Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей — страница 11 из 19

В поисках утраченного движения

Маршрут:От величины к высказыванию. – Как же о них думать. – Урок демократии. – Дискретное и непрерывное. Уединение и вдохновение. – Движение и энергия на вершине абстракций. – Уравнение Шрёдингера. – Волновая функция в поисках реальности. – Правило Борна. – Главная тайна квантовой механики. – Реальны все! – Часть и целое. – Ловушка Белла. – Основные подозреваемые. – Лоцманы спасают реализм. – Вспышки в пустоте. – Реализм по выбору. – Ускользающая реальность.

Главный герой:пси-функция

От величины к высказыванию. Уравнение Шрёдингера – главное уравнение квантовой механики – призвано ответить на вопрос, что будет, если известно, что имеет место сейчас. В этом качестве оно заменяет собой уравнения движения, но, как оказалось, требует существенных уточнений в понимании того, что значит «имеет место» (а отчасти и того, что значит «будет»). Вообще-то способность делать предсказания на основе подходящих уравнений и начальных условий мы обычно и принимаем за исчерпывающее понимание природы вещей. При этом, как правило, подразумевается нечто «совершенно очевидное»: описываемые явления происходят в пространстве, причем происходят с объектами, которые существуют во всей своей полноте и «сами по себе». В этой картине достаточно малые тела находятся в определенных точках пространства и обладают определенными скоростями и другими присущими им свойствами, которые все, вместе взятые, и определяют состояние каждого тела. Но уравнение Шрёдингера ни с чем таким дела иметь не собирается. Оно вообще оперирует абстракциями такого уровня, который до сих пор нам не встречался. С ними пришлось примириться под давлением обстоятельств – ради того, чтобы описать происходящее с атомами, электронами и т. д. Среди этих абстракций можно искать фрагменты наших обычных представлений о движении и даже некоторые находить, но в целом в квантовой механике осталось не так много «механического» в привычном смысле. Сложности, дающие о себе знать практически сразу, вызваны попарной враждой среди величин, которые вроде бы необходимы для описания мира (для описания каждого его состояния), но которые не могут одновременно принимать числовые значения. А как можно предсказывать будущее поведение, если разрешается говорить или о положении, или о количестве движения? Из-за попарной вражды оказывается, что не враждующих между собой величин – половина от общего числа, поэтому дело выглядит так, как будто мы остаемся с каким-то ущербным, заведомо неполноценным описанием природы. Как вообще описывать мир, когда из переменных, которые должны бы его описывать, про половину предлагается забыть?

Чтобы разрешить эту «загадку половины», надо было, как оказалось, не пробиваться напролом, что невозможно, а выбрать обходную дорогу. Она довольно необычна. Да, в наших руках одновременно может находиться только «половина мира» – половина от привычного набора величин. Но с этими величинами происходит довольно беспрецедентная метаморфоза; я не перестаю удивляться, как до этого вообще удалось додуматься.

Потребляйте абстракции ответственно

Предупреждение. На этой прогулке встречаются абстракции в количестве, в несколько раз превышающем естественный фон. Проявляйте осторожность, если вы обладаете повышенной чувствительностью к абстракциям[236].

«Метаморфоза» случается вот каким образом. Вместо координат надо рассматривать нечто, что я некоторое время буду называть высказываниями о координатах. А когда дело дойдет до количества движения, мы будем иметь дело с высказываниями о количестве движения. Слово «высказывание» очень условно, ни в коей мере не является общеупотребительным, да и сам я от него откажусь в подходящий момент, но сейчас оно нужно мне как метафора: если «вещи» – это нечто конкретное, то «высказывания» – абстрактное. Из-за того что слово будет использоваться в придуманном мною значении, следовало бы каждый раз писать его в кавычках, но я не буду слишком строго за этим следить[237].

Высказывание о какой-либо вещи – это определенно не сама вещь, в том числе и потому, что с высказыванием можно делать намного больше всякого разного, включая и то, что в применении к самой вещи невозможно или бессмысленно. Обычное, настоящее высказывание можно передать по телефону; поставить в ряд с другими высказываниями по признаку, который в самой вещи не содержится (например, все, что начинается на букву Ф); скопировать неограниченное число раз и т. д. Есть очевидные различия между и словом «стол»: да, вокруг можно расставить несколько и совершить с ним еще немалое количество действий, но слово «стол» может фигурировать в неограниченном числе предложений самого разного рода, соединяясь там, при соблюдении правил грамматики, с любыми другими словами – например, с теми, которые выражают несуществующие понятия. Слово «стол» может рифмоваться с другими словами – возможность, которой вещи лишены начисто. В русском языке слово «стол» может склоняться, приобретая разные окончания. Сам по себе ничего про это не знает. С «высказываниями» в кавычках тоже можно делать то, что бессмысленно делать с «вещами», – применять к ним арифметические операции.

Роль «вещей» для нас будут играть координаты или любые другие величины, относящиеся к какому-либо объекту или системе; если при этом мы берем набор из нескольких величин, то требуется, чтобы они не враждовали между собой. Для определенности продолжим говорить о координатах. Конечно, я помню, что координаты – это вообще-то числа, а не «вещи». Тем не менее три координаты определяют точку в пространстве – тоже, конечно, не совсем «вещь», но я прошу сделать шаг мне навстречу: эта точка «живет здесь», в нашем физическом пространстве. Да, понятие математической точки включает в себя некоторую степень абстракции, но это ничто по сравнению с уровнем абстракции, который нам сейчас предстоит, поэтому точки и числа, выражающие привычные свойства и отношения, остаются для нас на стороне вещей.

Для «высказываний» понадобятся обозначения. «Высказывание» о координате q обозначается как |q⟩. Обозначение это придумал Дирак, примерно одновременно с перечеркиванием в букве ħ; и то и другое оказалось очень популярным. Если речь идет об одном электроне в трехмерном пространстве, то буква q выражает тройку чисел – значения трех координат, о которых удобно думать как о точке в пространстве. Тогда «высказывание» |q⟩ передает (очень нестрого! уточнения впереди) идею присутствия электрона в точке q.[238]

И вот ключевой момент: что такое «высказывания», определяется тем, что с ними можно делать. Нельзя сказать, «чем они являются» в каких-то обыденных терминах, потому что это не привычные вещи, а абстракции; но с ними можно выполнять два основных действия.

1. Два «высказывания» |r⟩ и |s⟩ можно сложить. Получится снова некоторое «высказывание» |r⟩ + |s⟩.

Как правило, r и s – «вещи», т. е. какие-то свойства наблюдаемого мира – выражаются числами, но нам встретятся и обобщенные результаты наблюдений, как, например, «пролетел сверху» или «пролетел снизу» – скажем, про электрон. Складываются при этом не свойства, а именно «высказывания» о них. Чтобы не перегружать изложение в этот ответственный момент, будем пока считать, что r и s – «вещи» одной природы, скажем различные возможные исходы какого-нибудь наблюдения. Если бы одним из наблюдаемых в квантовом мире свойств был цвет, то мы могли бы иметь дело с «вещами» типа «красный», «желтый» и «черный», а им отвечали бы абстракции |красный⟩, |желтый⟩ и |черный⟩, с несколько странной возможностью образовать из них |красный⟩ + |желтый⟩ + |черный⟩, и это не имело бы отношения к смешению цветов (разрешив складывать два, мы немедленно получаем возможность складывать произвольное число слагаемых).

Со знаком плюс надо просто примириться как со способом соединения высказываний. Возможность такого соединения – одно из главных свойств квантовой механики, и стоящая за ним идея – немного забегая вперед – довольно многообещающая: если высказывание |q₁⟩ выражает идею присутствия электрона в точке q₁, а высказывание |q₂⟩ – идею его присутствия в точке q₂, то высказывание |q₁⟩ + |q₂⟩ выражает идею пребывания электрона не в одной-единственной точке[239]. Это высказывание про электрон, у которого нет однозначно определенного положения. При этом сами q₁ и q₂ – чем бы они ни были, указаниями «пролетел сверху/снизу» или числами, – никогда не складываются. Здесь есть психологическая сложность, которую стоит осознать, чтобы избежать путаницы. Если, например, речь идет о двух координатах, то коль скоро координаты – это какие-то числа, их можно, конечно, сложить друг с другом. Но в этом нет никакого смысла, если мы интересуемся тем, где что-нибудь расположено: например, если вы знаете, что нечто можно наблюдать или в точке с координатой x₁ = 2 см, или в точке с координатой x₂ = 5 см, то говорить о точке с координатой x₁ + x₂ = 7 см довольно бессмысленно, эти 7 см не определяют положение чего бы то ни было. При сложении же «высказываний» |x₁⟩ + |x₂⟩ никакие 7 см не появляются, числа внутри значков | ⟩ защищены этими значками и сами по себе в арифметические действия не вступают.

Не следует складывать числа

Мы на пути к главным чудесам квантовой механики! Вот что можно заметить уже сейчас: «высказываний» оказывается намного больше, чем «вещей», с которых мы начали. Про огромное число «высказываний» – таких как |q₁⟩ + |q₂⟩ + |q₃⟩ – нелегко сказать, какой одной «вещи» высказывание соответствует. Тем не менее в «пространстве высказываний» имеется полная демократия: все они существуют там на равных правах вне зависимости от того, нашли или не нашли мы одну «вещь», отвечающую данному высказыванию. Это не лишено странности, но, как мы совсем скоро увидим, в этом и состоит способ преодоления вражды при описании мира. Сначала, однако, надо закончить с действиями над высказываниями. Сложение – это только одно из двух действий.

2. Любое «высказывание» |r⟩ можно умножить на любое число a. Получится снова некоторое «высказывание» a · |r⟩.

«Высказывание» a · |r⟩ не имеет никакого отношения к попытке умножить на a саму величину r (координату, компоненту количества движения, энергию или еще что-то в этом роде); в рамках нашей не квантово-механической, но красочной иллюстрации 5 · |желтый⟩ не означает «в пять раз более желтый». Но возможность еще и умножения наряду со сложением показывает, подвох какого выдающегося масштаба здесь намечается. Сумма 5 · |желтый⟩ + |синий⟩ выражает существенно больший шанс встретить желтый, чем синий, а если, отбросив аналогии, мы всерьез говорим об электроне и q₁, q₂, q₃ – точки, то высказывание 10 · |q₁⟩ + |q₂⟩ + 0,1 · |q₃⟩ выражает идею предпочтительного присутствия электрона в точке q₁ и подавленного присутствия в точке q₃; при этом я не отказываюсь от своих слов, что он не находится ни в одной конкретной точке[240].

Я слышу все более настойчивый вопрос: но что же такое эти | ⟩ «высказывания»? Я не пытаюсь его игнорировать, просто отвечать особенно нечего. Можно еще раз вспомнить про метафору вещей и слов. Слова – это то, что разрешается соединять друг с другом, следуя правилам грамматики, таким образом, чтобы результат можно было каким-то образом интерпретировать. Про наши «высказывания» можно сказать нечто похожее: это то, что можно умножать на числа и соединять друг с другом с помощью знака «+», а интерпретацией того, что получается, мы и будем в основном заняты на этой прогулке. В качестве грамматики же имеется одно ключевое правило. Оно выражается формулой, которую я не просто собираюсь привести, но намерен сделать это с целью не потерять половину своих спутников на этой прогулке, вопреки расхожей мудрости, что их количество уменьшается вдвое от каждой формулы.

Главное правило – раскрытие скобок

Формула, правда, широко известна. Умножая сумму на число, как в a · (B + C), можно сначала умножить каждое слагаемое, а потом сложить: a · B + a · C. Это одно и то же: a · (B + C) = a · B + a · C – вот и вся формула. Если кто-то вспомнил про материал примерно пятого класса под названием «раскрытие скобок», то это оно и есть (чуть более торжественно – распределительный закон). «Грамматика», регулирующая правила обращения с «высказываниями», именно такова: всегда должно соблюдаться правило раскрытия скобок a · (|r⟩ + |s⟩) = a · |r⟩ + a · |s⟩. Примитивная, ничего не скажешь, грамматика[241]. Тот факт, что она лежит в основе самого точного на сегодняшний день описания природы, кажется мне по-настоящему удивительным.

*****

Как же о них думать. И все же. Абстрактные конструкции, какими являются эти «высказывания», бывает полезно хоть как-то себе представлять. Есть два типа более осязаемых явлений, на которые они похожи по своим определяющим признакам – каковые только в том и заключаются, что к любым выбранным явлениям можно применить умножение на числа и сложение, в результате чего получаются другие явления того же типа.

Первый тип похожих явлений – волны. Их тоже можно складывать и умножать на числа таким способом, что в результате снова получаются волны. Умножение волны на 2,5 означает, что амплитуда колебаний в каждой точке в 2,5 раза больше – можно сказать, волна «выше» (и одновременно «глубже»). Это показано на рис. 11.1 слева. Идеальный усилитель сигнала, кстати, должен выполнять в точности умножение, не внося в волну больше никаких изменений (например, не сглаживая вершину усиленной – «умноженной» – волны). Умножение на что-нибудь вроде 0,1 дает волну в десять раз «ниже». Несложно разобраться и с умножением волн на отрицательные числа. Умножить на –1 означает инвертировать волну, т. е. перевернуть, как показано на рис. 11.1 справа. Умножение на –42 состоит в том, что волну надо инвертировать и умножить на 42. А после умножения волны на 0 получится волна с нулевой амплитудой колебаний во всех точках, т. е. в обычных терминах – отсутствие волны; удобно тем не менее считать отсутствие волны нулевой волной. Умножение (число) · (волна) отличается от умножения числа на число, потому что включает в себя два объекта разной природы: волны все-таки не числа. И волны в этом умножении «главнее», потому что в результате умножения получается именно волна: (число) · (волна) = (другая волна). В точности это мы видели и для «высказываний».

Рис. 11.1. Умножение волны на число дает другую волну. Слева: более светлый профиль – результат умножения более темного на 2,5. Справа: умножение на –1 инвертирует волну

Сложение волн – это просто наложение одной волны на другую. Наглядная иллюстрация – сложение волн на воде: игрушечный кораблик опускается и поднимается в зависимости от того, как именно суммируются колебания в данной точке[242]. В качестве другой иллюстрации: мы практически непрерывно ощущаем сложение волн ушами, потому что вокруг нас, как правило, много источников разнообразных звуковых волн (и еще больше электромагнитных). Кстати, если какую-то волну сначала умножить на –1, а потом сложить с исходной, то получится нулевая волна. Этот принцип используется в системах активного шумоподавления: шум инвертируют, т. е. умножают на –1, а затем складывают с волной, несущей смесь сигнала и шума; шум в результате сокращается по правилу A + (–1) · A = 0, но A здесь – не число, а волна.

Встречаем волновую функцию!

Из-за того, что таковы же правила обращения с нашими «высказываниями» |*⟩ (где вместо звездочки записано что-нибудь в зависимости от ситуации – значение координаты, количества движения, энергии, компоненты спина, …), эти |*⟩ называют еще волновыми функциями или, обобщенно, волновой функцией. Само по себе слово «функция» нам уже встречалось. Оно означает машину по превращению входных данных (например, координат точки, а может быть, цвета заката) в выходные – в некоторые числа. (Пример функции: на входе угол, на выходе его синус; на входе человек, на выходе дата его рождения.) Каждое наше «высказывание» кодирует в себе информацию о такой машине. Если временно снова прибегнуть к помощи цветовой палитры, то «высказывание» 5 · |красный⟩ + 3 · |желтый⟩ – 1 · |фиолетовый⟩ кодирует функцию, которая превращает «красный» в число 5, «желтый» в число 3 и «фиолетовый» в число –1 (числа могут быть совершенно любыми). Можно сказать, что запись в виде суммы «сразу» показывает все варианты входных данных, которые данная функция умеет обрабатывать, причем каждый вариант – вместе с тем значением, которое функция из него производит (сразу ведь видно, что фиолетовый отвечает минус единице)[243]. А что насчет оранжевого, экрю и маренго? Они не упомянуты в сумме из трех слагаемых, поэтому их наша машина-функция превращает в нуль. Тот же пример, но лишенный красок, выглядит так: если перед вами сумма a₁ · |q₁⟩ + a₂ · |q₂⟩ + a₃ · |q₃⟩ +…, где внутри кетов сидят какие-то точки, то отвечающая ей машина-функция задается простым правилом. Какое значение имеет эта функция в точке q₁? – значение a₁; в точке q₂? – значение a₂ и т. д.[244] Волновые функции можно, конечно, обозначать любыми буквами, но чаще всего используется ψ или Ψ (пси). Запись ψ(q), где под q понимаются какие-либо величины, показывает, входные данные какого типа она умеет обрабатывать (выражаясь чуть формальнее: от каких переменных она зависит). Волновую функцию иногда называют также пси-функцией.

Объекты другого типа, по формальным признакам тоже похожие на наши абстрактные | ⟩, имеют более геометрический характер: это векторы, т. е. стрелки, проведенные из выбранной точки в пространстве. Если пространство двумерно или трехмерно, то векторы вполне наглядны; для пространств более высокой размерности предлагается думать, что это «как в трехмерном пространстве, только не в трехмерном, а в многомерном» (что, надо признать, само по себе несколько абстрактно). Каждый вектор можно умножить на любое число; в результате получится растянутый вектор, если число больше единицы, сжатый вектор, если число меньше единицы, но положительно, и вектор, смотрящий в противоположную сторону, если число отрицательно. Складываются же векторы по правилу сложения перемещений: чтобы найти сумму двух векторов рисуем вектор  а из его конца проводим и затем рисуем стрелку, соединяющую начальную точку, откуда растет с полученной точкой. Можно действовать и наоборот, сначала нарисовать проведя стрелку из выбранной точки, а из ее конца провести получится то же самое, потому что не имеет значения, по каким сторонам параллелограмма добираться из одной вершины в противоположную. При этом выполняется несколько «очевидных», но важных правил типа Написанное равенство означает смещение на вектор за которым следует в точности противоположное ему смещение. Кстати, нуль в правой части надо было бы записывать как потому что это нулевой вектор. Он выражает отсутствие всякого смещения и, строго говоря, является единственным из всех векторов, который не представляется наглядно стрелкой (у него вообще нет направления). Этот нулевой вектор ведет себя как нуль при сложении с другими векторами: (то же самое имеет место и для нулевой волны при сложении с любой другой волной).

И волны, и векторы – примеры, показывающие, что объекты некоторого класса можно складывать и умножать на числа таким образом, что получаются другие объекты того же класса и при этом выполнены «очевидные» правила, включая правило раскрытия скобок. Таковы же и волновые функции[245].

Мне не избежать некоторого дублирования терминов. Можно сказать «система описывается таким-то состоянием», а можно – «система описывается такой-то волновой функцией». «Волновая функция» и «состояние» – это синонимы, но в некоторых контекстах мне проще говорить о состояниях, а в некоторых других – о волновой функции. Возможно, это наследие того, по каким книгам я учился, но, так или иначе, я буду употреблять оба названия. Нестандартное же название «высказывания» было нужно мне только для того, чтобы подчеркнуть их абстрактный характер, и так их никто не называет.

Волновыми функциями и управляет уравнение Шрёдингера, к которому мы движемся. Но прежде чем мы увидим, как оно это делает, нелишне будет узнать, чем же волновые функции оказались прекрасны: благодаря тому, что выглядит как их избыточность, они «снимают» вражду между непримиримыми величинами.

*****

Урок демократии. Поначалу трудно отделаться от ощущения, что среди «высказываний» (правильно: состояний) есть более фундаментальные, имеющие вид |q⟩ для каких-то понятных «вещей» q, и более искусственные, получаемые всеми этими сложениями с умножениями. Другими словами, может показаться, что если q и r – «вещи», то |q⟩ и |r⟩ – что-то вроде слов, тогда как a · |q⟩ + b · |r⟩ – фразы, из них составленные; и отдельные слова в некотором роде более «настоящие», чем фразы. Поучительный пример, показывающий, как в действительности обстоят дела в этом «языке», – система, где «вещей» всего две: это два значения компоненты спина электрона. Как мы помним со времени предыдущей прогулки, компоненту спина можно измерять только вдоль какого-то одного направления, и для электрона она может оказаться равной только одному из двух значений, 1/2 ħ и –1/2 ħ. Направление обычно выбирают вертикальным (что само по себе никакого значения не имеет, но важна определенность) и обозначают буквой z, как на рис. 11.2 слева. Два возможных значения компоненты спина противоположны друг другу, и с учетом того, как мы выбрали направление, удобными оказываются сокращенные (и наконец-то общепринятые) обозначения: стрелка вверх ↑ вместо 1/2 ħ и стрелка вниз ↓ вместо –1/2 ħ. Обычно мы не заменяем числа специальными значками типа стрелки или смайлика, потому что в большинстве случаев это неудобно; но ничто и не запрещает нам так делать, а в данном случае обозначения оказываются очень подходящими к ситуации. Каждой из двух «вещей» ↑ и ↓ (двум возможностям для компоненты спина вдоль z) отвечает свое состояние, |↑⟩ и |↓⟩. Пока ничего не произошло, мы всего лишь ввели обозначения. Но как нам при этом относиться, скажем, к состоянию |↑⟩ + |↓⟩? И вообще ко всем a · |↑⟩ + b · |↓⟩ – это какие-то искусственные образования, «ничему не соответствующие»? Ничего подобного, очень даже соответствующие. Здесь-то и чудо.

Значки ↑ и ↓ просто заменяют числа. Это еще не состояния

На предыдущей прогулке мы говорили, что спин электрона описывается парой чисел, называемых спинорами. Это и есть числа a и b в записи состояния a · |↑⟩ + b · |↓⟩. И спиноры, как мы тоже обсуждали, ведут себя по строго определенным правилам при поворотах в пространстве. Эти правила говорят, что при повороте на 90° от направления z к направлению x (см. рис. 11.2) состояние |↑⟩ переходит в сумму |↑⟩ + |↓⟩. Внимание: состояния |↑⟩ и |↓⟩ не живут в трехмерном пространстве, но реагируют на повороты в нем так, как им велит это делать математика спиноров (те самые правила поведения при поворотах, которые делают спиноры спинорами; технически за это отвечает формализм, который придумал Паули). В результате описываемого поворота на 90° «простое высказывание» |↑⟩ о компоненте спина вдоль z превращается в «составное высказывание» |↑⟩ + |↓⟩. Но ведь в пространстве мы просто «положили на бок» прибор, который измеряет компоненту спина; прибор по-прежнему сообщает нам, что компонента спина каждого данного электрона имеет одно из двух возможных значений, а поскольку он лежит на боку, это теперь компонента вдоль направления x. Мы делаем вывод, что сумма состояний |↑⟩ + |↓⟩ описывает состояние электрона с компонентой спина «вперед» по направлению x. То, что выглядело как «составное высказывание», оказалось таким же «элементарным высказыванием», как и |↑⟩ и |↓⟩, с которых мы начали, но с «повернутой точки зрения»[246]. Глядя на то, как изображено направление x на рис. 11.2, можно обозначить состояние с компонентой спина «вперед» вдоль направления x как |↙⟩. Итак, |↑⟩ + |↓⟩ = |↙⟩.

Рис. 11.2. Измерение спина электрона. Компонента спина может иметь определенное значение только вдоль какого-то одного направления в пространстве, например z. Измерение осуществляется за счет того, что электроны с двумя возможными значениями компоненты спина отклоняются магнитами в противоположные стороны

Это важное место стоит пройти еще раз. Мы соединили знаком плюс два состояния |↑⟩ и |↓⟩. Первое из них – это состояние электрона с компонентой спина вдоль направления z, равной 1/2 ħ, а второе – состояние с компонентой спина вдоль z, равной –1/2 ħ. Это самые элементарные высказывания о компоненте спина; их соединение, казалось бы, должно породить что-то более сложное, но в действительности оказывается таким же элементарным «высказыванием»: компонента спина электрона вдоль другого направления, а именно x, равна 1/2 ħ. Аналогичным образом разность |↑⟩ – |↓⟩ (которую, разумеется, мы получаем, беря сумму |↑⟩ + (–1) · |↓⟩) оказывается состоянием электрона, компонента спина которого вдоль x равна –1/2 ħ, т. е. противоположна направлению оси x; напрашивается обозначение |↗⟩ для этого состояния. Снова получается, что |↑⟩ – |↓⟩ = |↗⟩: составное высказывание в терминах компоненты спина вдоль z оказывается простейшим высказыванием о компоненте спина вдоль x.

Арифметике абстрактных состояний отвечают повороты в пространстве

Если мы думали, что сумма или разность «слов» – уже не «слова», а «фразы», то теперь видим, что в этом странном языке нашлись «слова», целиком выражающие эти «фразы». «Фразы» и «слова» – одно и то же. А если бы мы исходно выбрали направление x, чтобы определять значения компоненты спина, то простейшими нам казались бы состояния |↗⟩ и |↙⟩, а их сумма и разность выглядели бы как что-то сложносочиненное. Но их сумма – это состояние электрона с компонентой спина, направленной вверх по z, а их разность – состояние с компонентой спина вниз по z.[247] И это частный случай общей ситуации, применимой к описанию не только спина, но и разнообразных других свойств квантовых объектов: в зависимости от того, какие состояния системы нам более интересны по тем или иным причинам (например, в силу постановки эксперимента), может оказаться предпочтительным тот или иной набор «вещей»; им будет тогда соответствовать набор особо «любимых» состояний системы. Но другой выбор «вещей» приведет к другому набору «любимых» состояний, и каждый из двух наборов выражается через другой с помощью подходящих сумм с умножениями. Ни один из наборов с принципиальной точки зрения не лучше и не хуже другого.

Внезапно открываются довольно захватывающие перспективы, прежде всего – по преодолению вражды. Компоненты спина вдоль любых двух различных направлений враждуют. Но простая арифметика позволяет взять оба возможных состояния с определенным значением компоненты спина вдоль направления z и сконструировать из них состояние с компонентой спина «вперед» или «назад» не только вдоль оси x, но и вдоль любого выбранного направления в пространстве, просто выбирая числа a и b в состоянии a · |↑⟩ + b · |↓⟩ (как именно выглядит соответствие между парой чисел и направлением в трехмерном пространстве, снова определяется математически). Полная демократия! Любая «фраза» оказывается «словом» – состоянием, отвечающим определенной компоненте спина вдоль какого-то направления.

Состояния/волновые функции живут где-то отдельно, не вместе с «вещами», определенно не в физическом трехмерном пространстве. На простом примере спина электрона нам только что приоткрылось происходящее там у них. Суммы различных состояний («суммы с умножениями на числа») – тоже полноценные состояния. В результате состояний оказывается очень много, и среди них отыскиваются и те, что отвечают «забытым вещам», от рассмотрения которых мы вроде бы отказались из-за вражды одних величин с другими. Эта идея распространяется не только на спин, но и на все остальное, и она-то и решает «загадку половины». Начав с «любимых» состояний, отвечающих выбранной половине величин, мы можем конструировать из них такие состояния, которые отвечают враждебным величинам (именно враждебным, а не каким-то еще!). Способ конструирования всегда один и тот же – составлять подходящие «суммы с произведениями».

Вот еще один очень часто встречающийся пример построения «враждебных» состояний: из состояний с определенными значениями координаты x можно сконструировать состояние, отвечающее определенному значению враждебной величины – количества движения вдоль x, которое мы назовем p_x. Для этого возьмем все возможные значения выбранной координаты – какие-то x₁, x₂, x₃ и т. д. (значений бесконечно много). В соответствии с этим наши любимые состояния сейчас – это |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩ и т. д. Чтобы из них сконструировать состояния, отвечающие какому-то возможному количеству движения p_x, надо сложить все эти |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩, …, предварительно умножив каждое на свое число. Фокус в том, чтобы правильно подобрать эти числа. Фокусник, который умеет ловко находить нужные числа, спрашивает у вас, какое именно значение количества движения p_x вы «загадали». Вы сообщаете ему численное значение (оно имеет размерность: скажем, кг · м/с; ее тоже надо сообщить). Фокусник вводит это число в память своего калькулятора, а потом перебирает значения координаты x₁, x₂, x₃, … одно за одним и с каждым производит вычисление, используя ваше количество движения p_x. Калькулятор каждый раз выдает ему новое число: a_1,a_2,a₃ и т. д. (Эти числа – уже «голые», т. е. лишенные размерности; в заводских настройках калькулятора прошито значение постоянной ħ, с помощью которой из количества движения и координаты можно сделать «голое» число.) Вам остается только взять сумму состояний a₁ · |x₁⟩ + a₂ · |x₂⟩ + a₃ · |x₃⟩ +…, используя именно те числа, которые нашел для вас фокусник. Получается (длинное-предлинное в такой записи) состояние, которое – вот же фокус так фокус! – как раз и отвечает точно заданному количеству движения p_x, которое вы задумали. Впечатлившись, вы задумываете другое значение количества движения и просите фокусника повторить представление. Он делает те же вычисления с вашим новым значением, в результате вместо тех a_1,a_2,a₃ и т. д. получаются какие-то другие числа. Если их точно так же использовать для построения «длинной» суммы, то она и будет состоянием, которое отвечает вновь задуманному количеству движения.

Теперь, между прочим, яснее видно, как работает принцип неопределенности. Ни одно из чисел, которые нашел фокусник, не равно нулю, поэтому состояние с определенным значением количества движения p_x сконструировано как «длинная сумма с умножениями» из всех состояний |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩, …, отвечающих возможным значениям координаты. Поэтому у электрона в построенном состоянии с определенным количеством движения p_x нет определенного значения координаты x. И даже более того: числа, полученные фокусником, таковы, что ни одно из состояний |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩, … в длинной сумме не является более предпочтительным или менее предпочтительным. Поэтому никакие значения координаты x вообще никак не выделены, а это значит, что о значении координаты в этом состоянии сказать вообще нечего, оно оказывается максимально неопределенным. Точное значение одной величины – полная неопределенность другой, ей враждебной. Мы знали это с предыдущей прогулки, но теперь, благодаря конструированию одних состояний через другие, мы видим, как эта неопределенность возникает на языке состояний.

Обеспечительный механизм принципа неопределенности – выражение состояний через «враждебные»

Тот же фокусник, надо сказать, умеет показывать и обратный фокус. В другой день вы решили начать описание мира, выбрав в качестве половины величин компоненты количества движения и вынужденно отбросив враждебные им координаты. Для каждого из возможных значений количества движения (как всегда, вдоль некоторого направления) у вас есть отвечающее ему состояние – именно они в этот день являются вашими «любимыми» состояниями. Как построить из них состояние, отвечающее определенному значению координаты вдоль того же направления? Фокусник спрашивает вас, чему равно это значение координаты. Если, например, это x₂₂₂ = 0,031 нм, то вы говорите ему: «31 тысячная нанометра», и он с помощью этого числа производит в своем калькуляторе вычисления с каждым из возможных значений количества движения по очереди и сообщает вам набор чисел. Получив эти числа, вы благодарите мастера и используете их, чтобы построить «длинную сумму с умножениями» из всех ваших любимых состояний на этот день. Эта длинная сумма и будет состоянием |x₂₂₂⟩.[248]

Сейчас, пожалуй, подходящий (а может быть, даже запоздалый) момент для пояснения того, какие «вещи» q, r, s (и так далее) с самого начала годятся, чтобы составлять суммы состояний типа a · |q⟩ + b · |r⟩+ c · |s⟩. Каждая из букв q, r, s должна полностью описывать возможные хотя бы в принципе значения величин из дружественного набора. Например, если речь идет о двух электронах, то под буквой q могут пониматься координаты и спины обоих электронов; указать координаты только одного электрона или как-то иначе уменьшить объем данных означало бы сознательно обречь себя на неполноту описания. «Возможные хотя бы в принципе» означает, что не исключен вариант, когда значения координат отвечают положению электрона, скажем, на Луне (со спином же большого разнообразия, как всегда, нет: только одна из двух возможностей относительно одного выбранного направления в пространстве для каждого электрона). То же верно в отношении букв r и s: они выражают какие-то другие значения величин из того же набора (электроны в каких-то других местах, с как-то ориентированными спинами). А если, скажем, q и r выбраны указанным образом, то можно ли в качестве s взять значения не координат, а количества движения для одного или даже двух электронов (заодно с компонентами спина, которые прямо сейчас нас меньше интересуют)? Можно, но в этом случае |s⟩ будет иметь вид «длинной суммы с умножениями», которую, в случае затруднения с нашей стороны, помогает строить известный на весь мир фокусник. В основе конструкции все равно должны быть состояния, отвечающие определенным значениям координат, раз уж мы выбрали координаты, только этих состояний потребуется «очень много», чтобы построить состояние, отвечающее определенному значению количества движения. Резюме: можно складывать друг с другом любые состояния, но они не должны страдать от очевидной неполноты данных и все должны быть выражены через состояния, отвечающие величинам из одного класса дружественности[249].

*****

Дискретное и непрерывное. Уединение и вдохновение. В 1925 г. идеи, видимо, витали в воздухе, но как бы то ни было, ключевое уравнение квантовой механики сформулировал Шрёдингер вскоре после Рождества того года, отправившись в самый восточный швейцарский кантон Граубюнден, чтобы немного расслабиться. Он провел рождественские каникулы, захватившие первую неделю января следующего года, на хорошо знакомой ему вилле «Д-р Хервиг» в горнолыжном местечке Ароза. С этого начался период его беспрецедентно плодотворной научной активности: он придумал квантовую механику («волновую механику», как он сам ее называл) на основе найденного им уравнения, в течение нескольких месяцев решил с его помощью ряд задач, а также, неожиданно для всех, установил взаимосвязь своей теории с «другой» квантовой механикой.

Первая полноценная версия квантовой механики («матричная механика») была создана за полгода до творческого взлета Шрёдингера и не содержала никакой волновой функции. В первой половине июня 1925 г. Гайзенберг понял, как описывать происходящее в атоме, оперируя только тем, что извлекается из экспериментов, и подавляя в себе желание наделять электроны какими-либо привычными свойствами. Главным экспериментальным фактом была дискретность – дискретность энергий, про которую еще с 1913 г. было понятно, что именно она должна отвечать за наблюдаемые спектральные линии. Гайзенберг смог правильно угадать, что в условиях этой дискретности играет роль координаты, а что – количества движения. Для каждой из этих величин ему понадобились бесконечные наборы чисел, порождаемые по определенным правилам и организованные в огромные (тоже бесконечные) таблицы. Правила обращения с числами, расположенными в таблицах, и определили то, что стали называть матричной механикой; это и была первая «настоящая» квантовая механика. Дискретность там совершенно очевидна: строки и столбцы таблиц нумеруются целыми числами, этим архетипом дискретности.

Квантовая механика Гайзенберга – операции с дискретными данными

Гайзенберг придумал свой формализм, тоже уехав в глушь, хотя и по другому поводу, чем Шрёдингер, – на остров Гельголанд в Северном море, ища там избавления от сенной лихорадки. Он, по-видимому, был там в одиночестве:

…я все больше сосредоточивал свои усилия на вопросе о соблюдении закона сохранения энергии и как-то вечером продвинулся настолько далеко, что сумел с помощью довольно-таки громоздких, по теперешним масштабам, вычислений определить отдельные члены энергетической таблицы… ‹…› Когда относительно первых членов закон сохранения энергии действительно подтвердился, мною овладело такое возбуждение, что в последующих вычислениях я постоянно делал ошибки. Было поэтому уже три часа ночи, когда передо мной лежал окончательный результат расчетов. ‹…› В первый момент я до глубины души испугался. У меня было ощущение, что я гляжу сквозь поверхность атомных явлений на лежащее глубоко под нею основание поразительной внутренней красоты, и у меня почти кружилась голова от мысли, что я могу теперь проследить всю полноту математических структур, которые там, в глубине, развернула передо мной природа. Я был так взволнован, что не мог и думать о сне. Поэтому я вышел в уже начинавшихся рассветных сумерках из дома и направился к южной оконечности острова, где одиноко выступающая в море скала-башня всегда дразнила во мне охоту взобраться на нее. Мне удалось это сделать без особых трудностей, и я дождался на ее вершине восхода солнца.

В. Гайзенберг. «Часть и целое»[250]

Матричная механика стала настоящим прорывом.

Уравнение Шрёдингера на первый взгляд не обещало никакой дискретности: оно имело дело с непрерывной функцией, плавно зависящей, скажем, от положения точек в пространстве. Определяющий успех Шрёдингера, собственно, и ставший оправданием его идеи, состоял в том, что (несколько помучавшись с математикой) он смог получить из уравнения дискретные значения энергии для электрона в атоме водорода (причем из самого метода было ясно, что область его применения очень широка). Многие сразу высоко оценили это достижение; впрочем, Гайзенберг публично высказывался об идеях Шрёдингера без большого восторга, а в частных письмах не скрывал сильнейшего неодобрения. Поскольку взгляды самого Шрёдингера на «смысл» его уравнения находились в состоянии становления, отвечать на критику Гайзенберга ему было непросто; кроме того, вопросы часто упирались в философские по существу представления о том, из чего состоит мир. Критику усилил своим логико-философским напором присоединившийся к Гайзенбергу Бор. Оба они видели фундаментальные элементы мира дискретными и в немалой мере «спрятанными» (даже несуществующими), пока тот или иной эксперимент не «выхватывал» какое-то одно число из тех, что были распределены по гайзенберговским таблицам. Шрёдингер же, глядя на свое уравнение, был вынужден говорить о непрерывном распределении чего-то, что было даже не так-то легко конкретизировать. Первоначально он пытался объяснить все содержание мира через волновую функцию: представить почти точечные частицы как «сгустки волн», описываемых волновой функцией, – так называемые волновые пакеты. Однако ему быстро стало ясно, что из этого ничего не получится, потому что развитие событий во времени в соответствии с его же уравнением приводит к тому, что эти волновые пакеты неизбежно расползаются, делаясь все шире, чего в природе заведомо не происходит, скажем, с электронами и протонами[251]. В только что возникшей волновой механике было что критиковать. Тем не менее в течение считаных месяцев, продолжавших период его феноменальной активности, Шрёдингер сумел показать, что вся матричная механика Гайзенберга содержится в его собственном подходе, основанном на волновой функции: некоторое математическое преобразование (из числа тех, которые пришлись бы по духу Фурье) производит из волновой функции те самые гайзенберговские таблицы и правила обращения с ними.

Начав работу на вилле, Шрёдингер вполне отдавал себе отчет в масштабе замысла: уже 27 декабря он писал Вину, что «сражается с новой атомной теорией», сетуя при этом на недостаточное знание математики, но выражая оптимизм, что все-таки сможет с ней справиться и результат окажется совершенно замечательным. Он видел перед собой четкую цель и путь к ней: получить уровни энергии атома водорода, обойдясь при этом без серии искусственных предположений, а опираясь только на уравнение, которое в скрытой форме должно было содержать все необходимое знание. Но, планируя свою поездку в горы, он определенно не собирался находиться там в полном уединении.

Как и смуглая леди, вдохновлявшая шекспировские сонеты, леди из Арозы может навеки остаться загадкой. Про ее имя мы знаем, что это не Лотте и не Айрин. По всей вероятности, она не звалась и Фелисией; муж ее потерял свое состояние в период послевоенной инфляции и уехал в Бразилию, оставив ее с маленькой дочерью на руках. Кто бы ни была его вдохновительница, Эрвин испытал впечатляющий подъем сил, и с этого начался двенадцатимесячный период его неослабевающей творческой активности, остающийся единственным в своем роде в истории науки. Когда его захватывала важная задача, ему удавалось добиться глубокой и абсолютной концентрации, задействуя при этом весь свой выдающийся математический потенциал.

У. Дж. Мур. «Шрёдингер: жизнь и идеи»

*****

Движение и энергия на вершине абстракций. Уравнение Шрёдингера определяет, как волновая функция меняется со временем, и поэтому говорит о том, каким будет будущее, исходя из известного настоящего. Чтобы описать, как оно это делает, надо подняться еще на пару ступенек вверх по лестнице абстракций[252]. Завязка этого сюжета, впрочем, обманчиво проста: энергия. Мы уже отмечали мимоходом на прогулке 10, что уравнение Шрёдингера готово произвести знание о будущем исходя не из устройства сил в системе, а из устройства там энергии. Вообще-то все то, что делают для нас законы Ньютона, тоже можно получить, имея дело только с энергией. После Ньютона развитие знания не стояло на месте, и к середине XIX в. полностью сформировалось понимание, как «энергия правит миром» – каким образом эволюция во времени определяется энергией системы, а точнее, зависимостью энергии от положений и количеств движения всех частей. (Как правило, через количества движения выражается энергия движения, а через координаты – энергия притяжения или отталкивания.) «Опознавательным знаком» здесь служит фамилия человека, больше всего сделавшего для описания движения под управлением энергии, – это Гамильтон. Он скончался в 1865 г. и не мог даже в принципе иметь отношения к какой бы то ни было квантовой теории, но придумал настолько превосходный способ описания движения, что у него нашлись аналоги и в квантовом мире.

Энергия определяет эволюцию

Уравнение Шрёдингера оставляет за энергией «руководство» эволюцией во времени. Эволюционирует же, собственно говоря, волновая функция. Но, чтобы «руководить», энергия должна превратиться в инструмент воздействия на волновые функции. В этом новом качестве энергия получает специальное название – гамильтониан (в честь, разумеется, ничего не подозревавшего Гамильтона). Не сильно кривя душой, можно сказать так:

Гамильтониан говорит волновой функции, как ей изменяться во времени.

Это тизер уравнения Шрёдингера

Подробности (еще раз спасибо Уилеру за идею высказываться выразительно, но неясно) скрыты, разумеется, в слове «говорит» – в том, что именно гамильтониан делает с волновыми функциями. Он представляет собой предписание, согласно которому из любой волновой функции производится какая-то другая.

Целый класс предписаний по изменению волновых функций и составляет верхний (по крайней мере на этой прогулке) уровень лестницы абстракций, и мы очень скоро сможем оглядеть весь пейзаж с небывалой высоты. От всех предписаний по превращению одних волновых функций в другие требуется соблюдение одного фундаментального условия, по существу представляющего собой (снова!) правило раскрытии скобок: применить данное предписание к сумме a₁ · |q₁⟩ + a₂ · |q₂⟩ – это то же самое, что сначала применить его к |q₁⟩ и |q₂⟩ по отдельности, а потом умножить возникшие новые волновые функции на числа a₁ и a₂ и все получившееся сложить (все происходит, как и при умножении числа на сумму, но только для более сложной операции, чем умножение)[253].

И вот главное: «сырьем» для производства таких предписаний оказываются привычные нам величины, такие как координаты и компоненты количества движения. Они получают новую жизнь в виде уже не обычных величин, принимающих те или иные числовые значения, а абстрактных явлений, распоряжающихся волновыми функциями. Превратим, например, координату x в такое предписание. В качестве обозначений часто используются буквы со шляпками: предписание, «прародителем» которого была координата x, можно обозначить как . Итог его «разговора» с любой волновой функцией |q⟩ записывают просто как |q⟩ – это не умножение, а результат воздействия, какая-то новая волновая функция, которую предписание производит из попавшейся ему под руку волновой функции (состояния). Как же конкретно оно, это , действует на встречаемые им волновые функции? Рецепт прост, но эффективен. Сначала перечислим все возможные значения координаты x₁, x₂, x₃, … (см. примечание 8 выше) и отвечающие им состояния |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩, …. Как мы хорошо помним, каждое такое состояние, например |x₂₂₂⟩, – это абстрактная конструкция; но при этом с каждым состоянием связано свое число (скажем, x₂₂₂ = 0,031 нм в мимолетном примере выше). Предписание говорит, что состояние |x₂₂₂⟩ следует просто умножить на число x₂₂₂ (да, 0,031 нм в данном случае). Таким же точно образом надо поступить и в остальных случаях: состояние |x₁⟩ следует умножить на отвечающее ему число x₁, состояние |x₂⟩ умножить на свое x₂ и т. д. Это так и записывается: |x₁⟩ = x₁ · |x₁⟩, и аналогично |x₂⟩ = x₂ · |x₂⟩ и т. д. Казалось бы, ничего интересного, почти казуистика: чтобы узнать, как действует икс-со-шляпкой, смотрим на значение координаты, которое прячется внутри состояния, и умножаем состояние на это значение; стоило ли ради этого изобретать этот икс-со-шляпкой? Стоило, потому что он в действительности может намного большее: он уже знает, как применить себя ко всем остальным состояниям! Дело в том, что любое состояние можно записать в виде «длинной суммы с произведениями» a₁ · |x₁⟩ + a₂ · |x₂⟩ + a₃ · |x₃⟩ +… с какими-то числами a₁, a₂, a₃ и т. д., а мы договорились, что каждое наше предписание снабжено рецептом раскрытия скобок: видя перед собой сумму волновых функций, оно набрасывается на каждое слагаемое по отдельности (а все получившееся следует потом сложить).

По-прежнему первостепенно важное правило – раскрытие скобок

Правило раскрытия скобок, простое само по себе, оказалось на удивление мощным средством; это, по существу, главное свойство квантовой механики, и оно не в последний раз заявляет о себе на этой прогулке. При этом из каждой «длинной суммы» под действием предписания получается состояние, ничем не похожее на исходное: да, каждое слагаемое в сумме всего лишь умножается на некоторое число, но каждое – на свое число! Если вы укоротили все ножки табуретки на трех ногах в одно и то же количество раз, то на ней по-прежнему можно сидеть, она просто станет более низкой, но если одну ножку вы укоротили в полтора раза, другую в два, а третью вообще удлинили на 10 % от ее первоначальной длины, то табуретку не так легко будет использовать по назначению. В «длинных суммах» число слагаемых существенно больше трех, и различные изменения в каждом из них изменяют всю сумму неузнаваемо.

Та же идея работает не только для x, но и для других координат, а равным образом и для количества движения вдоль любого из направлений: каждая из этих величин порождает предписание, по-своему изменяющее волновые функции. Как относиться к этой новой жизни привычных понятий? Координаты и компоненты количества движения на наших глазах сделали впечатляющую карьеру от скромных величин, которые в доквантовом мире всегда имели определенные численные значения, до «абстракций над абстракциями»: они стали правилами, предписывающими, во что превратить любую волновую функцию. В этом качестве они больше не выражаются числами, но в некотором роде они «представительствуют» от имени всех значений «своей» величины: наше , например, несет в себе знание о всех возможных значениях координаты. В разнообразных ситуациях может так оказаться, что и само задано некоторым сложным образом (скажем, «собрано» из других предписаний), да и состояния построены таким способом, что их свойства сразу не видны; и тем не менее если известно, что предписание отвечает координате x, то из него можно извлечь знание обо всех состояниях |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩, …, применяя это к произвольно выбранным состояниям. Почти всегда в результате будет получаться какое-то «совсем» другое состояние, но в редких случаях применение предписания приводит к самому безобидному из возможных изменению состояния: всего лишь к умножению его на число. А произойти это может только с теми самыми |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩, … – состояниями, отвечающими определенным значениям координаты, насколько бы замысловатая конструкция ни маскировала их природу. Про них говорят (пример удачной терминологии), что это собственные состояния нашего предписания . При этом у нас достаточно информации, чтобы выяснить, какое именно состояние из |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩, … нам встретилось: об этом сообщает то число, на которое состояние умножилось! Оно непременно равно одному из x₁, x₂, x₃, … – с каким из них совпадет, такое, значит, и состояние. Продолжая мой пример чуть выше: если, например, число равно 0,031 нм, то, значит, мы наткнулись на собственное состояние |x₂₂₂⟩.

Если вы сейчас спросите меня, а не таким же ли образом мы находим стационарные состояния и уровни энергии в атоме, то я вынужден буду разрушить всю оставшуюся интригу: да, применяя на этот раз гамильтониан (тоже предписание по изменению волновых функций, только отвечающее не координате и не компоненте количества движения, а энергии) ко всем волновым функциям, мы ищем среди них те, которые изменяются самым безобидным образом, т. е. всего лишь умножаются на число. Этим среди прочего и занимался Шрёдингер на вилле «Д-р Хервиг», попутно сетуя на свое недостаточное знание математики. Числа, которые возникают при этом в качестве множителей, и составляют список дискретных значений энергии. Эти собственные числа гамильтониана определяют те самые исключительные случаи, в которых электрон все-таки может стационарно существовать в атоме, – знание, которым мы пользовались в долг на прогулке 10.

Энергия превращается в гамильтониан

Но мы слегка забежали вперед. Все-таки мы еще не полностью построили гамильтониан. Сейчас исправим это упущение. Во-первых, с координатами y и z мы поступаем точно так же, как с координатой x, и превращаем их в предписания Во-вторых, надо еще надеть шляпу на количество движения – точнее, на каждую его компоненту[254]. А затем, задавшись какой-нибудь системой (например, десять электронов и ядро в атоме неона), мы выражаем энергию через координаты и количества движения, а потом в этом безобидном выражении заменяем все упоминания координаты x на предписания и аналогично поступаем с двумя другими координатами y и z. И сделать это надо для каждого участника событий, поэтому появятся свои предписания для каждого электрона. То же самое делается с количеством движения: для каждого электрона три компоненты количества движения превращаются в три предписания. После того как все обычные величины в выражении для энергии заменены на свои «продвинутые» версии со шляпками, перед нами оказывается предписание для изменения состояний/волновых функций. Оно чаще всего обозначается (по первой букве фамилии Hamilton), и это и есть гамильтониан – «новая жизнь» энергии в виде предписания по изменению волновых функций.

Никто, правда, не говорит «предписание по изменению волновой функции». Говорят «оператор» или (что правильнее, но длиннее) «линейный оператор». Слово «оператор» указывает на того, кто действует, управляет: в квантовой механике операторы действуют на волновые функции, изменяя их; вполне подходящее название. Технический термин «линейный» связан с линией довольно опосредованным образом и означает не «выстроенный в линию», а «всегда действующий по правилу раскрытия скобок и проходящий сквозь умножение на числа» (см. примечание 18 выше).

Пожалуй, стоит задуматься и признать, что перед нами – новый взгляд на природу вообще и движение в частности. Вместо привычных нам величин и их значений на первый план выходят отвечающие им операторы, предназначение которых – действовать на волновые функции (превращать одни в другие). Сами по себе операторы ни в какой мере не выражаются числовыми значениями. Но каждый оператор способен задавать волновой функции (состоянию) вопрос: не случилось ли так, что в данном состоянии определенная величина все-таки выражается числом? Состояний, для которых это случается, в определенном смысле «мало»; это собственные состояния данного оператора – те, которые под его воздействием претерпевают всего лишь умножение на число. У каждого предписания свой набор собственных состояний, которые так себя ведут, и набор собственных чисел, которые при этом появляются в качестве множителей. Эти числа (круг замкнулся!) и представляют собой все возможные значения данной величины – той, на которую мы и надели шляпу, чтобы получить данное предписание. Для гамильтониана это значения энергии, для оператора отвечающего количеству движения вдоль x, это возможные значения количества движения вдоль этого направления. То, что здесь происходит, называется квантованием: привычные величины превращаются в операторы и приобретают в этом качестве самостоятельное существование, а возможные численные значения каждой величины в конкретной системе возникают как продукт взаимоотношений этих операторов с некоторыми специально устроенными (собственными) волновыми функциями, уж какие найдутся. Это вершина нашего восхождения к абстракциям. Осталось только собрать их в уравнение Шрёдингера.

Кульминация! Вот как работает квантование

*****

Уравнение Шрёдингера. Самый главный среди операторов – гамильтониан («переделанная энергия»), потому что, согласно уравнению Шрёдингера, он определяет, как волновая функция изменяется с течением времени. Применение гамильтониана к (любой) волновой функции Ψ производит из нее какую-то «совсем другую» волновую функцию (какая она получится, зависит и от того, каков гамильтониан, и, конечно, от того, на какую волновую функцию он набросился). Уравнение Шрёдингера требует, чтобы волновая функция изменялась во времени так, чтобы темп ее изменения всегда был равен той волновой функции, которая получается после применения гамильтониана. Неформально говоря, скорость изменения волновой функции определяется тем, как гамильтониан «толкает» эту волновую функцию – именно в этом качестве он и управляет эволюцией. В действительности равенство должно иметь место с точностью до умножения на постоянную величину, одну всегда и для всех:

Этим регулируется изменение во времени любой и каждой волновой функции. С 1926 г. и поныне это уравнение применялось неисчислимое количество раз и продолжает с успехом применяться[255].

В качестве промежуточного итога наших странствий по миру труднопредставимого мы сейчас «получим атом» из уравнения Шрёдингера. Среди возможных зависимостей волновой функции от времени имеется класс простейших и в некотором роде «несущественных», когда темп изменения волновой функции максимально просто выражается через саму волновую функцию: вся левая часть уравнения Шрёдингера, (постоянная) · (темп изменения Ψ), просто равна той же волновой функции, умноженной на число: E · Ψ. Такие волновые функции/состояния называются стационарными состояниями; они встречались нам на предыдущей прогулке, это «постоянные-насколько-возможно» состояния[256]. Левую часть уравнения Шрёдингера, равную для них E · Ψ, в записи традиционно переставляют местами с правой частью, в результате чего получается уравнение для стационарных состояний

Дискретное из непрерывного: все дело в собственных состояниях

Поскольку гамильтониан получен из выражения для энергии, числа E здесь – это значения энергии. Какие? Те самые!! Те, которые может (которые только и может) иметь система с данным гамильтонианом в стационарных состояниях («несущественно» зависящих от времени). Из этого уравнения требуется определить как собственные значения гамильтониана – те значения энергии E, при которых найдутся (не равные нулю) решения Ψ, так и сами эти решения, по одному или по нескольку для каждого из найденных значений E. Именно так вычисляются дискретные значения энергии, при которых электрон может существовать в атоме. Последнее приведенное уравнение тоже называется уравнением Шрёдингера, но, в отличие от выписанного ранее, – стационарным уравнением Шрёдингера. В нем нет зависимости от времени; оно говорит, каким образом атом (молекула, …) может существовать «на постоянной основе», и к нему-то и надо обращаться по всем вопросам о «пойманном» движении (когда части системы не разлетаются прочь)[257].

Окинем еще раз взглядом стратегию квантования: каким же это магическим образом появляются дискретные значения энергии, которыми мы без особых объяснений, взаймы, пользовались на предыдущей прогулке – скажем, для электрона в атоме или для колебательных систем. Стартовые данные – это выражение для энергии: для энергии движения и для формы энергетической ямы (и для энергии взаимодействия между электронами, если их несколько). Пока все непрерывно, нет ни намека на дискретность. Ключевой шаг, и даже не шаг, а скачок, – изобрести волновые функции, а энергию превратить в предписание по изменению волновых функций – гамильтониан. Следующий шаг – найти те волновые функции, которые «максимально устойчивы» под действием гамильтониана, т. е. претерпевают всего лишь умножение на число. Это собственные состояния гамильтониана. Вместе с каждым собственным состоянием мы находим и то число, на которое собственное состояние умножается в результате применения гамильтониана, – это значения энергии E, при которых уравнение только и имеет ненулевые решения для волновой функции. Математика, через которую пробивался Шрёдингер в самом конце 1925 г., показывает, что для электрона в яме, для колебательной системы и вообще во всех случаях «пойманного» движения таких значений энергии «мало» – они дискретны. Этим задача про дискретные значения энергии и решена: не предполагая никакой дискретности заранее, мы ее получили! Но можно сделать большее: увидеть, как возникает матричная механика Гайзенберга. Вообще любую волновую функцию можно записать в виде «длинной суммы с умножениями», выразив ее через собственные состояния гамильтониана. Но тогда всякое другое предписание по изменению волновых функций, например отвечающее количеству движения, полностью определяется тем, что оно делает с этими собственными состояниями, – а это в точности описывается гайзенберговской таблицей. Таким образом через область абстрактного и пролегла дорога от непрерывного к дискретному[258].

Что делает электрон в атоме? Реализует собственные состояния гамильтониана. А энергия – повышенная, правда, в ранг гамильтониана – и в самом деле правит миром.

*****

Волновая функция в поисках реальности. От движения в том виде, как мы его хорошо знаем, среди окруживших нас абстракций осталось не так много. Координата и количество движения перестали быть просто числами и превратились в содержимое гайзенберговских таблиц или, что эквивалентно, в операторы, воздействующие на волновые функции, – какие уж тут траектории! Волновые функции – абстрактные сущности, из которых операторы производят другие сущности того же сорта. Комбинация нескольких операторов, называемая гамильтонианом, становится двигателем эволюции – с помощью уравнения Шрёдингера предписывает, как волновым функциям меняться во времени. В такой эволюции волновых функций теперь и предлагается искать ответы на вопросы, которые в наивной форме звучали как «что, куда и как движется?». При этом, без сомнения, воодушевляет тот факт, что из уравнения Шрёдингера можно получать дискретные значения энергии стационарных состояний, которые и наблюдаются в жизни. Но что все-таки происходит в реальности? И как установить с ней контакт, если рассуждаем мы в терминах абстрактных волновых функций? От высоких абстракций пора каким-то образом спуститься к реалиям, в терминах которых мы понимаем происходящее в нашем обычном трехмерном пространстве.

Но там движение было и остается для нас главным. Это основной индикатор событий. Мы судим о происходящем в мире по материальным последствиям: какой кусок материи из числа тех, за которыми мы способны следить, где оказался – как, другими словами, двигался. Стрелка прибора – пример такого «куска материи»: мы видим, куда она подвинулась; другой распространенный индикатор – затемнение или, наоборот, осветление на экране или фотопластинке, возникающее там, куда попало что-то материальное. И стрелка, и пятно – макроскопические объекты, даже если мы разглядываем их в микроскоп: мы все же фиксируем их состояние практически непосредственно. Напротив, самих электронов и их собратьев мы видеть не можем, и говорить о том, что происходит с ними, удается лишь в той мере, в какой мы способны построить цепочку рассуждений, ведущую от абстракции волновой функции к сдвигу индикатора в ходе эксперимента – к наблюдаемому движению/перемещению. Основополагающий пример тут – наблюдение (измерение) компоненты спина электрона. Спин – не движение чего-либо в пространстве, а «внутреннее» свойство элементарных частиц, поэтому наш шанс «измерить» спин состоит в том, чтобы каким-то образом «связать» его с движением в пространстве. В парадигмальном приборе, который служит этой цели, электрон отклоняется вверх или вниз в зависимости от того, какова компонента его спина, «вверх» (1/2 ħ) или «вниз» (–1/2 ħ). Это выражают фразой «движение электрона запутывается с его спиновым состоянием»; говорят еще, что пространственное состояние электрона запутывается с его спиновым состоянием. Устройство, которое создает это запутывание, называется прибором Штерна – Герлаха по имени авторов реального эксперимента (первоначально, в 1922 г., поставленного с атомами серебра), который сыграл ключевую роль в исследовании квантового мира[259]. Мимоходом мы уже встречали прибор Штерна – Герлаха на рис. 11.2; помимо своей актуальной физической реализации, он стал неотъемлемой частью многочисленных мысленных экспериментов по прояснению логической структуры наших представлений об устройстве мира.

Электрон, влетающий в этот прибор, описывается, конечно, и своим спиновым состоянием типа |↑⟩ или |↓⟩, и волновой функцией, сообщающей что-то о его локализации в пространстве. Для наших рассуждений достаточно записать пространственную часть его волновой функции в условном виде, как |посередине⟩ – где выражен тот факт, что электрон еще не отклонился ни вверх, ни вниз; остальные подробности нам сейчас не важны. А в качестве спинового состояния электрона сначала возьмем |↑⟩ – состояние со спином вверх[260]. Тогда, собирая вместе и спиновую, и пространственную части волновой функции, получаем состояние электрона |↑⟩ |посередине⟩. Записанные подряд – «перемноженные» – два | ⟩-состояния отвечают за разные степени свободы электрона: одно за спин, другое за локализацию в пространстве. Правила обращения с такими «составными» волновыми функциями/состояниями те же: их можно складывать и умножать на числа и всегда можно раскрывать скобки[261]. Возвращаясь к электрону: в результате взаимодействия с магнитным полем в приборе Штерна – Герлаха он пролетит сверху. Подробности происходящего описываются, разумеется, уравнением Шрёдингера; мы сейчас зафиксируем, что определяемая им эволюция развивается по схеме

Если же изначально электрон находился в состоянии |↓⟩ |посередине⟩, то из-за взаимодействия с магнитным полем он в результате пролетит снизу:

Это и позволяет нам фактически определить («измерить») спин, пользуясь тем, что взаимодействие гарантирует строгую корреляцию между спиновой и пространственной частями волновой функции.

Мы судим о внутреннем состоянии, используя его запутанность с движением

Макроскопические события, по которым мы делаем выводы, случаются с частями прибора. Изначально прибор находился в нейтральном состоянии означающем, что стрелка никуда еще не отклонилась или никакое пятно не возникло и т. п. Буква «п» чуть ниже строки напоминает, что речь идет о приборе. Его состояния – сложные волновые функции, «знающие» про все элементарные объекты, из которых прибор состоит, но сейчас для нас важны не подробности, а макроскопические картины. С учетом прибора первый из только что обсуждавшихся случаев эволюции выглядит как

Получилось, возможно, несколько тяжеловесно, но зато информативно. Здесь  – состояние прибора, в котором стрелка сместилась вверх, а «э» для ясности напоминает об электроне. Аналогично другой вариант эволюции системы «электрон плюс прибор» происходит по схеме

Собственно говоря, по возникшим состояниям прибора мы и различаем две ситуации – две возможности для спина электрона. Смысл формул понятен, а сами формулы приятно близки к картинкам. Мы даже дополнительно упростим запись, чтобы было легче следить за главным: уберем оттуда пространственную часть состояния электрона. Только что приведенный вариант развития событий тогда будет записываться просто как Пространственное же положение электрона предлагается просто держать в уме (оно однозначно восстанавливается по состоянию прибора). Это, возможно, не очень благодарно по отношению к движению, которое сыграло здесь роль приводного ремня от спинового состояния электрона к индикации прибора, но простота записи того стоит.

Формулы остаются прозрачными и столь же простыми, но с их «пониманием» возникают немалые проблемы, как только мы направим на вход прибора электрон, приготовленный в состоянии с определенным значением компоненты спина не вдоль вертикального направления z, а вдоль направления x.[262] В соответствии с тем, как нарисовано направление x на рис. 11.2, я продолжаю использовать обозначение |↙⟩ для состояния со спином вдоль x. Оно выражается, как мы видели, через два состояния «спин вверх» и «спин вниз» в виде их суммы: |↙⟩_э = |↑⟩_э + |↓⟩_э. Вспоминая еще и про прибор и раскрывая скобки, мы получаем начальное состояние полной системы «электрон плюс прибор»: |↙⟩_э |□⟩_п = |↑⟩_э |□⟩_п + |↓⟩_э |□⟩_п. Здесь записано, что у электрона нет определенного спинового состояния вдоль направления z, а прибор еще не сработал.

И вот главное, оно же максимально странное. Гамильтониан говорит волновой функции, как ей изменяться во времени, а если ему требуется сказать это сумме слагаемых, то он «говорит» с каждым по отдельности, после чего результаты надо сложить. А это значит, что в любой сумме волновых функций/состояний каждое слагаемое эволюционирует во времени независимо от другого или других: эволюция тоже оказывается суммой. Поэтому начальное состояние нашей системы «электрон плюс прибор» развивается во времени вот как:

Стоп! Как это понимать?

В результате эволюции, управляемой уравнением Шрёдингера, справа от стрелки спин вверх взял себе в компанию состояние прибора а спин вниз – состояние прибора Возникли два состояния прибора – со стрелкой вверх и со стрелкой вниз, – присутствующие параллельно в один и тот же момент времени. Добрались мы до этого описания событий с помощью простых рассуждений, основанных на принципах обращения с волновой функцией, включая уравнение Шрёдингера. Однако, исходя из всего опыта наших наблюдений, такой ситуации – прибора, находящегося в двух состояниях одновременно, – никогда не случается.

Правило раскрытия скобок приводит к странным выводам

Уравнение Шрёдингера, несомненно, прекрасная вещь, раз позволяет находить допустимые энергии электронов в атомах и много чего еще. Но, следуя ему и всем сопутствующим правилам, в первую очередь правилу раскрытия скобок, мы получили два различных «сосуществующих» состояния прибора. В отношении электрона мы готовы были согласиться с тем, что он может существовать в состоянии без определенного значения спина вдоль выбранного направления, потому что у нас нет способа увидеть это состояние непосредственно. Но за прибором мы отказываемся признавать такую возможность, потому что прибор – часть нашего макроскопического мира, про который мы на основе опыта знаем, что вещи там всегда находятся в каком-то одном состоянии.

Сам Шрёдингер нашел способ подчеркнуть возникающее здесь недоумение, используя для этого кошку. Соединяя его метод с измерениями спина, которыми мы сейчас заняты, рядом с прибором Штерна – Герлаха следует поместить клетку с подопытным животным, оснащенную устройством, приобретаемым за дополнительную плату. Если электрон влетает в прибор в состоянии со спином вверх, то смещение индикатора вверх вызывает срабатывание устройства, умертвляющего подопытного быстродействующим ядом. Если же на входе в прибор случился электрон в состоянии со спином вниз, то ничего неприятного не происходит и питомец остается целым и невредимым. Вот эти два варианта:

Пока нет ничего знаменательного, кроме жестокого обращения с животными; но если на вход поступил электрон в состоянии |↙⟩_э = |↑⟩_э + |↓⟩_э, то эволюция по Шрёдингеру есть просто сумма двух только что записанных эволюций:

|↙⟩_э |спит⟩_к |↑⟩_э |умерла⟩_к + |↓⟩_э |жива⟩_к.

Запутанные кошки в природе не наблюдаются

В возникшем состоянии нельзя сказать ничего определенного ни про спин электрона, ни про благополучие кошки. Можно сказать только, что ↑ и «умерла» составляют одну ветвь событий, а ↓ и «жива» – другую. (И нет комбинаций крест-накрест, таких как ↓ и «умерла».) Спиновое состояние электрона запутывается с состоянием кошки. Проблема в том, что такие запутанные кошки нам не встречаются, но непонятно, как «вычеркнуть» состояния электрона и оставить только какое-то одно состояние подопытного животного. И что вообще с ним происходит?

Реальные опыты с прибором Штерна – Герлаха ставились намного большее число раз, чем эксперименты с кошками. Что же, согласно опыту, происходит в приборе Штерна – Герлаха, измеряющем спины вдоль вертикального направления z, когда туда влетает электрон, приготовленный в состоянии с определенным спином в направлении x? В реальности случается или одно, или другое: причем при повторении опыта эти два исхода чередуются случайно, а в данном случае – с равной вероятностью, поэтому в достаточно длинной последовательности оба исхода случаются примерно одинаковое число раз, например Это значит, что каким-то образом реализуется или состояние электрона со спином вверх, или состояние со спином вниз. Наблюдения над квантовым миром говорят, что в нем нет детерминизма: одна и та же система при повторных испытаниях ведет себя по-разному. Единичный результат опыта поэтому непредсказуем, но при большом числе реализаций одной и той же ситуации оказывается, что «выпадение» различных исходов регулируется определенными вероятностями. Радиоактивное ядро распадается с некоторой вероятностью в течение заданного времени: в наборе идентичных ядер одни случайным образом распадутся, а другие нет. Случайность встроена в квантовый мир, и законы этой случайности проявляют себя в наблюдениях. Описание мира вынужденно ограничивается задачей предсказания вероятностей.

Это значит, что и уравнение Шрёдингера надо каким-то образом соединить с вероятностным описанием мира. Однако уравнение Шрёдингера ничего про вероятности не знает – это детерминистское уравнение, оно однозначно определяет волновую функцию в будущем, если известно, какая она сейчас (и, само собой, задан гамильтониан). Кроме того, оно – часть формальной математической схемы и само по себе ничего не говорит о том, что мы можем наблюдать в природе, когда желаем проверить свои теоретические выводы. Мы отмечали, что абстракция волновых функций имеет формальные сходства с таким менее абстрактным явлением, как волны. Но в «настоящих волнах» нет ничего похожего на вероятности. Тот факт, что для соответствия с наблюдаемым миром уравнение Шрёдингера должно каким-то образом вовлекать вероятности, – гром среди ясного неба с точки зрения аналогии между волновой функцией и настоящими волнами.

Уравнение Шрёдингера – это еще не всё. В нем нет вероятностей

*****

Правило Борна. «Добавление» вероятностей к уравнению Шрёдингера известно как правило Борна. Технически оно выглядит несложно; сложнее оказалось понять, что это правило «означает».

Правило Борна – одна из ключевых составляющих квантового описания природы. Я уже пользовался этим правилом несколько раз, надеясь не привлекать к нему слишком большого внимания. Пора сознаться в этом нарушении и представить объяснения. Несколько туманная формулировка, что, находясь в состоянии 10 · |q₁⟩ + 0,1 · |q₂⟩, электрон «предпочтительно присутствует в точке q₁ по сравнению с в точкой q₂», в действительности имеет точный смысл. Много раз создавая электрон в таком состоянии и измеряя его положение, мы будем обнаруживать его в точке q₁ с относительной вероятностью 10² и в точке q₂ с относительной вероятностью (0,1)². Если оставить на время в стороне некоторые тонкости, то правило Борна говорит, что коэффициенты перед различными слагаемыми в волновой функции надо возводить в квадрат, в результате получатся (относительные) вероятности[263]. В уже встречавшемся нам состоянии |↑⟩_э |умерла⟩_к + |↓⟩_э |жива⟩_к коэффициенты перед каждым из двух слагаемых одинаковы, поэтому исходы (жива или умерла) будут встречаться с 50 %-ной вероятностью. Если же электрон влетает в прибор в состоянии то эволюция, включающая кошку, приведет к состоянию согласно которому вероятности оказаться мертвой или живой равны 75 % и 25 % (два коэффициента в волновой функции уже выбраны так, что их квадраты – настоящие, а не относительные вероятности, равные 3/4 и 1/4).

Отложенная на время тонкость состоит вот в чем. Правило работает так просто, если все исходы взаимоисключающие. Дело так и обстоит, когда исходы – возможные значения какой-либо физической величины, взятые поодиночке, например – чтобы отвлечься от спина – различные значения энергии (которых, как правило, много или бесконечно много). Другой пример взаимоисключающих исходов – электрон в одной из неперекрывающихся областей в пространстве. Если электрон находится в состоянии a · |в области 1⟩ + b · |в области 2⟩ + c · |в области 3⟩, то его можно обнаружить в этих областях с (относительными) вероятностями a², b², c². При этом, например, вероятность обнаружить его или в области 1, или в области 2 получается простым сложением: она равна a² + b². Две части волновой функции описывают здесь взаимоисключающие события, которые никаким образом друг на друга не влияют, а потому и вероятности их определяются каждой частью волновой функции по отдельности. Но если области 1 и 2 перекрываются, то вероятность, что электрон окажется в любой из них, отражает факт этого перекрытия: она равна a² + b² + 2 · (число) · ab. По поводу того, как определить появляющееся здесь число, исходя из вида волновой функции, имеются ясные математические указания; они и выражают, насколько значителен эффект перекрытия. Для произвольных состояний |состояние 1⟩ и |состояние 2⟩ это число обозначают как ⟨состояние 2 | состояние 1⟩ и во всех случаях, когда оно не равно нулю, говорят, что эти два состояния интерферируют. Интерферирующие части волновой функции не определяют вероятности поодиночке, а дают еще и совместный вклад в вероятности. Краткий итог: правило Борна предельно просто в формулировке и применении, когда состояния не интерферируют, и требует кое-какой дополнительной математики, когда интерферируют.

*****

Главная тайна квантовой механики. Предложенное Борном в 1926 г. правило «вычислять квадраты» ни разу не подвело на практике. Идея принесла ее автору Нобелевскую премию (в 1954 г.). С тех пор появилось много работ, в которых с разных точек зрения показано, что ничем, кроме квадрата, вероятности определяться и не могут. Однако «все просто» только задним числом. Для начала статью Борна, в которой утверждалась связь волновой функции с вероятностями, не приняли к публикации в журнале, куда она была первоначально направлена. Она вышла в другом журнале, и случившееся промедление сыграло ключевую роль: Борн успел исправить свое первоначальное утверждение. Вывод, сформулированный в статье, состоял в том, что вероятность пропорциональна самой волновой функции. Текст остался без изменения, но при корректуре (т. е. в самый последний момент перед собственно печатью) было добавлено примечание, состоящее из одной фразы: «Более тщательный анализ показывает, что вероятность пропорциональна квадрату [волновой функции]».

К правилу Борна надо относиться как к закону природы: это обобщение наблюдений, которое отлично работает. Это вообще-то довольно удивительная привязка волновой функции, управляемой детерминистским уравнением, к вероятностной природе мира. Но это и на редкость непонятный закон природы. Вероятности чего? Того, что случится один из возможных результатов. Но вот логическая цепочка, заводящая в странное место. Если волновая функция – это какая-то сумма a · |q⟩ + b · |r⟩ + c · |s⟩ + …, а q, r, s и т. д. – это возможные значения некоторой величины (например, количества движения или энергии), то «случиться» может факт обнаружения (измерения) одного из этих значений, например q. Уже случившееся перестает быть одной из возможностей – оно становится фактом. Одновременно с этим все остальные возможности r, s и т. д. перестают быть возможностями; они не реализовались. Но факт о состоянии мира после измерения должен быть отражен в волновой функции. Та волновая функция, в которой содержались различные потенциальные возможности, больше не имеет отношения к изучаемой системе, а имеет отношение только та ее часть, которая соответствует свершившемуся результату, a · |q⟩. Все остальные слагаемые b · |r⟩ + c · |s⟩ + … в волновой функции должны исчезнуть, просто заменившись на нуль.

Проблема измерения: чем оно отличается от других процессов?

А это плохая новость, потому что такое изменение волновой функции – «схлопывание» от суммы к одному слагаемому – не может описываться уравнением Шрёдингера. Но сейчас будет еще хуже. «Выпадение» одного варианта из нескольких или многих приводит к отрицанию уравнения Шрёдингера всякий раз, когда… – когда что? Когда мы измеряем какую-то величину (компоненту спина; энергию; …), вынуждены заключить мы. Но, внимание, что такое измерение? Надо полагать, это нечто, производимое с помощью макроскопического прибора: поскольку сами мы макроскопические, мы можем судить о том, какой исход случился, по положению стрелки прибора, по пятну в определенном месте на фотопластине или по чему-то подобному. Кажется поэтому, что когда электрон вступает во взаимодействие с прибором, по существу становясь его частью, – вот тогда все и «случается»: прибор фиксирует определенное значение измеряемой величины, а волновая функция схлопывается в то состояние, которое отвечает измеренному значению. Однако откуда система из электронов, нейтронов и протонов знает, во-первых, что такая-то их конфигурация делится на исследуемую систему и измерительный прибор и, во-вторых, что именно сейчас, оказывается, измеряется компонента спина вдоль конкретного направления? Мы едва ли готовы думать, что обычное взаимодействие между изначально выбранным электроном и прочими электронами и протонами, составляющими прибор, начинает управляться особыми законами, стоит нам только решить, что сейчас происходит измерение. Сделаем еще одну попытку выкрутиться: быть может, какие-то особые законы, отличающиеся от «регулярных» квантово-механических, действуют для «большого» – макроскопического – прибора? Но если так, то где граница, на которой законы квантовой механики теряют силу и заменяются на что-то еще? Основой работы прибора в принципе может быть небольшое число простейших объектов, у которых нет шансов избежать эволюции по Шрёдингеру[264]. Где именно, спрашивается, надо перестать пользоваться уравнением Шрёдингера? (И чем тогда пользоваться?!)

Вне квантового мира подобные сложности не возникают, потому что там нет состояний с несколькими возможными значениями какой-либо величины и, соответственно, нет проблемы, как описать переход системы в состояние, отвечающее одному измеренному значению. Измерение там всего лишь фиксирует свойство, которое система имела и «сама по себе», до измерения. В квантовой же механике измерение сопровождается стягиванием потенциальных возможностей к одной актуальной; это меняет состояние системы, но способ, которым система переходит в новое состояние, непонятен. Это непонятное включает в себя и несколько тревожащую нелокальность. Например, электрон, имеющий возможность распространяться из одной точки в другую различными путями – скажем, через несколько отверстий, проделанных в экране, – описывается решением уравнения Шрёдингера, в котором все возможности его распространения присутствуют одновременно, каждая со своим коэффициентом. Измерение же координаты электрона может обнаружить его, например, проходящим через отверстие номер 3. Непосредственно перед измерением имелась вероятность обнаружить его проходящим через любое из отверстий, но одновременно со срабатыванием детектора вблизи отверстия 3 начисто исчезают шансы обнаружить его вблизи отверстий 1 и 2: волновая функция, которая содержала в себе возможности обнаружения электрона в разных местах в пространстве, внезапно изменилась и в той части, которая касается отверстий 1 и 2. Но каким же способом электрон, попавшийся в один из детекторов, передает в окрестности других детекторов (которые могут находиться далеко) информацию «в этот раз я точно не у вас»?

Правило Борна тем не менее работает: его практическое применение к результатам измерений неизменно сопровождается успехом, несмотря на зияющие логические дыры и, по словам Белла, «непрофессионально расплывчатое и неоднозначное в истолковании» понимание измерений, сопутствующее этому правилу. Со времени создания квантовой механики мы были свидетелями «столетия успеха» (без малого столетия в тот момент, когда я это пишу). Физики при этом в массе своей следовали рецепту «заткнись и вычисляй», что означает «решай уравнение Шрёдингера и применяй правило Борна в подходящих случаях, но не задавай уточняющих вопросов». Этот рецепт долго пользовался, да и продолжает пользоваться популярностью отчасти из-за практических обстоятельств, отчасти из-за авторитета Бора (который еще появится за следующим поворот этой прогулки); Бор не приветствовал дискуссий по поводу смысла квантовой механики за пределами близких ему идей (возможно, полагая, что его собственных дискуссий с Эйнштейном на эту тему было достаточно). Рецепт остается полностью пригодным для применения квантовой механики, но его массовое внедрение в качестве руководства для понимания квантовой механики сыграло свою роль в том, что имеющиеся проблемы не обсуждались, а заметались под ковер и ситуация с пониманием далека от идеала.

Волновая функция – не поле в пространстве

А проблема не одна. Сама волновая функция – это ненаблюдаемый абстрактный объект; более того, она даже не задана в физическом трехмерном пространстве. Например, волновая функция, описывающая атом гелия, зависит от трех точек в пространстве – положений двух электронов и ядра; зависимость от одной из них (положения ядра) можно изгнать несложным математическим трюком, но и после этого остается волновая функция Ψ(q₁,q₂), зависящая от двух точек. Да, она полностью определяется уравнением Шрёдингера, но спрашивать, каково ее значение, можно только указав две точки. Решив уравнение Шрёдингера, мы ничего не сможем сказать в ответ на вопрос, каково значение этой функции в какой-то выбранной точке q. В отличие, скажем, от магнитного поля, у волновой функции просто нет никакого значения ни в какой точке физического пространства[265]. Эту сложность с самого начала полностью осознавал Шрёдингер, и на это же место нажимали и все критики его волновой механики. И не только критики, но и те, кто сразу высоко ее оценил. В феврале 1927 г., т. е. примерно через год после появления уравнения Шрёдингера, Эйнштейн писал Лоренцу:

Квантовая теория подверглась полной шрёдингеризации, из-за чего имеет много практических успехов. Но это тем не менее не может быть описанием реального процесса. Здесь тайна.

Причина успеха полной шрёдингеризации – тайна

Рис. 11.3. Треки элементарных частиц в пузырьковой камере. Пролетающие заряженные частицы вызывают испарение жидкости, предварительно приведенной в метастабильное состояние; возникающие в жидкости микроскопические пузырьки разрастаются до размеров, позволяющих их сфотографировать

Нелегко придать смысл теории, в которой не постулируется совсем ничего, что «населяло» бы наше пространство и допускало бы определенную степень локализации. Мы настаиваем на том, чтобы имело смысл говорить о локальных элементах реальности (таких как электроны, протоны, нейтроны, а заодно мюоны и все остальные), относительно самостоятельно существующих в нашем трехмерном пространстве и вступающих в разнообразные взаимодействия друг с другом[266]. Толщина треков элементарных частиц, наблюдаемых в пузырьковых камерах (рис. 11.3), в десятки тысяч раз больше размеров атома, но все же движение каждой частицы – это череда событий в пространстве, очевидным образом отделенных от аналогичных событий, происходящих с другими частицами. Если одновременно с этим мы считаем, что ничего, кроме волновой функции, в самой теории не требуется, то именно из волновой функции должны тем или иным образом следовать утверждения о положении и движении чего-либо в пространстве – где, однако, сама волновая функция не определена. «Понимание» квантовой механики требует мостиков от абстракций к чему-то наблюдаемому, в терминах чего, собственно, мы и собираемся описывать мир. Предложения по организации такого понимания называются интерпретациями квантовой механики. Как устроены эти «мостики» и что имеет место в реальности? Представителем каких элементов реальности вообще является волновая функция? Это – Главная тайна квантовой механики.

На этом заканчивается абстрактная часть и начинается сложная часть этой квантовой прогулки.

*****

Реальны все!.Аспирант Уилера по имени Хью Эверетт III ушел из науки даже не после защиты диссертации, а за некоторое время до (правда, имея на руках написанную диссертацию) и трудоустроился на сверхсекретную аналитическую работу в интересах Пентагона[267]. Черновик же его диссертации Уилер рискнул отвезти весной 1956 г. в Копенгаген, чтобы обсудить там с Бором. Основу работы составляла идея, что никакого схлопывания волновой функции никогда не происходит. Никакие альтернативы, содержащиеся в волновой функции, не отмирают; наоборот, каждая из них одинаково реальна и «равнореально» происходит. С волновой функцией вообще ничего экстрашрёдингеровского никогда не случается, она развивается во времени детерминистски и несет в себе все возможности. Просто – всего лишь – Вселенная делится на несколько себе подобных, в зависимости от числа альтернатив. Запутанное состояние электрона и прибора встречавшееся нам ранее, для Эверетта означает, что прибор поделился на две версии и относительно состояния электрона |↑⟩_э он находится в состоянии а относительно состояния |↓⟩_э – в состоянии Каждому из слагаемых в сумме, сколько бы их ни было в более сложных случаях, отвечает своя вселенная, со своей версией наблюдателя, которому кажется, что наблюдаемая система перешла в одно из собственных состояний физической величины, которую измеряет прибор. Остальные вселенные отщепляются, контакт с ними оказывается затрудненным до степени полной его потери. В зависимости от некоторых деталей такие взгляды называют эвереттовской или многомировой интерпретацией квантовой механики[268].

Эверетт: происходит всё, только мы видим одно

Не очень понятно, на что рассчитывал Уилер: Бор был лидирующей фигурой в формулировании и пропаганде копенгагенской интерпретации квантовой механики[269]. Согласно этой системе взглядов, для придания смысла квантовому миру требуется мир классический, т. е. измерительные приборы, подчиняющиеся детерминистским, а не вероятностным законам, потому что никаких других приборов у макроскопических нас быть не может. Про свойства квантовой системы вообще можно говорить лишь постольку, поскольку указан экспериментальный метод их выявления. Внимательный анализ показывает, что некоторые методы нельзя применять одновременно; взаимная несовместимость определенных методов отражает несовместимость (на этих прогулках – «вражду») некоторых свойств. Эти наблюдения Бор развил в активно продвигавшуюся им идею дополнительности, временами понимаемую очень широко, практически на философском уровне. В экспериментах над природой дополнительность проявляет себя в том, что пользоваться можно только чем-то одним из взаимно дополнительных друг другу инструментов, а потому и говорить о взаимно дополнительных свойствах явлений можно только по очереди. В частности, одни эксперименты, использующие определенные инструменты, показывают, что квантовые объекты проявляют свойства волны, тогда как другие эксперименты с другими приборами свидетельствуют о наличии у тех же объектов свойств локализованных частиц (обстоятельство, выражаемое довольно расплывчатым понятием «корпускулярно-волновой дуализм»); и эти эксперименты мешают друг другу, их нельзя совместить. Есть и еще одна немаловажная подробность, которая прочно ассоциируется с копенгагенским пониманием квантовой механики, несмотря на то что сам Бор избегал ее упоминания: это тезис, что при взаимодействии с макроскопическим прибором волновая функция действительно выходит из подчинения уравнению Шрёдингера и схлопывается («коллапсирует», как это обычно называют) в зависимости от того, что измерил прибор. Поскольку измеряет он значение какой-либо физической величины, процесс измерения корежит волновую функцию так, что она переходит в одно из собственных состояний измеряемой величины – в то, которое отвечает именно измеренному значению; и случается это заведомо не по Шрёдингеру, а как-то еще (безжалостная математика запрещает коллапс для волновой функции, подчиняющейся уравнению Шрёдингера).

Коллапс не может регулироваться уравнением Шрёдингера

За этими взглядами стоял авторитет Копенгагена как места, связанного с созданием и разработкой квантовой механики, и, конечно, авторитет и активность самого Бора. В ключевом 1925 г. ему было 40 лет (а к моменту путешествия Уилера с диссертацией Эверетта на руках – уже 70), и, хотя он не был соавтором самых основополагающих работ эпохи Sturm und Drang, он во многом являлся вдохновителем и, как бы сейчас сказали, «лицом» построения квантовой механики в духе матричной механики Гайзенберга и проповедником дискретности квантового мира (а также дополнительности во взглядах на происходящее там)[270]. Копенгагенское понимание в значительной мере утвердилось по итогам дискуссий Бора с Эйнштейном о логической непротиворечивости и полноте квантовой теории. И тем не менее в его рамках так и не появилось ясного определения измерения или критерия того, какое взаимодействие считается измерением; не пояснялся и механизм схлопывания волновой функции, когда она временно (!) перестает подчиняться уравнению Шрёдингера. Деление природы на квантовый и классический миры осложнялось очевидной и уже упоминавшейся проблемой: вообще-то прибор состоит из того же, из чего квантовые системы, и к нему вообще-то надо применять общие для всех квантовые правила – или же заявить, что это не общие правила, но тогда провести границу. Как вообще возникает мир, где вещи ведут себя классически, если каждая деталь внутри него ведет себя квантово? Фон Вайцзеккеру принадлежит высказывание – сделанное, впрочем, уже на рубеже 1960–1970-х гг. – о том, что копенгагенская интерпретация сама нуждается в интерпретации. Применение логической схемы, не имеющей в своей основе четкого определения, требует умения приводить менее формальные, но убедительные аргументы, и Бору это определенно удавалось.

Идеи Эверетта Бор принял в штыки, потому что они противоречили копенгагенской интерпретации по нескольким ключевым пунктам. Общим, правда, был немаловажный тезис, что волновая функция дает максимально полное описание мира и кроме нее ничего не требуется; вероятно, на этом и основывались надежды Уилера. Но при всех попытках Уилера смягчить позицию Эверетта и представить его идеи как развитие копенгагенской интерпретации основное направление его мысли не вызвало у Бора больших иллюзий. Надо сказать, и Эверетт в письме к редактору научного журнала, написанном примерно год спустя, тоже не выбирал выражений:

Копенгагенская интерпретация непоправимо неполна из-за своей изначальной зависимости от классической физики… равно как и из-за своего философского уродства, когда «реальность» признается за макроскопическим миром, но в ней отказывают миру малого.

Эверетт предлагал последовательно лишить макроскопические приборы и вообще классический мир статуса подпорки мира квантового; все приборы и наблюдатели систематически описываются у него как часть мира, управляемого квантовой механикой (слова «прибор» и «наблюдатель» следует при этом понимать как примерно одно и то же, во всяком случае, в наиболее распространенных вариантах эвереттовской интерпретации). Нет ничего, кроме эволюции по Шрёдингеру, и, конечно, нет никакого коллапса волновой функции в результате измерения; он объясняется просто как субъективный опыт наблюдателей.

В самой ранней Вселенной нет места для классических приборов

По итогам переписки Уилера и Эверетта – вероятно, не самой приятной для обеих сторон – Эверетт представил к защите радикально сокращенный вариант диссертации. Научную степень он получил, уже работая военным аналитиком, а полный вариант диссертации увидел свет лишь много позднее. К развитию своих идей про делящиеся вселенные Эверетт больше не возвращался[271]. В то время опубликованные им работы прочли очень немногие, и его идеи пребывали в относительной безвестности; на них снова обратили внимание после 1970 г. Вклад в их популярность, с тех пор только набирающую силу, внесло и развитие квантовой космологии. В очень ранней квантовой Вселенной неоткуда взять макроскопические приборы, подчиняющиеся детерминистским законам и не являющиеся частью исследуемой квантовой системы; копенгагенское понимание квантовой механики оказывается там неприменимым даже в принципе, независимо от отношения к ее «философскому уродству». Интерес к многомировой интерпретации оживил и Дойч (один из основоположников теории квантовых вычислений), высказавший мнение, что квантовый компьютер потому бывает таким эффективным, что вычисления в нем выполняются в нескольких параллельных вселенных (впрочем, в той области знания едва ли найдется заявление сходного размаха, которое не подверглось бы критике со стороны других ученых; одна из написанных в ответ Дойчу статей выразительно называется «Квантовому компьютеру требуется всего одна вселенная»).

Позиция Эверетта выглядит безукоризненно логичной, особенно если принять идею – центральную для эвереттовских подходов в различных вариантах, – что волновая функция полна с информационной точки зрения, т. е. дает полное описание происходящего в мире. Если так, то делению волновой функции на несколько частей должно соответствовать и деление мира на столько же частей. На каждое состояние электрона, |↑⟩ или |↓⟩, – по своему «относительному» состоянию прибора, и по своей версии наблюдателя, который получил определенный результат и которому при этом кажется, что волновая функция электрона «схлопнулась» в одно определенное состояние, |↑⟩ или |↓⟩. (При этом трудно не обратить внимание на количество параллельных миров, которые должны были накопиться с учетом имеющегося возраста Вселенной, – миров, где распался не этот, а вот тот радиоактивный атом, а какой-нибудь электрон, пролетая мимо протона, не привязался к нему, образовав полноценный атом водорода, а улетел прочь, чтобы попытать счастья со следующим протоном, и т. д.)

Но в многомировых подходах требуется показать, каким образом каждый наблюдатель, «блуждающий» по ветвлениям вселенных, приобретает убеждение, что доступный ему мир управляется вероятностными законами, причем вероятности в точности таковы, как если бы применялось правило Борна. Единственная возможность для появления вероятностей в многомировых интерпретациях – субъективный опыт наблюдателя. В памяти каждого наблюдателя фиксируется развитие событий, которое, как стремился показать Эверетт, эквивалентно тому, что описывается коллапсом волновой функции. Но действительно ли этот наблюдатель будет воспринимать мир вероятностным – точно таким, каким его воспринимают все те, кто «просто» применяет правило Борна и убежден, что измерение сопровождается коллапсом волновой функции? Сложности тут можно подчеркнуть мысленным экспериментом, продолжающим традицию жестокого обращения с животными. Наблюдатель поставлен в ситуацию, когда ему предлагается на выбор поместить своего любимого кота в один из двух ящиков, А или Б. Рядом с ящиками по-прежнему расположен прибор, анализирующий компоненту спина электрона. Если окажется, что она направлена вверх, то смертельная доза яда распыляется в ящике А; если вниз – то в ящике Б (рис. 11.4). А теперь (внимание!) на вход прибора поступает электрон в состоянии |↑⟩ + 2 · |↓⟩. Бор, окажись он со своим котом в такой ситуации, поместил бы его в ящик А, без доли сомнения руководствуясь правилом Борна: относительные вероятности, что прибор измерит компоненту спина вверх или вниз, равны 1² = 1 и 2² = 4. Таким образом, питомец, помещенный в ящик А, получит яд с вероятностью в четыре раза меньшей, чем питомец в ящике Б. Конечно, эти вероятности не так много значат, когда один-единственный кот подвергается риску только один раз, и итог одного испытания может оказаться любым, но наблюдатель из г. Копенгаген по крайней мере может утешать себя тем, что руководствовался рациональной доктриной и сделал для благополучия животного все, что было в его силах.

Вселенная-то делится. А как получить вероятности?

Рис. 11.4. Прибор, состоящий из двух магнитов разной формы, создает неоднородное магнитное поле, которое отклоняет электроны вверх или вниз в зависимости от компоненты спина вдоль вертикальной оси

Но для наблюдателя, разделяющего взгляды Эверетта, все ветвящиеся версии развития событий одинаково реальны[272]. Ему доподлинно известно, что в результате опыта непременно возникнут два кота: один живой и один мертвый; рядом с каждым будет присутствовать и свой вариант наблюдателя: один, возможно, захочет покормить животное, другой же будет озабочен тем, как его похоронить. На основе какого рассуждения тогда предпочтительнее запереть кота в ящике А? Каким вообще образом рационально действующий наблюдатель придет к заключению, что квадраты коэффициентов перед различными частями волновой функции выражают вероятности всех событий, которые будут проходить перед глазами его копий, раз за разом переходящих из очередной родительской вселенной в дочерние? Оказывается, что в подходе, вообще никак не апеллирующем в своей формулировке к вероятностям, для решения такой задачи все равно требуются некоторые дополнительные предположения, более или менее правдоподобные и/или сильнее или слабее замаскированные; из-за этого схема теряет по крайней мере часть того изящества и законченности, на которые она претендовала сначала. Сам Эверетт считал, что вывел правило Борна как руководство, которому должен следовать рациональный наблюдатель в «типичной» вселенной (одной из тех, которых подавляющее большинство и которые не отмечены слишком особенными совпадениями ряда факторов), но его рассуждений в действительности недостаточно. Из одного только математического формализма, имеющего дело с волновой функцией, не могут следовать «мостики» к физическому миру; они должны появляться как дополнения к этому формализму.

Для самого Эверетта реальность всех частей волновой функции, соединенных знаком плюс, выражалась среди прочего в принципиальной возможности их взаимной интерференции в будущем. За интерференцию двух волновых функций или двух частей волновой функции |часть 1⟩ и |часть 2⟩ отвечает математически определенное число ⟨часть 1 | часть 2⟩, выражающее, если следовать правилу Борна, степень их совместного вклада в производство вероятностей, а в многомировых интерпретациях – степень влияния различных миров друг на друга (в некотором роде – биений между ними). Последователи Эверетта (сторонники большинства вариантов многомирового понимания квантовой механики) считают альтернативные миры полностью отсоединенными друг от друга. Кроме того, у них заметно сократилось количество ситуаций, в которых Вселенная делится. Это происходит только тогда, когда ветви волновой функции не могут снова интерферировать, в том числе и в будущем. Точнее говоря, требуется даже не строгое равенство нулю числа ⟨ветвь 1 | ветвь 2⟩, отвечающего за интерференцию двух ветвей; достаточно, чтобы оно было пренебрежимо малым. Необходимость знать, может ли оно оказаться заметно ненулевым когда-нибудь в будущем (что можно в принципе выяснить из уравнения Шрёдингера), несколько усложняет задачу. Расхождению ветвей волновой функции сильно способствует число вовлеченных частиц: для макроскопических объектов (например, кошки) волновая функция зависит от 10²⁴ или большего числа аргументов (скажем, точек в пространстве), а для интерференции с другой ветвью волновой функции необходимо, чтобы зависимости двух ветвей от каждого аргумента точно соответствовали друг другу. Серьезное препятствие такому соответствию – взаимодействие любой из этих 10²⁴ частиц с любым другим «внешним» объектом (не кошкой). Произвольные изменения, которые в результате такого взаимодействия случатся в одной ветви волновой функции, радикально уменьшают степень их интерференции; поэтому версии макроскопических объектов и «расходятся» по своим вселенным.

Можно ли доказать наличие параллельных вселенных? Дойч высказывал надежду, что это можно сделать на основе наблюдений за работой квантового компьютера. Свежий поворот темы предложил Тегмарк:

Как-то раз вечером, когда я подвозил Джона [Уилера] с работы в… пансионат для престарелых, где он жил, я с воодушевлением принялся рассказывать ему о совершенно безумной идее, которая как раз перед тем пришла мне в голову… Вообще, я много размышлял о том, можно ли придумать эксперимент, который убедил бы вас в реальности эвереттовских параллельных вселенных, и в конце концов его придумал.

Тегмарк предлагает соединить прибор, измеряющий направление спина, с ружьем; если измерение показывает спин вверх, то ружье без промедления стреляет – настолько быстро, что человек не может зафиксировать никакого временного интервала между исходом эксперимента и выстрелом. Если же измерение определяет спин вниз, то механизм срабатывает столь же быстро, но всего лишь издает громкий щелчок; ружье остается взведенным, через секунду на вход поступает новый электрон и все повторяется. Все электроны на входе в прибор приготовлены, разумеется, в состоянии, где нет определенного значения компоненты спина вдоль выбранного направления, скажем |↑⟩ + |↓⟩. Наблюдатель, следящий за работой такого устройства с безопасного расстояния в пару метров, а точнее, прислушивающийся к его работе, будет фиксировать случайную последовательность звуков выстрела и щелчков, вроде «бах, щелк, щелк, щелк, бах, бах, щелк, щелк, бах, щелк, щелк, бах» и т. д. Каждый раз, когда он слышит «бах», другой вариант того же наблюдателя в только что отделившейся вселенной, как мы теперь знаем, слышит «щелк», и наоборот. И вот главное в предложении Тегмарка: вы (именно и лично вы, а не помощник или робот, которого вы отправили фиксировать показания) теперь не просто наблюдаете за экспериментом, а приставляете к дулу свою голову. Равнодушная к вам и вашим близким Вселенная ветвится как всегда: в одной (непременно!) происходит «бах» с последствиями, в другой (столь же непременно и столь же реально) «щелк» без больших последствий. В одной, стало быть, вы больше ничего не воспринимаете, а в другой прекрасно себя чувствуете. Воспринимающий вы остаетесь только в одной из ветвей; вы каждый раз существуете в том из двух вариантов вселенной, где случается «щелк». Там эксперимент через секунду повторяется, снова возникают две вселенные, и вы снова продолжаете воспринимать окружающую действительность только в одной из них. Вашими ушами происходящая последовательность событий воспринимается как «щелк, щелк, щелк, щелк, щелк, щелк, щелк, щелк, щелк, щелк, щелк, щелк» и т. д. Пережив таким образом достаточно длинную серию испытаний, вы, без сомнения, убеждаетесь в реальности эвереттовских параллельных вселенных[273].

Квантовое бессмертие – доказательство параллельных вселенных?

В другой раз (видимо, еще до изобретения этого убедительного метода доказательства) Тегмарк спросил Уилера, действительно ли тот верит в квантовые параллельные вселенные. «Я стараюсь найти время, чтобы верить в них по понедельникам, средам и пятницам», – ответил Уилер.

*****

Часть и целое. Состояния системы из нескольких частей, которые Эверетт трактует как относительные состояния, чаще называют запутанными; мы возвращаемся к ним, потому что более близкое знакомство с ними того стоит. Слово ввел Шрёдингер в 1935 г.:

Я бы назвал это не просто каким-то свойством, но [главным] отличительным свойством квантовой механики, которое вызывает полный разрыв с классическим мышлением. В результате взаимодействия две [волновые функции] становятся запутанными.

В этом слове, ставшем термином, всегда подразумевается «запутанные друг с другом»: речь идет о системе, состоящей из двух или более частей, и «запутываются» волновые функции этих частей. Запутанных состояний страшно много, запутанность в том или ином виде рутинно возникает в результате взаимодействия различных частей системы друг с другом и имеет в своей основе законы сохранения: скажем, если полное количество движения в системе равно нулю, то, как бы ни разошлись ее части, оно остается равным нулю – пока, конечно, не случится взаимодействие с чем-то внешним; тогда в запутанность вовлекаются дополнительные участники, и в реальности за перераспределением запутанности быстро становится невозможно уследить. При обсуждении запутанности и ее свойств, как правило, имеется в виду как раз та ситуация, где взаимодействия с внешним миром не происходит и (две) частицы остаются запутанными только между собой, да еще способом, который мы им назначаем[274].

Запутанность демонстрирует непривычные взаимоотношения части и целого: из максимально полного знания о системе в целом не следует знания о состоянии ее частей – даже если эти части находятся так далеко друг от друга, что давно перестали взаимодействовать, а потому описание системы в целом, казалось бы, должно просто сводиться к описанию ее частей. Своими рассуждениями о запутанности Шрёдингер откликнулся на опубликованную ранее в том же году статью Эйнштейна, Подольского и Розена: они обратили внимание, что две частицы (два «электрона») могут оказаться в таком состоянии, что измерение координаты одной из них – скажем, частицы 2 – однозначно определит, какой результат получится при измерении координаты частицы 1, а если вместо координаты измерить количество движения частицы 2, то станет точно известно количество движения частицы 1; речь при этом идет о соответствующих (т. е. враждующих) координате и компоненте количества движения. К моменту, когда проводятся измерения, частицы находятся на сколь угодно большом расстоянии друг от друга и никакими сигналами не обмениваются. Возможность на выбор определить или координату, или количество движения частицы 1, ничем на нее не воздействуя, вызывает беспокойство, потому что частица 1 не может одновременно иметь точное положение и точное значение количества движения; но как ей не иметь и того и другого, если при любом варианте действий с частицей 2 – измерять ли ее координату или количество движения – частица 1 демонстрирует точное значение выбранной величины?

Электрон что-то утаивает?

Такие запутанные состояния пары частиц, как и другие на них похожие, с тех пор неизменно называются ЭПР-состояниями, по фамилиям трех авторов первой статьи на эту тему. Современная популярность таких состояний определяется тем, что это основа квантовой телепортации (которую мы обсудим отдельно) и квантовых вычислений, но в середине 1930-х гг., после публикации Эйнштейна с соавторами, едва ли кто-нибудь еще, кроме Шрёдингера, проявил к ним интерес. Характерные интонации звучат в его переписке с Эйнштейном летом того же 1935 г.:

Я тут забавляюсь тем, что, добираясь до сути ваших аргументов, будоражу самых разных умнейших людей: Лондона, Теллера, Борна, Паули, Сциларда, Вейля. Лучший из всех ответ я получил от Паули, который по крайней мере признает, что использование слова «состояние» для пси-функции – практика довольно сомнительная. Что же касается опубликованных откликов, которые я видел, то они менее выразительные… Картина такая, как если бы один человек сказал: «В Чикаго страшно холодно», а другой ответил: «Это заблуждение! Во Флориде очень жарко».

Цель самих ЭПР (видимо, не очень удачно выраженная в опубликованном тексте и потом пояснявшаяся Эйнштейном в частных сообщениях) состояла в том, чтобы указать на возможную неполноту копенгагенской интерпретации квантовой механики – на тот факт, что за кадром вполне могли остаться какие-то элементы описания природы, не охваченные волновой функцией. Если в волновую функцию «не помещаются» координата и количество движения одновременно, но электрон, подобно ученику, отвечающему на заранее неизвестный вопрос на экзамене, способен проявить знание и об одном, и о другом (хотя и только по отдельности), то, быть может, существует какой-то другой механизм, не связанный с волновой функцией, который точно определяет и координаты, и количества движения?! Что-то вроде шпаргалки, которую ученик умело скрыл от посторонних глаз, но которой руководствуется в своих ответах? На поставленные ЭПР вопросы взялся отвечать Бор; он так или иначе отбился от критики (хотя и не самым последовательным образом, как потом сам признавал), и обсуждение темы, в общем, заглохло. В 1951 г. к ней вернулся Бом в своей книге по квантовой механике, но и тогда большой вспышки интереса не произошло. По стечению обстоятельств незадолго до того Бом, систематически подозревавшийся в симпатиях к коммунизму, был арестован за отказ давать показания Комиссии по расследованию антиамериканской деятельности; когда он вышел из-под ареста, ему отказали в продлении контракта с Принстонским университетом, что разрушило имевшиеся планы на продолжение его сотрудничества с Эйнштейном. Бому, более того, пришлось уехать из США, а затем даже отказаться от гражданства. Потом все поменялось, но это было потом.

Бом перенес доводы ЭПР на случай спина электрона. Рассуждать в терминах спина оказалось проще. Требуются два электрона. Чтобы не путать их состояния, стоит присвоить им номера: | ⟩₁ и | ⟩₂. Нас интересуют только спиновые части; пространственную часть волновой функции двух электронов снова проще подразумевать, чем выписывать явно. Мы будем подразумевать, кроме того, что электроны разлетелись в разные стороны подальше друг от друга. Среди спиновых состояний двух электронов есть, например, такое: |↑⟩₁ |↗⟩₂. Читаем, что здесь написано: первый электрон находится в состоянии с компонентой спина вдоль вертикального направления z, а второй – в состоянии с компонентой спина в сторону, противоположную направлению x (см. рис. 11.2). Если по каким-то причинам нам хочется выразить происходящее в терминах компонент спина вдоль вертикального направления, то мы запишем это же состояние как |↑⟩₁ (|↑⟩_2– |↓⟩₂), где можно раскрыть скобки, в результате чего получится |↑⟩₁ |↑⟩_2– |↑⟩₁ |↓⟩₂. Перезапись, конечно, ничего не меняет, и вообще это была разминка. Но теперь посмотрим на как будто бы похожую конструкцию

|↑⟩₁ |↓⟩_2– |↓⟩₁ |↑⟩₂.

Это и есть ЭПР-состояние системы из двух электронов: запутанное состояние, которое само по себе ясно определено, но ни про спин первого, ни про спин второго электрона нельзя сказать ничего определенного! В отличие от только что приведенного «разминочного» состояния, в ЭПР-состоянии нет такой вещи, как спиновое состояние электрона 2 (как, разумеется, и электрона 1) относительно какого бы то ни было направления: это и не |↑⟩, и не |↗⟩, и не a · |↑⟩ + b · |↓⟩ (ни с какими числами a и b); спиновое состояние одного электрона просто не определено, хотя система в целом находится в ясно определенном состоянии.

Про спин каждой из запутанных частиц нельзя сказать ничего определенного

Попытаемся тем не менее выяснить что-нибудь, измерив спин электрона 2. В результате его взаимодействия с прибором вся система из двух электронов и прибора окажется в состоянии |↑⟩₁ |↓⟩₂ |⇓⟩_п – |↓⟩₁ |↑⟩₂ |⇑⟩_п. Независимо от своих предпочтений в понимании квантовой механики – делящиеся вселенные, или коллапс волновой функции, или еще какая-то интерпретация – наблюдатель зафиксирует один из двух случаев: |↑⟩₁ |↓⟩₂ |⇓⟩_п или |↓⟩₁ |↑⟩₂ |⇑⟩_п. Первый из них означает, что измерили спин электрона 2 и получили результат «вниз», а с электроном 1 ничего не делали, но он как-то «сам собой» безальтернативно оказался в состоянии со спином «вверх». Во втором случае для электрона 2 получили при измерении спин «вверх», и, хотя к электрону 1 никто даже не приближался, он оказался в состоянии со спином «вниз». А ведь до этих действий с электроном 2 про спин электрона 1 нельзя было сказать ничего определенного. По правилу Борна, кстати, вероятность получить каждый из двух вариантов |↑⟩₁ |↓⟩₂ и |↓⟩₁ |↑⟩₂ равна 50 % (потому что квадрат минус единицы равен единице); поэтому до измерений у нас нет совсем никаких прогнозов по поводу спина, который мы измеряем первым, но каким бы он ни оказался в результате измерения, спин другого электрона гарантированно направлен противоположным образом. И это еще не все! Из того, как записано наше ЭПР-состояние, может показаться, что выбранное вертикальное направление играет какую-то существенную роль, – но это только кажется. Дело в том, что, выбрав любое направление в пространстве, мы можем выразить состояния «вверх» и «вниз» для каждого электрона через состояния «вперед» и «назад» вдоль этого нового направления. Несложная математика устроена так, что то же самое ЭПР-состояние запишется в виде |вперед⟩₁ |назад⟩₂– |назад⟩₁ |вперед⟩₂, где мы снова видим комбинацию двух противоположно направленных спинов, но теперь для произвольного направления в пространстве! А это означает, что, измерив спин электрона 2 вдоль какого-то направления, мы будем уверены, что электрон 1 находится в состоянии с противоположным спином вдоль того же направления. И это – для произвольно выбранного направления!

Здесь и сосредоточен источник беспокойства, аналогичный таковому в исходной формулировке Эйнштейна, Подольского и Розена: электрон 1 не может иметь определенные значения спина вдоль двух различных направлений, но готов демонстрировать предсказуемое значение спина вдоль любого направления, стоит нам только измерить спин электрона 2 вдоль этого направления – притом что мы вообще не трогаем электрон 1. Расстояние между двумя электронами не имеет значения, оно вообще никак не задействовано в механизме этого фокуса, он происходит «сам собой». Следует ли, выражаясь словами Эйнштейна, видеть тут «нечистую силу, пугающую нас действием на расстоянии» (spooky action at a distance)?

Остановимся коротко на животрепещущем попутном вопросе: если в системе из двух частиц одна немедленно откликается на действие, произведенное над другой, то значит ли это, что мы обошли с фланга теорию относительности и можем посылать сигналы быстрее света? Нет, не можем, потому что спин электрона 2 (как и электрона 1) в ЭПР-состоянии не определен и не в нашей власти повлиять на то, получится ли при первом измерении спин «вперед» или «назад». Никакой чудесной передачи информации таким образом не получается (попробуйте-ка передать ответ «да» или «нет», используя клавиатуру, где клавиши и пересылаемые символы никак не коррелированы).

Обман теории относительности не предусмотрен

Еще надо оговориться, что ЭПР-пара в качестве предсказателя спина на расстоянии – система железно надежная, но одноразовая: предсказание сбывается только один раз после того, как ЭПР-пару приготовили. Если же после первого измерения спинов не отпускать электроны по своим делам, а продолжить измерять их спины вдоль каких-то других направлений, то никакой корреляции между результатами больше наблюдаться не будет[275]. Это, однако, не умаляет чуда, происходящего при первом измерении.

«Коммуницируют» ли между собой два электрона, запутанные в ЭПР-пару, как только измерили спин одного из них? Обмениваются практически мгновенными сигналами на расстоянии? Или же, кроме информации, содержащейся в волновой функции |↑⟩₁ |↓⟩₂ – |↓⟩₁ |↑⟩₂, имеется и какая-то дополнительная информация («шпаргалка»), которую электроны приобретают в момент создания ЭПР-пары и благодаря которой они «заранее знают», какие направления спинов будут демонстрировать, если попадут в измерительные приборы?[276] Любая такая информация называется скрытыми переменными или скрытыми параметрами, где слово «скрытые» – тоже фактически термин и означает «не учитываемые в волновой функции». Если электроны в ЭПР-паре действительно несут с собой скрытые параметры, то, значит, квантовая механика, имеющая дело только с волновой функцией, неполна. В таком случае она может быть чрезвычайно полезной и даже необходимой теорией, подобно тому, как полезно и часто необходимо рассматривать большие собрания молекул лишь статистически, имея дело с вероятностями, но эти вероятности тогда происходят не из основ мироустройства, а от незнания (а оперирующая ими теория – не фундаментальная). Неполнота, собственно, и была предметом беспокойства Эйнштейна, выраженного в ЭПР-статье; создатель теории относительности, с ее максимальной скоростью распространения любых воздействий, определенно не был склонен к другой альтернативе – нелокальности, т. е. мгновенной коммуникации между электронами на расстоянии после первого измерения[277].

Существуют ли свойства объектов независимо от наблюдений?

Вообще-то соблазнительно думать, что значения различных величин, которые частицы проявляют при измерениях, присвоены им, частицам, независимо от нашего каприза измерить одну или другую величину где-то в отдаленной части мира. Допущения такого типа поддерживаются идеями реализма. В широком смысле это убеждение, что свойства объектов существуют независимо от того, наблюдает их кто-то или нет; мир, другими словами, существует во всей своей полноте независимо от нас. Предыдущий опыт развития науки систематически указывал, что дело обстоит именно так. Но философские убеждения вынужденно уступают экспериментальным фактам, если таковые появляются. Выяснилось, что про наличие или отсутствие скрытых параметров можно высказать содержательное суждение, даже (почти) ничего не предполагая о механизме, который их производит. Правда, случилось это только в 1964 г., уже после смерти Шрёдингера; можно только пожалеть, что этого не произошло раньше.

Со времени появления статьи ЭПР и переписки Эйнштейна со Шрёдингером (в ходе которой, кстати, и возникла идея шрёдингеровской кошки) до возвращения к этой теме Бома прошло 15 лет. Это был период развития квантовой теории вширь и вглубь, а кроме того, и годы, пришедшиеся на Вторую мировую войну, поэтому не очень удивительно, что вопросы «объяснения» (интерпретации) того, что и так работало, отошли на второй план. Но и до следующего шага прошло еще 13 лет, в течение которых господствовало копенгагенское понимание квантовой механики и едва ли кто-нибудь всерьез интересовался «лишними» тонкостями. В 1964 г., однако, Белл понял, что кое-что из предполагаемого о скрытых параметрах в ЭПР-паре можно проверить, если задавать двум запутанным электронам более широкий круг вопросов по поводу не только точных, но и лишь частично сбывающихся предсказаний. Белл догадался, как извлекать информацию из неточных ответов, и, что оказалось совсем неожиданным, обнаружил существование четкого «экзаменационного критерия». Если очень вольно провести аналогию с некоторыми современными методами получения информации, то Белл сумел извлечь больше из статистики частично неточных ответов, чем из строго обоснованных «да/нет». Полученный им критерий стал известен как неравенство Белла, но часто говорят и о неравенствах Белла во множественном числе, включая в это понятие и те, которые были получены в развитие собственно первого неравенства Белла.

Как же работает и что показывает придуманный Беллом «тест на скрытые параметры»?

*****

Ловушка Белла. Чтобы повторить рассуждения Белла, нам понадобятся помощники. Созданием ЭПР-пар у нас будет заниматься Петр, а с измерениями над электронами ему помогают Анна и Яков (рис. 11.5; на одной из более ранних прогулок, совсем в другой, хотя тоже непростой, жизненной ситуации Петя уже оказывался примерно на полдороге между Аней и Яшей). Для разминки они проверяют, что стопроцентная корреляция действительно имеет место там, где ее и ожидают, – при измерении спинов двух ЭПР-электронов вдоль одного и того же направления. Петя весь день производит ЭПР-пары так, что электроны разлетаются в противоположные стороны, один к Ане, а другой к Яше[278]. Отправив очередную пару, Петя каждый раз шлет обгоняющую электроны радиограмму, в которой сказано, вдоль какого направления Аня с Яшей должны измерять спин в этот раз. Аня выполняет свое измерение первой. Результат ее измерения непредсказуем, но, как только какой-то результат получен, Аня делает предсказание о том, как направлен спин Яшиного электрона (а именно противоположно тому, что она получила в ходе своего измерения), и записывает это предсказание. Почти сразу после ее измерения Яша измеряет спин своего электрона (вдоль того же направления, указанного Петей) и тоже записывает результат. Они повторяют свои измерения в течение всего рабочего дня, а вечером встречаются за ужином или по зуму. Аня показывает список своих предсказаний о том, какое направление спина должен был определить Яша. Это случайный набор вроде –1_70°, +1_90°, +1_60°, +1_90°, +1_50°, –1_30°, –1_40°, –1_20°, +1_80°, +1_0°, –1_30°, –1_0°, +1_50°, –1_0°, +1_50°, –1_30°, –1_20°, +1_50°, +1_90°, –1_0°, +1_50°, +1_50°, –1_30°, –1_80°, +1_70°, –1_60°, +1_50°, +1_30°, –1_10°, –1_70°, …, где Аня на всякий случай указала углы, под которыми каждый раз был ориентирован прибор в соответствии с указаниями, полученными от Пети; друзья заранее договорились, что каждый измеренный результат «вперед», неважно, вдоль какой прямой, это +1, а результат «назад» это –1. Это намного упрощает дело по сравнению с использованием настоящих значений +1/2 ħ и –1/2 ħ, а смысл тот же: при каждом измерении получается одно из двух взаимно противоположных чисел. Яша показывает список своих измерений, который оказывается в точности таким же. Причина нам уже известна: волновую функцию ЭПР-пары можно с равным успехом переписать в виде |вперед⟩₁ |назад⟩₂ – |назад⟩₁ |вперед⟩₂ для любого направления в пространстве, и если Аня обнаружила электрон в состоянии |вперед⟩, то Яша без вариантов получает свой электрон в состоянии |назад⟩.

Рис. 11.5. Схема эксперимента с разлетающимися в противоположные стороны электронами, запутанными в ЭПР-состояние

Ночью Аня не может заснуть, размышляя над тем, были ли у электронов определенные спиновые состояния до измерений: электроны ведь уже находились в пути, когда, обгоняя их, пришла радиограмма, вдоль какого направления измерять спин, после чего Яшин электрон продемонстрировал «знание» о том, какой результат получила Аня для своего электрона, – хотя сами по себе результаты ее измерений чередуются случайно. Заодно Аня вспоминает, что убеждение в независимом существовании вещей и их свойств называется реализмом, задумывается, в каких отношениях состоят ЭПР-электроны с реализмом, и засыпает. Наутро Аня и Яша меняют тактику: они рассогласовывают направления, вдоль которых измеряют спины электронов. Каждый выбирает свое направление для измерения спина, после чего опыт повторяется много раз без изменения этих направлений (радиограммы от Пети теперь нужны разве что для того, чтобы придать всему происходящему более организованный характер). Аня по-прежнему пытается предсказывать спин Яшиного электрона как противоположный тому, который она измерила для своего электрона, но из-за рассогласования направлений теперь временами ошибается. Хитрость Белла состоит как раз в том, чтобы правильно обработать эти ошибки.

Среднее показывает, как коррелируют результаты А. и Я.

Ошибочность или точность Аниных предсказаний в каждой серии экспериментов – для пары направлений, которые выбрали они с Яшей, – определяется числом, которое показывает, как коррелируют полученные ими результаты. Чтобы получить это число, в каждом опыте следует взять произведение (результат А.) · (результат Я.), а затем сложить такие произведения по всей серии опытов – и поделить сумму на число опытов в серии. Получится среднее значение от произведения результатов Ани и Яши. Если почти на каждый результат +1 у Ани приходится результат –1 у Яши, а на каждый –1 у Ани приходится +1 у Яши, то в сумме появится много слагаемых (–1) · (+1) = –1 и среднее будет близко к –1. Если же при выпадающих у Ани плюс единицах Яша получает плюс единицы и минус единицы примерно поровну, то в сумме возникнет примерно одинаковое число плюс единиц и минус единиц, из-за чего среднее окажется близким к нулю. Какое среднее в действительности получается в каждой серии опытов, выразительным образом зависит от угла между направлениями, которые выбрали Аня и Яша (рис. 11.6)[279].

Рис. 11.6. Стрелки, обозначенные А и Я, показывают направления, вдоль которых измеряются спины двух электронов в ЭПР-паре. Угол между этими направлениями определяет, каким получится среднее от произведений результатов Ани и Яши. Это среднее выражает степень корреляции между двумя измерениями. Слева: угол между двумя направлениями близок к 0°, и среднее близко к –1. Это означает, что два спина почти всегда противоположны. В центре: направления перпендикулярны, и среднее равно нулю, корреляция между направлениями спинов отсутствует. Справа: угол между двумя направлениями близок к 180°, среднее близко к +1

Это общие допущения о том, как могут возникать скрытые параметры

Проникнувшись идеями реализма, Аня хочет объяснить все корреляции между результатами измерений тем, что уже в момент создания каждой ЭПР-пары электроны получили инструкции о том, какой спин покажет каждый из них при любом измерении, которому он может подвергнуться. Механизм, раздающий эти скрытые инструкции, должен демонстрировать требуемую степень случайности, ведь измерение, которое делает Аня, случайным образом дает +1 («вперед») или –1 («назад»). Чем и как регулируется эта случайность, Аня не знает, но готова допустить сколько угодно чередующихся вариантов с любым распределением вероятностей. Это значит, что если все возможные варианты «сговора» между двумя электронами собрать в список, то каждый пункт из списка – с номером 1, или 5, или 333, или любым другим – активируется с некоторой вероятностью (непрерывная нумерация «вариантов сговора» тоже возможна, я не буду на этом останавливаться). Далее, в каждом из таких пунктов определено собственно содержание сговора: записаны инструкции для каждого электрона. Первый электрон получает инструкцию «если тебя спросят, каков твой спин в направлении c, отвечай…», и это для каждого направления c в пространстве. Ответами могут быть, конечно, только +1 или –1, но выбор между тем и другим может как угодно зависеть от направления. Второй электрон одновременно с этим получает похожие инструкции со своими собственными предписаниями для различных направлений. Каким изощренным способом устроены эти инструкции, мы не знаем, но если такой механизм работает, то среднее от произведения (результат А.) · (результат Я.), конечно, зависит от его настроек. Вычисление среднего в этом случае включает в себя и «усреднение по вероятностям» – по тем, с которыми выпадают различные пары инструкций. Наверное, думает Аня, возможны такие инструкции и такое распределение вероятностей различных инструкций, что для средних от результатов измерений получатся в точности те же значения, что и при применении правила Борна.

И правда же, результаты для среднего можно предсказать исходя из правила Борна! Те, кто применяет правило Борна, даже не покидают собственного дома и уж тем более не вникают в заботы Эйнштейна о действии на расстоянии или неполноте; они глухи к удивлению Шрёдингера; они равнодушны к идеям реализма или локальности, к тому, носят ли электроны свои свойства с собой, или же их свойства возникают «в момент измерения»; они не интересуются тем, является ли коллапс волновой функции фактом или иллюзией; они никак не комментируют «смысл» или «происхождение» вероятностей в квантовой механике – они, другими словами, «заткнулись и вычисляют». Но если, продолжает Аня, работа скрытого механизма приведет к тем же результатам, что и правило Борна, то это полностью снимет напряжение по поводу действия на расстоянии: никакой передачи информации от одного электрона к другому не требуется, электроны уважают идеи реализма и в момент создания ЭПР-пары обзавелись шпаргалками, в которых записаны все значения спинов, которые они могут проявить при измерениях.

Но такие шпаргалки невозможны. Беллу пришла в голову мысль, что «настоящие» квантовые средние (средние по состоянию с использованием правила Борна) и «поддельные» средние (неизвестный механизм со встроенными в него вероятностями назначает спины ЭПР-электронам) могут не совпасть, как ни настраивай скрытый механизм. Белл обнаружил границу, за которую не может выйти никакая локальная схема по раздаче скрытых параметров. Дополнительного удивления заслуживает тот факт, что провести такую границу несложно, надо только взять не одно среднее, а несколько; их можно обработать таким образом, что скрытый механизм, каким бы он ни был, перестанет справляться. Вот что нужно делать[280]:

1. Аня выбирает для измерения спина какое-то направление a, а Яша – какое-то направление b. Они проводят серию опытов и вычисляют среднее от произведения (результат А.) · (результат Я.) для этой серии. То, что получится, надо как-то обозначить, пусть это будет Среднее(a, b).

2. Яша меняет направление на какое-то другое, b′. Снова долгая серия опытов и снова среднее, уж какое получится, от произведения полученных результатов. Для этого среднего используем обозначение Среднее(a, b′).

Это еще не все, что надо сделать, но уже начинает просматриваться коварная стратегия Белла: нужна определенная вариативность откликов. Ничего пока не подозревающая Аня продолжает вместе с Яшей:

3. Теперь Аня меняет свое направление на какое-то другое, a′, но Яша возвращается к первому, т. е. b. Среднее по серии этих опытов фигурирует под обозначением Среднее(a′, b).

4. И Аня, и Яша переходят на свои «новые» направления, т. е. a′ и b′, и вычисляют Среднее(a′, b′).

Несколько однообразно? Пожалуй, но вот и кульминация. Воспользуемся средними, полученными во всех четырех сериях, сложим три из них и вычтем четвертое: Среднее(a, b) + Среднее(a, b′) + Среднее(a′, b) – Среднее(a′, b′).[281]Если все средние в этой комбинации являются результатом «сговора» двух электронов, т. е. представляют собой «подделку», основанную на скрытом механизме раздачи предустановленных спинов, то полученная величина лежит в пределах от –2 до +2.

Неожиданно! Но доказать несложно

Это небольшое чудо стоит пережить еще раз: независимо от того, как именно работает скрытый механизм, при любых инструкциях для любых направлений и при любых сменах инструкций с любыми вероятностями, как и при любом выборе направлений a, a′, b и b′, указанная комбинация четырех средних не может выйти за пределы –2 и +2. После того как это утверждение сформулировано, доказать его несложно – это простая теорема. Утверждения типа «лежит в фиксированном интервале» (скажем, от –2 до +2) и называются неравенствами Белла.

Рис. 11.7. Измерения спинов в ЭПР-паре. Направления a и a′ используются по очереди при измерениях спина одного из электронов, а b и b′ – при измерениях спина другого электрона. Слева: пример взаимной ориентации. Справа: направления выбраны так, что обеспечивают максимальное нарушение неравенства Белла – CHSH (все углы между соседними прямыми равны 45°)

Из правила Борна тем временем следует вполне определенная зависимость средних от углов; в интересующей нас комбинации четырех средних распоряжаться можно тремя углами между направлениями a, a′, b и b′ (рис. 11.7 слева). Не для всех, но для большого множества углов комбинация четырех средних принимает значения, большие чем 2. Максимальное ее значение равно что превышает границу Белла в раза, и достигается оно в конфигурации, показанной на рис. 11.7 справа.

Средние по ЭПР-состояниям, вычисленные по правилам квантовой теории, нарушают неравенства Белла. Открытие Белла состояло в такой системе «контрольных вопросов», что из вида ответов можно было сделать заключение о наличии шпаргалки, неважно, насколько тщательно прописанной.

*****

Основные подозреваемые. Нарушение неравенств Белла не означает, что Белл «был в чем-то неправ»; он нашел эти неравенства как ограничение, которому с необходимостью подчиняются «подделки» под необычное квантовое поведение, обеспеченные «обычными» средствами (запутанные частицы получают локальные свойства, не помещающиеся в волновой функции, а распределение возможностей подчиняется некоторому вероятностному закону). Математический аппарат квантовой механики – применение правила Борна для вычисления среднего по состоянию – приводит к нарушению этих неравенств. Две теоретические схемы оказались в очевидном конфликте. Что же верно на самом деле?

В 1970-х гг. вопрос из абстрактно-теоретического начал превращаться в экспериментальный. Первые опытные проверки давались с большими усилиями и приносили не всегда железно убедительные результаты. Вместо электронов обычно используются фотоны, у которых тоже два спиновых состояния (в привычных нам терминах они проявляют себя как поляризация света). Я вынужден игнорировать подробности, потому что они потребовали бы отдельной Экспериментальной прогулки; а в таком случае я могу и дальше смело рассуждать про электроны. Новую главу открыли в начале 1980-х эксперименты под руководством Аспе, где впервые оперативно выполнялись переключения между «ориентациями» измерительных приборов. С современной точки зрения, как это почти всегда бывает, и эти работы можно критиковать за неабсолютную строгость сделанных в них выводов. Тем не менее они опытным путем показали, что верна квантовая механика: комбинации средних действительно нарушают неравенства Белла. С тех пор эксперименты многократно уточнялись различными способами, причем особое внимание уделялось пространственной разделенности приборов, чтобы световой сигнал не успевал дойти от одного до другого за время между измерениями. Относительно недавно начали использовать спутники, и база эксперимента превысила 1000 км. Результат неизменно подтверждается: неравенства Белла нарушаются. (Некоторые оригинальные подробности обсуждаются в добавлениях к этой прогулке.)

Мы не знаем, какие из предварительных условий неравенств Белла нарушаются

Нарушение неравенств Белла, таким образом, – экспериментальный факт. Сами по себе эти неравенства являются математической теоремой, которую можно доказать исходя из определенных предположений. Мы заключаем, что по крайней мере одно из этих предположений неверно. Интрига в том, что мы не знаем какое (или какие) – возможно, «самое безобидное». Неработающий двигатель может не работать по нескольким причинам, включая дурацкие, и диагностика требует дополнительного оборудования или заглядывания внутрь, а именно этой возможности мы лишены в отношении квантового мира. Главную тайну квантовой механики – что же представляет собой квантовый мир? – не так просто раскрыть, потому что у нас нет прямого доступа в этот мир. Пока ничего более революционного не придумано, нам остается логический анализ предположений, из которых следуют неравенства Белла. В не слишком строгой формулировке мы перечислили эти предположения, когда говорили о том, как мог бы действовать механизм, предустанавливающий значения спинов в каждой ЭПР-паре. Кажется, что свобода действий, которую мы ему предоставили, никаких ограничений не содержит, но в действительности они там есть. Например, электроны получают инструкции «если тебя спросят, каков твой спин в направлении c, …», но не инструкции «если тебя спросят, каков твой спин в направлении a, а твоего компаньона – про его спин в направлении b, …». Последний вариант откровенно нарушал бы локальность – требование, чтобы происходящее сейчас и здесь не зависело от происходящего на достаточном удалении. В течение последних 300 лет успехи науки в поиске фундаментальных механизмов явлений неизменно были связаны с установлением локальных причин (фундаментальный ответ на этот вызов – концепция поля; как мы помним, действие на расстоянии беспокоило уже Ньютона). В силу этого на нелокальность не хочется соглашаться «сразу», без давления абсолютно неотвратимых обстоятельств. Если допустить в «скрытом механизме» наличие нелокального воздействия, никаких неравенств Белла доказать нельзя и вся затея теряет смысл – электроны «просто» разговаривают друг с другом на расстоянии; раз мы капитулировали, даже не ввязавшись в бой, нечего и рассчитывать на приобретение хоть какого-то знания.

Условия теоремы/неравенств Белла подверглись тщательнейшему рассмотрению со всех возможных точек зрения; внимание обращалось в том числе и на «неявные» предположения, которые исходно не формулировались отчетливо ввиду их очевидности. Например, предполагается отсутствие сигналов, распространяющихся назад во времени; если бы такая возможность была, то информация об ориентации двух приборов Штерна – Герлаха могла бы передаваться в прошлое, к моменту создания ЭПР-пары, и «скрытый механизм» мог бы это учитывать, снабжая электроны свойствами так, чтобы «подделать» квантово-механическое поведение. Обсуждались и все прочие мыслимые аспекты сопутствующих рассуждений, вплоть до «вселенско-конспирологических» теорий (см. добавления к этой прогулке), не столько для того, чтобы всерьез утверждать, что они имеют место, сколько с целью максимально точно очертить все, от чего зависит выполнение неравенств Белла и что, следовательно, оказывается кандидатом на выбывание – предположением, неважно, насколько «естественным» или «очевидным», которое в природе не выполнено. Пример другого направления мысли – обсуждение возможности, что сами измерительные приборы «некоторое время» пребывают в состоянии, описываемом суммой нескольких слагаемых, и поэтому надо внимательно отнестись к однозначности их показаний; это, в свою очередь, влияет на вычисление средних и т. п. Буквально ни одного камня не осталось неперевернутым.

Нет локальному реализму!

Скорее всего

Основной кандидат «на выбывание» – локальный реализм. Реализм – это убеждение в независимом существовании вещей. Скрытые переменные наделяют квантовые явления набором свойств, существующих вне зависимости от всяких измерений. Локальность – это отсутствие действия на расстоянии. Оба эти понятия можно уточнять разными способами, но в целом картина выглядит так, что не могут быть одновременно выполнены два условия:

1. частицы, запутанные в ЭПР-пару, обладают свойствами до и независимо от наблюдений, в которых они проявляют эти свойства;

2. любая «коммуникация» – передача информации между электронами – ограничена конечной скоростью распространения сигнала в пространстве (скоростью света, разумеется).

Главная тайна квантовой механики, возможно, связана с вопросом «локальность или реализм?» – но может оказаться, что самый правильный вопрос мы еще просто не задали.

Нарушение локального реализма получается довольно тонким в том смысле, что, как мы видели, не позволяет передавать сигналы быстрее света; даже если мы будем настаивать на реализме, признав тем самым необходимую степень нелокальности, все равно получится нелокальность, не угрожающая основным положениям специальной теории относительности[282]. Но тяга ЭПР-пар к нелокальности имеет эффектное проявление, название которого отсылает к распространенному мотиву научной фантастики – телепортации; эффект квантовой телепортации (многократно уже подтвержденный экспериментально) не позволяет отправлять грузы на Проксиму Центавра или хотя бы на Марс быстрее света, но невольно перекликается с метафорой, использованной мной в начале этой прогулки. Я говорил, что состояния квантовых систем – это что-то вроде «высказываний» или даже «идей», а обычные высказывания можно передавать по телефону. Квантовая телепортация и правда позволяет передавать квантовое состояние по телефону, причем в виде неправдоподобно короткого сообщения – ценой использования «ресурса нелокальности», которым обладают ЭПР-пары (см. добавления к этой прогулке).

*****

Лоцманы спасают реализм. Локальные скрытые переменные невозможны, заключаем мы из экспериментального нарушения неравенств Белла. На нелокальные скрытые переменные этот запрет не распространяется. Принять, что они существуют в том или ином варианте, означает «допридумать» квантовую механику, введя в нее что-то помимо волновой функции; но ведь и сама волновая функция была в свое время придумана, и, может быть, мы просто остановились, не дойдя до конца пути, тогда как надо было сразу придумывать больше? Разумеется, не следует изобретать сверх меры, ведь хорошие научные теории по определению экономны в своих постулатах; но если мы настаиваем на реализме, то, быть может, несколько дополнительных сущностей – приемлемая цена за его спасение?

Изящная идея по спасению реализма требует совсем нечепуховых добавок к волновой функции, но получающаяся картина впечатляет: элементами реальности в нашем мире являются точечные частицы, обладающие –!! – определенным положением в пространстве и одновременно определенным количеством движения, т. е. движущиеся по траекториям. И это, хочется спросить, – квантовая теория? С ее принципом неопределенности, туннельным эффектом, дискретными состояниями и всем остальным?!

Да! Полноценная квантовая механика и четкие траектории одновременно. И полная ясность с базовыми элементами реальности. Но, правда, не бесплатно.

Первоначальную идею предложил Л. де Бройль в своем выступлении на Сольвеевской конференции 1927 г., но формирующееся квантово-механическое научное сообщество энтузиазма по поводу его предложения не проявило, и де Бройль оставил это направление мысли. Копенгагенские взгляды и вообще набирали силу, а среди конкретных возражений против теории де Бройля называлась присущая ей нелокальность. Оставалось четыре десятилетия до сколько-нибудь широкого осознания, что какой-то вариант нелокальности неизбежен, если требовать реализма. Лишь через двадцать с лишним лет к идеям де Бройля вернулся Бом, а спустя еще примерно такое же время Белл сетовал, что взгляды Бома – получившие название бомовской механики – не излагаются в стандартных учебниках. Эта «бомовская механика» (бомовская интерпретация квантовой механики, или интерпретация де Бройля – Бома) называется еще теорией волны-лоцмана[283]. Волновая функция в ней, как и полагается всякой теории со скрытыми параметрами, – не все, что есть в теории, да и, пожалуй, не главная ее часть. Главное же – точечные частицы. Правда, это совсем не частицы из классического мира: их движение определяется вовсе не законами Ньютона. Там, как мы помним, сила говорила количеству движения, как ему изменяться. Здесь же все иначе: уравнения определяют не изменения количества движения, а непосредственно само количество движения. А именно, количество движения каждой частицы определяется волновой функцией – тем, как она изменяется в пространстве вблизи точки, где находится эта частица: количество движения больше всего в том направлении, в котором волновая функция изменяется наиболее значительно. И правда, лоцман: полрумба правее, полный вперед! А откуда взять волновую функцию, которая бы этим занималась? А вот здесь нет ничего оригинального: из уравнения Шрёдингера.

Бомовская механика: волновая функция наделяет скоростью точечные частицы

Зафиксируем не совсем обычное положение вещей, взяв для примера систему из двух частиц, электрона и протона.

1. Волновая функция этой системы зависит от двух точек в пространстве; найти эту волновую функцию следует из самого обычного уравнения Шрёдингера.

Волновая функция, надо оговориться, в бомовской механике всегда зависит от положений в пространстве, в данном случае – от возможного положения электрона q_э и возможного положения протона q_п. Для каждой пары точек (q_э, q_п) волновая функция имеет какое-то значение ψ(q_э, q_п). Пока все стандартно, но далее следует совсем необычное.

2. В каждый момент времени электрон и протон находятся в конкретных точках в пространстве (строго локализованы).

3. Каждой частице при этом предписано иметь однозначно определенное количество движения. Оно задается тем, как волновая функция меняется в пространстве вблизи положения этой частицы. Например, если q_э – точка, где сидит электрон, то его количество движения определяется тем, в каком направлении и насколько резко изменяются значения волновой функции ψ(q, q_п), когда точка q кружит вблизи точки q_э.

Причина движения частиц, таким образом, – непостоянство волновой функции в пространстве, но это непостоянство не производит силу, под действием которой частица разгонялась бы или тормозилась (изменение количества движения в обычной механике), а без всякого разгона, сразу, наделяет частицу количеством движения (и тем самым скоростью).

Этих изобретений еще недостаточно, чтобы в теории появились вероятности – которые как-никак должны быть в квантовой механике. Заявленное движение частиц под управлением волновой функции хоть и необычное, но полностью детерминированное, а уравнение Шрёдингера само по себе тоже детерминистское. Здесь в дело вступает самое, пожалуй, остроумное изобретение.

4. Заданная волновая функция электрона и протона не определяет положение электрона и протона однозначно. В природу встроен неустранимый «люфт»: при повторении одного и того же эксперимента с одной и той же начальной волновой функцией окажется, что частицы, которыми она руководит, располагаются в начальный момент времени каждый раз в несколько различных точках. Случайность в их разбросе по различным точкам контролируется – разумеется, волновой функцией: вероятность, с которой частицы занимают точки в пространстве в «начальный» момент времени, определяется квадратом волновой функции[284].

Движение частиц полностью детерминистское, но начальные условия – нет! Под управлением одной и той же волновой функции они будут стартовать с несколько различных положений, а потому и в дальнейшем двигаться несколько по-разному – по однозначно определенным, но меняющимся от раза к разу траекториям. Глубоко внутри себя движение частиц в бомовском мире детерминированное, но обитатели этого мира видят неустранимую случайность.

И вот теперь – бонус, полагающийся за удачное придумывание и имеющий вид красивого математического наблюдения, которое, собственно, и делает все предприятие осмысленным: если в начальный момент времени распределение частиц задается квадратом волновой функции, а далее частицы движутся по (необычному) правилу 3, то и во все последующие моменты времени распределение частиц задается квадратом волновой функции – той, которая «образуется» к тому моменту в согласии с уравнением Шрёдингера. Не требуется никакого правила Борна, вступающего в действие при «измерениях», – измерения вообще никакой специальной роли не играют; но при повторении опыта с одной и той же волновой функцией частицы, которыми она управляет, оказываются и могут поэтому быть обнаружены («измерены») в той или иной конфигурации с вероятностями, которые всегда получаются такими же, как «в Копенгагене».

Бом: волновая функция выражает наше незнание

Эти изобретения работают: применяя такую схему, можно последовательно описать (предположительно) все квантово-механические явления, с теми же результатами, что и с аксиомой коллапса и сопутствующими ей идеями. При этом нет никакой проблемы измерения, воздействующего на измеряемую систему и участвующего в наделении ее свойствами; наоборот, измерения просто выявляют то, что имелось в системе, но чего мы не знали. Никакие наблюдатели или макроскопические приборы не требуются для придания смысла происходящему. И нет никакого коллапса. Все эффекты квантовой механики, странные и менее странные, возникают полностью «реалистически»: все свойства, которые любая система или ее часть может проявить при измерениях, явным образом наличествуют до измерений (с небольшой «тонкой настройкой» для спина – что, возможно, не очень удивительно, потому что спин не имеет классического аналога). Все «квантово-механические недоумения» таким образом развеиваются. Никакие приборы не «зависают» в комбинации двух состояний, кошка Шрёдингера всегда или жива, или мертва – в зависимости от того, как в данном конкретном случае пролегла траектория электрона, чуть выше или чуть ниже некоторой разделительной линии.

При этом бомовская механика, раз ее предсказания неотличимы от того, что дает правило Борна вместе с коллапсом, нарушает неравенства Белла (иначе мы бы ее и не обсуждали). Добиться этого удается за счет нелокальности, действующей «через» волновую функцию. В системе из двух или более частиц волновая функция зависит от положения каждой из них; в только что обсуждавшейся системе из электрона и протона количество движения, которое предписано иметь электрону, определяется тем, насколько волновая функция ψ(q_э, q_п) чувствительна к «шевелению» положения электрона q_э. Но ведь волновая функция зависит, конечно, и от q_п – положения протона в тот же момент времени! Если мы вычислили количество движения электрона при некотором положении протона, то стоит только «подвинуть» протон, как и количество движения электрона может несколько поменяться. И происходит это при любом расстоянии между двумя частицами. Это и есть самая настоящая нелокальность. В точности она же обеспечивает и обмен информацией между частицами при удаленных измерениях. Как только Аня измеряет нечто, скажем про протон – а дело всегда сводится к его конкретному положению Q_п, – волновая функция всей системы конкретизируется, в ней остается неизвестным только положение электрона, положение же протона надо взять равным в точности тому, которое было измерено: ψ(q_э, Q_п). Происходящее в дальнейшем с электроном чувствительно к актуально зафиксированному положению протона – неважно, насколько далеко этот протон находится.

Кто боится нелокальности?

На упреки в нелокальности, предъявляемые бомовской механике, ее последователи отвечают примерно так: во-первых, неравенства Белла показывают, что если настаивать на реализме, то какую-то нелокальность приходится допустить в любом случае; а во-вторых, бомовская механика как раз и делает неизбежную нелокальность совершенно явной, а такое можно только приветствовать. И кстати! – хотя и немного в сторону – Белл вообще-то занялся своими неравенствами, размышляя не над чем-нибудь еще, а над бомовской механикой. И действительно, вот характерные риторические вопросы от Белла (а если называть вещи своими именами, то их адресат – засилье копенгагенской интерпретации). Отметив, что даже Паули, Розенфельд и Гайзенберг не смогли высказать никакой более разгромной критики бомовской концепции, кроме как заклеймить ее «метафизической» и «идеологической», Белл продолжает:

Почему картину волны-лоцмана игнорируют в учебниках? Не следует ли ее преподавать – не как единственный вариант, но как средство против повсеместно распространенной безалаберности? С тем чтобы показать, что на неотчетливость, субъективизм и индетерминизм нас обрекают не экспериментальные факты, а сознательно сделанный теоретический выбор?

Скрытые переменные – траектории точечных частиц – предлагаются как основной элемент реальности, но, что несколько парадоксально, их «скрытость» означает, что мы не можем выследить никакие их проявления в окружающей нас реальности, кроме как в виде обычных квантовых эффектов. Это значит, что у нас нет способа доказать их существование (и они не оказывают обратного воздействия на волновую функцию). В таком случае трудно оспорить взгляд на бомовские траектории частиц как на придуманные траектории. Придуманы они сверх меры или нет? Приемлема ли цена, которую предлагается заплатить за то, чтобы логически последовательно объяснить квантовую теорию, оставаясь в рамках реализма, зависит в том числе и от того, какое значение придавать реализму.

Самая существенная проблема бомовской механики не в том, что она «просто нелокальна», а в том, что совсем не понятно, как можно было бы обобщить ее с учетом требований специальной теории относительности. В этой механике существенно, что происходит с другими частицами «в данный момент времени»; при объяснении ряда эффектов с запутанными парами важно, что один из электронов долетает до измерительного прибора первым. Но если мы вспомним, что из-за абсолютности скорости света и одновременность, и временной порядок событий, разделенных в пространстве, относительны, то вся схема рушится; бомовскую механику не получается (очень трудно?!) построить, не предполагая наличие абсолютного, одинакового для всех времени[285]. Придуманные траектории, движение по которым управляется волновой функцией, элегантны, но в нашем мире действует специальная теория относительности, и все, что совсем с ней не примиряется, едва ли имеет шансы быть частью природы на фундаментальном уровне[286].

*****

Вспышки в пустоте. Вообще-то все время получается так, что, говоря о какой-либо интерпретации квантовой теории, ее по разным поводам сравнивают с копенгагенской, несмотря на неразбериху, которая там творится с измерением и коллапсом. Однако в рассуждениях коллапс оказывается очень удобной вещью. Может ли так оказаться, что в Копенгагене и идею коллапса тоже правильно угадали – быть может, это физический процесс, который происходит в природе? Он мог бы являться не результатом непостижимого влияния «измерения» с помощью макроскопического прибора, а законом мироздания, по ясным правилам действующим в отношении самих квантовых объектов. Правда, от такого закона требуется, как кажется, трудно реализуемое: чтобы коллапс, происходящий по своим внутренним законам, не портил нам волновые функции огромного числа систем (начиная, конечно, с атомов), но «сам собой» случался бы всякий раз, когда задействован макроскопический прибор.

А что, если коллапс – физический процесс? Только очень редкий

Закон природы с таким «умным» действием возможен. Надо только предположить, что волновая функция каждого электрона определенным образом коллапсирует – «суживается» – в среднем каждые 100 000 000 (сто миллионов) лет. Уравнение Шрёдингера для каждого электрона кратковременно нарушается случайным образом примерно с этой периодичностью (стоит сразу же обратить внимание, что выслеживать такое событие для одного отдельно взятого электрона – занятие малоперспективное). Редкие события самопроизвольного коллапса имеют точное математическое описание: при каждом таком событии поправляется зависимость волновой функции от точек в пространстве – она умножается на узкий ограничивающий профиль типа более «острой» кривой, показанной на рис. 11.8 слева. Главное свойство этого профиля – очень быстро становиться практически равным нулю при удалении от своего центра. На том же графике изображена такая зависимость волновой функции от одной из координат, в силу которой она заметным образом отлична от нуля в более широком интервале. Умножение на узкий профиль сужает эту волновую функцию: ее новая зависимость от рассматриваемой координаты изображена на рис. 11.8 справа. В трехмерном пространстве профиль является одинаково узким по всем направлениям, так что координатная зависимость волновой функции «суживается» по всем направлениям. Среднее время ожидания такого сужения (около 100 млн лет) – новая фундаментальная постоянная природы; ширина регулирующего профиля – еще одна постоянная, тоже имеющая странное на первый взгляд значение около 10^–5 сантиметра (десятая доля микрона). Это расстояние в сотни или даже в тысячу раз больше характерного размера атома, а это значит, что для волновой функции электрона в атоме картина в некотором роде противоположна той, что изображена на рис. 11.8 слева: область, где волновая функция сколько-нибудь заметно отлична от нуля, в 1000 раз уже, чем профиль, а это значит, что вся эта область помещается там, где высота профиля максимальна – и где его «крыша» практически плоская. Но – кажется, я забыл сразу сказать – высота этой крыши равна 1, так что умножение на эту единицу ничего с волновой функцией не делает. Узкие волновые функции практически не меняются ни за сотни миллионов лет, ни за какое другое время, в атоме все остается без изменений! Правда ведь, здорово?

Рис. 11.8.Слева: зависимость величины волновой функции от координаты точки (темная кривая) отлична от нуля в некотором интервале. Ограничивающий профиль (серая кривая) заметно отличен от нуля в более узком интервале. Справа: умножение волновой функции на ограничивающий профиль сужает пространственную область, в которой волновая функция может сколько-нибудь заметно отличаться от нуля

Зато (раз в 100 млн лет) радикально меняются волновые функции с «растекшейся» зависимостью от точек в пространстве. Например, если электрону доступны две дороги (скажем, пролететь сверху или снизу в приборе Штерна – Герлаха), то в его волновой функции это отражено примерно так, как показывает двугорбая кривая на рис. 11.9 слева: горбы отвечают двум разным пространственным областям, и электрон с той или иной вероятностью может быть обнаружен в каждой из них, что (с некоторой долей условности) закодировано в его волновой функции a · |в области 1⟩ + b · |в области 2⟩. На такую волновую функцию умножение на ограничивающий профиль производит радикальный эффект: шансы не исчезнуть остаются только у какого-то одного горба, как это показано на рис. 11.9 справа; во всех точках вдали от центра профиля волновая функция умножается на число, практически равное нулю; в результате электрон оказывается локализован в пределах не более чем 10^–5 сантиметра где-то в одном месте.

Рис. 11.9.Слева: волновая функция (темная кривая) заметно отлична от нуля в двух различных областях, показанных в одномерном случае как два интервала. Ограничивающий профиль (серая кривая) может возникнуть только в одной из этих областей. Справа: умножение волновой функции на ограничивающий профиль оставляет только один из двух интервалов (областей), где волновая функция заметно отлична от нуля

Пора сказать, где же случаются эти коллапсы – умножения на ограничивающий профиль. Это, как и выбор момента для такого события, тоже случайная величина, но случайность регулируется вероятностями, а эти вероятности – вы правильно подумали! – определяются с учетом имеющейся волновой функции. Резюме в довольно нестрогом виде состоит в том, что коллапс вероятнее там, где волновая функция «выше» (при этом наиболее чувствительны к результату коллапса, как мы видели, «широкие» волновые функции). Математические детали организованы таким образом, что коллапс и в самом деле происходит чаще всего там, где «измерение» скорее всего и обнаружило бы частицу. (Конечно, никаких «измерений» в качестве причины коллапса здесь не требуется. Коллапс происходит спонтанно, но, как мы очень скоро увидим, в присутствии макроскопического прибора все выглядит в точности так, как если бы это самое присутствие вызывало коллапс.) Я опустил бы подробности, если бы в них не участвовало гауссово размытие, по разным поводам применяемое при обработке изображений. Математически при гауссовом размытии используется в точности такой же ограничивающий профиль (он и называется гауссовым – и в методах обработки изображений, и в теории спонтанного коллапса). Правда, для реализации размытия надо не умножать его на функцию, описывающую изображение, а выполнить операцию так называемой свертки с ней. Центр профиля для этого помещается в выбранный пиксель, после чего содержимое пикселя заменяется на среднее по всем пикселям, но в это среднее более далекие пиксели вносят все меньший вклад, потому что их содержимое умножается на соответствующую высоту профиля, которая быстро убывает по мере удаления от центра[287]. Точно так же определяется и вероятность коллапса с центром в той или иной точке! Требуется вычислить свертку квадрата волновой функции с ограничивающим профилем: там, где результат свертки больше, вероятность коллапса выше.

Эти идеи спонтанного коллапса обычно обозначают аббревиатурой ГРВ, образованной из первых букв фамилий Гирарди, Римини и Вебера. Они решили, что «коллапсу быть», но полностью устранили магическое влияние измерительного прибора и вообще измерения – ценой постулата, что коллапс происходит самопроизвольно. Тем не менее сами по себе измерения никто не отменял, и ГРВ должны объяснить, каким же образом в результате измерения прибор оказывается в каком-то одном состоянии – причем приходит в него заметно быстрее, чем через 100 млн лет. Они и объясняют. Сразу после взаимодействия с электроном прибор попробовал было находиться в состоянии без определенного положения стрелки индикатора – волновые функции всех электронов (и всего остального в нем) были двугорбые. Другими словами, прибор находился в сумме двух состояний – в одном он указывает на отметку а в другом – на отметку Волновая функция прибора построена из волновых функций всех его электронов (и всего остального) | 〉₁, | 〉₂ и так далее до | 〉_N, где N – очень большое число порядка 10²⁴; сразу после взаимодействия с влетевшим туда электроном (который я сейчас отмечу значком 0) электрон и прибор находятся в состоянии

(это запутанное состояние, потому что все «верхние» горбы волновых функций всех электронов собрались вместе в одном слагаемом, а все «нижние» горбы – в другом). Здесь фигурируют страшно длинные произведения, по одному множителю на каждый электрон системы. У каждого электрона своя волновая функция, но ее часть заметно отлична от нуля только в той области пространства, которая отвечает состоянию прибора «вверх»; аналогичный смысл имеет и Какой-то один из N = 10²⁴ электронов вызовет умножение волновой функции на ограничивающий профиль уже примерно через 10^–8 с (это, по порядку величины, есть результат деления ста миллионов лет ожидания для одного электрона на число электронов). При этом одно из длинных произведений (например, отвечающее состоянию прибора «вверх») останется практически без изменений, а другое (состояние прибора «вниз») умножится на число, которое во всех практических смыслах неотличимо от нуля. В результате стрелка прибора сама собой локализуется в положении «вверх». Если перед двумя слагаемыми имелись различные коэффициенты, то в зависимости от их величины предпочтительнее будет случаться коллапс в одной или другой ветви (на рис. 11.9 слева два горба показаны неодинаковыми, что отражает наличие не сильно различающихся коэффициентов); свойства самопроизвольного коллапса таковы, что воспроизведется правило Борна! И, как мы видим, ждать коллапса тем меньше, чем больше система, с которой взаимодействует интересующий нас электрон или любая другая квантовая система.

Один из многих сколлапсирует довольно скоро. Этого достаточно

Подход ГРВ уточнялся, но в его улучшенные варианты вдаваться здесь ни к чему, поскольку основная идея спонтанного коллапса уже ясна. Авторы концепции постулируют новый закон природы. Относится ли этот постулат к числу изобретений сверх меры? Из него, между прочим, можно вывести и очень ясную связь между абстракцией волновой функции и базовыми элементами реальности в нашем трехмерном пространстве – я бы даже сказал, связь несколько неординарную в своей ясности. Как мы видели, волновая функция любой системы из нескольких частиц не обладает значениями в трехмерном пространстве; но мы знаем, что в огромном числе ситуаций (например, в атоме) электрон локализован в пределах некоторой области, и про него хочется думать, что сам факт его существования там возможен безотносительно ко всему остальному во Вселенной. Поэтому требуются «мостики» от волновых функций к элементам реальности, существующим локально, т. е. имеющим относительно определенное пространственное положение. В ГРВ-подходах, как заметил Белл, уже имеется нечто, обладающее желаемым статусом локального существования в нашем обычном пространстве: сами ограничительные профили! Волновую функцию ψ(q₁, q₂, q₃, q₄, …), зависящую от многих точек, никак не впихнуть в наше пространство, но ее коллапс всегда представляет собой «сужение» вблизи какой-то точки в физическом пространстве. Ограничивающие профили поэтому – уже готовые привязки к нашему пространству. Правда, они не существуют постоянно, а возникают только в момент коллапса; из-за того что они случаются то здесь, то там, о них часто говорят как о «вспышках». Волновая функция, развивающаяся во времени под управлением уравнения Шрёдингера где-то в математическом пространстве, приобретает связь с физической реальностью в трехмерном пространстве из-за последовательности вспышек. А пока нет вспышек, в нашем пространстве ничего нет, продолжает свою мысль Белл. В пространстве, где мы обитаем, в основном пусто.

Да?! А как же насчет окружающих предметов? Возьмем, например, человеческое тело. В нем порядка 10²⁸ электронов; следовательно, каждую секунду в нем «вспыхивают» – появляются в пространстве – около триллиона (10¹²) электронов. (Атомных ядер в несколько раз меньше, устроены они сложнее, но и про них следует предполагать нечто подобное.) Получается довольно своеобразный (даже, пожалуй, экстремальный) вариант пуантилизма (рис. 11.10), трехмерный и с непрерывно перерисовываемым «изображением»: около десяти тысяч точек, вспыхивающих за секунду в каждом кубическом миллиметре, вполне достаточно, чтобы, несмотря на некоторую прерывистость картины, дать представление о контурах и вообще об устройстве тела. Правда, не все так здорово уже с отдельной клеткой, потому что в ней происходит всего лишь несколько вспышек в секунду, и мы вынуждены заключить, что клетка как таковая ничем не наполнена, что она есть лишь арена, где появляются и исчезают различные актеры, всего по нескольку за секунду. Эту картину можно, вероятно, согласовать с тем фактом, что, глядя в микроскоп, мы видим клетку вовсе не пустой: как только в деле оказывается замешан микроскоп, волновые функции его электронов запутываются с волновой функцией, описывающей содержимое клетки, обеспечивая надежное снабжение всей системы «вспышками», в результате чего мы и видим клетку как клетку, а не как пустое вместилище[288].

Рис. 11.10. Пуантилизм в живописи: сборка мира из точек требует работы воображения

Справедливости ради надо сказать, что ГРВ-теорию можно снабдить и другим рецептом по построению элементов реальности: принять, что по пространству «плавно» (и на этот раз – постоянно, а не только в моменты коллапсов) распределена масса с плотностью, которая определяется квадратом волновой функции с помощью следующего трюка. Если перед нами волновая функция десяти электронов – зависящая от десяти точек в пространстве, – а мы интересуемся плотностью массы в точке q, то мы десять раз усредняем квадрат волновой функции по всем возможным положениям девяти электронов – всех, кроме сначала первого, затем второго и так далее, а этот первый, затем второй и так далее по очереди помещаем в выбранную точку q. Полученные результаты усреднений мы затем складываем[289]. За постоянное, а не «вспышечное» существование элементов реальности приходится платить их размазанностью по пространству. Во всех тех случаях, когда волновая функция (скажем, электрона) имеет несколько областей локализации (как двугорбая кривая на рис. 11.9 слева), масса электрона буквально распределена по этим областям. Элементарную частицу приходится считать в некотором роде делимой, да еще и в произвольных пропорциях. Правда, все это ненаблюдаемо само по себе так же, как и бомовские частицы ненаблюдаемы сами по себе: как только мы принимаемся за любые измерения с использованием любых макроскопических приборов, эти приборы в избытке снабжают картину коллапсами, из-за чего вся размазанность исчезает. Концепция перманентных, но размазанных частиц, впрочем, несколько уязвима вот с какой стороны. Те части волновой функции, которые при коллапсе умножаются почти на нуль, умножаются все же не строго на нуль; из-за этого по пространству оказываются размазанными очень малые «остатки» массы, все-таки отобранные от основных скоплений массы. Накапливающиеся остатки могут превратиться в проблему.

*****

Реализм по выбору. Реализм, вероятно, избавляет от части смутных тревог за устройство Вселенной, но вообще-то заранее неизвестно, сколь глубоко в недра материи распространяются идеи о реальности в том виде, к которому мы стихийно привыкли. Мы ведь привыкли, например, к абсолютному, одинаковому для всех времени – но в природе такого времени нет; ход времени и одновременность оказываются зависящими от относительного движения. Несколько труднее принять, что относительной может быть сама реальность – в том смысле, что различные наблюдатели могут выбирать для себя разные о ней представления, которые (сразу выдам самое главное из того, что нас ждет за ближайшим поворотом) нельзя сопоставлять, рассматривать вместе, объединять в одну картину. Хорошо известный факт, что «у каждого своя правда», – немаловажный аспект человеческих отношений, но в них, как мы знаем, все запутано намного безнадежнее, чем запутываются волновые функции. Сейчас же речь идет о движении простых/элементарных объектов и эволюции простых систем. Основательная квантовая теория[290] находится, наверное, в умеренном (ну, почти) ценовом диапазоне в смысле положений, с которыми необходимо согласиться, а взамен предлагает понимание квантовой механики без каких-либо дополнительных подпорок и изобретений сверх меры – причем понимание, очень близкое к копенгагенскому, но без тени проблем в отношении измерения и избавленное от позора невнятных предположений о разграничении квантового и классического, как и о коллапсе волновой функции[291]. При всем этом свойства квантовых систем существуют «внутренним» образом – независимо от совершаемых «измерений». Как, реализм?! Погодите минуту.

Начнем с того, с чем предлагается согласиться. Прежде всего, наблюдения, которые мы проводим над квантовым миром, совершаются в определенные, дискретные моменты времени t₁, t₂ и так далее, до какого-то момента времени t_M. Это вроде бы техническая деталь, но она необходима для всего дальнейшего. Собственно говоря, «наблюдения» не играют никакой специальной роли, поэтому для каждого из выбранных моментов времени предлагается просто указывать, на какие альтернативы разбито пространство возможностей – по каким свойствам сгруппированы различные исходы (из тех, что могли бы быть обнаружены при каком-то измерении, если бы его делали). Можно использовать любые свойства, которые по каким-то причинам нам интересны. Например, в случае спина электрона мы могли бы в момент t₁ выделить две альтернативные возможности |↑⟩ и |↓⟩, а в момент t₂ – две другие альтернативы |↙⟩ и |↗⟩ (хотя никто не запрещает оставить |↑⟩ и |↓⟩).[292] Можно думать, что для квантовой системы (спина электрона в данном случае) нарисовано что-то вроде «классиков»: на старте (момент времени t₀) имеется некоторое начальное состояние ψ, из которого можно «прыгнуть» на одно из свойств, заявленных для момента времени t₁, а оттуда – на одно из свойств, которые мы решили выбрать для следующего момента t₂ (в данном случае финального):

Должно выполняться несколько условий. От каждого разбиения на альтернативные возможности – каждого столбца в таких «классиках» – требуется полнота: в него должны быть включены все возможности в каждый выбранный момент времени, хотя при этом допускаются сколь угодно грубые описания. Например, говоря о колебательной системе, мы можем использовать разбиение всего из двух альтернатив: «система находится в состоянии с наименьшей возможной энергией» и «система находится в состоянии с большей энергией». Каким образом она устраивается во втором случае, нас тогда совершенно не интересует. Одной только полноты, впрочем, недостаточно: нужно еще, чтобы выделенные возможности в каждый момент времени действительно были альтернативными – взаимоисключающими. У этого требования есть математическое выражение в терминах «нарезки» пространства всех волновых функций на части, отвечающие выделенным возможностям, – в виде условия, что у различных частей нет общих элементов (мы уже встречали его как условие отсутствия интерференции между различными частями волновой функции)[293].

Взаимоисключающие варианты – без интерференции между ними

Выбранную схему разбиений называют все же не классиками, а каркасом[294]. Каркасы нужны для того, чтобы «рассказывать истории» – описывать варианты развития системы во времени в виде перескоков между возможностями в соседние моменты времени. Все такие возможности можно показывать стрелками, тогда каждая история – это путь по стрелкам от начального состояния до одного из конечных. Например, в каркасе

имеется история ψC₁B₂A₃. Тот факт, что мы говорим о ней, означает, что нас интересует возможность развития событий от старта к финишу через обладание свойством C₁ в момент времени t₁, свойством B₂ в момент t₂ и свойством A₃ в момент t₃. Всего историй в этом каркасе 24, и каждая из них – это один из вариантов эволюции квантовой системы. «Рассказывать истории» можно, используя только те возможности, которые присутствуют в данном каркасе. Например, если в некоторый момент времени t₁ спиновые состояния разбиты на возможности |↑⟩ и |↓⟩, то в истории не может быть фразы «а если в момент t₁ электрон находится в состоянии |↙⟩…». Если вас интересует, не случится ли спиновое состояние |↙⟩ в момент времени t₁, выберите каркас по-другому. По существу, ОКТ (основательная квантовая теория) систематически изгоняет из рассуждений все нефактологические вопросы типа «а если бы». На них, надо сказать, не всегда просто ответить и в обычной жизни: «Какая погода была бы в декабре в Санкт-Петербурге, если бы он был расположен на 1000 км южнее?» Минуточку, что значит «Санкт-Петербург расположен»? А река Нева и Финский залив? А Ладожское озеро – тоже? А…?

Любой каркас, но только один за один раз

Основное правило жизни в ОКТ, о котором нельзя забывать ни на секунду, чтобы не поддаться соблазну «обычного» способа рассуждений: любое высказывание о квантовой системе требует указания каркаса, причем только одного. Да, каркасов может быть много разных, и можно выбирать их согласно тем или иным предпочтениям, но только по одному за раз! Все логические сложности квантовой механики, не устают подчеркивать сторонники ОКТ, проистекают исключительно из попыток сочетать друг с другом высказывания из различных каркасов, которые взаимно несовместны. На языке настоящих «классиков» совместность или несовместность двух каркасов означала бы примерно вот что. Клетки из одного каркаса, нарисованные красным, и клетки из другого, нарисованные синим (для тех же моментов времени), каким-то образом пересекаются, из-за этого возникают новые клетки меньшего размера. Если все эти клетки считать элементами нового разбиения, то будет ли оно по-прежнему удовлетворять условиям полноты и взаимоисключительности? Если не будет, то «красный» и «синий» каркасы несовместны. В действительности несовместность каркасов возникает как отражение вражды различных величин друг с другом. Например, если (для одного и того же момента времени) в одном каркасе выбрано разбиение спиновых состояний на |↑⟩ и |↓⟩, а в другом – на |↙⟩ и |↗⟩, то каркасы несовместны, потому что компоненты спина вдоль различных осей враждуют друг с другом[295].

И все же ОКТ – это квантовая механика, а не игра в классики. От момента t₁ до момента t₂ не скачут дети, а развивается во времени волновая функция, и делает она это в соответствии с уравнением Шрёдингера. Волновая функция ничего не знает о свойствах, которые мы решили выделить в момент t₂, и вовсе не собирается «приземляться в один из квадратов». Каркас – это то, что интересно нам, а волновая функция ведет себя так, как ей велит Шрёдингер. В результате имеется еще одно (и самое сложное в применении) условие, которое требуется от каждого каркаса: истории, нарисованные в данном каркасе (чисто логическая конструкция), должны оставаться полностью альтернативными, когда их «оживляют» с помощью уравнения Шрёдингера. Как это понимать? Снова посмотрим на историю ψC₁B₂A₃, произвольно выбранную из приведенного выше каркаса. Вот что надо с ней сделать. Сначала с помощью уравнения Шрёдингера вычисляем, как развивается во времени начальная волновая функция ψ за время от момента t₀ до t₁. Из полученной волновой функции мы вырезаем кусок, который отвечает обладанию свойством C₁. Для этого есть математическая процедура, определенная, по существу, тем, что каждое разбиение представляет собой «нарезку» всех мыслимых волновых функций на части, отвечающие выбранным свойствам. В результате получается какая-то новая волновая функция, которой мы снова даем развиваться во времени под управлением уравнения Шрёдингера до момента времени t₂. Из получившейся волновой функции снова вырезаем часть, отвечающую свойству B₂, а результат снова отдаем Шрёдингеру, чтобы с помощью его уравнения пройти эволюцию до момента времени t₃. Потом, наконец, оставляем только ту часть волновой функции, которая отвечает свойству A₃, – и запоминаем этот результат. Далее следует точно таким же образом поступить со всеми историями в имеющемся каркасе, а все полученные волновые функции запомнить (определенно придется записывать). И вот главное: требуется, чтобы никакие из полученных волновых функций не интерферировали друг с другом. Это условие, имеющее строгий математический смысл, означает, что волновые функции, получающиеся из различных историй, не должны нести дублирующую информацию; в данном случае «двойной учет» не должен приходить от более ранних моментов времени в силу того, как эволюционирует волновая функция. Такие «хорошие» истории называются основательными, и с ними только и следует иметь дело. Здесь наконец заканчивается раздел «Требования» из «Руководства пользователя» всей схемой ОКТ. Далее идут обещанные выгоды и преимущества.

Необходим полный набор основательных историй

Из уже проделанного упражнения с уравнением Шрёдингера и «нарезкой» волновых функций немедленно следует раздача вероятностей – для каждой истории! «Конечный продукт» ОКТ – вероятности не просто исходов в финальный момент времени, а вероятности историй. Вероятность, что развитие событий случится в соответствии с выбранной историей, равна квадрату волновой функции, которую мы построили для этой истории[296]. «Основательность» историй требуется именно для того, чтобы можно было определить вероятность для каждой. При бросании, скажем, игральной кости неправильной формы с 24 гранями (разных площадей и с разными вероятностями выпадения) пространство событий состоит из 24 отчетливых исходов, в каждом из которых кость лежит на столе одной определенной гранью. Отсутствие интерференции между различными историями – это что-то вроде ясной отделенности граней друг от друга, запрет на плавные переходы между гранями, при наличии которых было бы не так просто сказать, какой же исход случился.

Рецепт раздачи вероятностей основательным историям обобщает правило Борна и представляет собой фундаментальный постулат, заодно снабженный ясной пользовательской инструкцией: применять его надо всегда, а не только когда делается измерение (в нем вообще не упоминаются измерения). Вероятности историй – это больший объем информации, чем вероятности того, что система придет к одному из свойств в финальный момент времени (t₃ в приведенном выше каркасе). Если же нас интересуют только вероятности этих финальных исходов, то надо просто просуммировать вероятности всех историй, приводящих к каждому из них. Здесь есть, правда, один абсолютно ключевой вопрос. Может ли так случиться, что два различных каркаса, которые «ведут» от одного и того же начального состояния к одному и тому же финальному разбиению, дадут различные вероятности для (одних и тех же, как было сказано) исходов? Ведь в каждом каркасе эти вероятности складываются из своих собственных историй со своими собственными вероятностями. Удается тем не менее доказать, что любые два каркаса с одним и тем же «началом» и одним и тем же «концом» всегда дают одинаковые вероятности для конечных исходов, вне зависимости от того, насколько непохожи соответствующие им наборы историй, – что, конечно, представляет собой важный элемент основательности всей теории.

Обладая вероятностями историй, мы можем теперь урегулировать все вопросы, например, по поводу того, какими свойствами обладал, а какими не обладал тот или иной электрон «по пути от Пети к Ане». Во-первых, он мог обладать только какими-то из тех свойств, что включены в данный каркас, а во-вторых, нам полностью известен весь «вероятностный расклад». Ничто не мешает отвечать на вопросы типа «С какой вероятностью в момент времени t₂ электрон имел свойство B₂, если известно, что в момент времени t₃ он имел свойство A₃?». Вот на какой натянутой струне балансирует ОКТ: известны ответы на все вопросы (разумеется, ответы вероятностные, поскольку вероятностный характер квантовой механики никто не отменял), но только в рамках одного выбранного каркаса. Другие наблюдатели «нарисуют другие классики» и дадут другие ответы по поводу того, чем была наполнена эволюция «по пути от Пети к Ане». Среди каркасов нет более истинных и менее истинных, каждый из них предлагает свою реальность, которая не лучше и не хуже любой другой; эти реальности нельзя обсуждать совместно. Правых или неправых при этом нет, потому что единой реальности нет. С этим предлагается примириться как с основной чертой квантового мира.

ОКТ: единой реальности нет

Уравнение Шрёдингера становится в ОКТ отчасти вспомогательным средством, используемым для вычисления вероятностей, а до того – и, собственно, главным образом – еще и для проверки основательности историй в рамках каждого каркаса. И хотя в проверке основательности историй нет ничего неясного или неоднозначного, это определенно самая неудобная в применении часть всей схемы. Процедура получается довольно громоздкой: ни о какой заинтересовавшей вас отдельной истории самой по себе говорить нельзя, необходимо сначала включить ее в подходящий каркас, следя при этом за полнотой, а в нем рассмотреть все истории, и, если они действительно не интерферируют, вы наконец сможете делать выводы о том, с какой вероятностью могла бы случиться выбранная история.

Проблема измерения решена в ОКТ тем, что измерительный прибор рассматривается как часть составной квантовой системы; возможные показания прибора (уж какие предусмотрены в конкретном эксперименте) просто задают еще одно разбиение на несколько возможностей: это разбиение на случаи «что угодно для электрона и показание 1 для прибора», «что угодно для электрона и показание 2 для прибора» и т. д. Займемся, например, измерением спина электрона, который достается нам в каком-то общем спиновом состоянии ψ = a · |↑⟩ + b · |↓⟩. Выберем каркас таким, что – для ясности – от начального момента t₀ до момента t₁ еще ничего не происходит, а вот в интервале от t₁ до t₂ электрон взаимодействует с прибором Штерна – Герлаха. Сам прибор сначала находится в состоянии «готов», которое мы продолжаем обозначать как |□⟩_п, а в финальных состояниях мы различаем две возможности для прибора – наши обычные состояния прибора со стрелкой вверх и со стрелкой вниз. Тогда каркас выглядит так:

«Джокер» |*⟩_э для состояния электрона означает, что в финальный момент t₂ мы ничего от электрона не требуем: пусть его волновая функция будет какой угодно, нас в конце истории интересует только прибор. В таком каркасе всего две истории, они не интерферируют, и вероятности их получаются равными a² для истории, приводящей к и b² для истории, приводящей к То же самое говорит и правило Борна в самом грубом варианте своего применения, так что пока мы не получили ничего нового. Но у нас теперь есть возможность осмысленно задавать и более детальные вопросы, например, про реализм: было ли у электрона то значение спина, которое показал прибор, до измерения – скажем, в момент t₁? Смотрим на имеющийся каркас и не видим там ничего относящегося к отдельным спиновым состояниям электрона; значит, сейчас у нас нет возможности о них говорить.

Ничто, однако, не заставляет нас оставаться в рамках одного каркаса, который мы, похоже, выбрали не самым интересным образом. Возьмем другой каркас, который позволит нам говорить об отдельных спиновых состояниях электрона в момент t₁:

На этот раз в момент времени t₁ мы выделили два отчетливых варианта в отношении спина электрона, но прибору позволили там делать что угодно («джокер» в виде звездочки). В момент t₂, наоборот, нас живо интересует именно результат измерения – состояние прибора, а состояния электрона мы никак конкретизировать не хотим, что есть, то есть. Получилось четыре истории, никакие из них не интерферируют, и, значит, они наделяются вероятностями по описанным выше правилам ОКТ. Применение обобщенного правила Борна показывает, что истории, содержащие наклонные стрелки между t₁ и t₂, имеют нулевую вероятность, а это означает, что если в момент времени t₂ прибор показал «вверх», то с вероятностью 100 % в момент времени t₁ электрон имел спин вверх, и аналогично для показания «вниз». Другими словами, электрон до измерения имел то состояние, которое и измерили. И так происходит в ОКТ всегда, из-за чего она и претендует на своеобразный реализм: квантовые системы несут с собой те свойства, которые проявляют при измерениях. Единственное «но» состоит тут в том, что это – «каркас-реализм»: про одно и то же можно рассказывать истории, пользуясь разными каркасами, и эти истории несовместимы друг с другом. Свойства-то реальны, только реальностей много. Только что сделанное утверждение, что электрон «заранее» обладал измеренным свойством, надо вообще-то переформулировать как «в выбранном каркасе электрон до измерения имел то состояние, которое и измерили».

Даже не пытайтесь рассуждать, не подобрав каркас

Вообще, если в историях, которые вам позволяет рассказывать данный каркас, на ваш взгляд недостаточно подробностей («А если бы спин был направлен вдоль x?»), есть только один способ их добавить: построить подходящий каркас, где интересующее вас «если» представлено в качестве одного из альтернативных свойств, и проверить, что он дает основательные истории. Тогда вы получите ответы на все интересующие вас вопросы. Если согласованный каркас, включающий предмет вашего интереса, никак не выходит, попробуйте убрать какие-то другие подробности. И никогда не пытайтесь совместить истории из различных каркасов.

После всего сказанного едва ли покажется удивительным, что «мировоззренческий» вопрос о коллапсе волновой функции оказывается вопросом о выборе каркаса. Проблема коллапса, как мы видели, состоит в изменении, которое «в результате измерения» происходит с волновой функцией: она превращается в одно из собственных состояний измерявшейся величины, а именно то, которое отвечает актуально измеренному значению. Разбор ситуации оказывается чепуховым упражнением для ОКТ. «Происходит» – порядочная бессмыслица, неподходящий способ изъясняться, пока не выбран каркас. В данном случае требуется каркас, в котором истории заканчиваются набором возможностей, различающихся и состояниями измерительного прибора, и состояниями измеряемой системы. Чуть выше мы интересовались состояниями прибора, но не состояниями системы (электрона) в финальный момент времени t₂. Теперь же выделим в этот момент времени не две, а четыре альтернативы, различающиеся состояниями и электрона, и прибора: Но это означает, что если прибор показал «вверх», то и спин электрона «оказался» направленным вверх (и аналогично для «вниз») – как если бы произошел коллапс волновой функции электрона!

Картина аналогична и при более замысловатых вариантах выбора финальных альтернатив, и для любых систем – везде, где в копенгагенской интерпретации применяется правило коллапса, в ОКТ можно построить такой каркас, что отвечающие ему истории получат такие вероятности, как если бы использовалось обычное правило Борна и как если бы волновая функция претерпевала коллапс в результате измерения. Создатели ОКТ говорят поэтому, что их подход – это «Копенгаген», только наконец сформулированный правильным образом; их теория ни с чем не борется, но предлагает логически основательные интерпретации методов вычислений, которыми «и так все пользуются». С точки зрения ОКТ правило Борна и коллапс в традиционной формулировке – это вычислительные средства, упрощающие выкладки. Это не так мало, особенно с учетом громоздкого вычислительного аппарата самой ОКТ, но их ни в коем случае не следует путать с объяснением квантовой механики.

Копенгаген?

Да, но с человеческим лицом

Заодно в рамках «каркас-реализма» устраняется напряжение в связи с нелокальным влиянием электронов в ЭПР-паре друг на друга. Во-первых, в ЭПР-паре есть довольно очевидная нелокальность, выражающаяся в том, что это состояние двух электронов несовместимо с локальным свойством «иметь спин вверх» для, например, первого электрона. Это, конечно, «все всегда знали», но сторонники ОКТ указывают на этот факт с целью подчеркнуть контраст: да, в ЭПР-парах есть своя нелокальность, но – и это во-вторых – нет нелокальных воздействий. Все то, что традиционно обсуждается как нелокальное влияние одного электрона в ЭПР-паре на другой, происходит из-за соединения рассуждений в рамках различных каркасов и тем самым нарушает требование основательности. Состояние ψ = |↑⟩₁ |↓⟩₂ – |↓⟩₁ |↑⟩₂, описывающее ЭПР-пару, нельзя включить в одно разбиение наряду с возможностями, которые могут в принципе встретиться при измерении спинов: |↑⟩₁ |↑⟩₂, |↑⟩₁ |↓⟩₂, |↓⟩₁ |↑⟩₂, |↓⟩₁ |↓⟩₂. Это значит, что для «понимания» происходящего в ЭПР-паре надо нарисовать каркас, включающий ψ в начальный момент времени, четверку состояний (которые все вместе удовлетворяют условиям полноты и взаимоисключительности) в какой-то другой и, возможно, что-то еще в дополнительные моменты в зависимости от того, на какие вопросы мы ищем ответ. Вычисление вероятностей по обобщенному правилу Борна тогда показывает, что в подходящем каркасе, начиная с любого момента после создания ЭПР-пары, каждый из электронов уже обладал тем свойством, которое обнаружилось в измерении, и поэтому никакой необходимости в нелокальном воздействии одного электрона на другой просто нет. «Парадоксальность» же, занимавшая ЭПР и Шрёдингера, проистекает из рассуждения, которое не помещается в один каркас: мы измерили положение частицы 2, и оно оказалось коррелировано с положением частицы 1, а если бы мы измерили количество движения частицы 2, то оно оказалось бы коррелировано с количеством движения частицы 1. Никаких «если бы», пока нет единого каркаса, вмещающего все возможные повороты событий! Кроме того, в ОКТ выдвигается и предположительное (как мне кажется, не вполне законченное) объяснение, почему в квантовой механике нарушаются неравенства Белла: потому что в самом выводе этих неравенств тем или иным образом нарушается правило единого каркаса; по мнению сторонников ОКТ, предпосылки этих неравенств выражают не локальный реализм, а классический реализм, попросту неприменимый к квантовой механике, так что с их точки зрения ничего удивительного в нарушении этих неравенств нет.

Ограничения, накладываемые на способ рассуждать, оставляют нас в рамках (так и хочется сказать «в каркасе») только таких вопросов, на каждый из которых находится ясный ответ. Правда, каждая серия согласованных ответов – в своем каркасе. Этим в основательной («согласованной») квантовой теории и полагается предел нашему углублению в природу явлений.

*****

Ускользающая реальность. Имеется много интерпретаций квантовой механики. Одна из самых новых, например, отвергает фундаментальную роль волновой функции[297]. Рука моя не поднимается описывать ее подробности на этой прогулке, где как-никак волновая функция – главный герой; да и в любом случае нужно где-то остановиться среди имеющегося интерпретационного изобилия. Фейнману принадлежит часто цитируемое высказывание: «Я думаю, что могу смело утверждать, что квантовую механику никто не понимает». По итогам этой прогулки должно быть, я надеюсь, понятно, что речь здесь идет не о (сколь угодно сложных) вычислениях с уравнением Шрёдингера, или даже с уравнением Дирака, или с чем бы то ни было еще; это высказывание вообще не об операциональной части «заткнись и вычисляй», а о смысле или даже о том, осмысленно ли этот смысл искать. Главная тайна квантовой механики – из каких элементов все-таки состоит мир и в каких отношениях с ними находится волновая функция – продолжает прятаться в собственной тени. Впрочем, хочется закончить чем-то оптимистическим – точнее, умеренно оптимистическим высказыванием одного из ведущих специалистов по обсуждаемой теме:

Немалая доля накала в многочисленных дебатах по поводу оснований квантовой механики порождена, как кажется, ожиданиями, что одна-единственная идея должна обеспечить полное решение. Когда этого не случается – когда удается достичь прогресса, но остаются и нерешенные вопросы, – мы порой пренебрегаем возможностью, что идея, лежащая в основе этого прогресса, может представлять собой шаг в правильном направлении, хотя для достижения цели и требуется больше, чем одна идея и один шаг.

В. Зурек

И, конечно, квантовая механика работает.

Добавления к прогулке 11

Действующие лица. Бельгийский химик и предприниматель Сольвэ финансировал конференции, которые сыграли немалую роль в становлении современной физики. Первая («Теория излучения и кванты») состоялась в 1911 г., пятая («Электроны и фотоны») – в 1927-м под председательством Лоренца. Фотография участников (рис. 11.11) остается предметом моего восхищения тем, что такое собрание легендарных фигур было когда-то возможно; 17 из 29 стали нобелевскими лауреатами (причем Склодовская-Кюри – и по физике, и по химии). Про этот снимок иногда говорят, что это «фото с наивысшим суммарным IQ». На нем, кстати, заметно пренебрежение Шрёдингера к строгой одежде: его спортивный пиджак контрастирует с более формальным стилем всех остальных. (Как-то раз он слегка шокировал Дирака, явившись в фешенебельный отель, где жили участники конференции, в тирольском костюме и с рюкзаком за спиной.) Конференция особенно запомнилась захватывающими дискуссиями-на-все-времена между Эйнштейном и Бором о непротиворечивости и полноте квантовой теории, но включала и многое другое. Бор и Гайзенберг подвергли там массированной критике взгляды Шрёдингера на «волновую механику», основанную на его уравнении. Копенгагенская точка зрения на природу квантов набирала силу; участники разъехались с ощущением, что в вопросах об устройстве квантового мира Эйнштейн, де Бройль и Шрёдингер остались в меньшинстве.

Рис. 11.11. Участники Сольвеевской конференции 1927 г. Из знакомых по нашим прогулкам здесь Эренфест (третий слева в заднем ряду), Шрёдингер (шестой там же), Паули (восьмой), Гайзенберг (девятый, он же третий справа); Дирак (пятый слева в среднем ряду), де Бройль (седьмой), Борн (восьмой), Бор (девятый, он же крайний справа); Планк (второй слева в первом ряду), Лоренц (четвертый слева) и Эйнштейн

Сам Сольвэ скончался в 1922 г. в возрасте 84 лет. Он разработал аммиачный способ получения соды из поваренной соли – патент и заводы в ряде стран принесли ему значительные средства. В 1883 г. он совместно с пермским предпринимателем Любимовым построил Березниковский содовый завод, ныне – ОАО «Березниковский содовый завод» со штаб-квартирой в городе Березники Пермского края. В русскоязычной литературе Сольвеевские конференции часто называют конгрессами.

О вражде, дружбе и неопределенности совсем всерьез. Схема действий, в соответствии с которой разнообразные величины (координаты, компоненты количества движения и количества вращения, энергия) надевают шляпы и становятся операторами (предписаниями по изменению волновых функций), позволяет максимально точно указать источник «вражды» между некоторыми величинами или, что то же самое, условие, обеспечивающее их «дружбу». Начнем с примера, который сопровождает нас в течение двух прогулок – с операторов построенных по координате x и количеству движения вдоль того же направления. Результат применения их к волновой функции одного за другим зависит от выбранного порядка действий. Вообще, это не очень странно, если сравнивать с чем-то бытовым: сначала нарезать, а затем пожарить дает, как правило, несколько другой результат, чем сначала пожарить, а потом нарезать. В случае, когда два оператора действуют на волновую функцию сначала в одном порядке, а потом в другом, способ математически точного сравнения двух результатов состоит в том, чтобы просто вычесть один из другого, т. е. составить разность Если разность окажется равной нулю, значит, от порядка, в котором действуют операторы, ничего не зависит (такое, конечно, бывает и в жизни: сначала посмотреть на часы, а потом на термометр или наоборот). Но в данном случае разность не равна нулю: и это имеет место для всех без исключения волновых функций. От волновой функции здесь на самом деле ничего не зависит, обсуждаемое свойство – это свойство самих операторов Для сравнения, если взять компоненту количества движения вдоль другого направления, прекрасно получается нуль:

Не нуль в подобных выражениях – причина, из которой с математической неизбежностью следует, что две величины «враждуют», т. е. не могут иметь численные значения одновременно. Каждой физической величине отвечает оператор, полученный «надеванием шляпы» на эту величину, и враждуют те и только те, для которых действие их операторов на волновые функции дает разные результаты при применении в разном порядке. Постоянная, возникающая при сравнении двух последовательностей действий, всегда пропорциональна постоянной Планка ħ – из-за чего мы и говорили на прогулке 10, быть может, несколько вольно, что вражда происходит из-за того, что постоянная Планка вторгается в отношения тех или иных величин. Правда, без работы тогда не остается наш дежурный фокусник: он ловко строит одни состояния из других именно для тех пар величин, которые враждуют так же, как координата и количество движения вдоль одного и того же направления.

Эксперименты против лазеек в неравенствах Белла. Нарушение неравенств Белла неоднократно проверялось экспериментально, в том числе в последнее время, с целью исключения каких-либо «лазеек», которые могли бы спасти локальный реализм. Использование все более современных приборов и технологий делает возможными весьма изощренные по своей постановке эксперименты. Дополнительная мотивировка таких исследований состоит в том, что запутанность лежит в основе квантовых компьютеров и квантового шифрования, из-за чего вопрос о природе запутанности (и если она все же опирается на скрытые параметры, то и о способах воздействия на нее) приобретает явное практическое значение. При проверках нарушения неравенств Белла следовало прежде всего исключить даже принципиальную возможность обмена сигналами между «Аней» и «Яшей» (разумеется, со скоростью, ограниченной скоростью света). Выбор направлений a или a′ и b или b′, под которыми они ориентировали свои детекторы, делался в экспериментах двумя квантовыми генераторами случайных чисел, которые срабатывали каждый раз, когда очередная запутанная пара (фотонов, с которыми намного удобнее работать, чем с электронами) была уже в пути от места создания к детекторам; два события выбора ориентации были причинно не связанными между собой. Неравенства Белла оказались успешно нарушенными, «коммуникационная» лазейка была таким образом исключена, но внимание затем переключилось на «лазейку выборки». Дело в том, что эксперименты требуют измерений со множеством запутанных пар, на основе которых затем вычисляются средние, но в реальности в формировании этих средних участвуют не все запутанные фотоны, которые производит «Петя», – по той простой причине, что детекторы одиночных фотонов не обеспечивают стопроцентный уровень регистрации. Что, если экспериментаторы наблюдают лишь «перекошенную» выборку, а если бы они анализировали все запутанные пары, то неравенства Белла не нарушались бы? В 2015 г. технически сложный эксперимент по измерению спинов двух электронов, каждый из которых был связан с точечным дефектом в своем образце алмаза (но которые тем не менее удалось запутать на расстоянии 1280 м друг от друга), исключил лазейку выборки, причем заодно с лазейкой коммуникации. Почти одновременно две другие группы экспериментаторов смогли добиться того же результата и в опытах с фотонами.

Но это не все, что надлежало проверить; еще одна лазейка хорошо иллюстрирует характер применяемого здесь критического мышления. Да, за выбор между направлениями a и a′ и направлениями b и b′ отвечали квантовые генераторы случайных чисел; но ведь если исходы событий управляются скрытыми параметрами, то это должно в равной мере относиться и к созданию запутанной пары, и к работе самих генераторов! А тогда в прошлом могла бы, в принципе, иметься причина, действие которой внесло некоторую корреляцию в распределение скрытых параметров при производстве пары и при выборе направлений. При этом, как выясняется, корреляции могли бы быть вполне «мягкими»: чтобы «симулировать» такое же нарушение неравенств Белла, как то, что обеспечивает квантовая механика с правилом Борна, достаточно обмена информацией в 20 раз меньшего объема, чем требовалось бы передавать внутри ЭПР-пар, если открыто нарушать локальность (т. е. посылать сигналы быстрее света). Для устранения этой лазейки – фактически отсутствия полной свободы в процессе измерения – применялись два подхода. В первом использовался человеческий фактор: 30 ноября 2016 г. более 100 000 волонтеров по всему миру играли в специальную компьютерную игру, целью которой было произвести «как можно более случайный» набор нулей и единиц, которые и использовались для выбора направлений/ориентации в детекторах. Оказалось, что неравенства Белла успешно нарушаются, когда экспериментом управляет «совокупная воля» всех участников. Во втором подходе для выбора ориентации детекторов использовался свет от далеких объектов: в первоначальном варианте – от звезд в нашей Галактике, а около года спустя (в 2018 г.) от двух квазаров, находящихся на расстоянии 7,78 млрд и 12,21 млрд световых лет от нас. Было задействовано два телескопа: в зависимости от характеристик света, приходящего «сейчас» в телескоп «у Ани», ее детектор переключался между ориентациями 22,5° и 67,5°; другой телескоп управлял переключением детектора между ориентациями 0° и 45° «у Яши». Были, разумеется, приняты меры, чтобы в принципе исключить причинную связь между событиями выбора у Ани и у Яши. В таком случае, если какая-то причина все же обеспечивает нарушения неравенств Белла, действуя через скрытые параметры, то она по необходимости должна находиться в таком далеком прошлом, чтобы влиять на оба квазара. Насколько далеком? Здесь вовлечены уже космологические расстояния, поэтому при определении «общего прошлого» (пересечения световых конусов прошлого) для событий, когда каждый из квазаров испустил свет, использованный в эксперименте, потребовалось учитывать расширение Вселенной. В результате оказалось, что гипотетическая общая причина должна была действовать никак не позднее, чем 13,15 млрд лет назад. Таков вывод из опыта. Приходится заключить, что идея, будто причины нарушения неравенств Белла действуют из столь далекого прошлого, уводит нас в область конспирологии, чтобы не сказать фантастики (снабжая, впрочем, не самой плохой затравкой для сюжета фантастического произведения).

Вселенский заговор очень маловероятен

Телепортация. Квантовая телепортация – это передача состояния (волновой функции) на расстояние с использованием главного ресурса – ЭПР-пары, про которую в данном случае говорят как про квантовый канал связи, и вспомогательного ресурса – обычного, классического канала связи («телефонной линии»). Отправляемая «посылка» представляет собой спиновое состояние a · |↑⟩ + b · |↓⟩ отдельно взятого электрона. Его, как и любую волновую функцию, нельзя наблюдать (потому что результат любого измерения – одно из двух состояний |↑⟩ или |↓⟩, но не числа a и b), но ее, оказывается, можно переслать[298].

Основа инфраструктуры – заранее приготовленная ЭПР-пара: один из электронов держит у себя Аня (скажем, на Земле), а другой удалось доставить Яше (на Луну). Сделать это надо заранее; и использовать ЭПР-пару можно только один раз. Я запишу состояние этой пары, явно указывая принадлежность каждого электрона Ане или Яше: |↑⟩_А |↓⟩_Я – |↓⟩_А |↑⟩_Я. Сама по себе она никакой «полезной информации» не несет, это такая же ЭПР-пара, как и все остальные. Чтобы не запутаться в трех электронах, вот что имеется перед началом работы:

Рис. 11.12. Квантовая телепортация: передача спинового состояния с помощью ЭПР-пары и двухбитового сообщения. Горизонтальные линии условно изображают три электрона. Верхняя из них представляет электрон в лаборатории А. в спиновом состоянии ψ = a · |↑〉 + b · |↓〉, которое требуется передать в лабораторию Я. Двойные линии означают классический канал связи («телефонную линию»), по которому передается двухбитовое сообщение

у Ани:

• электрон в спиновом состоянии a · |↑⟩ + b · |↓⟩, которое требуется передать; я буду называть этот электрон электроном-посылкой (хотя в результате на Луне появится не он сам, а его спиновое состояние);

• электрон | ⟩_А из ЭПР-пары, про спиновое состояние которого нельзя высказаться определенно;

у Яши:

• электрон | ⟩_Я из ЭПР-пары, про спиновое состояние которого нельзя высказаться определенно.

То, что происходит дальше, схематически изображено на рис. 11.12. Основную работу выполняет Аня, оперируя в своей лаборатории двумя электронами. Сначала она изменяет состояние обоих своих электронов – применяет к их волновой функции некоторое специальное предписание. Это показано знаком на рисунке. Затем она применяет некоторое преобразование к состоянию только одного электрона, что показано знаком Яша находится далеко и не делает пока ничего. Аня, наконец, измеряет спины двух своих электронов. Измерения условно показаны значком со стрелкой и шкалой. В результате может получиться одна из четырех возможностей |↑⟩ |↑⟩_А, |↑⟩ |↓⟩_А, |↓⟩ |↑⟩_А и |↓⟩ |↓⟩_А (выбор между ними, разумеется, неконтролируемый). Этот результат Аня и передает Яше «по телефону» в виде одного из сообщений 00, 01, 10 и 11; это два бита информации. В зависимости от содержания полученного послания Яша делает одно из четырех заранее запланированных преобразований над своим электроном. В результате его электрон гарантированно оказывается в состоянии a · |↑⟩ + b · |↓⟩, которое и требовалось передать. Секрет всего «фокуса» – запутанность, т. е. особый вид корреляции между спинами в ЭПР-паре. Вот что получается в конце работы:

у Ани:

• электрон-посылка и электрон | ⟩_А из ЭПР-пары, находящиеся в одном из четырех возможных состояний, которые получились в результате измерения их спинов: |↑⟩ |↑⟩_А, |↑⟩ |↓⟩_А, |↓⟩ |↑⟩_А и |↓⟩ |↓⟩_А;

у Яши:

• электрон, ранее бывший частью ЭПР-пары, а теперь оказавшийся в состоянии a · |↑⟩_Я + b · |↓⟩_Я.

ЭПР-пара при этом «погибает»: два ее электрона больше не запутаны, их ресурс корреляции истрачен, и больше использоваться для передачи информации они не могут. Зато Яшин электрон приобрел в точности то спиновое состояние, в котором исходно находился электрон-посылка. Это состояние определяется, конечно, числами a и b; они передаются Яшиному электрону с абсолютной математической точностью – несмотря на то, что числа эти ненаблюдаемы и остаются неизвестными и Ане, и Яше. Письмо, прочитать которое невозможно!

Телепортируется не электрон, а состояние

Получается это следующим образом. Состояние всех трех электронов в начале работы – это состояние электрона-посылки и ЭПР-пара; как всегда в таких случаях, мы их перемножаем, чтобы получить состояние полной системы:

Электрон-посылка ни с чем пока не запутан. Здесь можно, конечно, раскрыть скобки по обычным правилам, не забывая только всегда писать состояния, относящиеся к электрону-посылке, первыми. Получится состояние

Во власти Ани – действия с первыми двумя состояниями в каждом слагаемом, потому что у нее находятся именно первые два электрона; они подчеркнуты. В ее лаборатории имеется два устройства. Одно из них «переворачивает» спин второго электрона, если первый находится в состоянии со спином вверх, и не делает ничего, если первый находится в состоянии со спином вниз. «Перевернуть» означает заменить |↑⟩ на |↓⟩ и наоборот. Например, |↑⟩ |↑⟩_А заменится в результате на |↑⟩ |↓⟩_А. Другое устройство изменяет состояние только первого электрона так, что |↑⟩ переходит в |↑⟩ – |↓⟩, а |↓⟩ переходит в |↑⟩ + |↓⟩. На рис. 11.12 эта операция обозначена буквой H – на этот раз в честь Адамара (Hadamard), а не Гамильтона.

Все эти действия никаким образом не зависят от того, каковы числа a и b: основа всего происходящего в том и состоит, что правила изменения состояний имеют дело с самими |↑⟩ и |↓⟩, а не с числами, на которые они умножаются. После выполнения всех действий состояние трех электронов описывается более длинной суммой, чем выписана выше, – из восьми слагаемых. В ней присутствуют все восемь вариантов расстановки стрелок вверх и вниз в тройных произведениях | ⟩ | ⟩_А| ⟩_Я, а в качестве коэффициентов перед различными слагаемыми там возникают комбинации чисел a и b (собственно говоря, попросту числа a, b, – a и – b).

Предположим сначала, что проведенное Аней измерение дало результат «вниз-вверх», т. е. |↓⟩ |↑⟩_А. Такой результат может реализоваться потому, что в состоянии, имевшемся прямо перед измерением, присутствуют слагаемые |↓⟩ |↑⟩_А |↑⟩_Я и |↓⟩ |↑⟩_А |↓⟩_Я с некоторыми коэффициентами. Кроме них, там имеется и шесть других слагаемых, но после того, как измерение дало результат «вниз-вверх», никакие другие возможности не реализовались, и поэтому в волновой функции остаются только два указанных слагаемых. А из простой арифметики преобразований, которые сделала Аня, следует, что они умножены на те же числа a и b: волновая функция, другими словами, оказалась равной а · |↓⟩ |↑⟩_А |↑⟩_Я + b · |↓⟩ |↑⟩_А |↓⟩_Я. Но это же можно записать в виде произведения |↓⟩ |↑⟩_А (а · |↑⟩_Я + b · |↓⟩_Я). В скобках здесь – спиновое состояние Яшиного электрона. Если действительно Аня получила в своем измерении результат «вниз-вверх», то Яшин электрон «сам собой» оказался в том состоянии, которое и надо было передать!

Правда, Аня может обнаружить и три другие возможности для спинов своих электронов. В каждом из этих случаев Яшин электрон тоже оказывается во вполне определенном спиновом состоянии, но оно не совпадает с тем, что требовалось передать. Тем не менее его можно немного подправить, чтобы оно в точности совпало. «Подправить» означает, что от Яши требуются действия, не зависящие (и это главное!) от чисел a и b: в одном случае – если измерение Ани дало «вверх-вверх» – ему надо сделать над своим состоянием преобразование, заменяющее |↑⟩_Я на –|↑⟩_Я (изменение знака); в двух других случаях требуется преобразование, заменяющее |↓⟩_Я на |↑⟩_Я и |↑⟩_Я на |↓⟩_Я, после чего нужно еще изменить знаки. В любом случае Яшин электрон в итоге гарантированно оказывается в том же спиновом состоянии, что и электрон-посылка. Все, что нужно Яше, – короткое сообщение о том, какой из четырех вариантов случился у Ани.

В реальности почти всегда используют не электроны, а фотоны. У них тоже два спиновых состояния, которые все же удобнее обозначать не стрелками, а как |0⟩ и |1⟩; числа 0 и 1, как, впрочем, и стрелки, – удобная условность. Стандартная ЭПР-пара для фотонов, которую используют Аня и Яша, имеет вид |0⟩_А |1⟩_Я + |1⟩_А |0⟩_Я. Получив для передачи фотон-посылку a · |0⟩ + b · |1⟩, Аня точно так же выполняет с двумя своими фотонами манипуляции двух видов, а потом проводит измерение; в результате числа a и b внедряются в состояние Яшиного фотона, и после необходимой коррекции, выполняемой в соответствии с полученным коротким сообщением, Яша может быть уверен, что у него возник фотон точно в том состоянии, которое исходно было у фотона-посылки. Квантовая телепортация была неоднократно осуществлена на практике: один из впечатляющих результатов на сегодняшний день – передача состояния фотона на 1400 км («Яша» сидел на спутнике)[299].

Скиталец с пси-функцией. Через шесть лет после 5-й Сольвеевской конференции, в 1933-м, Шрёдингер приехал на 7-ю конференцию уже в статусе, близком к беженскому: из-за нелюбви к новому режиму он только что оставил свою престижную профессорскую кафедру в Берлинском университете (на которой в 1927 г. сменил Планка) и после отдыха в Южном Тироле отправился в Оксфорд, где для ряда ученых, покидавших Германию, была создана возможность временного трудоустройства. По пути в Англию, в октябре, он и заехал на конференцию в Брюссель. Шрёдингер был одним из немногих немецких ученых[300], не имевших еврейских корней, но уехавших из Германии после прихода к власти нацистов. Он был осторожен в высказываниях, но достаточно ненавидел новую власть, чтобы в 46 лет оставить свое привилегированное положение в Берлине и отправиться в неизвестность[301]. (Позднее нацисты планомерно изъяли из анналов престижной Прусской академии наук упоминания только о двух ее членах: это были Эйнштейн и Шрёдингер.) Вскоре после его приезда в Оксфорд ему была присуждена Нобелевская премия по физике за 1933 г.; помимо прочего, это был весомый вклад в укрепление его положения в чужой стране[302]. Спустя несколько месяцев Шрёдингер отправился читать лекции в США, но отклонил сделанное ему там предложение стать профессором в Принстоне. Причин (несмотря на жалованье, примерно в два раза превышавшее его оксфордское) было, видимо, несколько; некоторый вклад могли внести и воспоминания о его поездке по США в начале 1927 г. – невозможность заказать за обедом бокал вина или кружку пива («К дьяволу сухой закон!»). Университетский мир Оксфорда и Шрёдингер, однако, не слишком хорошо подходили друг другу; некоторые проблемы были академического толка, а некоторые коренились в непростой личной жизни Шрёдингера, особенно выделявшейся на фоне довлевшего тогда в Оксфорде уклада. В конце 1935 г. заканчивалось финансирование, найденное для приехавших из Германии ученых; для Шрёдингера его удалось продлить на два года, но в целом будущее делалось все менее определенным. В 1936-м попытка занять предложенное ему место профессора в Эдинбурге не удалась из-за проволочек в оформлении иностранца, а пока оно тянулось, пришло приглашение из университета в австрийском Граце; оно, что немаловажно, включало в себя и почетную позицию в Венском университете. (Профессором в Граце в свое время был Больцман.) Позднее Шрёдингер описывал свое решение перебраться в Грац в 1936 г. как «беспрецедентную глупость» в свете накалявшейся политической ситуации. В университете уже была сильна и постоянно крепла поддержка национал-социализма. Перед Шрёдингером разворачивалось все то, из-за чего он уехал из Берлина. В марте 1938 г. Австрия была присоединена к Германии, что полностью развязало руки местным нацистам. Насилие и репрессии в отношении евреев стали массовыми; в Граце, впрочем, это ощущалось слабее, чем в Вене, поскольку Грац уже некоторое время был под сильным влиянием нацистов. Шрёдингер знал, что находится под наблюдением. Новый ректор университета посоветовал ему написать открытое письмо, подтверждающее его «благонадежность». 30 марта оно было опубликовано в местной газете. В последующие годы Шрёдингер не раз высказывал сожаления по поводу этого (умеренно) верноподданнического по отношению к фюреру текста, но тогда, в марте 1938-го, он надеялся, что письмо стабилизирует его отношения с властями после неожиданного (во всяком случае, для самого Шрёдингера) изменения статуса его родной страны. Однако 23 апреля он получил извещение о прекращении его почетной позиции в Вене. Университет Граца тем временем становился одним из главных центров нацистского обучения; в Германии же вспомнили о бегстве Шрёдингера из Берлина по политическим мотивам, и фон Риббентроп передал британскому послу, что возобновление лекций профессора Шрёдингера в Оксфорде нежелательно. В Британии открытое письмо Шрёдингера подпортило его репутацию среди других эмигрантов, да и среди британских ученых, когда выяснилось, что он писал его не в концентрационном лагере, как первоначально предполагали. Ирландский тишок (премьер-министр) Имон де Валера, узнав из газет об увольнении Шрёдингера, задался вопросом, как можно было бы вступить с ним в контакт, не ухудшив этим его положения в Австрии. Де Валера был по образованию математиком (несколько раз сидевшим в тюрьме в период борьбы за независимость) и разглядел возможность создать в Дублине новый Институт перспективных исследований, который повторял бы модель такого института в Принстоне (очевидно, в той мере, в какой это было возможно в бедной Ирландии), со Шрёдингером в качестве ключевой фигуры. Он обратился к британскому математику Уиттекеру, а тот – к Борну, который передал сообщение друзьям в Цюрихе; те, по словам Анни Шрёдингер, привлекли к делу «голландца, который поехал в Вену», где нашел мать Анни, которая на клочке бумаги написала несколько строк про возможность создания института в Дублине. «[Мы] прочитали ее три раза и потом уничтожили, бросив в огонь», – пишет Анни. Через друзей в Констанце они передали Борну свою положительную реакцию по поводу института, добавив, однако, что сначала им надо выбраться из Австрии. В августе Шрёдингера уволили уже «совсем», указав в качестве причины его политическую неблагонадежность. Оставив все ценности, включая нобелевскую медаль и цепочку члена Папской академии наук, упаковав вещи в три чемодана и не решившись добираться до вокзала в Граце на такси, Шрёдингеры с 14 марками в карманах сели на поезд, идущий в Рим; свою машину они оставили на мойке недалеко от вокзала.

Рис. 11.13. Эрвин Шрёдингер в разные периоды жизни

К слову, в 1599 г. из Граца изгнали Кеплера – вместе с другими преподавателями-протестантами. Со следующего, 1600 года Кеплер работал в обсерватории Браге недалеко от Праги; его пребывание там прервалось в 1612 г. по политическим причинам.

А в 1938-м Шрёдингеры остановились в Риме в Папской академии наук. Туда им позвонил де Валера, находившийся в это время в Женеве, и после относительно небольших приключений на границе со Швейцарией они добрались до Женевы на поезде. Институт еще не был организован, Шрёдингер недолгое время провел в Оксфорде, а на 1938/39 академический год принял приглашение из бельгийского Гента. В мае Гентский университет решил присудить ему почетную степень, вручение которой было запланировано на октябрь, но 1 сентября началась война. Путешествие в Ирландию через Британию оказалось связанным с некоторыми сложностями из-за визы для гражданина враждебного государства, но 6 октября Шрёдингеры в конце концов добрались до Дублина. Во Второй мировой войне Ирландия сохраняла нейтралитет. Став через девять лет (в 1948 г.) гражданином Ирландии, Шрёдингер прожил там до 1956-го, когда вернулся в Вену.

Для меня Институт перспективных исследований в Дублине оказался первым западным научным центром, который я посетил как ученый. Много позже я приехал и в Международный институт математической физики имени Эрвина Шрёдингера в Вене; в нем всего несколько постоянных штатных единиц, а характер его деятельности – предоставление условий для работы ученым, приезжающим на время для участия в программах. Программы, с характерной продолжительностью в несколько месяцев, отбираются на конкурсной основе, что поддерживает международный характер науки и «соревновательный» способ ее развития. Собравшиеся ученые временно объединяют усилия для получения совместных конкурентных преимуществ перед другими; затем, с учетом достигнутого прогресса, сотрудничество организуется в других комбинациях, и процесс продолжается – будем надеяться, безостановочно. В том, что в городе, где Шрёдингер родился, но провел так мало времени, постоянно собираются ученые из разных стран, можно усмотреть своеобразное зеркальное отражение его скитаний.

Признания и литературные комментарии

Возможность сложения состояний (волновых функций) называется принципом суперпозиции (т. е. наложения). Говоря о волновых функциях, их суперпозициях и правиле Борна, я систематически игнорировал наличие комплексных чисел (единственное исключение – вскользь прозвучавшее замечание о стационарных состояниях, да и оно сделано по настойчивой просьбе редактора). Волновые функции можно умножать на комплексные числа, поэтому получение вероятностей по правилу Борна требует не просто возведения в квадрат, но и дополнительного действия, которое делает результат пригодным для того, чтобы быть вероятностью. Из-за той же фигуры умолчания несколько загадочными могут показаться и подробности рецепта, который фокусник предлагает для построения собственного состояния количества движения из собственных состояний координаты: эти последние входят в сумму каждый со своим коэффициентом, и все эти коэффициенты различны, но все отвечающие им вероятности оказываются одинаковыми. Подобное умолчание не прошло бесследно в том отношении, что лишило меня удовольствия записать уравнение Шрёдингера так, чтобы в нем фигурировала постоянная Планка ħ; и поделом мне! Повторю также свое признание, сделанное на предыдущей прогулке, что и спиновые состояния вроде |↑⟩ тоже несут с собой комплексные коэффициенты; их удачным образом не содержат соотношения между спиновыми состояниями вдоль x и вдоль z, которыми поэтому все так широко и пользуются.

Возвращаясь к волновым функциям в целом, я практически полностью (если не считать пары не очень внятных намеков) обошел вниманием структуру гильбертова пространства. На этом фоне совсем уж и не прегрешение – мое систематическое равнодушие к нормировке волновых функций. Нечего и говорить, что я и близко не подхожу к теме эрмитовости операторов; пожалеть в связи с этим можно об оставшейся за рамками обратимости по времени для эволюции, которую определяет уравнение Шрёдингера.

Обозначение | ⟩, вместе с иногда употребляющимся для него названием «кет», появилось (как и обозначение ħ) в книге Дирака "The Principles of Quantum Mechanics" [11], оригинальное издание которой вышло в 1930 г. Пожалуй, это моя любимая книга по квантовой механике. Странствия Шрёдингера, описанные в добавлениях, – наикратчайшее резюме нескольких глав из довольно всеобъемлющего изложения [92], откуда я многое почерпнул (и которое цитирую в тексте). Цитаты из Тегмарка по поводу его разговоров с Уилером, как и вся идея «квантового бессмертия», взяты из книги [31]. Разнообразные биографические подробности об Эверетте собраны костромским историком Евгением Шиховцевым – моим основным источником по этому поводу. Материал доступен на странице Тегмарка https://space.mit.edu/home/tegmark/everett/. Рассуждение с ящиками А и Б для очередного испытуемого кота критически анализируется в [90]. Треки на рис. 11.3 оставлены в 1960 г. в первой пузырьковой камере ЦЕРНа: https://cds.cern.ch/record/39474.

Споры Эйнштейна и Бора о «содержании» квантовой механики рассматриваются в популярном изложении в книге [16], которая – не без некоторого элемента драмы – приглашает к знакомству с темой самую широкую аудиторию. В том, что касается периода создания квантовой механики, много подробностей и о действующих лицах, и о содержании формулируемой ими теории можно найти в [22]. Фамилии, которые я упоминаю в коротких исторических экскурсах, заведомо не составляют сколько-нибудь исчерпывающий список; это не систематическое изложение. Заметный, но далеко не единственный пробел – Борн и Йордан, развивавшие «матричную» квантовую механику в соавторстве с Гайзенбергом. Полноценное изложение этого сюжета требует немалого количества подробностей, а выборочное представление лишь некоторых аспектов, которое нередко встречается в книгах по квантовой механике, как правило, далеко от реальной, наполненной противоречиями истории и обычно приводится лишь с целью поддержать выбранную автором логику построения предмета. (Попутноe замечаниe: в начале 1936 г. Борн всерьез рассматривал предложение Капицы переехать для работы в Москву и даже начал учить русский язык; примерно в это же время Розен принял предложение Киевского университета, но проработал там недолго.) Из числа ученых, совсем не связанных с созданием квантовой механики, я хотел рассказать, но не рассказал о Гамильтоне, имя которого теперь используется для самого главного оператора в квантовой механике. Он среди прочего придумал кватернионы: как говорится в [15], они возникли перед его мысленным взором внезапно и сразу в окончательном виде, когда он прогуливался вдоль канала неподалеку от Дублина (ныне – в окраинном районе города). Гамильтониан (энергия, выраженная через координаты и количества движения) управляет эволюцией во времени и в классическом (неквантовом) мире, только там требуется меньше математических абстракций и применяются более простые средства для того, чтобы энергия могла воздействовать на координаты и количества движения всех участников событий.

Говоря о копенгагенской интерпретации квантовой механики, я допускаю вольность, несколько произвольно объединяя ее с тем, что также известно как «стандартная» интерпретация, в значительной степени восходящая к фон Нейману. Различия между ними и собственно взгляды самого Бора анализируются, например, в [68]. Тщательное рассмотрение оригинальной работы ЭПР и связанной с ней переписки Эйнштейна доступно в [70]. Теоремы Белла обсуждаются во многих местах, включая книги [90, 96, 76], а также [94]. Обзор экспериментов по исключению различных «лазеек», посредством которых нарушение неравенств Белла можно было бы согласовать с локальным реализмом, и ссылки на оригинальные работы приведены в [79]. Интерпретации квантовой механики – неисчерпаемая тема, стоит только один раз выбраться за рамки традиционной/копенгагенской, поэтому сюжеты, которые я выбрал для обсуждения, никак не претендуют на полноту. (Сергей Нечаев не одобряет мой выбор интерпретаций, что не в последнюю очередь свидетельствует о мозаичности всей «интерпретационной картины».) Кроме того, я полностью обошел молчанием теорему Глисона, теорему Кохена – Спекера и теорему ПБР (Пьюзи, Баррет, Рудольф), как и ряд других вопросов, быстро уводящих в разветвления, конца которым не предвидится; я прошу прощения у тех, кто считает, что любая из этих теорем так же важна для понимания квантовой механики, как и теоремы Белла. Источник цитаты Белла о бомовской механике – статья [45]. Каким образом постулируемое поведение бомовских точечных частиц приводит к наблюдаемым квантово-механическим эффектам, рассматривается в работах [97] и [98], а также в книге того же автора [96]. В книге, кроме того, обсуждается ряд проблем квантовой механики, включая измерения и локальность, а также несколько интерпретаций: копенгагенская, бомовская, ГРВ и многомировая. Основательная квантовая теория из первых рук – предмет книги [76]; мне пригодилось также изложение [80]. Подход ГРВ ясно изложен (с участием одного из авторов исходной идеи) в [74], а также, несколько более критически, в книге [90]. Цитата Зурека взята из статьи [112].

За исключением «основательных» (декогерирующих) историй, я почти совсем не обсуждал декогеренцию и совсем не обсуждал возникновение классического мира из квантового. Литература здесь весьма обширна, сошлюсь только на один очень энергичный обзор [106] и еще один, содержащий большее число подробностей и к тому же обновленный весной 2020 г., что позволяет найти там большинство ключевых ссылок: [43]. Отдельную большую тему, целиком оставшуюся в стороне, составляет интеграл по траекториям – впечатляющее изобретение Фейнмана, выросшее из сделанного вскользь замечания Дирака.

Как оказалось, я обошелся без волн де Бройля и (почти) без «корпускулярно-волнового дуализма». О них говорится практически в любом изложении квантовой механики, поэтому я за них не переживаю. (За опыт с одиночными электронами, проходящими через два отверстия в экране, я тоже не переживаю – он обсуждается везде.) В продуманных изложениях обычно добавляют, что корпускулярно-волновой дуализм не означает, что квантово-механическая «частица» – это и частица, и волна; напротив, он означает, что она не есть ни частица, ни волна. Ну и хорошо.

Движение на прогулке 11

Наши возможности делать заключения о происходящем в мире основаны на наблюдении материальных последствий движения – наблюдении макроскопических кусков материи, изменивших или изменяющих свое положение. О внутренних свойствах квантовых объектов мы в состоянии судить благодаря запутыванию этих свойств с движением. «Непосредственного доступа» к ним у нас нет, и лучшее имеющееся объяснение квантового мира требует развития абстрактных понятий и строится в терминах ненаблюдаемых объектов – состояний (волновой функции). Описание движения при этом также в значительной мере растворяется в череде абстракций; понятия положения, количества движения (скорости) и энергии приобретают новый способ существования, не как числа, а как операторы – математические конструкции, выражающие собой готовность воздействовать на волновую функцию. Построенное с их использованием уравнение Шрёдингера описывает эволюцию волновой функции, где и предлагается искать ответы на вопросы, «что и куда движется». Ключевую роль в эволюции во времени берет на себя энергия в виде оператора, действующего на волновые функции. Одновременно с этим мир на фундаментальном уровне имеет вероятностную природу, и наблюдаемые в нем события – продукт действия законов, регулирующих случайность. Запутанность как особый вид согласованности между свойствами разнесенных в пространстве квантовых явлений позволяет «перемещать» волновую функцию с математической точностью, используя лишь короткие «классические» сообщения. Квантовая механика достигла грандиозных успехов, отвечая и на количественные, и на качественные вопросы о поведении и свойствах квантовых систем, но она в значительной мере оставляет нас в неведении относительно элементов реальности, поведение которых отражается в волновой функции.

Заключение