в числе попыток с этой ситуацией). В некоторых столкновениях два протона, находящиеся по разные стороны барьера взаимного отталкивания, все-таки попадают на одну его сторону из-за того, что один из них проходит сквозь барьер. Говорят, что он туннелировал, хотя никакого «туннеля» он не просверливал, а просто оказался по другую сторону стенки. После этого, правда, все тоже не очень просто из-за ряда отягчающих обстоятельств (см. добавления к этой прогулке), но без прохождения – туннелирования – сквозь стены не было бы совсем ничего, и благодаря туннелированию Солнце все-таки горит.
Прохождение сквозь стены – это откровенное нарушение запретов на возможное движение в том виде, к которому мы привыкли в окружающем нас мире – мире, который, в противоположность квантовому, называется классическим (слово указывает в данном случае не на расцвет Античности, а на все то, что считалось непреложно верным, пока не выяснилась квантовая природа мира). В квантовом же мире само движение устроено не классическим образом, и классические запреты оказываются не совсем запретами. Впрочем, преодоление их носит вероятностный характер, и чем выше стены (что измеряется энергией, необходимой для «переползания через верх»), а особенно чем они толще, тем менее вероятно туннелирование. Радикально менее вероятно: небольшое увеличение одного или другого параметра приводит к драматическому подавлению туннелирования, и во множестве случаев вероятность его настолько ничтожна, что можно смело говорить, что запрет все-таки действует. Во множестве, но не во всех.
Принцип неопределенности позволяет частицам преодолевать запреты, пользуясь «неопределенностью своего положения». Шериф запирает квантового Неуловимого Джо в застенке, а тот, как выясняется, не может строго локализоваться в пределах отведенного ему тесного пространства. В результате область его возможного пребывания отчасти распространяется и на внешний мир, где все еще привязана его лошадь. Хорошо по крайней мере, что помощники шерифа недавно укрепили стены, сделав их толще. Но здесь уже настает время для очередного предупреждения о неточности аналогий и метафор. Квантовая действительность по-настоящему случайна; в природе нет средств, чтобы запланировать побег. Квантовый Неуловимый Джо сам не знает, когда ему удастся сбежать, и своими средствами (без сообщников снаружи, что было бы уже совсем другой историей) повлиять на это не в состоянии. Имеет смысл только вероятность, с которой событие случится в течение выбранного периода времени. Вероятность же проявляет себя не в единичных случаях, а при повторных испытаниях, как при подбрасывании монеты, или же в отношении массового поведения – как в радиоактивном распаде атомных ядер.
«Куски» некоторых ядер (не в звездах, а «сами по себе») могут сбегать наружу, тоже проходя сквозь стены, и это тоже по-настоящему вероятностный процесс. Такие ядра существуют в течение какого-то времени как ни в чем не бывало, но затем превращаются в другие из-за потери небольшого фрагмента, который туннелирует наружу из «застенка». Сам этот застенок создан совместными силами притяжения всего, из чего состоит ядро: протонов и нейтронов. Притяжение создает энергетическую яму, стенки которой не дают им отрываться от коллектива (под влиянием кальки с английского, кстати, в последнее время вместо «яма» часто говорят «колодец»; звучит красиво и даже немного загадочно). Энергетические ямы бывают разными: в той, что на рис. 10.5 слева, можно поселиться, обладая энергией, превосходящей уровень энергии, отвечающий внешней «равнине», и тогда из ямы в принципе можно туннелировать на равнину; но из ямы на рис. 10.5 справа туннелировать некуда, выбраться из нее можно только обычным способом – при получении энергии, необходимой для «выползания». Обе эти энергетические ямы изображены для одномерного пространства, когда движение возможно только вдоль одной прямой. Если Неуловимому Джо доступны перемещения по плоскости, то изображение энергетической ямы будет и правда больше всего похоже на яму, с бортиками или нет (и это по-прежнему выражение того, как энергия зависит от положения, теперь уже на плоскости). А для частицы, летающей по трехмерному пространству, нарисовать такую яму уже невозможно: сидящая в ней частица ощущает стенки по всем направлениям.
Рис. 10.5. Два примера энергетической ямы, куда можно посадить частицу. Контуры ямы показывают энергию, сила же, которая возвращает частицу к центру ямы, измеряется крутизной стен
Для протонов и нейтронов, сидящих в атомном ядре, энергетическую яму создает притяжение, за которое отвечает сильное ядерное взаимодействие. Ему, конечно, мешает электрическое отталкивание между протонами, но правила игры здесь неравные. Ядерные силы намного сильнее электрических, но только в пределах малых расстояний – около 10–15 м (так называемый фемтометр, в миллион раз меньший нанометра), и из-за этого связывают только ближайших соседей. Электрическое же отталкивание, хотя и более слабое само по себе, ослабевает с расстоянием значительно медленнее, из-за этого каждый протон отталкивается от каждого, и при слишком большом числе протонов электрическое отталкивание побеждает – берет не силой, а массовостью. Укреплению ядерных коллективов заметно помогают нейтроны: они вообще не отталкиваются электрически, потому что не имеют заряда, а в отношении притяжения за счет ядерных сил неотличимы от протонов; они и дают дополнительный «склеивающий» эффект (пока их самих не слишком много и не очень заметна их неуживчивость друг с другом из-за эффекта, до которого мы доберемся в конце этой прогулки). Поэтому в подавляющем большинстве ядер (во всех после кальция, если двигаться по Периодической таблице элементов) нейтронов больше, чем протонов.
Те ядра, из которых возможно туннелирование, пребывают в промежуточном состоянии между существованием и несуществованием: их отдельные куски могут оказаться снаружи с некоторой вероятностью. «Кусками» при этом оказываются не отдельные протоны, а альфа-частицы – удерживаемые вместе два протона и два нейтрона. Причина предпочтения альфа-частиц – в их особой прочности, которая оборачивается энергетическим преимуществом[207]. Как только альфе-частице случилось пройти сквозь стенку (оказаться где-то на наружной стороне бортика, подобного тому, что изображен на рис. 10.5 слева), она покидает область действия ядерных сил, а электрическое отталкивание работает вовсю, из-за чего она немедленно улетает прочь, являя собой эффект радиоактивности (альфа-радиоактивности, поскольку есть и другие виды; весь процесс называют альфа-распадом). В ядре же остается на два протона и на два нейтрона меньше. Из-за своего туннельного характера альфа-распад носит истинно случайный характер (что остается предметом неизбывной зависти для программистов, решающих задачу генерирования по-настоящему случайных чисел компьютерными средствами). Примеры радиоактивных распадов приведены в добавлениях к этой прогулке.
Альфа-распад – результат прохождения сквозь стену
Туннелирование и систематическая обработка актов туннелирования – принцип работы устройства, которое по инерции называют микроскопом, хотя оно чувствительно к деталям намного меньшего размера, чем обычные микроскопы, и работает только в определенных условиях. Сканирующий туннельный микроскоп позволяет «почувствовать» форму поверхности с точностью до атома. Для этого игла, острие которой имеет толщину, сравнимую с размером атома, удерживается на малом расстоянии от исследуемой поверхности. Игла находится под напряжением, которое в случае контакта вызвало бы ток, но этого контакта там нет: зазор между иглой и поверхностью запрещает протекание тока. Однако это «классически», а в квантовой действительности электроны могут туннелировать через зазор. Туннелирование создает слабый электрический ток, величину которого можно измерить. Из-за того что вероятность туннелирования, а потому и ток чрезвычайно чувствительны к ширине «стены» (зазора), при перемещении иглы накапливаются данные о величине тока, компьютерная обработка которых позволяет восстановить форму поверхности (рис. 10.6; цвета в таких изображениях являются условными).
Рис. 10.6. Очертания поверхности, восстановленные с атомной точностью на основе туннельного эффекта. Соблазнительно думать об округлых неровностях как об отдельных атомах; они действительно имеют отношение к атомам, но, строго говоря, такой рельеф показывает распределение электрического заряда, который несут электроны
Атом почти не существует. Но что же происходит внутри атома? Как разрешается «загадка Резерфорда» – невозможность движения электронов вокруг ядра?
Пространственно ограничить движение не так просто из-за принципа неопределенности
Атом – связанная система: он собран из нескольких частей (ядра и электронов), которые существуют вместе, не разлетаясь в разные стороны. Это значит, что каковы бы ни были подробности движения этих частей, оно ограничено некоторой областью пространства. Из-за принципа неопределенности «пойманное» (пространственно ограниченное) движение оказывается довольно непростым явлением; оно радикально отличается от движения без пространственных ограничений. В привычном нам мире различие между ограниченным движением (эллипсы: спутник на орбите) и неограниченным (гипербола: прощай навсегда) можно не заметить сразу: короткую дугу гиперболы не так просто отличить от короткой дуги эллипса. В квантовом же мире, где движение не терпит траекторий, это различие огромно. Устройство атома – это, по существу, история про то, что представляет собой «пойманное» движение.
Энергетическая яма для электрона в атоме похожа на изображенную на рис. 10.5 справа (но электрон ощущает стенки по всем направлениям в пространстве). Создается она за счет электрического притяжения со стороны ядра (как бы ни вел себя электрон, у него не отнять его заряд). Края ямы очень полого опускаются на большом расстоянии от центра (где и сидит ядро), но по мере приближения уходят вниз все круче. В самом центре яма делается неограниченно глубокой, и туда, наверное, могли бы попадать электроны, если бы принцип неопределенности не препятствовал их пребыванию в очень малом объеме. Каким окажется компромисс между притяжением и принципом неопределенности, определяется точной формой ямы. Точечный электрический заряд создает энергетическую яму, в которой притяжение (крутизна стенок) меняется в зависимости от расстояния точно так же, как гравитационное притяжение точечной массы, и этот закон притяжения скрывает в себе интересную математику. В случае гравитации Ньютон получил, что замкнутые орбиты планет – непременно эллипсы: любой формы и размера, но эллипсы. Их тоже при желании можно воспринимать как результат компромисса: притяжение определяет тенденцию к сближению планеты со звездой, а сохранение количества вращения этому препятствует. Для электрона в атоме зависимость от расстояния надо передать не Ньютону, а Шрёдингеру: уравнение, открытое им в последние дни 1925 г., определяет способы существования электронов и им подобных в энергетических ямах произвольной (в принципе) формы, вблизи и внутри барьеров, в пространстве между стенками, в объеме кристаллической решетки и т. д. (везде, где нет больших скоростей, т. е. где несущественны эффекты специальной теории относительности[208]). В интересующем нас сейчас случае из уравнения Шрёдингера получаются не эллипсы и вообще не траектории, но, если угодно, способы существования электрона в атоме. И это довольно непривычные способы существования.
Уравнение Шрёдингера использует знание об энергии
Уравнение Шрёдингера одно, но информация о конкретной системе передается ему в виде зависимости энергии от количества движения и положений в пространстве. Зависимость энергии от количества движения в огромном числе случаев одна и та же – переформулировка известного «эм-вэ-квадрат-пополам» в терминах не скорости, а количества движения, и специфика любой конкретной системы отражается здесь только в выборе массы. Зависимость же энергии от положения в пространстве может быть чрезвычайно разнообразной, и она как раз и описывает, как устроено взаимодействие – энергетическая яма или же что-то более сложное, например взаимное отталкивание нескольких электронов: если бы они занимали такие-то положения, то энергия была бы вот такой. Мы сейчас выберем массу равной массе электрона, а пространственный профиль энергии – таким, каким его создает притяжение точечного положительного заряда, и будем интересоваться решениями, описывающими постоянно существующий атом. Вообще-то определить, что значит «постоянно», не всегда просто. Например, лучшее из возможных приближение к «постоянству» в космосе – это периодическое движение планет по замкнутым орбитам. И правда, планета постоянно находится на своем эллипсе и ее никогда не нужно искать «где-то еще» (на каком-то другом эллипсе). При этом понятия «планета» и «орбита» связаны так, что планете приходится что-то делать, находясь на орбите, а именно – летать по ней. В применении к устройству атома нам нужно нечто аналогичное (уж что получится): чтобы электрон постоянно находился в атоме, а не где-то еще, причем делал это так, чтобы в общем было известно, где его можно найти. При этом электрон может там что-то «делать» – то, что позволяет ему его природа. Про такой вариант «постоянства» в применении к уравнению Шрёдингера говорят, что это стационарное состояние (электрона в данном случае), и я скрепя сердце буду использовать этот профессиональный термин.
И вот новость, вбирающая в себя добрую половину всего, что говорит нам квантовая механика. Уравнение Шрёдингера предъявляет столь непомерные требования, что у него в общем нет решений для стационарных состояний – ни для электрона в атоме, ни для других вариантов пойманного движения.
Атомы [все-таки] не существуют?!
Атом почти не существует
Существуют, но «с большим трудом» – благодаря исключениям, которые все же допускает уравнение Шрёдингера. У него действительно нет решений для стационарных состояний, за исключением очень специальных ситуаций, которые определяются полной энергией ядра и электрона с учетом их притяжения. Сконцентрируемся на атоме с одним электроном (в природе это атом водорода или же ион – комбинация из ядра какого-то другого атома и единственного электрона). При произвольном значении энергии электрона у уравнения Шрёдингера просто нет стационарных решений: компромисса между принципом неопределенности и притяжением к центру найти не удалось, стороны расходятся, не договорившись, атом и в самом деле не существует! Картина меняется только при отдельных, специальных значениях энергии. Это не самое привычное положение вещей. Попробуйте представить себе, например, что все комнатные растения у вас дома могут жить только при температурах из списка значений 17,4750 ℃, 20,7111 ℃, 21,8438 ℃, 22,3680 ℃, …, а при любой другой температуре немедленно погибают. Это непростое требование к существованию растений. Ровно настолько же нелегко и электронам в атомах – и тем не менее природа построена на таких специальных, можно сказать, исключительных случаях[209].
«Хорошие» значения энергии, при которых атом все-таки существует, тоже можно организовать в список и заодно пронумеровать числами 1, 2, 3, …. Значения энергии из этого списка для данного атома абсолютно одинаковы везде во Вселенной; если инопланетяне сообщат вам, чему равна наименьшая возможная энергия электрона в атоме водорода, выраженная в и. е.э., вы будете точно знать, чему равна эта «инопланетная единица энергии». Наименьшую возможную энергию мы всегда помещаем в список под номером 1, а далее располагаем значения энергии в порядке возрастания; это не обязательно, но удобно настолько, что нет причин сомневаться, что инопланетяне тоже так делают.
Этот список разрешенных энергий – фундаментальное свойство атома. И что немаловажно, его (список!) можно наблюдать почти непосредственно. Он виден – я бы сказал, проступает – в свойствах света, который излучается или поглощается атомами. Если электрон устроился вблизи притягивающего ядра, имея первую энергию из списка, мы можем заставить его устроиться по-другому, передав ему энергию, в точности равную разнице между первой и, скажем, десятой энергиями. Способ передачи энергии – свет: нужно отправить на свидание с электроном порцию света – фотон – с точно заданной энергией. Внезапно отдельные куски пазла начинают собираться: поскольку энергия фотона есть произведение h · (частота), все, что требуется, – это отправить свет определенной частоты (или, что то же самое, определенной длины волны), т. е. свет определенного цвета. Электрон поглотит его, сам фотон исчезнет, но энергия его никуда не денется, а останется у электрона, который и устроится в состоянии номер десять. При этом свет близкой, но отличающейся длины волны, несущий чуть другую энергию, не сможет отдать эту энергию электрону, потому что у того нет способа существования в атоме с неподходящей энергией (а забрать энергию фотона можно только целиком: фотон не делится на части!). Мы этим пользуемся: путешествуя от источника к детектору и встречая по пути достаточно разреженное вещество, свет зацепляется за него, но только в той своей части, которая имеет подходящую длину волны. В результате в спектре – разложении приходящего света по длинам волн – образуются затемнения, означающие, что свет с некоторыми длинами волн до детектора не доходит. Положение этих линий поглощения точно свидетельствует об атомах, встреченных светом по дороге. В других условиях, когда вещество само излучает свет, на тех же длинах волн могут наблюдаться яркие линии: электрон, по каким-то причинам забравшийся в состояние с шестой или десятой энергией, расстается с ней, испуская фотон, а сам попадает с состояние с меньшей энергией. Разница между двумя энергиями из списка становится энергией фотона, и мы в результате наблюдаем свет со вполне определенной длиной волны[210].
Рис. 10.7.Сверху: иллюстрация к задаче «Продолжите последовательность 656,279; 486,135; 434,0472 и 410,1734» – спектральные линии водорода в видимой области спектра. Указаны длины волн в нанометрах. Снизу: спектральные линии гелия. Этот элемент был сначала открыт на Солнце по своим спектральным линиям
В длинах волн, отвечающих спектральным линиям, скрыты целые числа. В очередной раз стоя на плечах гигантов, мы теперь знаем, что эти числа представляют собой просто номера из списка разрешенных энергий, но в момент их открытия – за 40 лет до появления уравнения Шрёдингера, до открытия закона излучения Планка и даже до открытия электрона (!) – они представлялись совершенно загадочными. В 1885 г. их усмотрел в спектре атома водорода швейцарский преподаватель математики Бальмер. Перед его глазами было всего четыре лежащие в видимой части спектра линии с длинами волн 656,279 нм, 486,135 нм, 434,0472 нм и 410,1734 нм (рис. 10.7 слева). Сделав прямо сейчас паузу в прогулке, вооружившись калькулятором и отводя глаза от следующего абзаца, вы можете попробовать самостоятельно найти, какие целые числа скрываются внутри этой последовательности и как поэтому ее следует продолжить. Задача не решается мгновенно, даже когда вопрос поставлен напрямую о целых числах. У Бальмера же не просто не было калькулятора; вообще ничто не предвещало появления здесь целых чисел, так что открытие их в наборе произвольных с виду длин волн кажется мне каким-то особым видом наблюдательности и выдающимся примером эмпирически найденной, но при этом точной закономерности. Эти линии называются с тех пор серией Бальмера. Разгадав тайну длин волн, Бальмер продолжил последовательность и предсказал следующую линию с длиной волны 397 нм; как он вскоре узнал, ее, именно такую, уже наблюдал Ангстрём. Это было блестящим подтверждением догадки Бальмера!
Догадка же состояла вот в чем. Первую длину волны в его серии умножим на 1/22 – 1/32 (что можно, конечно, вычислить, приведя к общему знаменателю, но именно этого делать не следует, потому что сейчас важно не численное значение, а структура выражения; и я выделил число 3); вторую длину волны в серии умножим на 1/22 – 1/42; третью на 1/22 – 1/52 и четвертую на 1/22 – 1/62. Результат всех этих операций получается одним и тем же. Только это и было известно Бальмеру: в длинах волн прятались числа 3, 4, 5, 6. Предсказанная им следующая линия отвечала числу 7.
Объяснение серии Бальмера, и не только ее, основано на том, какие именно значения энергии составляют заветный список для атома водорода. Итогом (довольно сложных) действий с уравнением Шрёдингера явилась простая арифметика. Самую первую энергию в списке мы просто запишем как (1-я энергия) = –K; минус здесь потому, что энергия «пойманного» движения всегда отрицательна[211]. Пока мы просто ввели обозначение, но вторая энергия в списке получается из первой делением на 4: (2-я энергия) = –K/4; чтобы найти следующую за ней энергию, делим первую на 9: (3-я энергия) = –K/9; потом делим уже на 16 и так далее. Другими словами, энергия с номером n в списке равна – K/n2, и таковы все возможные энергии электрона в атоме водорода! Тогда разность любых двух таких энергий – с каким-то номером n и каким-то другим номером k из списка – имеет вид K(1/k2 – 1/n2). Именно такие энергии и несут излучаемые или поглощаемые фотоны. Энергия же фотона однозначно определяет его частоту и соответствующую длину волны (которая обратно пропорциональна энергии), и таким образом порядковые номера из списка разрешенных энергий проникают в длины световых волн, отвечающих линиям в спектре!
Обратные квадраты целых чисел для атома водорода
Сама по себе серия Бальмера отвечает переходам электрона в состояние со второй энергией из списка: число k надо взять равным 2, а числу n по очереди придавать те самые значения 3, 4, 5, 6 и далее, которые и усмотрел Бальмер. Полную формулу с двумя целыми числами n и k, развивая успех Бальмера, угадал в 1888 г. Ридберг[212]. Она описывала все спектральные линии водорода, но ее происхождение оставалось для современников загадочным, а значение буквы K представлялось совершенно произвольным. Сейчас, имея на руках решение уравнения Шрёдингера, мы видим, что буква K собрана из фундаментальных ингредиентов (заряда электрона, масс электрона и протона, а также постоянной Планка), которые на момент появления формулы относились к числу не просто неизвестных, а, собственно говоря, несуществующих.
Фундаментальным свойством всего происходящего оказывается дискретность. Электрон может существовать в атоме – в состоянии «пойманного» движения, – имея только дискретные значения энергии, для которых уравнение Шрёдингера в порядке исключения допускает решения. Этим определяется компромисс между притяжением к ядру и принципом неопределенности. Меняя варианты своего существования – переходя между состояниями из списка разрешенных, – электрон излучает или поглощает свет строго определенных длин волн. Находясь же в состоянии с наименьшей энергией, электрон лишен возможности отдать свою энергию: состояний с еще меньшей энергией просто нет. Но состояние с минимальной энергией – стационарное: бытие электрона не меняется с течением времени. При этом нет возможности говорить об ускорении электрона – том самом ускорении, из-за которого он должен был бы излучать. Он и не излучает, а пребывает в одном и том же состоянии. Таков ответ на вопрос, почему атом все-таки существует. Спасибо, что у уравнения Шрёдингера нашлись хоть какие-то стационарные решения[213].
Вражда, отбирающая свойства. Трудно тем не менее удержаться от вопроса: а что все-таки делает электрон, когда он существует в атоме в стационарном состоянии с определенной энергией? И что осталось в его способе существования от движения, как мы его знаем?
Все «умения» электрона – обладание несколькими числами
Электрон ни из чего не состоит
А что электрон вообще «умеет делать»? Находиться внутри атома не единственный способ его существования, есть и другие: в пустом пространстве (т. е. в удалении от всего остального), или во взаимодействии с другим электроном, или в пустом пространстве во взаимодействии со светом, или внутри металла, или… – мир как-никак полон электронов. Узнаём же мы электрон по присущим ему числам, которые он проявляет во взаимодействии с другими частями Вселенной, в первую очередь по массе и электрическому заряду. Все «умения» электрона сводятся к демонстрации внешнему миру нескольких чисел или к обмену с этим миром какими-то числами; такие обмены требуются для того, чтобы электрон мог участвовать в законах сохранения, ведь они выражаются через баланс чисел (о законах сохранения говорится в приложении А). Набор из нескольких чисел и определяет состояние электрона. Сказать что-то сверх этого едва ли возможно, потому что электрон элементарен. Мы привыкли, что вещи из чего-то состоят, но элементарный объект не состоит ни из чего, кроме самого себя. Из-за этого его существование носит несколько более абстрактный, математический характер. Свойства «обычных» вещей тоже можно представлять числами: например, форма тела описывается или с помощью формулы, которая эти числа производит, или в виде огромной таблицы, в которой записаны координаты множества точек на границе тела. Для привычных нам вещей таких чисел много, пренебрежение несколькими из них никакого значения не имеет. Письменный стол, за которым я сижу, достался мне от моего деда, он несет на себе следы времени, и математически его форма слегка отличается от той, что была на пороге фабрики; это, однако, не мешает столу оставаться самим собой. Элементарным же объектам, таким как электрон, недоступно разнообразие подробностей; у электрона нет «левого бока», который можно было бы помять или поцарапать, потому что «помять» или «поцарапать» означает воздействовать на составные части, но составные части отсутствуют. Состариться электрон тоже не может, в нем нечему стариться. Ему решительно некуда поместить и малую долю тех свойств, которыми обладает самая крохотная песчинка, попавшая на мой стол. Песчинку я могу взвесить и таким образом узнать ее массу; могу измерить скорость, с которой она улетит, если я на нее подую (так я узнаю ее количество движения); кроме того, я всегда могу определить точку, в которой она находится. При этом количество движения и местоположение песчинки выглядят как некоторые «внешние» свойства, не определяющие ее как таковую, – песчинка может иметь любые значения этих величин, «никого не спрашивая». Дело обстоит так потому, что песчинка большая и сложная: ее «правый бок» может оказаться более острым, чем левый, одна ее сторона может оказаться более плотной, чем другая, где-то к ней мог прикрепиться вирус, где-то еще на поверхности имеются микроскопические трещины и т. д. Но элементарные объекты существуют без всех этих прекрасных подробностей. Все их свойства сводятся к горстке чисел – частью перманентных, а частью зависящих от состояния, чисел, которые им совершенно необходимы, чтобы поддерживать отношения с миром. Это довольно необычно из-за перенесения внимания с чего-то вроде вещи «самой по себе» на более абстрактные понятия – «величины» и их значения, описывающие эту «вещь». Но еще более необычно, как в этих условиях проявляет себя квантовая природа мира: из-за принципа неопределенности не все свойства прикрепляются к объекту одновременно. Координата вдоль выбранного направления и количество движения вдоль того же направления не могут описывать состояние электрона одновременно.
Постоянная Планка вызывает вражду
Принцип неопределенности – проявление «вражды» между некоторыми величинами, вызванной тем, что постоянная Планка ħ вторгается в отношения этих величин друг с другом и непоправимо их искажает: изменяет правила, по которым с этими величинами следует обращаться в математических формулах. Из-за этого оказывается невозможным – в строгом математическом смысле невозможным, – чтобы эти величины, относящиеся к одному и тому же объекту, одновременно обладали определенными численными значениями. Они могут принимать определенные значения по очереди, но не вместе.
Привычные способы описания вещей рушатся. Неизбывная вражда, определяемая наличием постоянной Планка, составляет неотъемлемую часть устройства Вселенной. Такое положение дел влияет не только на то, что понимается под движением объектов, но в некоторой степени и на сам характер их существования. Объекты и явления не без труда обзаводятся свойствами, потому что все те свойства, которые они могут нести одновременно, с необходимостью ограничены набором полностью дружественных между собой величин – тех, в чьи отношения постоянная Планка не встревает. И это относится не только к собственно элементарным частицам, таким как электрон, но и к составным, таким как протон и нейтрон, и даже не только к ним, а еще ко всем достаточно простым объектам (например, атомам), в которых эффекты вражды не «размыты» большим количеством степеней свободы. (Я буду иногда упоминать «простые объекты» наряду с собственно элементарными, но для краткости часто буду говорить об элементарных, помня тем не менее, что законы квантовой механики актуальны вовсе не для одних только элементарных частиц.) Элементарные и простые объекты существуют в условиях «внутреннего напряжения» из-за встраивания постоянной ħ в мир в довольно неудобных местах. О том, каковы в точности правила квантового мира, удалось догадаться под жестким давлением обстоятельств: той самой невозможности существования атома и еще нескольких аналогичных «нелепиц». С тех пор мы несчетное число раз убеждались, что эти правила работают, но это не делает их интуитивно понятными.
Рис. 10.8.Слева: вращение, как мы привыкли себе его представлять: камень на веревке. Количество вращения выражается тремя числами, которые определяют вектор, показанный на рисунке стрелкой; она направлена вдоль оси вращения и тем длиннее, чем больше масса «камня», радиус и скорость вращения. Справа: в квантовом мире нет вектора количества вращения. Одновременно определены лишь два числа: интенсивность вращения и одна из компонент количества вращения. Взятые вместе, они определяют не ось вращения, а воображаемый конус, показанный на рисунке
Вражда наследуется – переходит на другие величины, сконструированные из тех, что враждуют. Немедленная жертва – количество вращения. В ньютоновском мире оно конструируется из двух величин: это положение (три числа) и количество движения (еще три); само количество вращения – это тоже три числа: оно имеет не только величину, но и направление и направлено всегда вдоль оси вращения. Три числа, его выражающие, – это три компоненты, определяющие стрелку на рис. 10.8 слева. Но в квантовом мире ингредиенты для построения количества вращения – координаты и компоненты количества движения – попарные антагонисты, они не могут иметь значения одновременно. Из-за этого каждая компонента количества вращения враждует с каждой другой, а это значит, что даже две из них не могут одновременно иметь определенные значения. Стрелки типа той, что изображена на рис. 10.8 слева, в квантовом мире не существует: направление оси вращения указать нельзя. Вся идея «вращения» подлежит пересмотру. (Это, впрочем, вселяет осторожный оптимизм, если мы намерены понять, что делает электрон в атоме, ведь вращаться обычным образом он там заведомо не может.)
Нельзя определить ось вращения
Кое-что от стрелки все-таки остается. Три компоненты количества вращения, которые не могут ужиться даже попарно, находят способ сложить три вражды в одну дружбу: «общая величина» количества вращения, лишенная информации о направлении, все-таки дружит с каждой из компонент. Это величина, которая в классическом мире представляет собой длину стрелки на рис. 10.8 слева. Ради упрощения далее на этой прогулке я предлагаю интересоваться даже не самой длиной стрелки, а квадратом этой длины (по тем же причинам, по которым квадрат гипотенузы проще всего выражается через квадраты катетов). Возводим каждую компоненту количества вращения в квадрат и складываем результаты: (1-я комп.)2 + (2-я комп.)2 + (3-я комп.)2. Мне надо придумать для этой суммы квадратов какое-то короткое название. Я уже использую необщепринятое «количество вращения», и терять мне особенно нечего, поэтому я буду говорить «интенсивность вращения». Хотя каждая из компонент количества вращения враждует с каждой, интенсивность вращения – сумма трех квадратов – дружит с каждой компонентой (буква ħ уходит из их отношений). Квантовое описание вращения задается поэтому двумя величинами, которые только и могут одновременно иметь определенные значения: интенсивностью вращения (которая не зависит от направления) и одной компонентой количества вращения – вдоль любого направления, но только какого-то одного (иногда удобно говорить «количество вращения вдоль данного направления»). Эти две величины определяют не стрелку, как на рис. 10.8 слева, а что-то вроде «набора возможных стрелок», которые лежат на поверхности конуса, показанного на рис. 10.8 справа. Коническая поверхность – все, что осталось от идеи оси вращения.
Мы постепенно приближаемся к ответу на вопрос о том, чем же занимается электрон в атоме. Часть ответа в том и состоит, что он несет в своем состоянии два числа: интенсивность вращения и количество вращения вдоль какого-то одного направления. Никаких дополнений, делающих картину больше похожей на вращение, нет и не будет. Правда, я чуть не забыл про еще одну проверку на вражду/дружбу. Ведь нас интересуют стационарные состояния электрона в атоме, а это – состояния с определенной энергией. Сложится ли дружный коллектив из энергии, интенсивности вращения и количества вращения вдоль одного направления? Ответ: да. Точнее говоря, если энергетическая яма для электрона одинакова по всем направлениям в пространстве (как это и имеет место вблизи атомного ядра), то все компоненты количества вращения, а потому и интенсивность вращения дружат с энергией. Энергия и интенсивность вращения, конечно, рады дружить со всеми тремя компонентами количества вращения, но те воюют между собой, из-за чего в дружный коллектив все равно можно записать только какую-то одну из этих компонент. Таким образом, в качестве свойств электрона в атоме остаются энергия, интенсивность вращения и одна компонента количества вращения. Мы серьезно продвинулись в направлении ответа на наш основной вопрос: выражаясь совсем наивно, это был вопрос «Как движется электрон в атоме?», но мы уже превратили его в несколько более осмотрительное «Что делает электрон в атоме?».
А что насчет количества движения электрона в атоме? Само наличие энергетической ямы означает, что энергия притяжения больше в одних точках и меньше в других, т. е. зависит от положения; из-за этого, как результат наследования вражды между положением и количеством движения, энергия электрона в атоме не дружит с количеством движения; его компоненты нельзя присоединить к списку. Здесь мы могли бы заподозрить, что если в «список дружбы» не попадает количество движения, то шансы оказаться там, наоборот, появляются у координат (положения), но в действительности координаты оказываются во вражде с уже включенными в список величинами. Это значит, что про электрон в стационарном состоянии внутри атома нельзя сказать, что в какой-либо момент времени он находится «здесь» или «там». Дело не в том, что он пребывает в разных точках в различные моменты времени, а в том, что ни в какой момент времени он не имеет свойства находиться в одной определенной точке. Такое свойство просто не помещается в стационарном состоянии электрона в атоме.
У электрона в атоме нет свойства находиться в определенной точке в данный момент времени
Промежуточный итог: энергия, интенсивность вращения и одна компонента количества вращения – вот три числа, которые может взять себе электрон в атоме. Это уже очень близко к тому, что электрон «умеет делать» в атоме, но пока еще не все квантовые странности проявили себя.
Господство целых чисел. Энергия электрона в атоме, как мы уже видели, ограничена значениями из списка, которые занумерованы числами 1, 2, 3 и т. д. Эту энергию, другими словами, определяет целое число n, которое принимает значения от единицы и выше. Это просто номер! Но и две величины, которые только и остались от всей идеи вращения, – интенсивность вращения и одна компонента количества вращения, – не избежали похожей участи: жесткие правила квантового существования приводят к тому, что и они тоже управляются целыми числами. Условия, при которых движение (или уж что от него осталось) удается «поймать» в ограниченной области пространства, оказываются и в самом деле весьма ограничительными.
Для начала интенсивность вращения может равняться нулю. «Вращательный покой» для электрона, поселившегося в энергетической яме подходящей формы, ничем не запрещен. Кроме нуля, для интенсивности вращения есть и другие разрешенные значения. Это дискретный набор 1 · 2 ħ2, 2 · 3ħ2, 3 · 4ħ2, 4 · 5ħ2 и т. д. (постоянная Планка здесь в квадрате, потому что мы не стали извлекать квадратный корень, определяя интенсивность вращения). Разумеется, дважды три – это шесть, а четырежды пять – двадцать, но сомножители оставлены «неперемноженными», чтобы была видна структура и стало понятно «и т. д.»: следующее разрешенное значение – это 5 · 6ħ2. Никаких других значений, кроме как из этой серии, нет: интенсивность вращения может быть равна только ( + 1)ħ2, где букве можно придать значение 0 (вращения нет) или по очереди придавать значения 1, 2, 3, 4, …, что и дает приведенные выше «недоперемноженные» множители. Интуитивно: чем больше число , тем «больше вращения». Вообще-то здорово: всего лишь постоянная Планка и произведение двух соседних целых чисел. И конечно, электрону в атоме нельзя сообщить интенсивность вращения, равную, скажем, 5ħ2, или πħ2, или ħ2/3, потому что таких значений нет среди разрешенных.
«Нечеловеческие» требования, предъявляемые уравнением Шрёдингера, на этом не заканчиваются, хотя следующее в сравнении со всем предыдущим уже похоже на придирку. Электрону нельзя сообщить слишком большую интенсивность вращения даже из только что перечисленных. На этот раз источник требования интуитивно понятен. На основе опыта обычного мира мы склонны подозревать, что более быстрая раскрутка может означать большую энергию. И если электрон устроился в атоме в состоянии с определенной энергией, то, наверное, не может взять себе слишком большую интенсивность вращения. Электрон как решение уравнения Шрёдингера и правда не может, и система ограничений работает следующим образом. В состоянии номер 1 – с минимальной энергией – электрону вообще нельзя иметь никакого вращения: число должно быть непременно равно нулю. В следующем состоянии номер 2 разрешены всего две возможности: иметь уже встречавшуюся нулевую интенсивность вращения ( = 0) или минимальную ненулевую, 1 · 2 ħ2 (что означает = 1). В состоянии номер 3 возможностей для буквы уже три: 0, 1 и 2. Так продолжается и дальше! В следующем состоянии с энергией номер 4 к уже перечисленным трем возможностям для интенсивности вращения добавляется еще одна, отвечающая значению = 3, и т. д. Под руководством Шрёдингера электрон в целом с пониманием относится к идее, что при фиксированной энергии ему негоже брать на себя слишком много вращения.
В связи с «вращательными» состояниями электрона в атоме имеется небольшой номенклатурный курьез. До того как повсеместно распространились арабские цифры, во многих письменных языках буквам придавали числовые значения. В кириллице, например, аз имел значение 1, веди – значение 2, иже – значение 8 (а, скажем, мыслете – 40). Число , ответственное за интенсивность вращения, являет собой нечастый пример противоположной идеи: значение 0 называется буквой s. Не любой нуль, а только нуль числа , отвечающего за интенсивность вращения. Значение 1 называется буквой p, значение 2 – буквой d, а значение 3 – буквой f. Порядка в буквах не видно, поэтому первый вопрос к использованию этой схемы (а она используется): как продолжать? После f продолжают все-таки по алфавиту: значение = 4 назвали буквой g, значение 5 – буквой h и т. д. Источник этого казуса, разумеется, исторический: атомы посылают во внешний мир сигналы в виде линий своих спектров, которые надо было как-то классифицировать еще прежде, чем они получили объяснение исходя из того, что делают электроны. Буквы s, p, d, f означали sharp, principal, diffuse, fundamental. Стоит заметить, что классификация оказалась «правильной» в том смысле, что, когда была создана квантовая механика, за различными буквами обнаружились различные числа.
От «вращения» электрона в атоме осталось два целых числа
Нам осталось вспомнить про третью из величин в дружном коллективе – компоненту количества вращения (вдоль любого направления; от выбора направления ничего не зависит). Атому снова удается существовать только «в порядке исключения» – когда компонента количества вращения принимает специальные дискретные значения. И они совсем простые: ħ · (целое число), причем это новое целое – из ограниченного интервала. Оно традиционно обозначается буквой m. Самое большое возможное значение этого m равно , следующее в сторону уменьшения – 1, потом – 2; продолжая шагать вниз по целым числам, мы пройдем нуль и доберемся до – (отрицательные значения означают просто, что компонента направлена не «вперед», а «назад»). Здесь и надо остановиться. Для буквы m имеются только возможности из списка от (наибольшего) до (наименьшего) –.
Как мы видим, чем больше энергия (чем больше номер n в списке разрешенных энергий), тем более разнообразна (в целом вообще-то скучноватая) жизнь электрона в атоме. Растущее число возможностей проиллюстрировано на рис. 10.9. Но это – все, что уравнение Шрёдингера без дополнительных накруток предоставляет электрону в атоме[214]. Финальное усложнение («с накрутками») еще появится и даже составит отдельную историю чуть дальше на этой прогулке, но общей картины это не меняет. Присутствие целых чисел в основе реальности довольно удивительно в сравнении с привычным миром, где целые числа встречаются только как количества предметов, тогда как в разнообразных явлениях, происходящих как рядом с нами, так и далеко во Вселенной, возможны совершенно любые значения скорости, плотности, температуры, энергии, напряженности магнитного поля и всего остального. Нет никакого механизма, в силу которого – например, для плотности – значение 1 (точно единица) было бы предпочтительнее, чем 0,9999836800451061 или 1,0000000000000001. Тем не менее именно целые числа (не приближенно, а в точности целые) встроены в самые главные для нас связанные системы – атомы.
Рис. 10.9. Как нумеруются возможные состояния электрона в атоме. При заданном номере уровня n у электрона есть возможность выбрать целое число в интервале от 0 до n – 1, а после выбора – еще одно целое число, m, в интервале от – до . Схему можно продолжить вверх
Появление целых чисел часто называют «квантованием»
Про такое появление целых чисел часто говорят как про нечто «квантованное», результат «квантования» или просто «квантовое». Этот слегка расплывчатый способ изъясняться указывает на колоссальное сужение возможностей по сравнению с тем, что наивно могло бы иметь место. Сами числа тоже иногда называют квантовыми, но это обычные целые числа (такие как 5 или 8); квантовым же является тот факт, что они определяют дискретные значения каких-либо величин[215]. Происхождение некоторых целых чисел оказывается не так просто объяснить, когда они возникают в системах, намного более сложных, чем один атом, но и там базовая причина – существование в условиях неустранимой вражды между некоторыми парами величин.
Напряженное существование. Мир, где властвует принцип неопределенности, казалось бы, должен выглядеть размытым и неточным, но в действительности все наоборот: мир оказывается чрезвычайно жестким и строгим, а потому точным в отношении тех значений величин, которые все-таки доступны существующим там явлениям. Это характерно для всех связанных систем – тех, составные части которых не разлетаются в стороны, а тем или иным образом удерживаются вместе (самый главный пример – атом). Попарная вражда одних величин с другими держит существование множества вещей на грани возможного: «еще бы чуть-чуть» – и решения уравнения Шрёдингера для пространственно ограниченного движения исчезли бы вовсе.
Рис. 10.10. Структурные формулы молекул. В молекулах нет никаких соединительных «палочек», будь то одинарные, двойные или пунктирные (они представляют собой условные обозначения), и молекулы не являются плоскими образованиями. Но структурные формулы имеют смысл, потому что каждая молекула с данной формулой собирается единственным или одним из нескольких способов. Слева: структурная формула молекулы аскорбиновой кислоты (витамина C). В центре: структурная формула молекулы кофеина. Справа: структурная формула молекулы воды
Тот факт, что связанные системы существуют в некотором роде «с большим трудом», только в определенных дискретных состояниях, оставляет им мало разнообразия; собственно говоря, вообще не оставляет разнообразия для состояния с наименьшей энергией, из-за чего все атомы одного типа и получаются совершенно одинаковыми. И не только атомы. Жесткость, встроенная в квантовую природу мира, проявляет себя и в других случаях сборки нескольких частей вместе: они соединяются не как попало, а некоторым дискретным числом способов, и часто – вообще одним-единственным способом. Если я буду лепить модели молекулы воды из пластилина, то все они окажутся у меня немного разными: угол между двумя атомами водорода будет зависеть от каких-то случайностей и неизбежных неточностей. Настоящие же молекулы воды себе такого позволить не могут: они все организованы одинаково именно потому, что такая организация выражает собой решение уравнения Шрёдингера, причем чаще всего единственное[216]. В частности, структурные формулы молекул в подавляющем большинстве случаев определяют, каким именно образом «собирается» молекула (рис. 10.10); именно поэтому достаточно условные структурные формулы и имеют смысл.
Не так легко представить себе, как был бы устроен мир вокруг нас, если бы жесткие условия сборки молекул не определяли результат практически единственным образом – скажем, если бы уже в молекулах воды угол между двумя атомами водорода мог плавно меняться от молекулы к молекуле. Например, способность «воды» к замерзанию тогда сложно зависела бы от процентного содержания молекул разных типов. В более сложных случаях молекулы то вступали бы между собой в реакцию, то нет или вступали бы с разными результатами, в зависимости от своей «версии». По счастью, ничего этого среди простых молекул не случается: жесткие правила игры держат молекулы «в форме» – причем в единственной, с точностью до дискретных преобразований. Дело опять в том, что уравнение Шрёдингера для связанных систем почти невыполнимо, а именно невыполнимо для всех случаев, кроме особых, которые можно пересчитать. Без этого мир не собрался бы таким структурированным образом.
Почему Менделеев был прав. Целые числа, описывающие «пойманное» движение, видны не только в спектрах атомов; они присутствуют и на рис. 5.8 – «за кадром», но от этого не менее веско: они определяют форму Периодической таблицы элементов. Для удобства она воспроизведена еще раз на рис. 10.11. Каждая ее строка называется периодом; химические свойства элементов «плавно меняются» от начала к концу периода и в разных периодах делают это сходным образом. В этом и заключается причина называть таблицу периодической. В разных периодах количество элементов неодинаково, из-за чего таблицу и рисуют с разрывами сверху; а чтобы не делать эти разрывы неприемлемо большими по типографским соображениям, части самых длинных периодов, наоборот, выносят в отдельные строки. И вот факт, выведенный Менделеевым из наблюдений над природой, но в то время необъяснимый: в первом периоде 2 элемента; во втором и третьем – 8; в четвертом и пятом – 18; в шестом и седьмом – 32. Сейчас мы (почти) воспроизведем эти числа, просто глядя на рис. 10.9! Надо только вспомнить, что порядковый номер элемента в таблице определяет количество электронов в атоме[217].
Рис. 10.11. Периодическая таблица элементов. Каждая строка – период, на протяжении которого химические свойства плавно меняются, в конце периода превращаясь в «противоположные» тем, которые имеются в начале. Длина периодов увеличивается сверху вниз, поэтому первые периоды рисуют с разрывами, а из последующих, наоборот, некоторую часть выносят в отдельные строки
Совместное существование нескольких/многих электронов в одном атоме вообще-то отличается от жизни электрона в одиночестве: они расталкивают друг друга, но вынуждены делить между собой весь тот скудный комфорт, какой имеется внутри энергетической ямы, созданной положительно заряженным ядром. Тем не менее организация атома со многими электронами сохраняет преемственность со списком вариантов, которые доступны единственному электрону, живущему в свое удовольствие в атоме водорода, вот в каком смысле. Взяв, например, атом элемента номер три – лития – и оторвав от него один электрон, мы получим ион, общий электрический заряд которого складывается из заряда ядра, равного +3, и зарядов двух оставшихся электронов, каждый по –1, итого +3–1 – 1 = +1. Это такой же заряд, как у ядра атома водорода. Когда мы вернем изувеченному атому лития оторванный электрон, этот электрон окажется примерно в такой же энергетической яме, как в атоме водорода. Электрон рад бы устроиться в состоянии под номером n = 1 в списке, который разрешает строгий Шрёдингер, но его уже заняли два электрона, которые имеются в ионе лития. Все, что остается возвращенному электрону, – это сесть в первое из незанятых состояний, а это одно из состояний при n = 2.[218] Его энергия близка к энергии электрона, попавшего в состояние с номером n = 2 для атома водорода (но в атоме водорода электрон, оказавшийся в этом состоянии, быстро испустит фотон и снова вернется в состояние с наименьшей энергией, а в литии это невозможно, потому что оно уже занято). В атомах с большим числом электронов картина усложняется, но состояния, последовательно занимаемые электронами, остаются качественно такими же, как те, что мы перечислили в списке возможностей для одного электрона. Этими возможностями управляют те же целые числа, с которыми мы имели дело на рис. 10.9. Сколько же имеется состояний при заданном значении энергии? Как видно из рис. 10.9, на первом энергетическом уровне (n = 1) имеется всего одно состояние (не очень удивительно: минимум энергии – минимум возможностей). На следующем уровне n = 2 уже четыре состояния, а на уровне n = 3 их девять. Аналогично после небольшой возни мы убеждаемся в том, что уровень энергии с номером n = 4 допускает 16 состояний.
Появились прекрасные числа 1, 4, 9, 16 (следующее, очевидно, 25). Умножив каждое из них на два, получим числа 2, 8, 18, 32. Как мы только что видели, они же – длины периодов в Периодической таблице (2, 8, 8, 18, 18, 32, 32). Но почему умножение на двойку? Дело выглядит так, как будто возможных состояний для электронов в два раза больше, чем мы смогли найти до сих пор. Откуда они берутся? Если мы надеемся объяснить Периодическую таблицу элементов исходя из устройства атома, этот вопрос надо как-то решить. Решим, но сначала немного отдохнем от атомов.
Неугомонные колебания. Несколько неожиданное, но вообще-то почти очевидное следствие из принципа неопределенности состоит в том, что невозможен покой. Покоя не бывает просто потому, что он означал бы определенное положение при определенном количестве движения (а именно нулевом).
Невозможность покоя порождает особый вид «движения», который нельзя отобрать у системы; оно входит в способ ее существования. Такое положение дел особенно выразительно проявляется во всем, что способно совершать колебания («дрожания», или «шатания», или «качания» туда-сюда). А способность эта распространена чрезвычайно широко, потому что присуща всем устойчивым образованиям. Сама идея устойчивости в том и состоит, что система возвращается в прежнее состояние, когда на нее воздействует что-то не слишком разрушительное: в макромире высокие здания (не говоря уже о деревьях) качаются на ветру; то же самое делают крылья самолета в полете; пол, по которому вы ходите, в некоторой степени поддается давлению, а потом возвращается в прежнее состояние (а если не возвращается, то вы, похоже, сильно затянули с ремонтом); в мире малого атомы, соединенные в молекулы, испытывают воздействие соседей, которые вообще-то могли бы эту молекулу разрушить, но в подходящем диапазоне условий молекула себя сохраняет, несмотря на получаемые извне «пинки». Показательный пример колебательных систем – молекулы, образованные из двух атомов[219]. Отличительная черта колебательных систем – энергетическая яма вроде показанных на рис. 10.12: ее края не выполаживаются, как в атоме, а, наоборот, уходят неопределенно высоко вверх. Для молекул и других подобных образований такая картина является идеализацией: в реальности стенки имеют конечную высоту и, скажем, разрушение молекулы можно интерпретировать как преодоление стенок посредством переползания через край. И тем не менее такие идеализированные энергетические ямы находят широчайшее применение при описании природы.
Рис. 10.12. Энергетические ямы, определяющие идеальные колебательные системы. Слева: колебания происходят в одном измерении. Справа: колебания происходят в двух измерениях. Вертикальное направление выражает энергию, а горизонтальные – координаты: вдоль одной прямой слева и на плоскости справа
Нулевые колебания – неустранимое движение
В каждой квантовой системе, определяемой энергетической ямой подобного вида, имеется низший уровень движения вместо покоя. Аналогов в привычном нам описании движения у этого явления нет. Этот неустранимый остаток называется нулевыми колебаниями. В слове «нулевые» можно при желании увидеть легкую насмешку над смыслом, потому что эти колебания несут в себе пусть крохотную, но ненулевую энергию. А вообще, колебательным системам живется почти так же тяжело, как атомам, – по сходным причинам, связанным с конфликтом между ограниченным в пространстве движением и принципом неопределенности. Они тоже существуют только при специальных значениях энергии, из своего собственного списка. Для определенности будем говорить о колебаниях, происходящих вдоль одной прямой (чему отвечает энергетическая яма на рис. 10.12 слева). Если перед вами такая колебательная система, а вы желаете ее «взбодрить», передав ей дополнительную энергию, то принимать она сможет только дискретные порции. Картина даже проще, чем в атоме: состояние под номером один в списке (первые «настоящие» колебания, не считая нулевых) требует энергии, которая превосходит энергию нулевых колебаний на удвоенную энергию этих нулевых колебаний. Следующее (второе в списке) возможное состояние колебательной системы требует еще одну порцию энергии величиной с удвоенную энергию нулевых колебаний, следующее – еще одну и т. д. Все энергии в списке идут с постоянным шагом, интервал между двумя соседними энергиями всегда один и тот же. Величина этого энергетического интервала – свойство каждой колебательной системы, «лично» ее характеризующее. Поделив этот интервал на постоянную Планка, мы получаем величину, которая определяет колебательную систему в классическом (неквантовом) мире, – собственную частоту ее колебаний. Конечно, со связью возможных значений энергии и частоты мы уже встречались на предыдущей прогулке: именно на эту идею (энергия) = h · (частота) и набрел Планк в 1900 г. Это правило, как мы теперь видим, выражает собой глубокую природу вещей: тот факт, что колебательные системы существуют только при дискретных значениях энергии.
Мы, разумеется, радуемся дискретности: молекула, способная совершать колебания, поглощает и излучает свет на строго определенных длинах волн, а это дает способ выявлять наличие определенных молекул на сколь угодно большом удалении от наблюдателя, если только он обзавелся хорошими оптическими инструментами. Дискретные линии в спектрах играют роль «цифровой подписи» и атомов, и молекул, выдавая их присутствие. Правда, дискретность в мире молекул становится малозаметной, когда характерные переданные им энергии велики по сравнению с интервалом между разрешенными значениями энергии – что происходит при «высоких» (точнее, «не сверхнизких») температурах. Квантовые эффекты тогда «пропадают», примерно как отдельные песчинки перестают иметь значение при отгрузке песка в промышленном масштабе, когда песок «течет» как непрерывная среда. Зато при по-настоящему низких температурах квантовые свойства проявляют себя в полной мере, что открывает невиданные ранее возможности измерения тонких эффектов, связанных с квантовой дискретностью[220].
Колебания, которые нельзя совсем остановить, а можно только перевести в некоторый «нулевой» режим (с ненулевой, однако, энергией), не могут выглядеть как колебания шариков на пружинке. Чтобы это подчеркнуть, иногда говорят «квантованные колебания» или «квантовые колебания», но я буду чаще всего говорить просто «колебания», лишь время от времени напоминая, что они не без странностей. За следующим поворотом на этой прогулке они буквально обрушатся на нас, потому что невозможность покоя и квантовое устройство колебаний – явления, проявляющие себя не только для молекул, но и как фундаментальный эффект, лежащий буквально в основании мира. Но чтобы обсуждать его, нам потребуется еще одно рассуждение, которое соединяет принцип неопределенности с Самой знаменитой формулой и буквально открывает бездну.
Квантовая первооснова. Принципы организации природы действуют не в изоляции друг от друга, а составляют единую картину – уже по той одной причине, что работают в одной и той же Вселенной. Ситуации, в которых нам непонятно, как два разных принципа совмещаются, представляют собой движущую силу прогресса или по крайней мере постоянное напоминание, что прогресс (был бы) желателен; дежурный пример – квантовая гравитация, т. е. соединение идеи искривленного пространства-времени с квантовыми концепциями; непонятно, как они работают вместе. На этой «квантовой» прогулке мы деликатно не будем даже вспоминать про общую теорию относительности. Зато со специальной теорией относительности все совсем неплохо: за два с небольшим десятилетия после создания квантовой механики, с перерывом на Вторую мировую войну, было достигнуто понимание, как совместить квантовые принципы с принципом относительности. Это понимание с тех пор углублялось по мере своего распространения на новые аспекты реальности, открываемые в экспериментах. Содержательная часть тут довольно сложна, но для наших целей достаточно взгляда с высоты птичьего полета.
Проникновение в субатомный мир открыло элементарные частицы в качестве самого простого, что там есть. Название «частица» несколько сбивает, потому что им нельзя приписать ряд свойств, которыми мы наделяем обычные частицы, из-за чего они не очень-то и «частицы», но название давно установилось. В статусе их существования, как бы то ни было, обнаруживается дополнительная странность, связанная с Самой знаменитой формулой E = mc2, которая говорит, что энергия и масса суть одно и то же. Для заданной массы частицы имеется характерная длина ħ/(mc), симптоматично определяемая с помощью двух мировых констант: постоянная Планка отвечает за квантовые эффекты, а скорость света – за эффекты, связанные с относительностью (структурой пространства-времени). Выберем для определенности электрон; тогда m – это его масса, а указанная длина составляет 2,4 × 10–10 см, т. е. тысячные доли нанометра. На этих и меньших расстояниях картина реальности несколько «расползается» вот каким образом: неопределенность в количестве движения электрона оказывается столь велика, что соответствующая ей неопределенность в значении энергии движения может превышать 2mc2. Но если энергия определена только с такой «погрешностью», то и число частиц больше не определено точно! Каждая «неточность» указанного размера имеет в качестве своего носителя пару, состоящую из электрона и его античастицы, позитрона (пара необходима, чтобы суммарный электрический заряд оставался равным нулю). Мы приходим к выводу, что из-за совместного действия квантовых законов и теории относительности количество имеющихся частиц невозможно точно фиксировать на малых расстояниях; электрон перестает быть одним электроном. Принцип неопределенности в сочетании с теорией относительности настигает, казалось бы, незыблемое – «количество предметов», в данном случае элементарных частиц. Если выражаться фигурально, на малых масштабах об электроне оказывается невозможным говорить без «ряби в глазах».
Принцип неопределенности распространяется на количество частиц в малом объеме
Развитие этой идеи привело к выводу, что электрон (как и любая элементарная частица) – не самый фундаментальный объект, а представляет собой проявление чего-то более фундаментального, что уже совсем не похоже на частицы. Оно, это более фундаментальное, само распоряжается появлением и исчезновением электронов и позитронов, следя при этом за выполнением и законов сохранения, и принципа относительности, и квантовых принципов, включая и принцип неопределенности. Теоретическая конструкция, в рамках которой удалось совместно реализовать набор непростых требований, получилась несколько вычурной математически, но с этим приходится мириться, потому что более простой придумать не удается, а эта, кроме того, продемонстрировала феноменальную – не превзойденную нигде в науке – степень согласия теоретических предсказаний с наблюдениями. На фундаментальном уровне, согласно этим идеям, мир состоит из квантовых полей – распределенных в пространстве сущностей, которые способны нести энергию, но содержат в своей природе непримиримость, инспирированную постоянной Планка ħ.
Квантовое поле представляет собой сваленные в кучу квантовые колебательные системы – такие, где есть нулевые колебания, а все другие уровни энергии разделены одинаковыми интервалами. «Куча» эта колоссальна: колебательные системы существуют при каждом возможном значении количества движения. Выберите любое количество движения (три числа) – для него есть своя колебательная система. Ее пространственное положение не определено, и можно сказать, что квантовое поле заполняет все пространство. Колебательные системы, которые все вместе составляют поле, – это возможности для того, чтобы в них происходили колебания: если угодно, это «ниши», которые могут заполняться передаваемой полю энергией. Когда колебания на первом уровне энергии возникают в колебательной системе, отвечающей выбранному количеству движения, в природе появляется электрон (или, в зависимости от некоторых дополнительных подробностей, позитрон) с данным количеством движения. А взаимоотношение всех этих колебательных систем с пространством-временем таково, что никакие сигналы не передаются быстрее скорости света и вообще выполнены все требования специальной теории относительности. Теоретическая конструкция, которая обеспечивает все это, называется квантовой теорией поля.
Резюме, важное нам для дальнейшего: каждая элементарная частица представляет собой проявление более глубокой сущности – является, как говорят, квантом поля. Электрон – квант электрон-позитронного поля, а фотон – квант электромагнитного поля[221]. И вообще, каждая элементарная частица – квант соответствующего поля, его элементарное, т. е. самое простое, возбуждение; это минимальный способ, которым поле может нести энергию, превосходящую энергию нулевых колебаний. «Напряженность» квантового существования при этом снова в действии: строгая дискретность квантовых колебаний поддерживает все электроны во Вселенной совершенно одинаковыми.
Фундаментальных полей в природе несколько, их надо представлять себе существующими повсюду и совместно – «наложенными» друг на друга в пространстве. Часть из них при этом не замечают друг друга, но некоторые замечают – могут обмениваться энергией между собой; про такие поля говорят, что они взаимодействуют друг с другом. Картину взаимодействующих полей можно в известной степени перевести на язык их квантов. Правда, для этого требуются не просто кванты, а очень на них похожий, но несколько иной способ организации поля. Собственно кванты (например, электрон и фотон) – это возбуждения поля, способные к постоянному и «независимому» существованию, как, например, электрон в атоме, или электрон, работающий в телевизоре образца XX в., или фотон, летящий от светящегося тела. Но поле в целом устроено сложнее, чем набор таких возбуждений, и оно может порождать еще и некоторые «временные» (может быть, лучше говорить «промежуточные») состояния. Эти состояния – возбуждения поля, которые похожи на полноценные кванты всем, кроме одной, довольно радикальной черты: у них нет фиксированной массы, как у всех настоящих квантов (для которых она может быть нулевой, как в случае фотона, или ненулевой, как, например, для электрона, но в любом случае фиксирована, являясь, по существу, свойством поля). Эти «не совсем настоящие кванты» называют виртуальными частицами. Они возникают и исчезают в качестве агентов, которыми обмениваются друг с другом какие-то другие поля. Например, два электрона способны обмениваться такими «временными» возбуждениями электромагнитного поля – виртуальными фотонами; этим и обеспечивается электрическое отталкивание электронов друг от друга. Даже один электрон способен производить, а затем поглощать виртуальные фотоны.
Объясняясь на жаргоне, специалисты часто опускают слово «виртуальный», но помнить про него необходимо; обмен виртуальными фотонами между электроном и протоном мало похож на то, как если бы эти двое «светили друг в друга фонариками». Между протонами в атомном ядре и электронами в этом же атоме не летают туда-сюда «частицы света», но тем не менее обмен виртуальными фотонами обеспечивает притяжение электронов к ядру. Каждая виртуальная частица, проскакивающая между квантами каких-либо полей, переносит между ними некоторый набор чисел: заряды, энергию и количество движения. Когда квант какого-нибудь поля испускает виртуальную частицу, он отдает ей часть своих энергии и количества движения (а если она несет заряд, то и заряд), а когда другой квант поглощает виртуальную частицу, он забирает себе все, что она принесла. Энергия, количество движения и заряды сохраняются на каждом этапе, и в этом смысле виртуальные частицы воплощают собой способ бухгалтерского учета всех этих величин, передаваемых от одного поля другому. Какую именно величину энергии и количества движения берет на себя каждая отдельная виртуальная частица, никак при этом не регламентировано. Взаимодействие, которое возникает как результат их посреднической деятельности, представляет собой своего рода сумму вкладов виртуальных частиц со всевозможными значениями энергии и количества движения. (Кстати, если бы у виртуальных частиц была фиксирована определенная масса, они не справились бы с этой ролью: нарушились бы законы сохранения при их испускании и поглощении.) В какой же мере виртуальная частица похожа на настоящий квант? В некоторой: прежде всего тем, что ее порождает то же квантовое поле, которое порождает настоящие кванты; и тем, что она несет все квантовые числа настоящих квантов, кроме массы. Но из-за этого последнего обстоятельства она мало похожа на частицу.
Не регламентирована не только энергия, которую переносит каждая виртуальная частица, но и само количество виртуальных частиц, участвующих в процессе обмена. Всякое взаимодействие полей представляет собой обмен не одной виртуальной частицей, а неопределенным – любым – их количеством. Здесь, впрочем, видна и некоторая ограниченность идеи виртуальных частиц. Дело в том, что взаимодействуют все-таки поля, а представление этого взаимодействия на языке квантов, в виде дискретного набора возможностей (обмен одной виртуальной частицей, обмен двумя виртуальными частицами, обмен тремя и т. д.) – это до некоторой степени приближение. Оно дает прекрасные результаты в тех случаях, когда обмен второй виртуальной частицей приводит к заметно меньшим эффектам, чем обмен первой, а обмен третьей – меньшим, чем в случае первых двух, и т. д. Тогда последовательный учет все большего числа виртуальных частиц дает все более точную картину взаимодействия. Но если учет каждой следующей виртуальной частицы сильно меняет общий результат, то, значит, полная картина взаимодействия не сводится к дискретным актам обмена виртуальными частицами, а само понятие виртуальной частицы тогда оказывается довольно бесполезным.
Возвращаясь к «настоящим» квантам фундаментальных полей, я предвижу легкое недоумение относительно того, в чем же происходят все те колебания, которые составляют каждое из полей, что это за «среда», что там колеблется и чем порождается «упругость», требуемая для поддержания колебаний. Ответ оказывается очень коротким, потому что не предполагает объяснений одной вещи через другую (все объяснения должны когда-то останавливаться, и сейчас как раз такой момент). Все эти колебания в квантовом исполнении – свойство самих полей. Согласно современным представлениям, эти колебания и есть фундаментальная физическая реальность. Им не нужна никакая среда, они ни из чего не состоят; наоборот, все остальное состоит из них.
Кипящая пустота. Из-за нулевых колебаний даже пустота (вакуум) «не совсем пуста». Вообще-то устроить пустоту означает убрать все, что можно убрать, и держать это все где-то еще: освободить помещение от всего, так сказать, движимого имущества. Однако там обнаруживается скрытое «недвижимое» – нечто, лежащее на самом дне, что нельзя «вымести» никакими средствами. Желая создать пустоту в выбранном объеме, мы убираем оттуда все элементарные частицы, какие только попадутся. Таким образом мы освобождаем объем от огромного числа носителей энергии. Но устройство вещей не позволяет забрать нулевые колебания квантовых полей. Они остаются, хотя и не принимают вида наблюдаемых частиц («шепот, который никто не слышит»); при этом они происходят абсолютно везде в том разнообразии и постольку, в каком и поскольку во Вселенной имеются фундаментальные поля A, B, C, … – каждое из них имеет свои нулевые колебания. Любое квантовое поле, существование которого заявлено во Вселенной, нельзя удалить совсем, его можно только оставить в состоянии с наименьшей энергией – энергией нулевых колебаний. Если вы зарегистрировались в качестве участника на достаточно серьезных соревнованиях, но не стали выходить на игры, то нельзя сказать, что вы совсем не присутствуете, хоть вас и не видно. Вы заявлены, и другие участники получают очки за победу над вами из-за вашей неявки. А если случится так, что разным участникам при этом присвоят разное количество очков, ваша «нулевая» роль внезапно окажется заметной. Почти так и происходит с пустотой.
Пустота – там, где только нулевые колебания
Наверное, нулевые колебания могли бы тем или иным образом проявлять себя, если бы имелась другая версия пустого пространства, в которой нулевые колебания были бы устроены как-то иначе; тогда, ставя эксперименты и в том, и в другом пространстве, можно было бы прийти к каким-то заключениям о роли нулевых колебаний. Но ведь пространство у нас одно, с фиксированным составом «зарегистрированных» полей, да? Примерно так позднее описывал свои мысли и сомнения Казимир[222], который первым понял, что «другой вариант пространства» можно создать, расположив в вакууме параллельно друг другу две плоские пластины. Если они не заряжены, но идеально проводят электрический ток, то на границах пластин должны быть равны нулю электрическое поле вдоль пластины и магнитное поле поперек нее. Даже нулевые колебания электромагнитного поля, несмотря на то что их «совсем не видно», должны удовлетворять этим условиям. Но поле в зазоре между пластинами подчиняется таким условиям с двух сторон, тогда как во внешнем пространстве ограничение имеется только с одной стороны. Поэтому колебания между пластинами должны удовлетворять большему числу условий – и самих колебаний оказывается в некотором роде меньше. Это распространяется и на нулевые колебания, которые хоть и нулевые, но несут энергию. Недостаток энергии нулевых колебаний между пластинами зависит от расстояния между ними, а в таких случаях всегда возникает сила: пластины притягиваются. На расстоянии микрона их прижимает друг к другу давление, составляющее порядка десятка миллиардных долей (10–8) атмосферного. Это не слишком большая величина, но ее можно измерить. И это притяжение довольно чувствительно к расстоянию между пластинами: уменьшение зазора вдвое приводит к увеличению силы притяжения в 16 раз (а в 10 раз ближе – в 10 000 раз сильнее). В реальных опытах наблюдаемая сила меньше из-за неидеальности пластин (в отношении и их проводимости, и шероховатости поверхности; да, и вычисления Казимира относились к абсолютному нулю температуры). Тем не менее она зафиксирована экспериментально[223].
Один мир – две системы. Кванты одного поля – элементарные частицы одного вида – одинаковы. Но это не всё! Они неразличимы. Если у вас и у вашей приятельницы есть по электрону, которые вы запускаете с разных сторон в пустую коробку и позволяете им взаимодействовать друг с другом, то у вас нет возможности после этого с гарантией отнести домой именно «свой» электрон. Ситуация радикально отличается от обмена шариками марблс, когда вы наверняка сможете найти подходящий фломастер, чтобы предварительно поставить метку на своем шарике; если шарик такой, что на нем совсем ничего не пишет, возьмите тонкое сверло и сделайте маленькую выщербину. На элементарном же объекте «не пишет» никакой фломастер – у него нет никакой структуры, на которую можно было бы нанести отметку или из которой можно было бы выщербить кусок. Вы можете, конечно, постараться не сводить глаз с «вашего» электрона, чтобы потом унести обратно именно его. Но и эта стратегия обречена, потому что у электрона в коробке нет ясной траектории и, когда два электрона взаимодействуют, они «спутывают следы», лишая вас возможности проследить за тем, кто из них в точности что делал[224].
Рис. 10.13. Клоны в тесном взаимодействии. В отличие от ситуации в квантовом мире, мы все же в состоянии проследить за каким-то одним из них
Кванты одного поля лишены индивидуальности
Неразличимость – свойство каждого вида элементарных частиц. Природа не позволяет приписать им индивидуальность. В этом смысле кванты ближе к битам информации, чем к шарикам марблс. Действительно, если вы пожелаете отличить один бит «0» от другого бита «0», то немедленно окажется, что вы имеете дело уже не с битами – вам пришлось увеличить количество информации, прикрепив к биту еще какой-то различитель. К квантам полей такие внешние различители просто не прикрепляются. Кванты любого выбранного поля массово ведут себя как «агенты Смиты» (рис. 10.13) с дополнительным свойством, которое едва ли под силу показать даже создателям фильма «Матрица», если бы они вдруг пожелали иметь еще и квантовых персонажей: когда такие Смиты набиваются в комнату, нет никакой возможности сфокусироваться ни на одном из них. Из мира удалена информация о том, «какой из них где и что делает». Для настоящих элементарных объектов (и близких к ним простых объектов) этой информации, собственно, никогда и не было; она не существует.
Принципиальная неразличимость отбирает у движения в квантовом мире еще больше наглядности (если таковая оставалась). Тем или иным образом собранные вместе и взаимодействующие электроны движутся – несут энергию и количество движения, а также обмениваются ими, – но делают это труднопредставимым «неиндивидуальным» способом: нет средств решить, что «этот» электрон движется примерно «здесь» или принадлежит именно этому атому в молекуле.
Неразличимы кванты любого поля, однако неразличимость проявляет себя двумя различными способами для двух принципиально разных классов, на которые делятся все квантовые поля в природе в зависимости от способности или неспособности их квантов собираться вместе. Кванты одних полей не терпят себе подобных в том же состоянии, а кванты других совсем не возражают и даже выказывают склонность собираться в одном состоянии. В нашей Вселенной присутствуют поля этих двух видов, и никаких других. Последствия для мироустройства оказываются колоссальными.
Для квантов полей из класса коллективистов нет проблем находиться в одном и том же состоянии. Пригласим агентов Смитов, которые имитируют такое поведение, занимать места в амфитеатре и будем считать, что чем выше ряд, тем большая энергия требуется, чтобы там устроиться. Эти агенты ведут себя полностью противоположно тому, как вы, скорее всего, вели себя, когда в последний раз были в кинотеатре: им очень нравится плюхаться в то кресло, где уже сидит несколько таких же, и чем больше их там, тем охотнее присоединяется еще один. (Правда, есть и противодействующий эффект: мы впустили в зал толпу, находящуюся при некоторой температуре, что означает распределение агентов по энергии: одни едва бредут, а другие, наоборот, бегут. При более высокой температуре больше агентов все-таки устроятся повыше в амфитеатре, хотя многие все равно будут сидеть «друг у друга на головах».) Про коллективизм неразличимых «агентов» говорят, что это поведение Бозе – Эйнштейна (чаще даже не «поведение», а «статистика»). В названии – две фамилии, одна из которых нам определенно более знакома. Любые частицы – элементарные или нет, – которые так себя ведут, называются бозонами (короткая фамилия очень пригодилась, не знаю, как бы они назывались, если бы Бозе в свое время не инициировал теоретическое изучение их свойств). При сверхнизких температурах коллективизм торжествует безоглядно: бозоны переходят в особое, отличное от всего остального состояние вещества, когда огромная, макроскопически большая их часть оказывается в квантовом состоянии с минимальной энергией. Такое состояние вещества носит сложное название «бозе-эйнштейновский конденсат». Его можно наблюдать в природе или, во всяком случае, в лаборатории[225].
Бозоны – отчаянные коллективисты
Подведем промежуточный итог: бозоны вообще склонны «кучковаться», а при сверхнизких температурах даже имеют тенденцию «выпадать» все в одно состояние. В обычной жизни бозоны окружают нас в избытке, особенно в светлое время суток: таковы фотоны. (Но, как мы уже не раз видели, у света свои особенности; в частности, в бозе-эйнштейновский конденсат фотоны не собираются.)
Фермионы радикально нетерпимы к себе подобным
Для квантов полей другого класса невозможно находиться в одном и том же состоянии с хотя бы одним себе подобным. Это гораздо ближе нам по духу, надо только помнить, что мы в огромной степени различимы, а «они» – нет; поэтому я бы назвал их манеру себя вести не индивидуализмом (индивидуальности они лишены), а нетерпимостью к себе подобным. О таких манерах говорят как о статистике Ферми – Дирака, а сами носители этих манер называются фермионами. Благодаря им-то вокруг нас и существует все интересное. И протон, и нейтрон, и электрон – фермионы. Их нетерпимость к клонам самих себя носит «абсолютный» характер: она сильнее всякой силы, которая пытается втиснуть два фермиона в одно и то же состояние. Впервые это свойство сформулировал Паули еще в начале 1925 г. (размышляя над расщеплением линий в спектрах!), и про это явление часто говорят как про принцип Паули, или принцип запрета Паули. Агенты Смиты, ведущие себя как фермионы, будут систематически занимать сиденья в амфитеатре снизу вверх; у них просто нет возможности усесться вдвоем в одно кресло-состояние. Только из-за нелюбви к себе подобным электроны в атоме не сидят все в состоянии с минимальной энергией; в мире, где такое было бы возможным, все атомы имели бы практически одинаковые химические свойства и из них никогда бы не образовалось никаких молекул, даже H2O. Нам в нашей Вселенной «повезло» с тем, что ее основу составляют ненавистники себе подобных. Принцип запрета Паули заставляет материю организовываться разнообразными способами, а не одним-единственным, когда все «сваливается» в состояние с минимальной энергией. (Роль бозонов и фермионов в устройстве мира затрагивается также в приложении В.)
Мир разнообразен благодаря фермионам
Деление на бозоны и фермионы определяется внутренней природой полей и их квантов – как выяснилось, тем, в каких отношениях они состоят с вращениями в занимаемом ими пространстве-времени. За этими отношениями стоит довольно глубокий механизм, но вместе с тем они имеют и на удивление простое численное выражение: спин. Вообще спин – визитная карточка квантового мира. Это явление не без труда поддается описанию в наглядных терминах, но совершенно фундаментально для устройства вещей. Спин, помимо прочего, «спасает» Периодическую таблицу элементов, которую мы оставили в «недообъясненном» состоянии, не зная, откуда взять лишнее удвоение; поспешим же на помощь!
Вращение без движения. В те начальные времена, когда я интересовался устройством мира совершенно любительски, черпая информацию откуда придется, что в основном означало всяческие словари и энциклопедии, начиная с Детской, меня неизменно разочаровывало сказанное там о спине. Спин, мол, это квантовое число, внутренне присущее (например) электрону. Дальше обычно прибавлялось, что спин не похож ни на что из того, что я, как читатель тех текстов, был в состоянии себе представить. Я оставался без нового знания, зато с неизменной прибавкой к чувству собственной неполноценности. Моя ближайшая задача на этой прогулке – добиться того, чтобы мои спутники в ответ на вопрос, что такое спин, немного подумав, ответили бы, что спин – это, да, некоторое квантовое число; но чтобы к этому можно было добавить больше, чем сказано в тех незадачливых энциклопедиях.
Спин был открыт как «небольшой кусок свободы», которым обладает каждый электрон. Как мы видели, согласно уравнению Шрёдингера стационарные состояния электрона в атоме определяются значениями трех целых чисел (n, , m), которые отвечают за разрешенные значения энергии, интенсивности вращения и компоненты количества вращения вдоль одного направления (см. рис. 10.9). Из-за принципа запрета Паули несколько электронов в одно состояние поместить невозможно. Но благодаря спину в одном и том же состоянии, определяемом тройкой целых чисел, могут находиться два электрона, потому что они различаются между собой тем, как используют доступную им «внутреннюю свободу» – и таким образом ускользают от действия принципа Паули. Это то удвоение, которого ранее недоставало нам для объяснения Периодической таблицы.
Спин выражает внутреннее богатство поля
Источник спина – ранжирование фундаментальных полей во Вселенной по «внутреннему богатству» возможностей. Богатство или бедность квантового поля определяется количеством колебаний с разными «метками»: у простейшего поля есть один-единственный набор колебаний – бесконечный, но единственный. У более «богатых» полей таких наборов несколько. Суть дела передает нехитрая аналогия: вы приобрели в магазине набор каких-то полезных, как вы думали, предметов, занумерованных числами 1, 2, 3, … (которые продолжаются неограниченно, т. е., честно говоря, набор бесконечный); но дома обнаружилось, что они довольно бесполезны, пока вы не докупите другой набор, занумерованный как 1′, 2′, 3′, …; потом история повторилась и вам пришлось приобрести и третий, 1′′, 2′′, 3′′, …. Предметы 1, 1′ и 1′′, взятые вместе, уже составляют нечто цельное и осмысленное, а по отдельности, наоборот, бесполезны; и предметы 2, 2′ и 2′′ тоже и т. д. Другими словами, все ваше приобретение целиком надо воспринимать как бесконечный набор (1, 1′, 1′′), (2, 2′, 2′′), (3, 3′, 3′′), …, в котором сгруппированы однотипные предметы, снабженные разными метками (без штриха, с одним штрихом, с двумя штрихами).
Рис. 10.14. Стрелка на плоскости задается двумя своими составляющими вдоль выбранных опорных направлений. Два наблюдателя выбирают свои опорные направления по-разному, из-за этого одну и ту же стрелку представляют разные пары чисел, в выбранном примере – (5, 5) и (7, 1). Тем не менее знание угла поворота (в данном случае – 36,87°) позволяет преобразовать одну пару чисел в другую
В случае полей спин выражает аналогичное размножение количества колебательных систем за счет снабжения их разными метками. Ключевой момент – требование, чтобы группа «одинаковых» колебательных систем, различающихся только метками, составляла нечто цельное и осмысленное. Пример набора чисел, составляющих «нечто цельное и осмысленное», – три компоненты стрелки (вектора) в пространстве. Для простоты на рис. 10.14 изображена стрелка в двумерном пространстве, так что у нее не три, а две компоненты. Два числа – две компоненты каждой стрелки – определяются по отношению к каким-то опорным направлениям. Конечно, стоит только выбрать эти направления иначе, как пара чисел (в трехмерном пространстве – тройка чисел) изменится. Мы к этому готовы. В другом месте мы уже обсуждали, что если я лягу на бок напротив памятника Пушкину, а высотой буду по-прежнему называть направление от моих ног к голове, то ширина памятника Пушкину окажется его высотой; а если мне удастся сохранять положение под углом 45° к горизонту, то исходные высота и ширина как-то перемешаются. При поворотах как на рис. 10.14 пары чисел тоже не остаются неизменными, но меняются («перемешиваются») вполне определенным образом в зависимости от угла поворота. Про пару (тройку) чисел, описывающих компоненты стрелки, можно сказать, что они определенным образом ведут себя при поворотах. Это и имеется в виду под требованием, чтобы группа (пара, тройка, …) чисел составляла «нечто цельное и осмысленное». Остается только вспомнить, что специальная теория относительности говорит нам, что «цельным и осмысленным» является поведение не при поворотах в трехмерном пространстве, а при поворотах в четырехмерном пространстве-времени. Тогда требуются уже не тройки, а четверки чисел; они представляют собой компоненты «четырехмерной стрелки» (четырехмерного вектора).
Оказалось, что я незаметно добрался до квантового поля спина 1. Это такое поле, где каждая колебательная система повторена четыре раза с различными метками; главное же в том, что каждая четверка ведет себя при поворотах так, как ведут себя компоненты четырехмерной стрелки/вектора. Примеры полей со спином 1 в природе есть – скажем, поле Z-бозонов[226]. Для сравнения: поле спина 0 – самое простое (ну да, «бедное») квантовое поле, в котором колебательные системы не имеют никаких меток, и ни о каком поведении при поворотах говорить и не приходится. (Известно единственное фундаментальное поле спина 0: поле Хиггса.)
А поле спина 2? Пожалуйста: там не четыре повторения каждой колебательной системы, а целых десять. Организующим принципом является уже не стрелка/вектор в пространстве-времени, а таблица типа той, что встречалась нам на прогулке 7, и правило, что все десять элементов таблицы пригодны для определения интервала в пространстве-времени. Это последнее требование и определяет, в каком смысле все десять чисел составляют «нечто цельное и осмысленное», – определяет, как они ведут себя при поворотах в пространстве-времени.
Набор колебательных систем, составляющих поле, – это не независимые поля, а нечто единое, и это единство выразительно проявляет себя на языке квантов. У поля спина 1 или спина 2 не четыре или десять разных квантов, а один квант с кое-какой внутренней структурой – и здесь главная неожиданность.
Вообще-то после всего встреченного и пережитого на этой прогулке вполне можно подозревать, что обещанная «структура» сведется к какому-то «квантовому числу», которое несет в себе квант поля. Так, разумеется, и случается; но интересным оказывается смысл этого числа. Оно выражает количество вращения – несмотря на то, что квант поля ни из чего не состоит и вращаться там внутри нечему (собственно говоря, нет никакого «внутри»). Это количество вращения чаще всего и называется спином. Оно представляет собой неотъемлемое свойство элементарной частицы, а не результат попадания ее во «вращательное состояние» в чем-то типа атома. Но это количество вращения без вращения (вообще без частей, которые могли бы вращаться) полностью повторяет неуживчивый характер, которым обладало количество вращения электрона в атоме. Там различные компоненты количества вращения попарно враждовали между собой, а объяснялось это плохой наследственностью: выражение для количества вращения строилось из координат и компонент количества движения, вражда между которыми и наследовалась. Спин же – это «готовое» количество вращения, которым обзавелся каждый квант сам по себе и которое ни из чего более простого не построено, и поэтому ниоткуда свои свойства не наследует. Тем не менее компоненты спина враждуют между собой в точности по тем же правилам и с теми же последствиями: никакие две компоненты спина не могут иметь определенные значения одновременно, а величина, которую мы раньше называли интенсивностью вращения, все-таки может иметь определенное значение одновременно с любой компонентой спина. Для всех квантов данного поля эта «интенсивность вращения» строго фиксирована, и выражающее ее число часто тоже называют спином: когда мы говорим, что поле имеет спин, равный единице, s = 1, имеется в виду, что «внутренняя» интенсивность вращения каждого кванта этого поля равна 1 · 2 ħ2. В общем случае произвольного спина s она равна s (s + 1) ħ2.[227] При этом компонента спина вдоль какого-то направления может иметь значения, определяемые целыми числами в интервале от – s до s, что для спина 1 превращается в три числа –1, 0, 1, т. е. три возможных значения компоненты спина: –ħ, 0, ħ. Это и есть та внутренняя свобода, которой обладают кванты поля со спином 1. У каждого Z-бозона есть небольшой кусочек личной жизни – в пределах выбора из трех чисел.
Если бы «в какой-то другой Вселенной» спин электрона был равен единице (но невероятным образом продолжал бы действовать принцип Паули), то этот кусочек свободы позволял бы помещать в каждое состояние (n, , m) в атоме три электрона: один с компонентой спина – ħ, другой 0 и третий ħ; принцип запрета Паули не может ничего запретить тем, у кого различны компоненты спина. Тогда и Периодическую таблицу пришлось бы перекроить: длины периодов получались бы из чисел 1, 4, 9, 16, которые считываются из рис. 10.9, умножением не на 2, а на 3. Но нет, спин электрона не равен единице, и нам придется еще немного подождать с разрешением «загадки удвоения».
Свет – безмассовое поле спина 1
Еще один пример поля спина 1 постоянно находится у нас перед глазами – постоянно, пока в глаза попадает хотя бы самая малая частица света. Электромагнитное поле («свет») имеет спин 1, его кванты – фотоны. Но со светом, как всегда, что-нибудь не так, как у всех. Из-за того что фотоны распространяются с максимальной в нашей Вселенной скоростью, они безмассовые. После математической обработки этого факта с использованием свойств пространства-времени оказывается, что фотон несколько обделен богатством внутреннего мира по сравнению со своим массивным собратом Z-бозоном: его компонента спина может иметь только два различных значения. Вместо трех остается два. (Это свойство света можно наблюдать в виде наличия двух базовых плоскостей поляризации.) Но это удвоение не годится для разрешения «загадки удвоения» в Периодической таблице, потому что электроны не летают со скоростью света.
А каждый квант поля спина 2 имеет внутреннее изобилие в виде пяти возможных значений компоненты спина: –2 ħ, –ħ, 0, ħ, 2 ħ (здесь участвуют целые числа в интервале от – s до s, когда s = 2). В природе такие фундаментальные поля нам, впрочем, неизвестны. Богатство заметно сокращается, если поле спина 2 безмассовое: тогда у его квантов есть только два возможных значения компоненты спина. (Снова двойка! Увы, снова не для электронов.) Такое поле известно широко и простирается далеко: это гравитационное поле – Агент, неотступно сопровождавший нас на прогулке 7. Правда, полной квантовой теории для него нет; если бы была, то это была бы теория безмассового квантового поля спина 2. И для полноты: кванты поля спина 0 лишены возможностей для внутренней самореализации. Если s = 0, то кванту не из чего выбирать. Синоним для обозначения этой скукотищи – скалярное поле, и его пример мы уже упоминали – поле Хиггса. Его квант – бозон Хиггса. Жизнь, как видим, не балует его разнообразием.
Но что же электрон? Малые целые числа в качестве значения спина (s = 0, s = 1 и s = 2) исчерпаны, более высокие заведомо не подходят, никаких возможностей на долю электрона не осталось?!
Спин электрона, наконец-то! Спин электрона равен 1/2. Это бросает некоторый вызов правилам целочисленности, к которым мы только-только привыкли на этой прогулке. Отчасти из-за дробности ситуация со спином электрона прояснилась не сразу. Зато когда прояснилась, обнаружились связи с довольно тонкими свойствами пространства. В Институте теоретической физики в Копенгагене (теснейшим образом связанном с рождением квантовой механики) при участии Дирака изобрели даже детскую головоломку для иллюстрации этих свойств. В простейшем варианте, который я сделал из подручных средств минут за пять, требуется, скажем, кусок плотного картона или даже дощечка, если вы в состоянии проделать в ней три небольших отверстия (рис. 10.15). В эти отверстия вставляются три нити такой толщины, чтобы с ними было легко обращаться. Все нити выходят в одну сторону, и в «официальном» варианте головоломки противоположные их концы закреплены на второй дощечке; с равным успехом их можно привязать к стулу, и я так и сделал. Дощечка, из которой выходят три нити, остается у вас в руках. Все это устройство называется «танглоид» – это слово произведено от корня tangle, означающего путаницу, переплетения, иногда хитросплетения. Большой хитрости, впрочем, нет: вы поворачиваете дощечку на два полных оборота, т. е. на 720°, и после этого следите за тем, чтобы она больше не поворачивалась. Нити, естественно, перекручиваются. Задача же в том, чтобы их распутать, не поворачивая дощечку. Для этого разрешается заводить любую нить за дощечку и обносить вокруг нее. Головоломка несложная: даже действуя, в общем, наугад, решение удается найти с первой или второй попытки. Но только если вы повернули дощечку на 720°: если на 360°, т. е. на один полный оборот, то решения нет и нити остаются запутанными.
Рис. 10.15. Танглоид. Дальние концы трех нитей привязаны к чему-то неподвижному. Дощечку или картонку, сквозь которую продеты нити, поворачивают вокруг оси, идущей параллельно нитям, на один или несколько полных оборотов (360°, 720° и т. д.). Перекрученные в результате нити требуется распутать, обводя их по очереди вокруг дощечки, но не поворачивая ее саму. Задача легко решается при закручивании на четное число полных оборотов и не имеет решения для нечетного
В одном полном повороте есть что-то, что пропадает в двух полных поворотах.
Поле со спином 1/2 – это тоже наборы из нескольких «одинаковых» колебательных систем, снабженных различными метками. Но из-за специфики полуцелого значения требуется, чтобы они складывались в такое «цельное и осмысленное», которое ведет себя при поворотах похоже на дощечку-танглоид: меняется при произвольных поворотах так, что не остается неизменным при одном полном повороте на 360° вокруг любой оси, но не меняется при двух полных поворотах. Только это должны быть не дощечки с нитками, а какие-то наборы чисел – если такие найдутся, то их поведение при поворотах и определит, как ведут себя при поворотах колебательные системы поля с различными метками.
Но что за объекты, построенные из чисел, могут быть чувствительны к разнице между одним и двумя полными поворотами? Скажем, компоненты стрелки/вектора для этого совершенно не годятся: после одного полного поворота вектор остается таким же, каким был, и никаких отличий двух поворотов от одного он почувствовать не в состоянии. Тем не менее существуют математические объекты, которые можно научить вести себя при поворотах так, чтобы они возвращались в исходное состояние только после двух полных оборотов (а после одного полного – нет). Их можно придумать и для нашего трехмерного пространства, и для четырехмерного пространства, и для четырехмерного пространства-времени[228]. Они называются спинорами. Каждый спинор – это, конечно, тоже набор чисел, но их преобразование при поворотах таково, что поворот на 360° не возвращает их в исходное состояние, а приводит к умножению их на минус единицу. Требуется изящная математика, чтобы выяснить, набор из скольких чисел можно обучить таким изысканным манерам. Не вдаваясь в полуторастепенные детали, можно пользоваться следующим правилом: если сами повороты выполняются в пространстве размерности d и это число d четное, то спинор составлен из 2d/2 чисел. В четырехмерном пространстве, или пространстве-времени, т. е. при d = 4, это дает 22 = 4 числа. Получается столько же чисел, сколько составляют вектор в четырехмерном пространстве, но это совсем другие четверки чисел: при поворотах они изменяются по иным законам. Если размерность пространства нечетна, то способ вычисления слегка меняется: спинор состоит из 2(d– 1)/2 чисел. Для трехмерного пространства это дает 21 = 2. Это значит, что пары чисел можно сделать чувствительными к поворотам в трехмерном пространстве таким образом, чтобы любой поворот на 360° приводил к умножению на минус единицу.
Итак, в четырехмерном пространстве-времени поле спина 1/2 имеет четыре компоненты. Каждая колебательная система в этом поле повторена четыре раза и копии снабжены такими метками, что вся четверка меняется при поворотах в пространстве-времени так, как это делают спиноры; в этом смысле четверки и составляют «цельное и осмысленное». Кванты этого поля – электроны и их античастицы (позитроны). Они делят между собой четыре составляющие спинора: две сообщают об электронах, а две другие – о позитронах. Сообщают же они, что каждый электрон несет внутри себя количество вращения, никак не связанное с пребыванием в атоме или где бы то ни было еще, а определяемое самим фактом его, электрона, существования. Интенсивность вращения при этом однозначно фиксирована и для электронов, и для позитронов: она (вспоминая общее правило) равна s (s + 1) ħ2, где сейчас надо взять s = 1/2.
Спин электрона равен 1/2
Одну вторую из последнего равенства и называют спином электрона. Спин электрона – это квантовое число, задающее его внутреннее количество вращения и равное 1/2. Теперь понятно, как обстоит дело с внутренней свободой электрона: для компоненты спина, как всегда, возможны значения из интервала от – s до s с шагом 1, но сейчас интервал этот получается не слишком большим: он включает только сами числа –1/2 и 1/2 (расстояние между ними как раз равно единице). Таким разнообразием внутренней жизни и может похвастаться электрон: демонстрировать компоненту спина –1/2 ħ или 1/2 ħ вдоль любого выбранного направления.
Это и решает «загадку удвоения» числа состояний для электронов в атомах. Периодическая таблица элементов спасена. Как именно организация ее клеток в периоды определяется свойствами состояний (n, , m) «от Шрёдингера» и спином, несколько подробнее обсуждается в добавлениях к этой прогулке.
Спин электрона проявляет себя каждый раз, когда электрон оказывается в магнитном поле. Из-за наличия и спина, и заряда электрон реагирует на магнитное поле так же, как реагировал бы магнит: стремится ориентироваться вдоль магнитного поля. Такой магнит всегда одинаково сильный, ведь значение s фиксировано числом 1/2. А когда электрон находится в атоме, он, кроме того, проявляет свойства магнита во всех случаях, когда устраивается там в состоянии с ненулевым количеством вращения (это означает, что буква равна не нулю, а одному из значений 1, 2, 3, …). Это уже похоже на факт из обычной жизни: когда электрические заряды вращаются – в обычном, а не ускользающем «квантовом» смысле, – они создают магнит. Электрон в атоме не вращается вокруг атомного ядра точно в том же смысле, но его способ пребывания в атоме с любым , кроме нуля, тоже создает магнит – тем более сильный, чем больше это число . Таким образом, у электрона в атоме есть два способа проявить себя в качестве магнита: за счет интенсивности вращения , относящейся к состоянию в атоме, и за счет собственного спина, никак с атомом не связанного. По причинам, которые спрятаны довольно глубоко, спин электрона создает магнит в два раза эффективнее, чем количество вращения электрона в атоме. Это выражается в том, что формулы, по которым значение буквы s (да, равное 1/2) и значение буквы (уж какое случится) определяют силу получающегося магнита, практически одинаковы, но в случае спина там неожиданно появляется лишний множитель 2, усиливающий эффект спина в создании магнита.
В магнитном поле энергия электрона в атоме меняется, причем в зависимости от имеющихся у электрона квантовых чисел: интенсивности вращения и компоненты количества вращения вдоль магнитного поля m, а также компоненты спина вдоль магнитного поля (она часто обозначается sz). Без магнитного поля состояния с разными , m и sz имели одну и ту же энергию, но теперь их энергии различаются. Длина волны света, который излучается или поглощается атомом, определяется разностью энергий в состояниях «до» и «после», и поэтому свет, испускаемый атомами в магнитном поле, несет на себе следы этого магнитного поля, причем очень ясные. Спектральные линии расщепляются: вместо одной линии, говорящей об излучении на одной длине волны, в спектре появляется несколько близких линий[229].
Исторически спин электрона был, собственно говоря, открыт в попытке разобраться, что за ерунда происходит с расщеплением некоторых линий в магнитном поле: они вели себя не так, как полагалось бы только из-за зависимости энергии от m и (не очень простой) зависимости от . Да и сама картина с числами и m в тот момент не получила еще окончательной ясности, хотя многое было уже угадано. И уж конечно, в момент открытия спина электрона глубина всей истории про спиноры никак не осознавалась. Ростки будущего знания пробивали себе дорогу с первой половины 1920-х гг., участники событий двигались на ощупь, проявляя недюжинную наблюдательность и остроту ума.
О чем забывают историки – да и физики тоже – это что в открытиях в физике очень, очень большую роль играет случай, удача. Конечно, мы не всегда это признаем. Если кто-то богат, он говорит: «Да, я был умным, поэтому я и богат». И то же самое говорят про тех, кто сделал нечто в физике: «Да, действительно умный парень…» Надо, конечно, признать, что есть и такие случаи, как Гайзенберг, Дирак и Эйнштейн, – исключения случаются. Но для большинства из нас удача играет очень важную роль, и об этом не надо забывать.
А все это имеет отношение к делу, потому что, когда я прибыл в Лейден, я в конце концов попал к Эренфесту.
Это воспоминания Гаудсмита – одного из двух первооткрывателей спина электрона. Эренфест, который руководил работой 23-летнего Гаудсмита, занимался не только «теорией спектров», которая выросла в квантовую механику, но и в течение многих лет развивал науку об энтропии, продолжая дело Больцмана, – и в конце концов повторил его судьбу. Он же и придумал слово «спиноры». Насколько я могу судить, Эренфест был в тот период быстрого создания нового знания такой фигурой, что его присутствие и вовлеченность немало способствовали прогрессу. Именно он летом 1925 г. определил Гаудсмита работать совместно с 24-летним Уленбеком, как раз приехавшим из Рима после некоторого перерыва в занятиях наукой из-за того, что он обучал детей голландского посла в Италии. Несколько северо-восточнее в июле того же года Гайзенберг, спасаясь от сенной лихорадки на острове в Северном море, придумал первую полноценную версию квантовой механики. До появления уравнения Шрёдингера остается примерно полгода; все заняты угадыванием структуры атомов исходя прежде всего из спектров. Гаудсмит продолжает:
Поскольку [Уленбек] ничего не знал, но так хорошо соображал, он задавал всякие вопросы, которые сам я никогда не формулировал, и из этих совместных усилий по прояснению вещей возникло несколько, как мы теперь понимаем, важных результатов. Одним из первых таких результатов стала новая интерпретация спектра водорода.
Некоторые из линий, наблюдаемых в спектрах в магнитном поле, находились согласно имевшимся представлениям не на месте, а некоторых и вовсе не должно было быть. Упоминаемые далее Ланде и Пашен фигурируют в рассказе, потому что они были авторитетными источниками знания о спектрах.
Забавно, что поскольку я знал все эти правила для интенсивностей и все такое, я уже додумался до правильных формул. В этом и был мой вклад – в том, что я знал, какие формулы надо брать. Надо было взять классическое выражение и вместо целых квантовых чисел подставить полуцелые квантовые числа и еще кое-что поменять. Это было похоже на волшебство, однако все точно сходилось, и что я, поверите ли, находил особенно восхитительным, так это что «запрещенная» линия, которую наблюдал Пашен, оказалась уже не запрещенной, а естественной спектральной линией, которая должна была присутствовать, и это меня необычайно радовало.
‹…› Настал день, когда мне пришлось рассказать Уленбеку про принцип Паули – разумеется, используя при этом мои собственные квантовые числа, а Уленбек сказал мне: «Ну ты же видишь, что отсюда следует? Это значит, что у электрона имеется четвертое квантовое число. Оно выражает то, что у электрона есть вращение, что он вращается». И еще я могу точно вам сказать, где пролегала грань между мной и Уленбеком как физиками. В течение всего того лета, когда я рассказывал Уленбеку о Ланде и Гайзенберге, например, или о Пашене, он спрашивал: «А кто это?» Странно, но он никогда раньше о них не слышал. А когда он сказал: «Это означает четвертую степень свободы», я в ответ спросил его: «А что такое степень свободы?» В любом случае, когда Уленбек высказал свое наблюдение, везение состояло в том, что я знал все эти штуки про спектры…
Гаудсмит и дальше, не без голландской (само)иронии, поддерживает впечатление легкости. Однако не надо забывать, что они предлагали нечто, явным образом противоречившее установленной картине мира. Упоминаемый ниже Лоренц – авторитет из авторитетов за свое глубокое и всестороннее понимание (и вклад в создание) этой картины мира.
Вот и все – получился спин. Так его и открыли, таким вот образом. ‹…› В строгую физику, стоявшую за всем этим, я глубоко не погружался. Но Уленбек, который был хорошим физиком, начал раздумывать об этом… «Заряд, который вращается?»… Он говорит, что отправился тогда к Лоренцу, а тот сказал: «Да, тут большие сложности, потому что собственная энергия электрона получается тогда неправильной». ‹…›
Мы как раз написали короткую статью на немецком и отдали ее Эренфесту, который хотел послать ее в Naturwissenschaften. Тогда, как сейчас рассказывают, Уленбек испугался, пошел к Эренфесту и сказал: «Не отправляйте статью, потому что, весьма вероятно, она неправильная. Всего этого не может быть, электрон не может вращаться с такой высокой скоростью и иметь правильный момент».
Конечно, электрон не вращается
Как же все просто, когда ответ известен; конечно, электрон и не вращается. Но что следовало думать первооткрывателям?
А Эренфест ответил: «Поздно, я ее уже отправил». ‹…› Я помню, как Эренфест сказал мне: «Знаете, это отличная идея, хотя может оказаться и неправильной. Но у вас еще нет репутации, поэтому вам терять нечего». ‹…›
Наша заметка была отослана и опубликована. Прямо на следующий день я получил письмо от Гайзенберга, где он пишет про нашу mutige Note (смелую заметку). Я и не знал, что требовалась смелость, чтобы такое опубликовать. Никаким храбрецом я не был. Я думаю, письмо Гайзенберга у меня сохранилось. Он там пишет формулу… Я в ней не понял ну совсем ничего. А потом он где-то спрашивает: «А что вы сделали с множителем 2?» Каким еще множителем?
Ситуация с множителем 2 утряслась через некоторое время уже с участием других людей и привлечением дополнительных идей из специальной теории относительности. В самом начале 1926 г. появилось уравнение Шрёдингера, а весной Паули придумал спиноры для трехмерного пространства. Как мы теперь хорошо знаем, такой спинор – это пара чисел; правила игры таковы, что одно число выражает потенциальную возможность для электрона иметь компоненту спина 1/2 ħ, а другое – компоненту –1/2 ħ.
В начале 1928 г., когда уравнение Шрёдингера уже работало вовсю и его даже уже «скрестили» со спинорами, Дирак всерьез озадачился проблемой, которой за два года до того не стал заниматься Шрёдингер: его, Шрёдингера, уравнение ничего не знало про скорость света и принцип относительности. Как все-таки можно систематически соединить идеи квантового описания мира с требованиями специальной теории относительности? Получилось так, что Дирак решил эту задачу для частиц со спином 1/2, т. е. для электронов. Исходно он и не подозревал о математических тонкостях с одним и двумя полными поворотами, но, как бы то ни было, ему пришлось изобрести спиноры для четырехмерного пространства-времени. Это, как он открыл для себя и для всей физики XX в., четверки чисел, которые, однако, совсем не похожи своим поведением при поворотах в пространстве-времени на «обычные» четверки чисел, связанные с пространством-временем, т. е. векторы. (Внутри математики, как затем оказалось, все идеологическое обеспечение было уже лет пятнадцать как готово, не было только знания, что появившиеся там довольно абстрактные и сами по себе не слишком заметные спиноры – часть реального мира.) Уравнение Дирака, которое его создатель записал как уравнение для электрона, «не хотело» описывать одни только электроны: в комплекте с ними оно буквально навязывало еще какую-то другую частицу с тем же спином 1/2 – «навязывало» в точности из-за того, что спиноры в четырехмерном пространстве-времени имеют четыре компоненты, из которых только две требовались для описания электрона, а две другие, определенным образом с ними связанные, должны были описывать что-то еще. После нескольких неудачных попыток объяснения, что это такое, пришлось постулировать существование в природе новой, доселе неизвестной частицы, к тому же являющейся античастицей к электрону – в смысле, который тогда и начал постепенно выясняться. Эта частица, названная позитроном, была обнаружена экспериментально несколько лет спустя[230].
Уравнение Дирака не только знало о спинорах и позитронах (и полностью разрешило ситуацию с «лишним множителем 2»), но и позволило уточнить сдвиг уровней энергии в атоме водорода из-за тонких эффектов, связанных со спином. И тем не менее оно приводило к странным выводам о поведении электрона на очень малых расстояниях порядка ħ/(mc). Мы уже встречались с этими расстояниями на нашей прогулке, но тогда забежали вперед – спрямив все сложности исторического развития, перепрыгнули к современному пониманию квантового мира в терминах квантовых полей. Отмеченные странности, собственно, и подтолкнули развитие полевого описания. Уравнение Дирака, обобщавшее уравнение Шрёдингера с учетом специальной теории относительности, оказалось только частью более фундаментальной истории про квантовые поля.
Лишняя половина, и такая разница. Довольно удивительно, но разделение всех полей и их квантов на бозоны (коллективистов) и фермионы (ненавистников себе подобных) управляется спином, причем вот каким изящным образом: все поля с полуцелыми спинами (1/2, с которым мы встречались; не так уж сложно описать и поле со спином 3/2) – ненавистники, а все поля с целыми спинами (0, 1, 2) – коллективисты. Едва ли где-либо еще столь радикальные качественные различия в свойствах определяются различием на одну вторую в одном числе. Этот факт не просто выражает результат наблюдений, но и скрывает в себе теорему. Массовое поведение частиц непосредственно не записано в свойствах их полей, но, опираясь на самые общие положения, которые, как мы считаем, приложимы ко всему во Вселенной, можно вывести (доказать), что частицы с целым спином – бозоны, а частицы с полуцелым спином – фермионы. Среди этих общих положений – принцип относительности (собственно, вся специальная теория относительности) и причинность; есть требования и более технические, но тоже необходимые, по нашим представлениям, для осмысленности мира. Поэтому понятия «частицы/поля с целочисленным спином» и «бозоны» (т. е. коллективисты) обычно употребляются как синонимы. Аналогичным образом все привыкли фактически отождествлять понятия «частицы/поля с полуцелым спином» (что есть всего лишь утверждение о спине) и «фермионы» (заявление о нетерпимости к себе подобным). Одно из первых доказательств теоремы о связи двух понятий (спина и статистики) предложил в 1940 г. Паули.
Спин определяет тип массового поведения
Нехитрый математический факт состоит в том, что сумма и разность двух полуцелых чисел всегда дают целое число: 1/2 + 1/2 = 1, 1/2 – 1/2 = 0, 3/2 – 1/2 = 0 и т. д. Его проявления в природе неожиданно глубоки: два фермиона могут собраться в бозон, а создав бозон, в корне изменить характер своего поведения (такое явление лежит в основе эффекта квантовой природы, но макроскопического масштаба – сверхпроводимости). Но сделать фермион, имея только бозоны, уже невозможно. Ситуация до некоторой степени сродни тому факту, что из двух отрицательных чисел можно сделать положительное, перемножив их, но перемножение положительных чисел дает только положительные. Фермионы – явление более «тонкое», чем бозоны, недаром один полный поворот не оставляет их в прежнем состоянии.
Про что же уравнение?.Уравнение Шрёдингера установило главное: связанные системы, т. е. системы с «пойманным», пространственно ограниченным движением, могут существовать лишь в довольно исключительных случаях, прежде всего – при строго определенных значениях энергии. Но что именно подчиняется уравнению Шрёдингера?
Добавления к прогулке 10
Резерфорд и его опыт. Родившийся в Новой Зеландии Резерфорд в 1899–1900 гг. работал в Монреале, где и открыл «альфа-лучи» как одно из проявлений радиоактивности; ему также удалось измерить их заряд в отношении к их массе, откуда напрашивался вывод, что альфа-частицы – это ионы гелия. Опытами по пробиванию альфа-частицами золотой фольги он руководил уже в Манчестере (1908–1913). Как раз заканчивалась эпоха массового увлечения «икс-лучами» (открыты Рентгеном в 1895 г.), радиоактивностью (открыта Беккерелем в 1896 г.) и опиоидами (до 1910 г. героин позиционировали как средство от кашля у детей).
Вскоре после опытов Резерфорда выяснился и смысл атомного номера – порядкового номера элемента в Периодической таблице (см. рис. 10.11): он оказался в точности зарядом ядра. Поучительный нюанс, напоминающий, в какой гуще незнания часто действовали те, кто закладывал основу дальнейшего знания: сам Резерфорд не сделал такого вывода. Зато в 1917 г. он установил, что ядро атома водорода присутствует в ядрах других атомов; поскольку ядро атома водорода – это один протон, тем самым был открыт протон как составляющая часть атомных ядер.
«Опыт Резерфорда» на другом уровне и в другом исполнении – но тоже с использованием движения для изучения структуры – сыграл большую роль в понимании природы материи и спустя полвека. В начале 1960-х гг. похожим образом удалось «потыкать» внутри протона – что означало уменьшение масштаба еще на три порядка (в тысячу раз) по сравнению с размером атомного ядра, которое Резерфорд обнаружил как крохотную часть атома. На этот раз в качестве «иглы» использовались электроны. Делу помогало отсутствие какой-либо внутренней структуры у самих электронов, из-за чего характер их разлетания после столкновения с протонами целиком определялся именно содержимым протонов. В протонах в результате обнаружились крайне малые (снова!) точечные центры. Занятным образом незадолго перед тем ожидалось нечто противоположное: что внутренность протона представляет собой что-то вроде упругой струны, т. е. что энергия распределена там относительно равномерно («как в атоме Томсона», если довести эту историческую параллель до предела). Сейчас мы гораздо больше знаем о том, как протон собран из трех кварков (см. Приложение В). Последний из уже построенных инструментов для организации движения в тонкую «иглу» показан на рис. 5.6; следующий обсуждаемый шаг – найти финансирование, которое позволит обеспечить еще более быстрое и точное движение. Это, в общем, единственный способ прощупывания структуры мира «там внутри».
Ленивое горение Солнца. В центре Солнца один протон ждет слияния с другим в среднем около 1011 (ста миллиардов) лет. Это, конечно, больше возраста Вселенной, но всего в семь раз; и это среднее время ожидания, тогда как с некоторыми протонами такое редкое событие случается намного раньше – из-за чего Солнце, с одной стороны, все-таки горит, а с другой стороны, растягивает удовольствие надолго. «Увеличенное время ожидания» возникает из-за того, что и после туннелирования сквозь барьер взаимного отталкивания не наступает идиллия единения протонов: там неожиданно подводит ядерное взаимодействие. Оно устроено довольно сложно и зависит от ориентации спинов двух участвующих частиц (а спин протона, как и нейтрона, равен 1/2); шанс ухватиться друг за друга покрепче есть только в случае, когда компонента спина у обеих частиц направлена в одну и ту же сторону (это один из двух возможных вариантов для спина 1/2; другой вариант – противоположные направления). Однако соединению протонов с одинаково направленными компонентами спинов мешает их нетерпимость к себе подобным: они не сходятся вместе из-за принципа запрета Паули. Запрет, правда, не действует, если компоненты спинов направлены в противоположные стороны, но тогда ядерное взаимодействие оказывается недостаточно сильным! В результате два протона не могут удерживаться вместе сколько-нибудь заметное время. Из-за этого, несмотря на (и так довольно скромные) успехи в деле прохождения сквозь стену, в большинстве случаев никакого слияния не получается и протоны снова разлетаются в стороны. Но иногда (случайным образом) один из протонов превращается в нейтрон как раз в течение крайне короткого времени, пока два протона находятся по одну сторону стенки; точнее, вместо протона возникают нейтрон, позитрон и нейтрино – превращение, возможное из-за наличия другого взаимодействия, так называемого слабого ядерного. Вот тогда ситуация на Солнце идет на поправку, потому что никакой принцип Паули не может помешать ядерным силам соединить протон и нейтрон. В результате два особо удачливых протона выбирают жизненный путь
Главное здесь – дейтрон, относительно прочная конструкция из протона и нейтрона, а все остальное можно воспринимать как накладные расходы. После еще двух этапов превращений два дейтрона наконец соединяются в альфа-частицу, испуская при этом фотон (т. е. свет)[231].
Таким образом (задействуя заодно еще некоторые процессы) Солнце и множество других водородно-гелиевых звезд все-таки светят (Солнце – в течение последних 4,6 млрд лет), хотя и делают это довольно «неохотно», я бы даже сказал «едва-едва»: в одном килограмме Солнца за секунду выделяется примерно столько же энергии, сколько в одном килограмме преющих листьев. Обычные звезды берут не «качеством», а массой (то ли дело сверхновые!).
Солнце горит очень неохотно
Туннелирование из атомных ядер. Радиоактивный альфа-распад – результат туннелирования, т. е. преодоления классического запрета на движение. От «солидности» стен, ограничивающих энергетическую яму, зависит вероятность распада в единицу времени. Вместо нее, впрочем, оказывается удобнее говорить об отрезке времени, в течение которого вероятность распада достигает 50 %; в скоплении одинаковых ядер за это время распадется примерно половина, и это время называется периодом полураспада. Для различных радиоактивных ядер периоды полураспада лежат в интервале от миллиардов лет до крошечных долей секунды. Через время, вдвое большее периода полураспада, распадется половина из еще не распавшихся и останется четверть от исходных атомов[232]. Через время, равное десяти периодам полураспада, лишь около одной тысячной исходных атомов сохранится в неизменном виде. Но любое отдельное атомное ядро не имеет никаких обязательств распасться раньше или позже. Например, полоний-218 превращается в свинец-214 с периодом полураспада 3,1 мин; при этом любой выбранный атом полония может распасться через секунду или через четверть часа, и это непредсказуемо. Даже если перед вами два атома полония-218, один из которых вы создали только что, а другой кто-то принес вам в подарок перед обедом и он еще не распался, у этого подаренного нет никаких преимуществ в распаде: неизвестно, который из них распадется раньше. Радиоактивный атом не стареет, т. е. не увеличивает свою склонность к радиоактивному превращению с течением времени. (Все ядра с одним и тем же числом протонов и одним и тем же числом нейтронов одинаковы; графа «возраст» там просто не предусмотрена.) И тем не менее взятые в достаточном количестве атомы полония-218 уполовиниваются в своем числе каждые 3,1 мин. Доля атомов, которые останутся через четыре часа, равна 4,9 × 10–24; это означает, что от характерного макроскопического количества – уже встречавшегося нам числа атомов порядка 1023 – не останется ничего. Совсем иная картина с другим изотопом того же элемента, полонием-210: период его полураспада составляет 140 дней.
Рис. 10.16. Радиоактивный распад урана-238. Участвующие элементы: уран U (вовлечены два его изотопа), торий Th (два изотопа), протактиний Pa, радий Ra, радон Rn, полоний Po (три изотопа), свинец Pb (три изотопа, один из которых стабильный) и висмут Bi (два изотопа). Подписи над и под стрелками указывают период полураспада и тип радиоактивного распада. Сокращение «мкс» обозначает микросекунды (миллионные доли секунды)
На рис. 10.16 приведена цепочка ядерных превращений, начинающаяся с довольно стабильного (но все же не абсолютно стабильного) изотопа урана и включающая восемь эпизодов туннелирования. Указанные над стрелками периоды полураспада (как видно, очень различные) позволяют судить о сравнительной «надежности» стен для разных ядер. Число слева вверху около каждого символа элемента показывает суммарное количество протонов и нейтронов в ядре; на жаргоне оно называется атомной массой. Каждый альфа-распад – стрелка с буквой α – это туннелирование одной альфа-частицы; при этом, разумеется, атомная масса уменьшается на 4 (например, 238 234). Буквой β обозначены превращения другого вида, вызванные тем, что один из нейтронов в ядре превращается в протон (испуская электрон и антинейтрино, которые покидают ядро; агентом радиоактивности в данном случае являются электроны; здесь нет эффекта прохождения сквозь стену). Свинец, появляющийся в конце цепочки, разумеется, всем известный в быту элемент, но едва ли многие с ходу скажут, что его стабильный изотоп имеет атомную массу 206; в сравнении с этим начальное звено цепочки, уран-238, пожалуй, в большей степени на слуху[233].
Периодическая таблица элементов. Основа разнообразия химических свойств элементов – дискретные значения возможной энергии электронов в атоме и принцип запрета Паули, который не позволяет электронам, несмотря на притяжение к ядру, накапливаться в состоянии с минимальной энергией, а вынуждает их занимать состояния со все большей энергией. Состояние с минимальной энергией, как мы помним, идет первым в списке разрешенных энергий под номером n = 1, а тогда числа, связанные с количеством вращения, с необходимостью равны нулю: = 0 и m = 0. В запасе у электрона имеется четвертое квантовое число: компонента спина вдоль какого-то направления. Возможностей здесь две: +1/2 ħ и –1/2 ħ. Про них для краткости говорят «спин вверх» (↑) и «спин вниз» (↓); ничего специального в направлении вверх-вниз нет, но можно, конечно, и выбрать именно его; электрону совершенно все равно. Значит, при минимальной энергии в атоме есть две возможности для электрона: состояние (n = 1, = 0, m = 0, ↑) или состояние (n = 1, = 0, m = 0, ↓). Когда в ядре один-единственный протон, в атоме может поселиться, выбрав одну из этих возможностей, только один электрон – что дает атом водорода. Если в ядре два протона, то появятся два электрона, которые используют обе указанные возможности для расселения, образуя атом гелия. Эти две возможности и исчерпывают первый период Периодической таблицы.
При большем заряде ядра к нему притягиваются дополнительные электроны, которым из-за принципа запрета Паули приходится устраиваться в состояниях со второй по счету энергией, n = 2. Там, конечно, есть состояние с нулевым количеством вращения = 0 (то, что химики обозначают буквой s); но из-за наличия спина электрона оно опять превращается в две возможности для электронов: (n = 2, = 0, m = 0, ↑) и (n = 2, = 0, m = 0, ↓). Когда использована только одна возможность (поселился один электрон), мы имеем литий, когда обе (два электрона) – бериллий. Но при n = 2 разрешены еще состояния с ненулевым количеством вращения – с интенсивностью вращения, определяемой числом = 1 (буква p у химиков). Этим открываются три возможности для значения буквы m: это –1, 0 и 1 (см. рис. 10.9). Из-за спина число возможностей надо снова умножить на два. Возникающие варианты позволяют расселить электроны в количестве от одного до шести. Последовательно получаем бор, углерод, азот, кислород, фтор и неон. Это второй период Периодической таблицы.
Рис. 10.17. Порядок заполнения состояний электронами в атомах. Из-за влияния электронов друг на друга в этой схеме имеются «сбои», когда атом элемента имеет на один электрон в состоянии с = 0 меньше, чем ожидалось, и, соответственно, на один электрон в состоянии с = 2 больше. Половину таких случаев составляют Cr, Cu, Nb, Mo, Ru, Rh, Pd, Ag, Pt и Au, причем в случае палладия Pd в таком нарушении участвуют даже два электрона
Что происходит дальше, видно из рис. 10.17; это, по существу, рис. 10.9, но с указанием элементов (часть из них я опустил, чтобы не перегружать рисунок, но пустые клетки несложно заполнить, глядя в Периодическую таблицу). Стрелки управляют порядком заполнения состояний: начинать надо с того, куда указывает левая нижняя стрелка, а затем переходить к следующей стрелке справа или выше (из-за влияния электронов друг на друга в этой схеме имеется 20 нарушений).
Спин, Паули и другие молодые люди. Гаудсмит говорит о везении, которое в открытиях совсем не лишнее. Везет, разумеется, не всем. За полгода до тех летних месяцев 1925 г., когда Эренфест заставил разговаривать двух молодых людей с дополняющими друг друга знаниями и умениями, – в январе того же года – двадцатилетний Крониг, обучавшийся до того в США, приехал в немецкий Тюбинген, чтобы поучиться у работавших там признанных лидеров, к числу которых относился и уже упоминавшийся Ланде. Сразу по прибытии Кронига Ланде показал ему только что полученное от Паули письмо с обсуждением идеи четвертого квантового числа, которое необходимо приписать электрону для объяснения спектров. Паули писал даже, что это новое квантовое число должно принимать только два значения. Крониг необычайно воодушевился и тем же вечером изобрел концепцию спина электрона. Картина включала (а как можно было обойтись без этого?) представление о вращающемся электроне. Часть спектров Кронигу удалось объяснить на основе этих идей (с включением в схему того самого множителя 2), но в части явлений его теория давала ровно вдвое большее предсказание, чем наблюдалось в экспериментах. Крониг, однако, не падал духом, тем более что на следующий день ожидался приезд самого Паули. Тот действительно приехал. Идеи Кронига показались ему остроумными, но не имеющими отношения к реальности по двум причинам: чехарды с множителем 2 и той проблемы, что по всем мыслимым оценкам поверхность вращающегося электрона обладала бы скоростью во много – в сотни – раз больше скорости света[234]. Через несколько недель Крониг добрался до Бора и Гайзенберга в Копенгагене; оставались считаные месяцы до открытия Гайзенбергом первой полностью рабочей версии квантовой механики[235]. Бор и Гайзенберг встретили идеи Кронига прохладно, выдвинув примерно те же возражения, что и Паули. Разочарованный Крониг оставил свою теорию спина. Когда в ноябре вышла та самая статья Уленбека и Гаудсмита, которую Эренфест не стал отзывать из печати, Гайзенберг и Бор задумались о спине всерьез. В самом начале следующего, 1926 года появилось уравнение Шрёдингера (вторая полностью рабочая версия квантовой механики), а в феврале Томас (23 года), приехавший в Копенгаген из Лондона на имевшийся у него грант для путешествий, придумал, как применить специальную теорию относительности, чтобы поправить дело с множителем 2. Только после этого, в марте 1926-го, Паули признал идею спина – через 14 месяцев после неприятия идей Кронига. Гаудсмит и здесь прекрасен: в связи с юбилеем научной деятельности Лоренца, продолжает он,
…Бор, Эйнштейн и многие другие великие ученые съехались в Лейден. Бор к тому времени уже видел нашу заметку и проявил большой интерес. Каждый день мы встречались – у нас были посиделки с Бором, Эйнштейном и Эренфестом дома у Эренфеста по проблеме спина и всего прочего. Там мы много всего узнали. ‹…› Когда Бор и Эйнштейн разговаривали друг с другом у Эренфестов, я не понимал ни слова.
У электрона нет поверхности
Настоящая эпоха Sturm und Drang в изучении устройства материи!
Как бы то ни было, Бор совершил одну ошибку. Вместо Уленбека он пригласил в Копенгаген меня, чтобы посмотреть, смогу ли я там что-нибудь выучить. Из этого, разумеется, ничего не получилось, и через шесть недель он вручил мне билет первого класса на поезд обратно в Гаагу. Но в Копенгагене был молодой человек, Томас, который глубоко знал теорию относительности. Пока я еще был там, он разобрался с этим гайзенберговым множителем 2 … и все оказалось в порядке.
А вот кто никак не желал признавать спин, так это Паули. Бор тогда сказал: «По дороге домой сделайте остановку в Гамбурге и объясните Паули про множитель 2». Я попробовал так и сделать, но, поскольку сам я этого по-настоящему не понимал, я, естественно, не смог ничего объяснить Паули. ‹…› Когда я вернулся, Эйнштейн все еще был в Лейдене, и мне пришлось объяснять и ему тоже, что вышло даже еще хуже. У меня ничего не получилось; но позже мне пришла открытка от Паули, что он прочел работу Томаса и теперь в нее верит.
В течение года после этого не кто иной, как Паули, разработал теорию спиноров для трехмерного пространства (сейчас всех учат фигурирующим там матрицам Паули); спиноры удалось внедрить в уравнение Шрёдингера, и теория спина электрона получила достаточно солидную основу, хотя все еще соединяла различные понятия несколько эклектически. Более последовательный и более точный взгляд на вещи возник после того, как в начале 1928 г. появилось уравнение 25-летнего на тот момент Дирака.
Как мне кажется, возражения людей, внесших определяющий вклад в создание квантовой механики, против попыток ввести спин электрона были не в последнюю очередь вызваны их общим настроем на то, чтобы отвергать всякую наглядность как часть объяснения, потому что наглядность уже столько раз заводила в тупик; первые же представления о спине так или иначе были связаны с вращающимся электроном. Квантовую механику удалось создать, отбросив все «очевидные» соображения. В конце концов она включила в свой формализм и спин, но только не как вращение, а как нечто, связанное со спинорами.
Признания и литературные комментарии
Принцип неопределенности в качестве фундаментального высказывания об устройстве мира вообще-то требует пояснений относительно того, в каком смысле неопределенность. Этот не самый простой вопрос имеет разнообразные аспекты, которые время от времени обсуждаются и поныне; я позволил себе обойтись интуитивным пониманием неопределенности. Говоря, что спиноры – это наборы, состоящие из указанного количества чисел, я обошел молчанием тот факт, что это комплексные числа. Обозначение ħ, появившееся в книге [11], не сопровождалось там пояснениями; Дирак вообще не отличался склонностью к пространным рассуждениям. Из-за этого, в частности, его «Воспоминания о необычайной эпохе» [12] читаются без лишних эмоций, но зато точно передают размышления автора о пути, приведшем его к фундаментально важным достижениям.
Книга Пономарева [22] – настоящая энциклопедия полезных сведений об истории квантовой механики, а также о ее приложениях к описанию конкретных систем. Кроме этого, мне кажутся ценными и мысли автора о науке, продвигающейся вперед в условиях потери наглядности. Я дорожу экземпляром четвертого, дополненного издания этой книги, подаренным мне автором. (Неоспоримых достоинств книги не умаляют спорадические неточности в отношении персоналий.) Взгляд на квантовые свойства, представленный на этой и следующей прогулках, как мне кажется, имеет лишь небольшое пересечение с (значительно более полным и разнообразным) изложением Пономарева. Его книгу можно читать и выборочно, например интересуясь только историей и биографическими подробностями, которым он уделяет немалое внимание. Я же, наоборот, не смог упомянуть множество ученых; среди очевидных поводов для сожаления – Джордж (Георгий Антонович) Гамов. Он первым всерьез занялся вопросом о том, что происходило с материей, когда Вселенная начала расширяться по Фридману; он же понял, что альфа-распад атомных ядер управляется туннельным эффектом и что тот же эффект работает в звездах. Это далеко не все, но я вынужден остановиться. Роль квантовых эффектов в эволюции Вселенной затрагивается также в книге [36].
Изображение Солнца, приведенное на рис. 10.4, сделано NASA's Solar Dynamics Observatory https://sdo.gsfc.nasa.gov/. Некоторые подробности, включая исторические, по поводу эффекта Казимира собраны в [67], а его собственные воспоминания включены в [53]. Детали истории открытия спина частично взяты из работы [60]. Воспоминания Гаудсмита [75] – перевод с голландского (в моем переводе с английского) его устного выступления на торжественном собрании Голландского физического общества в 1971 г. Там много других восхитительных подробностей, для которых, увы, здесь совсем не осталось места. Эренфест – член-корреспондент Академии наук СССР с 1924 г. Его жена, урожденная Афанасьева, преподавала математику на Высших женских курсах в Санкт-Петербурге. Осенью 1907 г. пара переехала в Санкт-Петербург, где они прожили пять лет; в 1912-м по приглашению Лоренца Эренфест получил работу в Лейдене.
…несомненно, что Россия могла бы стать моей родиной в самом глубоком значении этого слова, если бы я получил здесь постоянную преподавательскую работу где бы то ни было. Несмотря на мое недостаточное владение языком, я не ощущаю себя чужим в кругу здешних людей (исключая политических чиновников).
И я говорю «Гайзенберг», а не «Гейзенберг» или «Хайзенберг», следуя старой физической традиции.
Движение на прогулке 10
Движение постоянно присутствует в квантовом «околоатомном» и субатомном мире, поскольку части этого мира обмениваются энергией и количеством движения. Но происходящее там лишено наглядности, на которой основаны наши обычные представления о движении. Визуальной картины нет: нельзя говорить о траектории в пространстве, нельзя определить ось вращения. Законы этого непредставимого движения в ряде случаев оказываются необычайно жесткими: движение, «пойманное» в пределах ограниченной области в пространстве, оказывается возможным только при дискретных значениях энергии. Из-за этого простым составным системам доступны лишь дискретные возможности их устройства; сборка атомов и молекул из заданного числа деталей оказывается возможной в единственном или почти единственном варианте. В результате мир на фундаментальном уровне построен не из плавно переходящих друг в друга неконтролируемых образований, а из ограниченного числа одинаковых частей с дискретно меняющимися свойствами. При этом наименьшее возможное значение энергии определяет основное состояние связанных систем, из которого нельзя забрать энергию движения, не разрушив систему. Покой невозможен даже в колебательных системах – там нельзя полностью выключить колебания.
В состояниях с определенной энергией объекты не имеют свойства занимать определенное положение в пространстве в определенный момент времени. Отсутствие локализации в ряде случаев приводит к туннелированию сквозь стены – преодолению областей, движение в которых запрещено в соответствии с классическими представлениями. Квантовое преодоление таких запретов происходит случайным образом, и лучшее возможное описание этих процессов – вероятностное.
Преемственность с привычной нам картиной движения поддерживают универсальные атрибуты движения, такие как энергия, количество движения и количество вращения. Однако в квантовом мире обращение с ними требует аккуратности. Не все эти величины определены одновременно для одного объекта, а те, которые определены, часто ограничены сериями значений, которыми управляют наборы целых чисел. Элементарные частицы, являющиеся бесструктурными образованиями, несут еще более абстрактные атрибуты «внутреннего» (спинового) количества вращения. На самом фундаментальном уровне квантовых полей передача энергии и количества движения от одних квантов полей к другим осуществляется в актах обмена виртуальными частицами.
При этом движение остается связующим звеном между привычным нам макроскопическим восприятием мира и тем, что происходит в субатомном мире: мы используем движение, которым можем управлять и результаты которого можем наблюдать, для «прощупывания» структуры мира на сверхмалых масштабах.