Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей — страница 5 из 19

Прочь от Кеплера: размер, форма и беспорядок

Маршрут:Ничто не идеально. – Размер имеет значение. – От прилива до разрыва. – Движение откликается на форму. – Спасение эллипсов поцелуями. – Борьба всех со всеми. – Драма для троих.

Главный герой:приливы

Ничто не идеально. Окружности, сферы и шары – идеальные формы идеальных, как когда-то считалось, небес; Кеплер заменил окружности эллипсами, а Ньютон подтвердил вычислениями, что Кеплер угадал все правильно. Но и для Ньютона сферы и шары оказались важными. До сих пор, не всегда произнося это вслух, мы предполагали, что все небесные тела идеально круглые: имеют форму шара или же находятся настолько далеко друг от друга, что их можно считать точками. Именно тогда для одинокой планеты в качестве траекторий движения получаются математически строгие эллипсы (а сама постановка вопроса, как мы уже отмечали, называется задачей Кеплера). В действительности же движение под действием притяжения больших и неровных тел, как и движение крупных тел под действием притяжения любых других, – уже не вечная и идеальная «музыка эллипсов», а меняющийся мир довольно жестких реалий. Земля не идеальный шар, и, хотя на больших расстояниях от нее на это можно не обращать большого внимания, нарушения сферичности заметно проявляют себя в самом ближнем космосе – как раз там, где через два с лишним века после смерти Ньютона в избытке появились разнообразные летающие объекты. Реальная орбита искусственного спутника Земли имеет вид вроде показанного на рис. 4.1. Приходится признать, что это не сильно похоже на эллипс. Форма имеет значение – и в данном случае форма Земли разрушает кеплеровы эллипсы. Но это еще не все. Размер тоже имеет значение – но не для той стороны, которая действует, а для той, которая подвергается действию притяжения. Этот факт имеет два хорошо известных проявления, заметных невооруженным взглядом на берегу океана и при прогулках по Луне.

С размера и начнем.

Рис. 4.1. Типичная орбита спутника (для наглядности расстояния между соседними витками сильно преувеличены). И где здесь Кеплер?

*****

Размер имеет значение. В лунном небе Земля не восходит и не заходит – висит над путником, гуляющим по Луне, постоянно в одном и том же месте. В качестве компенсации, правда, смотреть на нее не скучно, потому что она вращается вокруг своей оси. Если вы находитесь на Луне, Земля для вас делает полный оборот вокруг своей оси за 24 часа 50 минут, так что вы можете разглядеть ее всю, если вам хватит терпения, тепла и кислорода (и не забудьте запастись всем этим на «лишние» 50 минут). Для вашего удобства она «застыла» неподвижно в одной точке неба. К такому положению вещей вообще-то все давно привыкли – но только наблюдая его с противоположного конца: в земном небе Луна видна всегда повернутой одной стороной[56]. Эта кажущаяся неподвижность – «застывшая» Земля и «не поворачивающаяся» Луна – есть результат движения в «гравитационных объятиях». Сила таких объятий занятным образом зависит от (массы обнимающего и) размера обнимаемого. И объятия взаимны; на Земле они проявляют себя в виде приливов.

Взаимность начинается с взаимности обращения: Земля и Луна, как мы говорили в главе «прогулка 2», движутся вокруг общего центра масс; центр Земли при этом описывает окружность (эллипс, очень близкий к окружности) радиусом около 4600 км. (Полный оборот занимает примерно лунный месяц; это движение никак не связано с вращением Земли вокруг своей оси, про которое временно можно даже забыть.) Но для движения по окружности требуется постоянно тянуть то, что движется, к центру – иначе улетит прочь. Землю и все, что на ней, в данном случае тянет, конечно, Луна. Притяжение Луны сообщает ускорение каждому камню, каждой песчинке и каждой капле воды – всему, что есть на Земле, причем точно такое же ускорение, как если бы камень, песчинка и капля падали на Луну. Падения в буквальном смысле не происходит именно из-за взаимного обращения Луны и Земли; с учетом притяжения самой Земли как раз и получается движение вокруг общего центра масс, но нам сейчас важны подробности того, как действует именно притяжение Луны. Если бы Земля была размером с автомобиль или даже астероид, дальше рассказывать было бы нечего, потому что предмет такого размера притягивается Луной как единое целое. Однако Земля довольно большая и из-за этого притягивается к Луне уже не совсем как единое целое: становится заметным, что разные части Земли находятся на различном удалении от Луны. Ньютонов закон тяготения (1.1) – правило «обратных квадратов» – сообщает нам, что камень, лежащий на ближней к Луне стороне Земли, притягивается с силой примерно на 3,4 % большей, чем притягивается «камень» той же массы в центре Земли, а на дальней от Луны стороне Земли такой же камень притягивается к Луне с силой почти настолько же (на 3,2 %) меньшей, чем в центре.

Эти проценты берутся от силы, которая и сама по себе не слишком велика: в среднем лунное притяжение, ощущаемое на поверхности Земли, примерно в 300 000 раз слабее земного: во столько же раз ускорение в направлении Луны меньше земного ускорения свободного падения g – того самого, которое делает нежелательными прыжки даже со второго этажа, да и подпрыгнуть вверх сколько-нибудь серьезно не позволяет. В действительности влияние Луны на зрелищность прыжков даже еще слабее: когда вы находитесь на Земле и видите Луну у себя над головой, ее вклад в ваш отрыв от поверхности при подпрыгивании определяется разницей в ускорениях, которые Луна сообщает лично вам и центру Земли (Луна норовит оттащить вас подальше от центра Земли). Аналогичная картина имеет место и в том случае, когда вы тренируетесь на противоположной от Луны стороне Земли: там ваше личное ускорение в направлении Луны меньше, чем ускорение центра Земли в том же направлении, и вам тоже немного легче подпрыгивать (центр Земли норовит «уйти к Луне» из-под ваших ног). Ни в том ни в другом случае, однако, у вас нет шансов это почувствовать: чтобы найти разницу между ускорениями, надо взять те самые три с небольшим процента от одной трехсоттысячной, что дает эффект «облегчения» на одну десятимиллионную долю (а одна десятимиллионная от веса человека – это сотая доля грамма; пылинка на одежде может весить больше). Мы не становимся сколько-нибудь заметно легче ни в лунные, ни в полностью безлунные ночи.

Рис. 4.2. Направления на Луну различаются в различных точках на поверхности Земли

Но это не конец истории: Земля достаточно большая еще и для того, чтобы направления на Луну не совпадали в различных точках земной поверхности. До сих пор мы пытались подпрыгивать в подлунной точке и в противоположной ей, «антилунной» точке; силы притяжения к Луне там различаются по величине, но не по направлению. Однако и направления, под которыми Луна видна из различных точек земной поверхности, различаются – сильнее всего для точек на «ободе», проходящем посередине между подлунной и антилунной точками. На рис. 4.2 показаны две такие точки; направление на Луну в каждой из них – не строго «вбок», по касательной к поверхности; оно имеет и небольшую (чуть более полутора процентов) составляющую, направленную внутрь Земли, вдоль радиуса. Из-за этого разбросанные там камни дополнительно прижаты к поверхности Земли – на величину даже меньшую одной десятимиллионной номинальной силы земного притяжения.

В разных частях Земли притяжение Луны различно и по величине, и по направлению

Итак, кроме того, что с подлунной и антилунной сторон имеется эффект «облегчения», посередине между ними возникает эффект «прижимания» к поверхности. Оба – ничтожные, но погодите буквально минуту. Самое главное происходит в переходных областях, где дополнительное «лунное» ускорение, которое получают тела на земной поверхности относительно центра Земли, меняет свое направление с «к центру» на «от центра» (рис. 4.3). На значительном участке земной поверхности камни, песчинки и капли воды испытывают ускорение почти вдоль поверхности – появляется нечто вроде эффекта «поглаживания». Оно очень слабое и не имеет никакого значения ни для отдельного камня, ни для песчинки, ни для капли воды. Но малые эффекты могут складываться в нечто значимое, если воды много: передача давления от одних областей к другим создает эффект «насоса», накачивающего воду в сторону подлунной и антилунной областей, забирая ее из «срединных» областей. Вода – не в озерах или даже морях, которые слишком малы для этого, а в Мировом океане – испытывает силу, толкающую ее вдоль поверхности, по стрелкам на рис. 4.3. Получается почти буквально насос: на двух противоположных сторонах Земли вода нагнетается в горб (прилив), а между ними возникает впадина (отлив).

Рис. 4.3. Как направлены силы, которые возникают на земной поверхности из-за неоднородности притяжения к Луне

Один горб обращен к Луне, а другой – в противоположном от Луны направлении. Теперь, наконец, самое время вспомнить, что Земля вращается вокруг своей оси, поворачиваясь к Луне разными сторонами по очереди. Стрелки на рис. 4.3 сохраняют свою ориентацию относительно направления на Луну, но нарисованная под ними окружность вращается, просто потому что Земля вращается вокруг своей оси. Она делает полный оборот за 23 часа 56 минут (и 4 секунды), но это – относительно звезд; Луна же не стоит на месте относительно Земли, делая полный оборот за 27,3 суток, из-за чего Земля поворачивается к Луне в точности одним и тем же образом в среднем каждые 24 часа 50 минут и 28 секунд (Луна и в самом деле восходит каждый день примерно на 50 минут позже, чем накануне). Эти 24 часа и 50 (с половиной) минут составляют период вращения Земли вокруг своей оси для жителей базы на Луне, и за это же время на земной поверхности два приливных горба совершают путешествие вокруг Земли (или, если вам так больше нравится, Земля полностью проворачивается под деформированной поверхностью океана). Примерно два прилива и два отлива в сутки (рис. 4.4)[57].

Рис. 4.4. Сент-Майклс-Маунт (гора Св. Михаила) в Корнуолле (Англия), куда во время отлива можно пройти пешком по ведущей по дну каменной дорожке. Монастырь на острове основан бенедиктинцами в XII в.

Луна обнимает Землю океанскими приливами, и эти объятия тормозят вращение Земли вокруг своей оси[58]. За последние примерно 100 лет точных астрономических наблюдений сутки увеличились примерно на одну семисотую долю секунды. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока приливные горбы не перестанут путешествовать, огибая Землю, а для этого продолжительность суток должна вырасти до периода обращения Луны вокруг Земли. Луна тогда будет видна постоянно над одной и той же точкой земной поверхности. Такой «захват» Земли лунным притяжением, впрочем, имеет шанс наступить настолько нескоро, что еще до того на Земле исчезнут океаны из-за возросшей энергии солнечного излучения, а то и погибнет Солнечная система. Но аналогичный захват Луны земным притяжением уже произошел! Все причины возникновения приливов, которые действуют применительно к Земле, действуют и в отношении Луны, только там они сильнее из-за того, что источник этих эффектов – Земля – намного массивнее. Замедление вращения Луны вокруг ее оси происходило до тех пор, пока Луна не перестала поворачиваться «под» двумя приливными горбами, т. е. пока ее вращение вокруг своей оси не синхронизировалось с обращением вокруг Земли. Для этого хватило того времени, пока на Луне имелась жидкая, расплавленная фаза. С тех пор «лунные сутки» и установились равными времени ее обращения вокруг Земли. Луна, другими словами, полностью захвачена гравитационным объятием Земли. Поэтому для того чтобы наблюдать восход Земли – появление ее из-за лунного горизонта, как это делали Борман, Андерс и Ловелл (см. рис. 2.2), требуется лететь вокруг Луны; «сама по себе» Земля над Луной не восходит и не заходит.

Рис. 4.5. Коллаж из фотографий Харона и Плутона, сделанных аппаратом NASA «Новые горизонты» 14 июля 2015 г.

Примеры гравитационного захвата наблюдаются в разных местах Солнечной системы. (Карликовая) планета Плутон и ее спутник Харон (рис. 4.5) – не совсем обычный пример планеты и спутника: их радиусы различаются всего в два раза, что несколько приближает эту пару к двойной планете[59]. Это позволило обоим телам гравитационно захватить друг друга. Сутки на каждом сравнялись с периодом обращения (6,387 земных суток – где-то между сутками на Земле и на Луне), и каждое всегда повернуто к другому одной стороной. Полное отсутствие сюжета в 5,9 млрд километров от Солнца; вся пьеса уже сыграна, а мы определенно опоздали на представление.

Юпитер превосходит свой спутник Ио (который сам несколько больше Луны) в 38 раз по размеру (и в двадцать с лишним тысяч раз по массе) и тоже держит его «лицом к себе». Другой спутник Юпитера, Европа (слегка меньше Луны – процентов на десять по размеру и в полтора раза по массе), судя по ряду признаков, имеет под ледовой корой жидкий океан, причем наличие жидкой фазы в отсутствие солнечного тепла объясняется приливным трением в условиях сильного притяжения Юпитера. Время от времени обсуждается идея поискать в этом океане жизнь. Имеется жидкая вода, кое-какие химические элементы и источник тепла – надо ли что-то еще? Возможно, через некоторое время мы узнаем – планы отправить к Европе исследовательский зонд постепенно принимают все более четкие очертания.

*****

От прилива до разрыва. Земля убедительно распорядилась Луной, синхронизовав два вида ее движения. Но возможны и более радикальные решения, примеры которых мы видим у больших (гравитационно сильных) планет в Солнечной системе: они окружены не только спутниками, но и кольцами. Мы тоже могли бы наслаждаться видом колец вместо Луны, если бы она оказалась слишком близко к Земле. Телу относительно большого размера нельзя подходить к другому массивному телу ближе, чем на некоторое критическое расстояние. Да, гравитация только притягивает; но она же, несколько парадоксальным образом, может и разрывать – из-за того что одни части тела (для повышения драматизма будем говорить о Луне) притягиваются сильнее, чем другие. Ближняя к Земле часть Луны испытывает более сильное притяжение к Земле, чем центр Луны, а дальняя часть – более слабое. Спрашивается, почему они не отрываются от центра? Конечно, потому, что Луна держит себя вместе своей собственной гравитацией. Так и происходит с Луной там, где она сейчас находится. Но по мере (воображаемого) приближения к Земле возрастает не только общая сила притяжения к Земле – возрастает еще и разница между притяжением ближних и дальних частей достаточно протяженного тела. На некотором расстоянии от Земли эта разница превосходит собственную гравитацию Луны, что и означает конец Луны как чего-то целого и круглого, превращение ее в обломки, которые летают по отдельности, образуя кольца, если смотреть на все это с должного удаления. Критическое расстояние опасного приближения называется пределом – или радиусом – Роша. Его численное значение можно определить, развив только что высказанные соображения (и вовсю пользуясь законом тяготения Ньютона). Естественный спутник Земли, имеющий размер Луны, если он, как и настоящая Луна, твердый, не может приблизиться к Земле ближе чем на примерно 9500 км и остаться единым целым. Это расстояние и есть предел Роша для системы Земля – Луна. Отсюда видно, что Луне ничего не грозит, потому что летает она на расстоянии в сорок раз большем. Предел Роша для жидкой Луны (а она ведь когда-то была такой) примерно в два раза больше, чем для твердой, но все равно текущая орбита Луны проходит на расстоянии, примерно равном 21 «жидкому» пределу Роша. Луна в полной безопасности!

Гравитация может разорвать на части

Жидкое тело поддается разрыву на большем удалении от центра притяжения, чем твердое: «жидкий» предел Роша больше «твердого» по причине, которую можно выразить фразой «Чем быстрее начинаешь поддаваться, тем скорее проигрываешь». Жидкое тело деформируется, вытягиваясь вдоль направления на притягивающую массу (в точности так, как вода в земных океанах). Но чем больше вытянут спутник в направлении притягивающей планеты, тем заметнее различие между силами притяжения самой близкой и самой далекой его частей. Другими словами, начавшееся удлинение только способствует увеличению разрывающего усилия! Все те тела, которые мы наблюдаем в Солнечной системе в виде тел, а не колец, так или иначе предотвратили свой разрыв, но следы происходивших битв заметны в приливных выступах, которые имеют некоторые спутники, например Харон (см. рис. 4.5): они испытывали приливную деформацию, пока были жидкими, все-таки избежали разрыва благодаря достаточной дистанции от планеты, но сохранили деформацию – приливные горбы, после того как застыли.

В Солнечной системе есть и пары, приближающиеся к рискованному радиусу. Спутники Сатурна, носящие имена Пан, Атлас, Прометей, Пандора, Эпиметей и Янус (два последних мы уже встречали на прогулке 3, когда они без устали менялись орбитами), имеют орбиты, лежащие внутри «жидкого» предела Роша. Даже в сравнении с «твердым» пределом Роша они находятся не слишком далеко от планеты: от менее полутора для Пана до примерно двух пределов Роша для Эпиметея и Януса. Наяда – спутник Нептуна – выделяется орбитой, проходящей в среднем на расстоянии всего 1,39 «твердого» предела Роша (и заведомо внутри «жидкого»). А вот кольца Сатурна (рис. 4.6), традиционно обозначаемые буквами D, C, B, A, F, G и E,[60] находятся внутри или (G и E) очень близко снаружи предела Роша для жидких тел, а D и C – даже внутри предела Роша для твердых тел. Если кольца Сатурна не есть результат разрыва когда-то существовавших тел, то это, во всяком случае, ясное свидетельство того, что пребывание ниже предела Роша или вблизи него не позволяет – и никогда не позволит – отдельным кускам собраться вместе под действием своей собственной гравитации, как когда-то собрались имеющиеся планеты и их спутники.

Рис. 4.6. Фотография Сатурна, сделанная аппаратом «Кассини»

Иногда мне кажется, что астрономы (да и астрофизики) излишне самоуверенны – смело рассуждают не только о вещах далеких и, в общем, не слишком хорошо видных (иначе зачем столько современных ухищрений?), но и о причинах того, что с этими вещами происходит. Но в такие моменты я спрашиваю себя: а как же не стать самоуверенным, если вычисления на бумаге способны предсказать правила игры для самых далеких космических объектов? Предел Роша был вычислен теоретически (в 1848 г.!) исходя из закона тяготения и ряда предположений, но это не «бумажная декларация». Он работает. В июле 1992 г. комета Шумейкеров – Леви 9 пересекла предел Роша, неосмотрительно приблизившись к Юпитеру, и в самом деле была расчленена на несколько фрагментов. Через два года эти фрагменты снова приблизились к Юпитеру, но на этот раз упали на него, что было первым наблюдаемым столкновением (естественных) тел в Солнечной системе. Скорость попадания была высока – близка ко второй космической скорости для Юпитера (59,5 км/с), что сделало событие не только крайне интересным для изучения Юпитера, но и ярким. К сожалению, фрагменты врезались в Юпитер на той его стороне, которая в этот момент не была видна с Земли, и наблюдать моменты удара мог только космический аппарат «Галилео» (который как раз направлялся к Юпитеру, но все еще находился от него на расстоянии большем, чем полтора расстояния от Земли до Солнца). Впрочем, Юпитер быстро поворачивается вокруг своей оси (примерно за 10 земных часов), и места попадания стали доступны наблюдению со стороны Земли буквально через несколько минут[61]. Этот случай привлек внимание к возможной роли Юпитера в поддержании жизни на Земле: гравитационно мощная планета-гигант защищает Землю от астероидов и комет, приходящих из более дальних областей Солнечной системы, перенаправляя их или забирая себе, а затем поглощая (комета Шумейкеров – Леви 9, вероятно, попала в объятия Юпитера и сделалась его спутником за 20–30 лет до своей кончины). Спокойствие на Земле (пусть даже относительное спокойствие, если вспомнить про столкновение, по всей видимости приведшее к вымиранию динозавров) требует наличия довольно мощного «вышибалы», курсирующего на подходящем расстоянии.

На одну комету меньше из-за тесного сближения

В январе 2019 г. космический телескоп TESS (см. рис. 3.8) зафиксировал последствия нарушения предела Роша на расстоянии 375 млн световых лет от нас. Там черная дыра с массой, равной 6 млн масс Солнца, расправилась со звездой предположительно сравнимого с Солнцем размера. Процесс превращения звезды в подобие кольца – яркий диск, вращающийся вокруг черной дыры, – наблюдался в течение 41 суток (этот временной отрезок и характер свечения в первую очередь послужили указанием на то, что причина выделения энергии – не сверхновая)[62].

*****

Движение откликается на форму. Движение естественных и искусственных спутников, залетевших в гости комет и астероидов, да и чего угодно вблизи планеты (скажем, Земли) определяется тем, как именно эта планета притягивает. Но закон тяготения Ньютона ничего не говорит о том, как притягивает конкретная планета. Собственно, закон тяготения сообщает, как притягивают друг друга две точки, волшебным образом содержащие в себе массы M₁ и M₂ и разделенные расстоянием R. Таких точек в природе существовать не может: любое количество вещества всегда занимает какой-то объем, а в геометрическую точку нельзя запихнуть никакую массу. По некотором размышлении начинаешь удивляться, что закон тяготения вообще работает, несмотря на настолько нефизическое допущение в его формулировке. В действительности ньютоновский закон тяготения для таких «волшебных точек» работает вместе с предписанием о суммировании. Требуется представить планету, со всеми ее внутренностями, как собрание несметного числа малых кусков – настолько малых, чтобы каждый несильно отличался от точки. Каждый из них находится на своем расстоянии от (например) искусственного спутника, которым мы интересуемся. Притяжения от всех кусков, с учетом массы каждого и расстояния от него до спутника, надо затем сложить. Если все куски достаточно малы, получится неплохое приближение к точному ответу на вопрос о силе притяжения со стороны всей планеты в целом. Если требуется действовать точнее, надо разбивать планету на еще большее число кусков. Точность растет по мере уменьшения размеров всех кусков и одновременного увеличения их количества в разбиении. Такое разбиение и суммирование выполняются практически буквально, когда мы решаем задачу на компьютере; правда, ответ в этом случае получается все равно до некоторой степени приближенным (его точность может нас устраивать, но в принципе ее всегда можно улучшить). Ньютон изобрел математическую процедуру, в рамках которой «уже выполнено» разбиение на такие куски, которые меньше любых, какие можно себе вообразить, а получающийся ответ – точный. Эта процедура – интегрирование, уже встречавшееся нам в главе «прогулка 1». Математические правила игры при этом полностью определены, и единственная (зато большая) проблема состоит в том, что совсем не часто результат можно записать «в обозримом виде» – конечной формулой, непосредственно выражающей ответ.

Закон тяготения прост только для воображаемых точек

Однородная сфера притягивает точно к своему центру

Автор закона всемирного тяготения математически выяснил, что шар, равномерно заполненный веществом, притягивает максимально простым образом: так, как если бы вся его масса была сосредоточена строго в центре. Достаточно даже, чтобы по каждому сферическому слою вещество было распределено равномерно. Для Земли это означало бы, что она не просто имеет форму шара, но и на любой выбранной глубине (скажем, 8,2 км или 3587 км – любой) кубический сантиметр объема содержит одну и ту же массу и под Чукоткой, и под Кубой, и под Северным полюсом – везде. Тогда Земля и притягивала бы в точности как одна «волшебная точка», в которой непостижимым образом уместилась вся масса планеты; такова математика. Но даже беглый взгляд на раскраску глобуса показывает, что Земля неоднородна: для начала на ней есть океан и не-океан. По крайней мере поверхностный слой толщиной в несколько десятков километров неоднороден. Да Земля и не имеет формы шара! Не могу удержаться, чтобы не процитировать Азимова:

Земля – не сферическая

Когда люди думали, что Земля плоская, они ошибались. Когда люди думали, что Земля – шар, они ошибались. Но если вы считаете, что считать Землю шаром ошибочно в той же мере, в какой ошибочно считать ее плоской, то вы совершаете большую ошибку, чем те две ошибки, вместе взятые.

Рис. 4.7. Относительные отклонения земной поверхности от сферы преувеличены здесь в 10 000 раз. Выпуклости и вдавленности дополнительно показаны цветом. На черно-белом изображении оттенки красного (выпуклости) неотличимы от оттенков синего (вдавленности); см. цветное изображение: https://en.wikipedia.org/wiki/Figure_of_the_Earth#/media/File: Geoid_undulation_10k_scale.jpg

Отклонения Земли от сферичности и имеющиеся внутри нее неоднородности сказываются на ее притяжении: оно не такое же, как если бы вся масса Земли находилась точно в центре. Различия небольшие, но они радикально меняют движение искусственных спутников. Задача о движении спутников в реальности не является задачей Кеплера. Ни одну орбиту нельзя рассчитать на хотя бы десяток витков вперед, заменяя Землю точкой в ее центре, где сосредоточена вся масса Земли.

Орбиты спутников чувствительны к форме Земли

А как надо действовать?

Если бы Земля имела пресловутую форму чемодана или, скажем, подчеркнуто грушевидной груши, то для описания движения малых тел под действием ее притяжения не было бы никаких средств, кроме таблиц, составляемых компьютерами, и визуализации этих таблиц в виде рисунков. Совершенная простота закона тяготения для «волшебных точек» дает сложные результаты, когда эти точки не распределены равномерно по сферическим слоям. Влияние же реальной формы Земли удается учитывать, делая последовательные приближения. Это означает, что отклонения от сферичности принимаются во внимание по очереди в зависимости от того, сколь масштабный эффект они вызывают: от «скособоченности» в целом к более мелким «выступам» и «впадинам». Это оказывается возможным потому, что Земля все-таки больше похожа на шар, чем на чемодан; она, более того, ближе по форме к мячу для футбола, чем к мячу для регби. Форма Земли с сильно преувеличенными отклонениями от сферичности показана на рис. 4.7.

Форма и неоднородности Земли – не фундаментальный факт природы, а случайность, особенности конкретной планеты, и для их описания надо придумать, как соединить конкретные данные с фундаментальными принципами. Отправная точка последовательных приближений – идеализированное предположение, приводящее к кеплеровой картине движения; здесь все понятно, и предмет нашего интереса – дальнейшие уточнения, но для единообразия явно сформулируем это предположение.

•Идеально круглая и однородная Земля: зависимость притяжения от расстояния 1/R², зависимости от направления нет.

А теперь учтем самый главный эффект, отличающий Землю от идеального шара: сплюснутость у полюсов, или, что то же, выпуклость («вздутие») вблизи экватора. От центра Земли до полюса на 21 км ближе, чем от центра до экватора. Это около 0,335 % радиуса Земли, что, в общем, совсем мало для практически всего, кроме спутников. Наладить производство реалистичных глобусов, передающих такие детали формы Земли, довольно проблематично: если радиус глобуса равен метру (что не так мало для интерьера – два метра в диаметре), то полюс надо дополнительно приблизить к центру на три с небольшим миллиметра, и это едва ли многие заметят. Но в этом же масштабе высота орбиты, скажем, МКС (практически равная расстоянию между Москвой и Нижним Новгородом) – около 6 см над поверхностью глобуса. Это близко, и если «один бок» Земли притягивает несколько сильнее, чем другой, то орбита живо на это откликается; «три миллиметра» (21 км) оказываются очень существенными для низких околоземных орбит. Чтобы описать, как эти 21 км проявляют себя, мы заменяем реальную Землю специальной математической фигурой, учитывающей только реальные значения полярного и экваториального радиусов. Она (эта фигура) называется эллипсоидом вращения, но главное не название, а то, что она передает одно знание о форме Земли: разницу между полярным и экваториальным радиусами. На полюсах и на экваторе мы совмещаем эту воображаемую поверхность и реальную поверхность Земли как можно более точно, а в остальном – что получится, то получится: поверхность воображаемого эллипсоида проходит где-то чуть выше, а где-то чуть ниже реальной земной поверхности; о точном совпадении мы прямо сейчас не заботимся. Эллипсоид же прекрасен именно тем, что это строго определенная математическая фигура, для которой можно (хоть и не без некоторых усилий) выполнить требуемую процедуру суммирования притяжений от «волшебных точек». Делая это, надо вспомнить, что мы уже учли притяжение идеально круглой Земли и поэтому сейчас интересуемся только тем, что еще надо добавить к силе притяжения.

И вот главное: добавка к силе притяжения, которая математически выводится для эллипсоида, составлена из многих компонентов, которые с разной быстротой ослабевают по мере удаления от Земли. Тот вклад в притяжение, который ослабевает медленнее других, зависит от расстояния как 1/R⁴ (происхождение именно такой зависимости обсуждается в добавлениях к этой прогулке). Это значит, что при увеличении расстояния в два раза такая сила притяжения уменьшается в 16 раз. Это, конечно, заметно быстрее, чем убывание «по закону обратных квадратов» (в два раза дальше – в четыре раза слабее), но все же медленнее всех остальных компонентов, которые в совокупности точно описывают притяжение эллипсоида вращения. А поскольку Земля не имеет в точности форму эллипсоида вращения, увлекаться математическими подробностями про притяжение этой фигуры совершенно ни к чему, и из всего притяжения эллипсоида мы оставляем только один компонент – этот самый, который ослабевает как 1/R⁴. Кроме того, математика определяет для этого вклада вполне конкретную зависимость от направления. В данном случае это зависимость только от широты, и она однозначно фиксирована. Подведем итог первого шага по переводу формы Земли в силу притяжения.

• Сплюснутость у полюсов: дополнительная зависимость притяжения от расстояния 1/R⁴, но еще и с определенной зависимостью от широты.

Широта – это угол, отсчитываемый от экватора (математически – положительный в Северном полушарии и отрицательный в Южном). Зависимость только от широты, но не от долготы означает, что спутник испытывает одинаковое притяжение, находясь на одной и той же высоте над Кабулом и над Осакой (которые расположены почти на одной широте). Помимо того что от широты зависит сила притяжения, направленная по радиусу к центру Земли, автоматически появляется и составляющая силы, направленная вдоль меридианов, – что неудивительно, потому что экваториальное «вздутие» притягивает спутник к себе. Математике при этом неважно, как называется сплюснутое у полюсов тело, которое мы захотели примерно описать как эллипсоид вращения. Точно такую же зависимость притяжения от широты мы получили бы для сплюснутого у полюсов Юпитера. Все, что остается от конкретной планеты (кроме ее массы), – это одно число, а именно коэффициент, с которым вся наша добавка, содержащая 1/R⁴ и вполне определенную зависимость от широты, прибавляется к «закону обратных квадратов». Это небольшое число выводится из упомянутых выше 0,335 % (а также массы, среднего радиуса и угловой скорости вращения Земли).

Вперед – к груше! Образ груши отражает тот факт, что Северное полушарие реальной Земли слегка отличается от Южного. Действуем в том же духе: заменяем реальную форму Земли со всеми ее многочисленными подробностями специальной фигурой, более сложной, чем эллипсоид вращения, но все еще относительно простой математически, и вычисляем добавку к уже найденной силе притяжения. Здесь тоже получаем силу, составленную из многих компонентов, которые убывают по мере удаления еще быстрее, чем те, которые мы уже учли. Из всего нового оставляем только ту часть, которая уменьшается медленнее других при увеличении расстояния.

• Неодинаковость Северного и Южного полушарий: дополнительная зависимость притяжения от расстояния 1/R⁵, снова с определенной зависимостью от широты.

Такая зависимость означает, что при удвоении расстояния притяжение оказывается уже в 32 раза слабее. Математика снабжает этот вклад в притяжение вполне конкретной зависимостью от направления (и получающаяся сила притяжения опять оказывается направленной не строго по радиусу). Связь с реальной планетой Земля состоит в том, что все получившееся надо умножить на экспериментально установленный коэффициент – второе (очень небольшое) число, описывающее неидеальность формы Земли.

И таких чисел в развитых современных схемах – тысячи. Все больше подробностей реальной формы Земли и распределения массы внутри нее находит отражение в добавках к силе притяжения, зависящих от расстояния как 1/R⁶, 1/R⁷, …, – каждая со своей зависимостью от направления. При этом дело не ограничивается зависимостью от широты, имеются вклады в силу притяжения с зависимостью и от долготы – тоже с математически определенными выражениями и с экспериментально найденным числом для каждого. Первый вклад с зависимостью от долготы имеет вид дополнительной силы, ослабевающей с расстоянием как уже фигурировавшее выражение 1/R⁴ (но с существенно меньшим коэффициентом), и отражает тот факт, что сам экватор – не совсем окружность! Главное отличие от окружности – разница в 70 метров между двумя перпендикулярными диаметрами, больший из которых упирается одним концом в меридиан 15° западной долготы. Этот меридиан, если двигаться по нему с севера на юг, проходит через восточную оконечность Гренландии, Исландию и западную оконечность Африки (Западную Сахару, Мавританию, Сенегал, Гамбию, снова Сенегал, Гвинею-Бисау и принадлежащий просто Гвинее остров Тристан – но уже не заходя в Сьерра-Леоне). С противоположной стороны меридиан 165° восточной долготы проходит через Чукотский АО, Камчатский край, вблизи атолла Бикини в цепи Маршалловых островов, а также через Новую Каледонию. Вот там-то Земля и «выпуклая». На несколько десятков метров.

Добавляя все новые – и все более разнообразно устроенные математически – компоненты силы притяжения, мы все более точно описываем реальное притяжение Земли, уже необязательно задаваясь вопросом о том, какая именно скособоченность в каком направлении или повышенная плотность планеты где-то внутри описывается именно данным слагаемым в общей сумме. Математика заботится о том, какими могут быть возможные зависимости от направления (широты и долготы) для каждого слагаемого с заданной скоростью убывания по мере удаления, и остается только правильно определить коэффициент перед каждым из них. Здесь-то и вступает в дело вторая часть всей схемы: связь между силой притяжения (со всеми ее разнообразными зависимостями от расстояния и направления) и орбитами. Какое-то уже установленное выражение для силы притяжения – скажем, из пяти слагаемых – определяет, какими были бы орбиты, если бы Земля притягивала в точности как сумма этих пяти слагаемых (такие орбиты можно найти с помощью компьютера). Затем точно измеряют орбиты реальных спутников, чтобы узнать, где они отклоняются от предсказаний. Теперь требуется решить обратную задачу: определить, какие дополнительные вклады в силу притяжения отвечают за такое отклонение, и добавить их с такими коэффициентами, чтобы вычисляемая орбита совпала с реально наблюдаемой. Точность всех последующих предсказаний орбит тем самым повысится, а затем процесс повторяется для все более тонких уточнений. «Все более тонкие» означает эффекты, вызванные неоднородностями все меньшего масштаба: не общая скособоченность Земли, а что-то вроде «чуть более сильного притяжения» со стороны какой-то относительно небольшой области. Модель земного притяжения в виде набора коэффициентов, каждый для своего математического выражения из известного набора, дает наиболее полное выражение нашего знания о том, как притягивает к себе наша планета.

Движение – способ узнать форму Земли и распределение массы внутри нее

Численные значения коэффициентов определяются из наблюдения за движением; наилучшие имеющиеся представления о форме Земли – это результат исследования движения в ее окрестностях. Все то же самое относится и к другому небесному телу, изученному в достаточных подробностях, – к Луне. Особенности ее гравитации, определяемые по движению искусственных спутников Луны, стали предметом интереса в середине 1960-х как часть подготовки к высадке человека на ее поверхность[63]. Неучтенные усиления и ослабления лунного притяжения увеличивали ошибку прилунения и вносили неточности в расчеты необходимых маневров на окололунной орбите. К настоящему моменту гравитация Луны (где в дело не вмешивается атмосфера, о роли которой для Земли мы еще скажем) изучена в немалых подробностях; на карте, приведенной на рис. 4.8, разрешение достигает 20 км. Луна более неоднородна, чем Земля, и быстро «губит» низкие орбиты: существенные изменения в них накапливаются за несколько дней. Майкл Коллинз оставался в одиночестве в командном модуле «Аполлона-11» около суток, начав с орбиты, имеющей максимальное удаление от Луны 122 км и минимальное 100 км; с учетом того, что было известно тогда о гравитации Луны, ожидалось, что к моменту встречи с лунным модулем, возвращающимся с поверхности, он окажется на круговой орбите радиуса 110 км, но в реальности стыковка произошла на орбите с максимальным и минимальным удалениями 117 км и 105,2 км. Позднее выяснилось, что имеются замечательные «замороженные» орбиты со строго определенными углами наклонения к экватору 27°, 50°, 76° и 86° – такие орбиты на удивление устойчивее других. Но вообще-то создавать постоянную станцию на низкой окололунной орбите – малоперспективная затея (это одна из причин, по которым для Лунной орбитальной платформы планируется орбита, связанная с точками Лагранжа системы Земля – Луна).

Рис. 4.8. Лунная гравитация, представленная цветами на поверхности. На черно-белом изображении оттенки красного (избыток массы) неотличимы от оттенков синего (недостаток массы); см. цветное изображение: https://www.nasa.gov/mission_pages/grail/multimedia/zuber4.html

Получение точных данных потребовало одновременного полета двух космических аппаратов. Они двигались по орбите высотой всего 50 км на расстоянии от 175 до 225 км друг от друга, и измерение этого расстояния с точностью до микрона позволило в подробностях картировать лунную гравитацию

*****

Спасение эллипсов поцелуями. Точная модель земного притяжения требуется для точных расчетов, которые неизменно оказываются вычислениями на компьютере. Их надо делать каждый раз заново для каждого космического аппарата, начиная вычисления с тех или иных «начальных условий» – конкретных данных о том, где находится и куда движется аппарат в выбранный момент времени. Но из компьютерных вычислений не так просто увидеть связь «причина – следствие» – скажем, насколько именно этот тип скособоченности Земли влияет, например, на поворот плоскости орбиты.

В отношении всех тысяч коэффициентов, в совокупности отражающих форму Земли, задавать такие вопросы довольно бессмысленно, потому что эффект от каждого – это та или иная вариация и без того тонких эффектов, определяемых «более старшими» коэффициентами (теми, которые отвечают за неоднородности большего масштаба). Но в том, что касается самых старших – и наиболее «влиятельных» – коэффициентов, крайне желательно было бы увидеть связи «причина – следствие». Как действуют причины, стоящие за безумием реальных орбит вроде той, что изображена на рис. 4.1? Какие орбиты более, а какие менее чувствительны к главным проявлениям несферичности Земли? При планировании космических миссий такое знание позволяет делать общие выводы еще до того, как вычисление необходимых подробностей передается компьютеру. Получение этого знания – поучительная история о том, как можно разобраться в сложном движении. Ряд некеплеровых орбит удалось остроумно описать, не расставаясь с Кеплером окончательно и бесповоротно (да, мы любим кеплеровы орбиты – уже за то, что с ними все понятно, а рассуждать в их терминах удобно; это-то удобство и хочется по возможности сохранить). На помощь приходит трюк с «поцелуями».

Глядя на спутник, который движется вокруг реальной Земли, быть может, по траектории, вроде показанной на рис. 4.1, попробуем (как верные последователи Галилея в том, что касается мысленных экспериментов) представить себе, что вся несферичность Земли вдруг пропала. С этой самой секунды спутник продолжит двигаться по эллипсу. Реальный же спутник, притягиваемый реальной Землей, полетит по несколько иной траектории, но мы намереваемся описывать происходящее с ним как наложение друг на друга двух сюжетов: 1) спутник каждую секунду движется по тому эллипсу, который наблюдался бы, если бы несферичность исчезла; 2) весь эффект несферичности проявляется в том, что сам этот эллипс непрерывно меняется. Здесь, конечно, важно не переборщить. Если вы двигаете бусинку по проволочному кольцу в форме эллипса и одновременно поворачиваете и/или вытягиваете сам эллипс, то это второе надо делать не слишком быстро. Если кольцо неузнаваемо меняется быстрее, чем бусинка пройдет по нему сколько-нибудь заметную долю полного оборота, то от эллиптической формы этой проволки большой пользы нет. Но из-за того, что Земля все-таки достаточно круглая, для спутников эта схема работает.

Заветный эллипс – то ли придуманный, то ли реально существующий, хоть и постоянно меняющийся – называется оскулирующим. Именно так – не «осциллирующим». Не самый распространенный английский глагол osculate означает, как ни странно, «целовать»[64]. В механике и математике термин (не совсем без оснований) стал указывать на плавное касание – такое, когда две линии имеют в точке соприкосновения общую касательную. Чтобы идея постепенно эволюционирующего эллипса оправдала наши надежды, а именно позволила бы увидеть, какие факторы влияют на эволюцию орбит и каким именно образом, необходимо получить уравнения для этих меняющихся эллипсов. Эта задача была поставлена и решена только в середине XX в. Неизвестными в таких уравнениях для орбит являются вовсе не координаты спутника, а параметры эллипса в целом.

А как, собственно, эллипс может оскулировать? Во-первых, может меняться его геометрия – размер и степень вытянутости: каждую из полуосей эллипса можно, в принципе, растягивать или сжимать. Одновременно эллипс может «гулять» вокруг Земли, оставаясь будто бы закрепленным в ее центре своим фокусом. Попробуйте взять в руку проволочный эллипс достаточно большого размера, поместить внутри него глобус и представлять себе, что один из фокусов эллипса закреплен на волшебном шарнире в центре глобуса (настоящий спутник обходится без волшебства). На ваше усмотрение остаются разнообразные размахивания эллипсом как единым целым вокруг этой точки – в дополнение к уже отмеченной возможности сжимать или растягивать эллипс по двум направлениям. Как же на все эти движения эллипса влияет своей гравитацией главная неоднородность Земли – сплюснутость у полюсов?

Ранее мы выразили сплюснутость Земли в виде поправки к силе притяжения с зависимостью от расстояния 1/R⁴ и с некоторой конкретной зависимостью от широты. И вот наконец награда: обработка этой поправки математическими средствами и некоторая степень остроумия при выводе уравнений для оскулирующего эллипса позволяют ясно увидеть, что происходит с любой начальной орбитой. Из формул, без которых я изо всех сил (хоть и не всегда с полным успехом) стараюсь обходиться, следует, что из-за сплюснутости Земли геометрия эллипса не меняется: он никак не растягивается и не сжимается. Выразим это короткой анкетой:

Зато в другом отношении события развиваются довольно живо – плоскость, в которой лежит эллипс, поворачивается с постоянной скоростью навстречу движению спутника: спутник, обращающийся вокруг Земли в направлении ее собственного вращения, пересекает экватор на каждом следующем витке несколько западнее, чем на предыдущем (рис. 4.9). Это означает, что траектория движения спутника размыкается. Следующий виток ложится не на предыдущий, а примерно так, как получается при сматывании в клубок толстой шерсти: рядом с предыдущим, на некотором расстоянии от него. Все упражнение с оскулирующими эллипсами затевалось для того, чтобы понять, на каком именно и от чего оно зависит. Мы вознаграждены, потому что расстояние между витками можно вычислить, и оказывается, что оно вполне определенным (и несложным) образом зависит от наклона орбиты к экватору: оно значительно для малых углов наклона и исчезает для орбиты с максимальным углом наклона – полярной орбиты, проходящей над полюсами. Измерять сдвиг орбиты удобнее всего по положению той точки, где орбита пересекает экваториальную плоскость (конечно, эту точку надо описывать с привязкой не к самой Земле, а в терминах, например, направлений на звезды). Для типичной орбиты эта точка пересечения сдвигается на несколько градусов в сутки. Например, если «несколько» – это три или шесть, то точка пересечения обойдет Землю по экватору за четыре или два месяца соответственно, а вместе с ней будет поворачиваться и орбита. Вы запускаете орбитальную станцию на одну орбиту, а она, не спрашивая вас, отправляется в незапланированное странствие, наматывая «попятные» витки. Эта информация оказывается критически важной для любой планируемой стыковки со станцией, потому что активное изменение плоскости орбиты, как мы говорили на прогулке 2, обходится крайне дорого в отношении топлива. Скорость прецессии зависит еще и от высоты, и даже если космический корабль, направляющийся к станции, выходит на «правильную» плоскость, но заметное время остается на более низкой орбите, то плоскость его орбиты неминуемо «разойдется» с плоскостью орбиты станции. Впрочем, достигнутое понимание этого эффекта позволяет им пользоваться: для почти полярных орбит скорость поворота плоскости орбиты можно сделать равной примерно одному градусу в сутки, что означает около 360˚ в год, а это, в свою очередь, означает, что спутник сохраняет неизменной свою ориентацию по отношению к Солнцу. Другими словами, участок земной поверхности, над которым пролетает спутник, освещен примерно одинаково от витка к витку. Такие солнечно-синхронные орбиты востребованы для задач систематического наблюдения за поверхностью Земли; сама возможность их планирования – очевидный успех описания некеплеровых околоземных орбит с помощью оскуляции.

Рис. 4.9. Поворот (прецессия) орбиты из-за сплюснутости Земли у полюсов. Плоскость орбиты поворачивается в сторону, противоположную направлению движения спутника, что делает его орбиту незамкнутой. Поворот плоскости орбиты можно представить себе как вращение острия стрелки, проведенной из центра перпендикулярно орбите

Солнечно-синхронные орбиты – продукт некеплеровой эволюции кеплеровых орбит

Но вращение плоскости орбиты – еще не все. Наблюдая за спутником с самой вращающейся плоскости, т. е. как будто бы поселившись где-то на ней и не глядя по сторонам, мы, конечно, перестанем замечать это вращение. Но мы увидим, что орбита поворачивается в этой плоскости: точка наибольшего приближения к Земле совершает обход вокруг планеты, относительно неспешный[65]. Запустив, скажем, спутник связи так, чтобы точка его наибольшего приближения была в Южном полушарии, а большую часть времени он проводил на высокой орбите над Северным, мы через некоторое время обнаружим, что спутник пребывает главным образом над Южным полушарием, потому что орбита повернулась. Как скоро это случится? Скорость поворота (прецессии) эллипса тоже зависит от наклона орбиты к экватору, но зависит иначе, чем скорость вращения плоскости орбиты. Она велика для малых углов наклона, а нуля достигает при наклоне около 63,4°. При близких к этому углах скорость прецессии невелика – скажем, полградуса в сутки для спутника на высоте несколько сотен километров; диаметральный разворот эллипса тогда займет около года. Орбиты с таким наклоном (наклонением, как обычно говорят) иногда называют орбитами «Молния» по названию серии советских спутников связи: они достигали наибольшего удаления от поверхности (около 40 000 км) над Северным полушарием, где и проводили большую часть времени из каждого 12-часового витка. Продолжим нашу анкету:

А вот «наклонение» – наклон орбиты к экватору – из-за сплюснутости Земли не меняется. История с оскулирующими орбитами позволяет проследить, в каком месте каких уравнений и из-за чего появляется нуль:

Полученные уравнения для некеплеровой эволюции орбит и следующие из них выводы едва ли стоит классифицировать как «закон природы». Законы, которые здесь действуют, – это законы Ньютона, а далее используются конкретные сведения о форме Земли. В итоге математической обработки получаются «правила», которым следуют все космические аппараты вблизи конкретной сплюснутой планеты. Другие параметры несферичности Земли тоже можно внедрять в уравнения для оскулирующих эллипсов; формулы становятся все более громоздкими, и в конце концов все равно требуется компьютер. Но и то, что доступно на бумаге, впечатляет не только разнообразием эффектов по сравнению с решением задачи Кеплера, но и возможностью принимать решения на основе явной зависимости от параметров несферичности.

Правда, еще раньше, чем дополнительные поправки к форме Земли, следует учитывать влияние ее атмосферы. Это второй по значимости (после сплюснутости) фактор, влияющий на многие типичные орбиты спутников. На высотах больше 100 км атмосфера очень разрежена, но влияние ее накапливается. Такое влияние на космические аппараты описывается достаточно сложно, но один эффект стоит упомянуть качественно, потому что за ним стоят те же принципы, что и за гравитационной пращой (см. главу «прогулка 2»). Взаимодействие с атмосферой происходит в первую очередь на участке наибольшего приближения к Земле. Но это именно та точка, где изменение скорости на фиксированную величину сильнее всего влияет на высоту орбиты в противоположной точке – точке максимального удаления. «Зеркально» ситуации поэтапного разгона и подъема орбиты космического аппарата на основе эффекта Оберта здесь происходит поэтапное – виток за витком – торможение на ближнем к Земле участке орбиты и вызванное этим понижение точки максимального удаления. Последствия торможения заметнее всего не там, где оно происходит, а через полвитка орбиты[66].

А на примерно круговых орбитах в верхних слоях атмосферы спутники демонстрируют эффект, который даже называется «парадокс спутника»: из-за трения об атмосферу космический аппарат ускоряется – и чем больше сопротивление атмосферы, тем сильнее, – одновременно снижаясь. Объяснение – в особенностях орбитальной механики, с которыми мы уже встречались: потеря энергии движения, в данном случае из-за трения, приводит к переходу на более низкую орбиту, а более низкая орбита означает бóльшую скорость. Математика работает так, что из-за трения об атмосферу спутник разгоняется точно в такой степени, как будто сила трения поменяла направление и превратилась в силу тяги. Этим же объясняется парадоксальная картина, когда после отделения спутника на низкой орбите ракета-носитель, с уже не работающими двигателями, обгоняет спутник: из-за своих размеров ракета-носитель испытывает большую силу трения об атмосферу, а потому и ускоряется в точно такой же степени сильнее. Движение спутника, цепляющегося за атмосферу, дает очень точные данные о силе сопротивления, которую он испытывает, и тем самым о плотности атмосферы. Космические аппараты, которые начинают цепляться за атмосферу слишком сильно, быстро погибают. Характерное время жизни спутника на высоте 150 км – около суток, но на высотах больше 200 км это время заметно возрастает и на высоте 400 км составляет около года[67].

Рис. 4.10. Стрелки разной длины указывают дополнительное ускорение относительно Земли, испытываемое спутником на околоземной орбите из-за наличия Солнца. Для наглядности через концы стрелок проведена вспомогательная линия

*****

Борьба всех со всеми. На низких околоземных орбитах и трение об атмосферу дает себя знать, и многочисленные поправки к силе притяжения, быстро убывающие по мере удаления, еще не успели сильно убавиться и разными способами влияют на орбиты. Но и на высоких орбитах спутникам нет покоя. Там, где гравитация Земли ослабевает, более существенными «нарушающими» факторами становятся притяжения Луны и Солнца. Как и с приливами, все дело в том, что Луна сильнее притягивает то, что к ней ближе, и слабее то, что дальше. Если бы лунная гравитация была одной и той же везде в околоземном пространстве, то никакого ее влияния на движение спутников вокруг Земли не наблюдалось бы, но в действительности Луна действует на разные части орбиты по-разному, а из-за этого орбиты портятся. Похожим образом дело обстоит и с дополнительными ускорениями, которые испытывает спутник из-за наличия Солнца, с той поправкой, что Солнце находится так далеко, что из всех точек околоземной орбиты направление на наше светило практически одно и то же (рис. 4.10). Вызываемая Луной и Солнцем «порча» орбит заметна на высотах более 20 000 км над земной поверхностью и начинает играть доминирующую роль среди всех возмущающих факторов на высотах более 50 000 км: там период обращения спутника может меняться на несколько минут за один оборот вокруг Земли, а смещение от витка к витку запросто составляет сто или несколько сотен километров (забудьте про легкую стыковку, если вы вдруг ее планировали). Характерные возмущения зависят еще и от наклона орбиты спутника по отношению к земной орбите и к орбите Луны, а также от степени вытянутости орбиты. Орбитальная механика и здесь проявляет себя контринтуитивным образом, уже встречавшимся нам несколько раз. Для вытянутых орбит влияние Луны и/или Солнца на скорость спутника сильнее всего на участке максимального удаления от Земли, а поскольку спутник сам по себе движется там медленнее всего, эти изменения оказываются относительно существенными. Затем они «передаются» в область максимального приближения к Земле и здесь-то уже проявляют себя в полной мере: минимальная высота над Землей может измениться весьма сильно. Разумеется, более тесное сближение спутника с Землей опасно возможным трением об атмосферу: раз начавшись, оно нарастает вплоть до разрушения космического аппарата. Ирония состоит в том, что «заталкивать» космический аппарат в атмосферу может эффект, действующий в диаметрально противоположной части траектории. Автоматическая межпланетная станция «Луна-3», облетев Луну, оказалась на орбите вокруг Земли с максимальным удалением, на 100 000 км превышающим радиус лунной орбиты, но с самым тесным приближением к Земле на 15 000 км. Солнечные возмущения в высокой части орбиты, где станция двигалась медленно, вызывали все более тесное приближение к Земле в самой низкой части, и станция погибла в атмосфере всего через 11 оборотов (каждый из которых, правда, занимал более двух недель). Обратный эффект возмущающего влияния на орбиту испытала «Луна-4» (1963). Низкий участок ее траектории поднимался из-за солнечных возмущений, и в конце концов Солнце отобрало станцию у Земли: на очередном витке она поднялась так высоко, что больше не вернулась к Земле – стала спутником Солнца.

Движение в реальном космосе устроено сложно, потому что движение – это отклик на содержание Вселенной. Малые изменения орбиты одного тела под действием других тел происходят в Солнечной системе постоянно; на разных участках своей орбиты планета, астероид или комета испытывает разнообразные воздействия соседей. При этом все окружение вертится; пока орбиты примерно замкнуты, движение каждого тела относительно Солнца примерно периодическое (прежние положения проходятся снова через определенное время). Периодическое движение – это «лучшее приближение» к покою, какое только возможно в космосе; это единственный способ длительного существования заданных конфигураций тел – например, Солнечной системы. Сколь длительного? Вообще-то у каждого тела свой период обращения, поэтому одна и та же конфигурация всех тел не повторяется. Существенный вопрос при этом: накапливаются ли «обиды» (взаимные влияния на орбиты) в этой не слишком дружной семье, где каждый тянет в свою сторону? В среднем за долгий период времени оказывается, что отклонения из-за влияния «всех на всех» близки к нулю. Но здесь фигурирует «математически» долгое время (возможно, даже превосходящее время существования Солнечной системы), за которое параметры орбит испытывают примерно столько же отклонений «в плюс», сколько и «в минус»; а где-то между этим промежутком времени и периодом астрономических наблюдений человечества (в течение которого отклонения незаметны) малые изменения могут накапливаться в случаях разрушительного резонанса. При таком резонансе после некоторого числа витков происходит повторяющийся сдвиг тела в одну и ту же сторону. Эффект отчасти похож на раскачивание качелей: небольшое ритмичное усилие, приложенное стоящим на земле человеком, раз за разом увеличивает амплитуду. Если кто-то решил передвигаться по большой детской площадке и по очереди толкать каждые качели, к которым подходит, не обращая внимания на их движение, то в результате его действий качели могут и раскачиваться сильнее, и тормозиться. Это зависит от соотношения периода раскачивания качелей (что мы отнесем к свойствам самих качелей) и времени обхода всей детской площадки этим заботливым человеком. Если вы обнаружите, что раскачиваетесь все сильнее, значит, вы в резонансе с его перемещениями: он оказывается рядом с вами как раз вовремя, чтобы вас ускорить (а если нет, в среднем он будет раскачивать и тормозить качели примерно одинаково). В Солнечной системе разрушительные резонансы буквально приводят к опустошению некоторых орбит малых тел («качели» раскачались так, что слетели с петель): например, в поясе астероидов имеются пробелы, расчищенные резонансами с Юпитером (рис. 4.11). По сходному механизму образовалась щель Кассини, наибольшая из многочисленных щелей в кольцах Сатурна. Она видна как темная полоса между кольцами A и B и вызвана резонансом 2: 1 со спутником Сатурна Мимасом, открытым Гершелем в 1789 г. Это означает, что, пока Мимас делает один оборот, тело, помещенное в щель Кассини, делает два. Там заметно меньше тел, чем на других, нерезонансных орбитах, потому что притяжение Мимаса убрало их оттуда (рис. 4.12)[68].

Рис. 4.11. Щели Кирквуда в поясе астероидов. По горизонтали указаны расстояния от Солнца в астрономических единицах, по вертикали – плотность, с которой орбиты заселены астероидами. Эта плотность резко уменьшается на некоторых орбитах из-за их резонанса с орбитой Юпитера. Отмечены резонансы 3: 1, 5: 2, 7: 3 и 2: 1 (кроме них, есть и другие)

Солнечная система все-таки не совсем «часовой механизм», единожды заведенный и тикающий всегда одинаково. Даже сейчас, в период ее зрелости, в ней случаются близкие контакты, а уж в молодости бывало всякое. И все же задача Кеплера для Солнечной системы – не бессмысленное приближение: из-за взаимного влияния тела не летают в точности по эллипсам, но эллипсы более чем узнаваемы. Такое благоприятное положение вещей поддерживается тем, что даже Юпитер, не говоря уже о всех остальных, намного (более чем в 1000 раз) уступает Солнцу по массе. В самой по себе задаче Кеплера, т. е. задаче двух тел, отношение их масс не имеет значения (всегда получаются эллипсы); но уже в задаче трех тел все не так. Едва ли есть другой пример, когда в однотипных явлениях с числом участников от двух и выше переход от двух к трем вызывает столь радикальные качественные изменения.

Рис. 4.12. Кольца Сатурна по фотографиям космического аппарата «Кассини». Щель Кассини – темная полоса в центральной части изображения

*****

Драма для троих. Настоящая задача трех тел – задача о движении трех идеальных шаров или точек, гравитационно притягивающих друг друга, – отличается от задачи про два больших тела (например, Землю и Луну, даже если считать их идеально круглыми) и космический корабль. Траектория «Луны-2» между Землей и Луной могла быть достаточно сложной, но эта сложность не идет ни в какое сравнение с тем, что происходит, когда третье тело не малое, как космический аппарат. Когда все три участника имеют сравнимые массы, их движение приобретает в общем неконтролируемый – непредсказуемый – характер вот каким неожиданным образом. Никто, конечно, не отменял законы Ньютона, и какие бы три тела – будем говорить о трех звездах – мы ни взяли, их относительные скорости и положения изменяются со временем в точном соответствии с этими законами. Но эволюция любой системы зависит еще и от ее начального состояния (см. главу «прогулка 1»). Чтобы предсказать движение, надо решить уравнения движения, взяв за начальное определенное состояние всей системы: скорости и положения всех тел-участников в некоторый выбранный момент времени. Даже если в нашем распоряжении очень мощный компьютер, позволяющий делать сложнейшие вычисления, сами эти начальные условия всегда определены с какой-то степенью приближения. Небольшая неточность в начальных условиях в задаче Кеплера приведет к небольшой неточности в предсказании движения, и в этом смысле мы не сильно боимся неточностей. Буквально как на спокойной реке, где и правда бояться нечего: оттого, что вы не заметите сдвиг вашей лодки на полметра вправо или влево, ваш путь вниз по течению никак принципиально не изменится. Все иначе на бурной реке: при заходе в порог разница в полметра может привести к драматически различным продолжениям. Задача трех тел – это что-то вроде еще «ухудшенного» путешествия по сильно порожистой реке. Малые изменения в начальных условиях приводят к радикально различным вариантам развития событий. Немного удивительно, что действие одной лишь гравитации придает движению трех (всего трех) тел ничуть не меньший азарт, чем при выборе, справа или слева обойти камень в потоке[69]. Добивается этого гравитация посредством механизма, по существу близкого к гравитационной праще. Если в системе двух тел их сближение всегда ограничено некоторым расстоянием (в частности, тела не могут столкнуться – за исключением того случая, когда они прицельно направляются навстречу друг другу), то в системе трех тел такого ограничения нет. Имеющееся в системе «количество вращения»[70] распределяется на большее число участников; если тел только два, сохранение количества вращения не позволяет им излишне сблизиться, но, как только появляется возможность передать некоторое количество вращения третьему телу, запрета на сближение больше нет и одно из тел может пройти сколь угодно близко к другому. На малом расстоянии взаимодействие сильное, а из-за того, что тела движутся, они тем или иным образом обмениваются энергией движения. В результате одно из тел может оказаться буквально выстреленным в какую-то сторону: оно с большой скоростью уходит от оставшихся двух тел. Те продолжают совместными усилиями притягивать его, и, как вариант, улетающее тело может через некоторое время повернуть обратно под действием этого притяжения. Вновь набрав скорость, оно возвращается к двум другим, которые тем временем спокойно обращались вокруг общего центра масс. В эту идиллию вторгается энергичное третье тело, и скорее рано, чем поздно, возникают условия для очередного «выстрела» каким-то из тел. Выстрел может оказаться фатальным: тело приобретет такую скорость, что уже никогда не вернется. Иногда драма растягивается надолго – уходящее тело еще раз-другой «передумывает», – но в конце концов система трех тел склонна к распаду. Когда именно это произойдет и какое из трех тел будет все-таки выброшено прочь, зависит от тонких деталей того, как происходят тесные сближения. Вот здесь-то и оказывается, что даже небольшие неточности в знании скоростей и положений всех тел не позволяют нам правильно предсказать их поведение даже с помощью самого мощного компьютера: малые изменения в момент сближения развиваются в качественно различные сценарии. Нет возможности предсказать, кто из участников будет изгнан; иногда почти-изгой все-таки возвращается и после серии тесных взаимодействий выброшенным оказывается кто-то еще. Задача трех тел – это истерическая драма.

В задаче трех тел не исключены, конечно, специальные конфигурации, например такие, где два тела обращаются «вокруг друг друга» (вокруг общего центра масс), а третье находится далеко от обоих и по существу обращается вокруг них как целого (опять же, вокруг центра масс всех трех, если выражаться строго – что, честно говоря, страшно надоело). Такие конфигурации тройных звезд во Вселенной есть, и одна из них даже по соседству с нами (4,3 светового года от Солнца). Это Альфа Центавра, а точнее – Альфа Центавра A, B и C. Первая из них – звезда, похожая на Солнце, лишь немного более старая, массивная и яркая. (В земном небе это третья по яркости звезда, но увидеть ее можно, только находясь к югу от 29° северной широты. В Каире она еще не видна, а в Нью-Дели только-только появилась над горизонтом.) Ее компаньон Альфа Центавра B светит в два раза слабее Солнца и имеет несколько меньшую массу. Обращаясь одна вокруг другой, две звезды временами сближаются до 23 а.е. – что несколько больше, чем радиус орбиты Урана, но это как-никак две звезды. Третья звезда, Альфа Центавра C, – та самая Проксима Центавра. Название означает «ближайшая» – разумеется, к Земле/Солнцу; но от звезд A и B этот красный карлик находится по-настоящему далеко, почти в 13 000 а.е., и обращается вокруг них примерно за полмиллиона земных лет (хотя не исключено, что и просто пролетает мимо – точно определить характер орбиты, с учетом имеющихся в задаче расстояний, не так легко; в любом случае «в последнее время» и в довольно протяженном будущем Проксима – ближайшая к нам звезда). Известны системы и из большего числа звезд, но они всегда иерархические: например, две тесные пары, находящиеся достаточно далеко друг от друга и обращающиеся – каждая практически как целое – вокруг общего центра масс.

Кратные звездные системы организованы иерархически

Около половины звезд во Вселенной (в Галактике во всяком случае) именно двойные: две звезды, часто разные по своим свойствам, обращающиеся друг вокруг друга. Удивительно или нет, но в XXI в. выяснилось, что и двойные звезды могут обзаводиться планетами[71]. Две звезды и планета – смягченный вариант системы трех тел (два больших тела и одно малое, но все же способное оказывать некоторое обратное воздействие на звезды). Как же устроились такие планеты в семьях двух звезд? Ответ на этот вопрос определяет, что видят в своем небе их предполагаемые обитатели, а заодно может подсказать, насколько разумно предположение, что они там имеются. Планета Татуин, например, обращается вокруг пары звезд «сразу» (вокруг тесной двойной системы, если выражаться более профессионально). Это значит, что Люк Скайуокер с младенчества видел, как две звезды восходят и заходят вместе (рис. 4.13) и вообще держатся рядом: они обращаются на сравнительно небольшом расстоянии друг от друга, а планета, наоборот, находится на удалении и обращается вокруг них «как целого».

Рис. 4.13. Закат на планете, обращающейся вокруг двойной звездной системы

Альтернативная схема – планета, расположившаяся на достаточно тесной орбите вокруг одной из звезд, а вторая звезда на значительном удалении. Вокруг общего центра масс, таким образом, обращаются звезда и звезда-плюс-планета. В этом случае закаты и восходы наблюдаются на планете независимо и могут быть весьма разнообразны. От планеты до другой звезды должно быть заметно дальше, чем до «своей» звезды, иначе конфигурация имеет мало шансов на устойчивость[72]. Если главное для вас – зрелищность восходов и закатов, попросите турагентство поискать такие системы, где дальняя звезда много ярче «своей», ближней, чтобы их вклады в освещенность были сопоставимы; а потом уже выбирайте по цвету звезд[73]. Но даже и далекая вторая звезда влияет на орбиту планеты, и ее расстояние от ближайшего светила может заметно меняться – требуйте полную информацию о возможной внезапной смене сезонов. Да и для планет типа Татуина – обращающихся вокруг обеих звезд «сразу» – тоже не все просто: суммарная сила притяжения, действующая на планету, меняется в зависимости от относительного расположения двух звезд (в особенности если их массы существенно различаются), и планете не так легко оставаться на орбите. Здесь также есть предел приближения, после которого орбита планеты заведомо теряет устойчивость. Несколько парадоксально, но большинство открытых «татуинов» группируются вблизи предела устойчивости. Это заставляет задуматься о том, как же они сформировались, потому что неровная гравитация от двух звезд вообще-то мешает формированию планет. Наиболее реальная возможность – миграция планет из более спокойных далеких областей. Более того, миграцией с далекой орбиты вокруг двух звезд на орбиту поближе к ним дело может и не ограничиться: неровное гравитационное влияние двух звезд способно в определенных случаях перевести планету с орбиты вокруг обеих звезд на орбиту вокруг только одной звезды. (Здесь, возможно, содержится и ответ на вопрос о том, откуда же взялись планеты, обращающиеся вокруг только одной звезды, ведь присутствие второй вообще-то мешает их формированию.)

И конечно, всем тем планетам, так или иначе сформировавшимся в двойных звездных системах, кому не посчастливилось остаться в зоне устойчивости, предстоит быть выброшенными в межзвездное пространство – как и в общей ситуации для системы трех тел, с тем только уточнением, что здесь неустойчивость проявит себя в отношении именно того из трех компаньонов, который сильно дискриминирован по признаку массы. Обмен энергиями движения между массивной звездой и легкой планетой может не просто позволить планете преодолеть притяжение двойной системы, но и придать ей немалую скорость для дальнейшего самостоятельного путешествия. Во Вселенной предполагается существование некоторого количества планет-изгоев (рис. 4.14). В Млечном Пути их, видимо, миллиарды, и они как-то странствуют между звездами. Заметить их крайне сложно, но кандидаты по результатам наблюдений все же появляются. Им присваивают «технические» имена, например: 2MASS J1119–1137, WISEA 1147, WISE 0855–0714, UGPS J072227.51–054031.2 и SIMP J013656.5+093347 (эти планеты находятся в пределах нескольких десятков световых лет от нас). Захват планеты-изгоя какой-то другой звездой со своим собственным выводком планет может произвести там немало изменений, вызвав, например, миграцию планет. (Кстати, не была ли изгоем Планета 9? Если, конечно, она существует.)

Рис. 4.14. Планета-изгой в видении художника

Добавления к прогулке 4

Сложное устройство приливов. Вклад в приливы в земных океанах вносит и Солнце. До него примерно в 390 раз дальше, чем до Луны, а приливные эффекты ослабевают с расстоянием не по закону обратных квадратов, а быстрее – как обратный куб, из-за чего каждый килограмм Солнца создает на Земле приливный эффект в 60 млн раз слабее, чем килограмм Луны; но таких килограммов в Солнце в 27 млн раз больше, чем в Луне, и в результате влияние нашего светила оказывается вовсе не пренебрежимым. Оставаясь меньше лунных, солнечные приливы проявляют себя как изменение масштаба или длительности «обычных»; максимальный вклад в высоту прилива Солнце дает в новолуние или полнолуние, когда Солнце, Земля и Луна находятся на одной прямой и эффекты лунного и солнечного приливов складываются; наоборот, когда Луна видна в фазе первой или третьей четверти, Солнце и Луна наблюдаются с Земли под углом 90° друг к другу и лунный прилив накладывается на солнечный отлив.

Картина приливов вообще усложняется по сравнению с наивной из-за того, что Земля не целиком покрыта океаном: наличие континентов вносит вклад в то, откуда и куда хорошо, а откуда и куда плохо передается давление в океане, и высота приливов из-за этого в разных местах разная. Глубина дна и характер подъема дна вблизи берегов также не везде одинаковы. Есть и иные факторы, вносящие дополнительное разнообразие в картину приливов: наклон плоскости лунной орбиты, центробежная сила из-за вращения Земли, несферичность Земли. Приливные эффекты испытывает, строго говоря, не только океан, но и «твердая» часть Земли; амплитуда их гораздо меньше (не превышает нескольких десятков сантиметров). Про влияние приливных эффектов на жидкое ядро Земли известно мало, поскольку о происходящем там вообще можно судить только по косвенным признакам.

Поправки убывают быстрее. Поправки к силе притяжения, учитывающие несферичность Земли, быстрее убывают по мере удаления, чем сила, описываемая законом Ньютона. Обратный квадрат расстояния в ньютоновом выражении (1.1) – это закон природы, а дополнительная сила, зависящая от расстояния по правилу 1/R⁴ и описывающая поправку на сплюснутость Земли, нет. Ее зависимость от расстояния выводится из закона Ньютона[74]. Как это получается, хорошо видно на модельном примере «гантели» – двух масс, соединенных тонкой перемычкой. Проще всего случай, когда интересующий нас космический аппарат находится на одной линии с обеими массами. Одна из них расположена ближе к нему, а другая – дальше на расстояние, равное длине перемычки. Считая каждую массу строго сферической, мы, разумеется, можем найти силу притяжения, действующую на космический корабль, складывая два выражения вида (1.1): в одном из них в качестве расстояния надо взять расстояние до ближней массы, а в другом – до дальней. Это точное выражение, никаких поправок к нему не требуется, и только им бы и пользовались, если бы несферические планеты действительно имели вид гантелей. Таких планет не было, пожалуй, даже в «Звездном пути» и других версиях космического эпоса, но я позволю себе некоторую вольность.

Лейтенант Иванова, дежурившая на мостике звездолета, не обратила внимания на форму появившегося вдали небесного тела, а ввела в компьютер только его массу и расстояние до его центра, т. е. до середины перемычки. Компьютер вычислил силу притяжения в виде, который нам удобно записать в условном виде 2 · «до центра». «До центра» означает, что расстояние в законе тяготения Ньютона надо полагать равным расстоянию до центра всей гантельной конструкции, а двойка отражает наше знание о том, что полная масса небесного тела состоит из двух частей. Иванова, конечно, правильно определила полную массу, но еще не осознала, что две части разнесены друг от друга. Прочитав следующие несколько строк в «Справочнике звездоплавателя», она пришла в ужас от сделанной ошибки. На большом расстоянии от странного небесного тела не слишком важно, как в нем распределена масса, но по мере приближения это будет делаться все существеннее – и на основе неправильной информации компьютер проложит неверный курс. Правильная формула для силы притяжения имеет вид («до ближней» + «до дальней»), где участвуют два различных расстояния, до ближней и до дальней массы. Стереть что бы то ни было в корабельном компьютере невозможно, и все, что может предпринять Иванова для исправления ситуации, – добавить информацию, каким-нибудь приближенным способом учитывающую, что две массы не сидят в одной точке. Она записывает разницу между верным и неверным (не-слишком-верным) выражениями для силы: ((«до ближней» + «до дальней») – 2 · «до центра»), а затем переписывает то же самое другим способом: ((«до ближней» – «до центра») – («до центра» – «до дальней»)). Она знает, что если выражение зависит от расстояния как 1/R², то разность таких выражений, вроде («до ближней» – «до центра»), зависит от расстояния приблизительно как 1/R³. Это, кстати сказать, общее правило, следующее из математики, а не из закона тяготения; если бы сила вела себя как 1/R³, то разница двух сил вела бы себя как 1/R⁴ и так далее. Лейтенант Иванова применяет это правило к каждой из двух внутренних скобок в приведенном выше выражении. Таким путем она приходит к выводу, что поправка к первоначальному выражению для силы притяжения со стороны гантели представляет собой разность двух выражений, каждое из которых зависит от расстояния как 1/R³. Иванова не останавливается: к полученной разности двух однотипных выражений с зависимостью 1/R³ она снова применяет общее правило (которое хорошо помнит еще с первого курса летного училища). В итоге она заменяет всю поправку на одно выражение, ведущее себя в зависимости от расстояния уже как 1/R⁴. Звездолет спасен (он и не собирался подлетать к гантели так близко, чтобы понадобились поправки к поправкам, зависящие от «следующих» обратных степеней расстояния), карьера Ивановой успешно продолжается, а метод получения поправки, зависящей от расстояния как 1/R⁴ (как и всех «следующих» поправок), оказывается отличным средством и для реальных планет – во всех случаях, когда их масса не распределена равномерно по шару.

«Издевательское» решение задачи трех тел. Математическая победа над задачей трех тел – колоссальный прорыв после решения задачи двух тел Ньютоном – почти состоялась. Почти, но не совсем. С самого начала, конечно, никто не ожидал готовых формул для всего бесконечного разнообразия возможных движений в системе трех тел, но ведь не все математические функции задаются каким-то внутренним образом, как, скажем, синус, sin t. Есть менее амбициозные способы определить функцию, один из них – в виде «бесконечной суммы» слагаемых, каждое из которых выглядит просто. Собственно, сам синус можно записать в таком виде:

Числа в знаменателях накапливаются здесь в соответствии с несложным правилом (так называемые факториалы): 6 = 2 · 3, 120 = 2 · 3 · 4 · 5, 5040 = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7, 362 880 = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 и так далее – с пониманием, что не надо останавливаться в прибавлении слагаемых. Вся информация о функции, собственно, и содержится в этих коэффициентах. Если остановиться, например, после пяти слагаемых, получится не точное значение синуса числа t, но достаточно близкое к точному, если t мало; если же число t не мало, то надо продолжить добавлять слагаемые, следуя правилу их построения[75].

Похожим образом, после применения ряда математических трюков (работы Сундмана 1907–1912 гг.), вроде бы была решена и задача трех тел: положение каждого тела определяется подобной «бесконечной суммой», в которой t связано с временем, прошедшим с некоторого начального момента. Для каждого коэффициента определено правило его вычисления в зависимости от масс всех трех тел и их начального состояния. В зависимости от требуемой точности для данного значения времени необходимо вычислить то или иное количество коэффициентов и таким образом предсказать, как же будет происходить движение. Сама по себе математика при этом точная, все погрешности определяются только тем, сколько слагаемых (сколько коэффициентов) мы сумели вычислить. Ура? Появилось ли в наших руках (почти) такое же мощное средство, как эллипсы, гиперболы и параболы, дающие решение задачи двух тел? Может быть, в начале XX в. вычисление требуемого числа коэффициентов и было трудной задачей, но уж в век компьютеров…

Ирония, однако, состоит в том, что даже при очень малых значениях времени (когда ничего интересного еще не успевает произойти) для сколько-нибудь приемлемой точности предсказания требуются многие миллионы слагаемых. А для «интересных» значений времени – поистине «вселенское» число слагаемых. Парадоксальным образом, хотя формально нам известно общее решение задачи трех тел, оно не приносит никакого знания об их поведении[76].

Специальные (и красивые) системы трех тел. Системы трех тел приходится исследовать разными непрямыми математическими методами (в сочетании с моделированием их поведения на компьютере). Среди важных вопросов: возможно ли там периодическое движение? Тогда можно было бы искать во Вселенной какие-то интересные образования. Правда, от них требуется устойчивость, иначе они распадутся под действием малых посторонних влияний и шансы наблюдать их в космосе будут заведомо равны нулю. Довольно неожиданным образом нашлась конфигурация из трех тел равной массы, которые движутся в одной плоскости по восьмерке друг за другом (рис. 4.15). Еще более неожиданно, что это движение оказалось устойчивым: малые влияния несколько меняют траектории, но не разрушают общую картину, как не разрушает ее и неточное совпадение трех масс. Такая устойчивость вроде бы открывает возможность встретить подобную конфигурацию где-то в космосе. К сожалению, чтобы три тела с близкими массами пришли в такое движение, их надо запустить весьма специальным образом (начиная с того, что все три должны двигаться в одной плоскости!), а это крайне маловероятно, и оценки показывают, что шансы встретить подобную систему во Вселенной очень близки к нулю. Жаль.

Рис. 4.15. Три тела равной массы на орбите, имеющей форму восьмерки. Для каждого тела пунктирной линией отмечена 1/12 часть его орбиты. Штриховые прямые показывают, что в момент нахождения одного из тел на середине «боковой» части восьмерки два других находятся на одинаковом расстоянии от него

Рис. 4.16. Четыре семейства планарных периодических орбит в системе трех тел

Эта система была первоначально открыта на компьютере, а потом удалось доказать ее существование и без помощи машин. К настоящему моменту обнаружены уже тысячи разнообразных периодических конфигураций в системе трех тел, в большинстве своем неустойчивых, но часто интересных геометрически (рис. 4.16).

Признания и литературные комментарии

Альфу Центавра в последнее время чаще называют Альфой Кентавра, но я выбрал устаревающее произношение. Из-за так называемых либраций (которые я обошел молчанием) на границе видимой и обратной сторон Луны есть область в 6–7° шириной, при наблюдении из которой Земля все же появляется над лунным горизонтом и исчезает за ним. Для наблюдателя же на Земле этот пояс вдоль края лунного диска то открывается, то скрывается.

Орбита, изображенная на рис. 4.1, заимствована из [30]. Судьба «Луны-3» и «Луны-4», вместе с некоторыми подробностями о разрушении орбит Солнцем, описана в книге [17] (глава 4). Фотографии на рис. 4.5 сделаны NASA/Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory (JHUAPL)/Southwest Research Institute (SwRI). Фотография колец Сатурна на рис. 4.6: NASA/JPL–Caltech/Space Science Institute. Разрушение звезды, открытое телескопом TESS, описано в [82]. Цитата Азимова о плоской и круглой Земле фигурирует в сборнике его эссе о науке Тhe Relativity of Wrong, вышедшем в 1988 г. Изображение на рис. 4.7 взято из https://en.wikipedia.org/wiki/Figure_of_the_Earth#/media/File: Geoid_undulation_10k_scale.jpg. Визуализация лунной гравитации на рис. 4.8 приведена на сайте NASA https://www.nasa.gov/mission_pages/grail/multimedia/zuber4.html. Планета-изгой на рис. 4.14 – https://www.nasa.gov/topics/universe/features/pia14093.html. Периодические орбиты трех тел, приведенные на рис. 4.16, взяты из работы [111].

Курьезная орбита-восьмерка была первоначально найдена в работе [91] при помощи компьютерных вычислений, однако далеко не наудачу, а в рамках подхода к рассмотрению плоского движения трех тел в виде разверток во времени; в развертке три тела прорисовывают заплетенную косу из трех нитей, и одна из самых простых кос отвечает орбите-восьмерке. Математически существование такого движения трех тел было доказано в работе [55], написанной двумя авторами. Появлению этого доказательства предшествовали исследования каждого из авторов, работавших независимо друг от друга. Один из них направил статью со своими результатами в журнал для публикации; редакция журнала послала статью на рецензию специалисту в данной области – будущему второму соавтору, который обнаружил в части доказательств неточности. В соответствии со стандартной практикой рецензент остается неизвестным авторам статьи, но в данном случае с разрешения редакции рецензент вступил в контакт с автором, после чего их совместные усилия привели к исправлению всех неточностей и дальнейшему прогрессу – так и появилась работа [55]. Хотя это и не самый распространенный способ зарождения научного сотрудничества, подобные случаи время от времени встречаются. Относительно современный обзор задачи трех тел с небольшими историческими экскурсами (но в остальном не ставящий себе целью щадить читателя) приведен в [93].

Движение на прогулке 4

Движение в поле притяжения может сообщить немало подробностей об источнике притяжения. «Нарушения» орбит искусственных спутников оказались лучшим инструментом измерения формы и плотности Земли и Луны (а на самом деле и Марса). Наиболее точные данные о притяжении Земли и Луны получены из анализа движения космических аппаратов. Некеплерова эволюция орбит из-за неоднородности земного притяжения может оказаться и желательным эффектом, как в случае солнечно-синхронных орбит. Большим телам небезопасно приближаться к притягивающим центрам из-за возможности разрыва. Смягченный вариант того же эффекта, который может разорвать космическое тело, – гравитационный захват, примером которого служит Луна, а еще более смягченный – приливы, наблюдаемые на Земле. Слабые, но постоянные влияния удаленных космических тел на космические аппараты приводят к изменениям и даже разрушению их орбит. Влияние планет проявляет себя и в запретах на массовое заселение резонансных траекторий, что видно по движению малых тел в Солнечной системе, а также в структурах колец, подверженных влиянию спутников планет.

Точное математическое решение задачи о движении трех тел под действием взаимного притяжения оказывается невозможным. Несмотря на формальную детерминированность, движение трех или более тел сравнимой массы под действием взаимного притяжения оказывается в общем случае практически непредсказуемым из-за того, что малые отклонения в начальных данных приводят к качественно различным вариантам развития событий. Такие системы распадаются, когда какое-то из тел приобретает достаточную скорость, чтобы покинуть систему. Это причина, по которой мы ожидаем наличие планет-изгоев, когда-то выброшенных из двойных звездных систем. По этой же причине из звездных систем, состоящих из трех или большего числа звезд, выживают только те, которые организованы иерархическим образом. Математически и, главным образом, с помощью компьютерного моделирования были найдены специальные конфигурации трех и более тел, совершающих периодическое движение в отсутствие выраженной иерархической структуры. Среди таких конфигураций есть и устойчивые, но тем не менее шансы обнаружить такие экзотические формы движения во Вселенной чрезвычайно малы.

Часть 2