Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей — страница 7 из 19

Всеобщее свободное падение

Маршрут:Свободное падение: одно для всех. – Невесомость. – Склейка простого в сложное. – Самые прямые в искривленном. – Геодезические на смену Кеплеру и Ньютону. – Равенство без исключений. – Падения света. – Отрезанный ломоть пространства-времени. – Правила черной дыры для навигации. – Часть времени не помещается. – Кривизна: расхождение геодезических. – Нельзя не вращаться.

Главный герой:геодезические

Свободное падение: одно для всех. Один аспект движения вокруг нас, который трудно не замечать, состоит в том, что тела падают (когда вы последний раз роняли чашку?). Смысл анекдота про Ньютона, сидящего под яблоней и разглядывающего Луну, в том, что и Луна тоже падает, причем по тем же законам, что и яблоко в его саду, только с другими начальными условиями[99]. В действительности Ньютону потребовалось некоторое время, чтобы сформулировать рассуждение, выраженное рисунком с пушкой на горе в его «Началах» (рис. 6.1). Идея здесь именно в том, что движение по околоземной орбите – это свободное падение. По мере увеличения скорости выстрела сначала снаряд приземляется все дальше от пушки, а затем скорость оказывается достаточной, чтобы, продолжая падать, снаряд так и не достиг земной поверхности: он постоянно поворачивает к центру Земли, но из-за большой скорости постоянно промахивается. Выражаясь современным языком, это и означает выход на орбиту. Сейчас изображенное на рисунке не изумляет ничем, кроме изящности самого рассуждения; но стоит помнить, в какой высокой степени это был именно мысленный эксперимент. Ньютон, кстати, смело пририсовал еще две – круговую и эллиптическую – орбиты, не уточняя, как туда попасть.

Свободное падение – вид движения, совершаемый всеми телами одинаково. Галилей первым понял, что движение падающего тела не зависит от его массы. Видимые же на Земле различия в падении пушинки и монеты определяются не притяжением Земли, а как раз наличием других воздействий – сопротивлением воздуха. Поэтому если быть педантом, то запускать тела из суперпушки надо на Луне. Кстати, на астероидах, если только они достаточно сферичны, вполне можно поупражняться таким образом практически вручную. На карликовой планете Церера, уже встречавшейся нам на прогулке 1, для запуска маленьких искусственных спутников понадобится ружьецо в космическом исполнении: скорость выхода на орбиту там около 360 м/с. На спутнике Сатурна Мимасе – 112 м/с: это близко к скорости, которую профессионалы сообщают бадминтонному волану сразу после удара; в общем, тренируйтесь и выходите с ракеткой, волан сделает оборот и вернется.

Рис. 6.1. Ньютон: от падения на поверхность Земли до движения по орбите

Одинаковое для всех ускорение должно показаться странным, если вспомнить, что у каждого тела своя масса, а масса есть мера инерции, т. е. выражает «неохоту к перемене движения». Движущийся автомобиль массой 5 тонн останавливается – меняет характер своего движения – «неохотнее», чем велосипед, едущий с той же скоростью. То же самое и с разгоном: грузовик с велосипедным приводом определенно уступит собственно велосипеду, потому что одно и то же усилие («сила», если выражаться точно) применяется к телам разной массы, т. е. с разной инерцией. Но не так со свободным падением. Гравитация в точности компенсирует различия в инертности: одна и та же Земля притягивает более массивные тела как раз во столько раз сильнее, во сколько раз они массивнее, а потому «ленивее». Трамвай массой 15,3674 тонны притягивается точно в 15 367,4 раза сильнее, чем гиря массой 1 кг. Налицо некоторый заговор материи и гравитации. Расследование показало, что основные фигуранты не совсем те, кем кажутся. Поиск настоящих виновников привел к результатам, которые в огромной степени превзошли ожидания, кардинально изменив наши представления о Вселенной.

Рис. 6.2. Стармэн

*****

Невесомость. Основным свидетелем на первых порах была невесомость. Из-за «договоренности» между инерцией и гравитацией холодильник, забытый в свободно падающем лифте, не давит на пол, а пол не давит на холодильник. Все без исключения весы, независимо от своего устройства, сообщают об исчезновении веса при движении под действием одной только гравитации[100]. Стармэн (рис. 6.2) не давит ни на сиденье, ни на спинку сиденья, ни на ремни безопасности. При этом неважно, какие виражи он заложит: пролетит ли вблизи Марса, а если да (хотя, скорее всего, нет), то захватит ли его тяготение планеты, или же выбросит куда-нибудь подальше. Никакого прижимающего усилия на поворотах! Свободное падение – это движение под действием какой угодно гравитации; траектория движения при этом – уж какая получится, но невесомость обеспечена всегда. Летящий к Луне космический корабль падает к Луне все время после старта с околоземной орбиты, за исключением коротких коррекций («на три короткие секунды включения двигателя служебного модуля Майк Коллинз окажется за рулем вместо сэра Исаака Ньютона»). Траекторию этого падения определяет притяжение Земли, Луны и Солнца. Про «Луну-1» можно сказать, что она падала сначала на Луну, а потом на Солнце. Маневр гравитационной пращи для «Вояджеров» (см. рис. 2.10) – это тоже свободное падение ровно в той мере, в какой отсутствовали другие воздействия (реактивная тяга, сопротивление газа, давление света). Любое такое движение сопровождается невесомостью.

Масса выполняет две различные функции

Полное подчинение гравитации выключает ее

Невесомость – особый вид взаимной гармонии падающих свободно. И для каждого участника это способ устранить гравитацию лично для себя. Стоит только полностью подчинить движение гравитации, как она, гравитация, как будто бы выключается: ни одна чашка не разобьется, как если бы никакой гравитации не было вовсе. Этот фокус неизменно удается безо всяких специальных приготовлений (кроме устранения других, негравитационных сил) именно потому, что масса тела делает два дела сразу: выражает его нежелание изменять свое движение (инерцию) и одновременно степень его участия в гравитационном взаимодействии. Ньютон, наблюдая за маятниками, смог установить, что эти две разные вещи действительно выражаются одним и тем же числом, с точностью около 10^–3 (одной тысячной). В 1908 г. опыты Этвёша дали результат около 10^–8 (одной стомиллионной). Неплохо, но, имея за плечами опыт предыдущей прогулки, уместно спросить, не может ли быть так, что это верно только при малых скоростях и/или для достаточно слабой гравитации? Ускорение свободного падения вблизи Земли невелико; сохранит ли движение под действием гравитации волшебное свойство «выключать» эту гравитацию, когда и ускорения, и скорости возрастут? Мы видели на прогулке 5, сколь многое из того, что кажется истинным при малых скоростях, на самом деле работает совсем по-другому. А все, что связано с гравитацией, приобретает дополнительную остроту: мгновенная передача гравитационного воздействия на сколь угодно большие расстояния, тревожившая уже Ньютона в 1692 г. (см. главу «прогулка 1»), после 1905 г. вступила в открытое противоречие с пониманием, что никакой физический агент не может распространяться быстрее света. В законе гравитации Ньютона скорость ее распространения не предусмотрена, а значит, этот закон в любом случае следует как-то модифицировать. Но как же узнать, остается ли «правильное» тяготение в том же сговоре с движением, из-за которого свободное падение происходит всегда одинаково для всех? Каким принципам доверять? Увы, от эксперимента реальной помощи тут нет: наши возможности разгонять что-то массивное до больших скоростей и ставить опыты с по-настоящему сильной гравитацией сильно ограничены, если выражаться оптимистически. Сверхточные измерения, позволяющие «ухватывать» крохи эффектов, в полной мере разворачивающихся где-то во Вселенной, но у нас проявляющих себя совершенно пренебрежимым образом, – это уже главным образом XXI век[101]. Тем не менее еще в начале XX в. удалось понять, как связаны движение, гравитация и материя, опираясь при этом на логические построения, примененные к удачно выбранному принципу и подкрепляемые необходимой математикой.

Достигнутое понимание двух вещей сразу – движения с любыми скоростями при наличии гравитации и самой гравитации, включая ее «производство», – известно как общая теория относительности, или теория гравитации Эйнштейна. Слово «относительность» указывает на равноправие различных (вообще-то всех) видов движения: законы природы никак не выделяют одни перед другими. Одинаковое действие законов природы для различных наблюдателей было в фокусе внимания на предыдущей прогулке, но только для наблюдателей из специального класса – движущихся равномерно и прямолинейно. Свободно падающие, или ускоряющиеся в ракете, или тормозимые трением, или разгоняемые солнечным ветром оставались дискриминированными по признаку наличия ускорения по отношению ко всему сонму «равномерных и прямолинейных» наблюдателей. Общая теория относительности – это полная победа демократии в отношении всех видов движения, но она потребовала вовлечения гравитации, а саму гравитацию пришлось для этого перепридумать. Из «теории всеобщего тяготения» гравитация в одной своей части превратилась в «теорию всеобщего свободного падения», а в другой – во взаимоотношения материи и пространства-времени. В результате мы научились понимать устройство Вселенной далеко за пределами курортного мирка Солнечной системы, но такая отдача потребовала серьезных инвестиций: полная теория достаточно сложна. К знакомству с ней приглашает тезис, принадлежащий Уилеру (он появлялся в главе «прогулка 5» и появится еще):

Это тизер общей теории относительности

Пространство-время говорит материи, как ей двигаться; материя говорит пространству-времени, как ему искривляться.

Оба слова «говорит» тут – это указания на законы природы. Если говорить чуть более развернуто, эти законы утверждают, что гравитация, материя и движение связаны через геометрию пространства-времени. В присутствии материи пространство-время становится искривленным – в том смысле, что параллельные линии ведут себя не так, как мы привыкли, а сумма углов треугольника не равна 180°. Слово «геометрия» понимается в этом контексте в первую очередь как отличие от неискривленной геометрии – той привычной, где сумма углов треугольника все-таки 180°. Про неискривленную геометрию еще говорят, что она плоская[102]. Искривленная геометрия, в свою очередь, определяет движение всех чашек, снарядов, спутников и вообще любых пробных тел, которые мы пожелаем разбрасывать, – и даже не только тел, но и света.

Гравитация выражает отличия геометрии от плоской

Дорога к новому – геометрическому – пониманию движения при наличии гравитации, как и к пониманию самой гравитации, начинается с признания, что для каждого куска материи одна и та же величина под названием «масса» всегда исполняет две функции: служит мерой инерции и мерой участия в гравитационном взаимодействии. Отсюда буквально полшага до провозглашения общего принципа, который затем становится частью «техзадания» для построения теории гравитации и движения при наличии гравитации. Этот принцип гласит, что любое движение невозможно зафиксировать внутренними средствами при наблюдении «в малом». В отсутствие других сил, кроме гравитации, никакие действия, которые вы пожелаете осуществить в изоляции от внешнего мира на борту достаточно малой ракеты, не позволят вам определить, движется ли ракета относительно чего бы то ни было и испытывает ли она действие гравитации. Требование, чтобы ракета (железнодорожный вагон, автомобиль, каюта…), в которой вы или другой упрямый наблюдатель проводит опыты, была достаточно малой, определяется тем, с чем мы встретились на прогулке 4: приливными силами. Длинный железнодорожный вагон (рис. 6.3) будет испытывать на околоземной орбите сжатие или растяжение, потому что гравитация Земли действует на разные его части по-разному, и тогда помещенный в него наблюдатель догадается, что поблизости есть источник гравитации. Но уменьшая «каюту», доступную наблюдателю, можно сделать такие перекосы сколь угодно малыми (вместе с пространственным охватом надо, кстати, ограничить и временной). Фактически мы оставляем наблюдателю небольшой кусок пространства-времени и предлагаем ему ставить опыты с целью удостовериться, что все законы природы у него в точности те же, какие были установлены в пределах элитного клуба «равномерных и прямолинейных» наблюдателей. А раз отличий нет, то у наблюдателя нет способа убедиться ни в присутствии гравитации, ни в собственном движении с ускорением относительно «равномерных и прямолинейных» наблюдателей.

Рис. 6.3. Почему требуется, чтобы «каюта», в пределах которой наблюдатель изучает мир, была малой. Слева: направления к центру Земли различаются в двух концах вагона-лаборатории. Справа: расстояния до центра Земли различаются в двух концах лаборатории. В обоих случаях разницу между силами притяжения можно зафиксировать внутренними средствами

Отсюда вовсе не следует, что «никакой гравитации нет»; и гравитация есть, и порождаемые ею эффекты (как, например, черные дыры) есть. Но «все интересное» возникает как результат соединения воедино простых локальных картин. Сложное в том, как соединяется простое. Так строится и искривленная геометрия.

*****

Склейка простого в сложное. Транссибирская магистраль – это железная дорога длиной 9288 км. Если бы (скажем, для развлечения) жители населенных пунктов, расположенных вдоль дороги[103], отобрали картографов, каждый из которых снабжен картой своего района и близких окрестностей, но по стечению обстоятельств вызывающе необразован во всем остальном, и поручили им составить единую карту, то картографы столкнулись бы с проблемами. Все они привезли бы с собой карты, выполненные в близких масштабах, а кроме того, перекрывающиеся по краям: скажем, село Танга присутствует и на карте, привезенной из Петровска-Забайкальского (станция Петровский Завод), и на карте, привезенной из Читы. Но при попытке соединения локальных карт в одну большую возникли бы разногласия о том, где, собственно, север. В некотором роде направления на север различаются тем сильнее, чем дальше друг от друга находятся две области. Решение, к которому картографы могли бы прийти, чтобы не рассориться, – забыть про общий для всех север, а вместо этого договориться только попарно между соседями о том, как сопоставлять правый край карты, скажем, из Анжерска с левым краем карты из Мариинска, и точно так же – правый край карты из Мариинска с левым краем карты из Боготола и т. д. Буквальное наложение карт друг на друга по краям оказывается при этом неточным и требует некоторых усилий для установления соответствия в области перекрытия.

Рис. 6.4. Сферический треугольник образован «самыми прямыми из возможных» линиями на сфере (глобусе), но сумма углов этого треугольника сильно отличается от 180°: она составляет 270°

Мы-то знаем источник проблемы: карты на самом деле покрывают часть глобуса, и про меридианы, на которых расположены Москва (37°36′56'' в.д.) и Владивосток (135°42′34'' в.д.), никак нельзя сказать, что они параллельны, несмотря на то что оба указывают на север, – они пересекаются у Северного полюса под углом 98°. В треугольнике, образованном этими двумя меридианами и отрезком экватора между ними, сумма углов равна 278°, что больше трех прямых углов. (Вот она, искривленная геометрия!) Похожий треугольник – с тремя прямыми углами – изображен на рис. 6.4. Неудивительно, что у картографов возникают сложности, когда они раскладывают карты по плоской поверхности стола, где сумма углов треугольника всегда 180°.

Рис. 6.5. В проекции Меркатора размеры искажаются все сильнее по мере удаления от экватора (истинные размеры некоторых стран и областей показаны темным). Для того чтобы по расстояниям на карте определить расстояние по земной поверхности, требуются поправочные множители, причем разные в различных точках

Локальные представления, устроенные настолько просто, что не вызывают затруднений даже у горе-картографов, могут оказаться частью чего-то глобально более сложного, часто – искривленного. Сфера имеет кривизну, и ее нельзя накрыть одной картой, даже если разрешить себе любые гладкие (без разрезов) искажения форм и размеров. В проекции Меркатора (рис. 6.5) радикально увеличены в размерах полярные области (маленькая Антарктида оказывается суперматериком, а Гренландия приобретает размер Африки, хотя в действительности она в 14 раз меньше по площади). Но настоящая проблема, собственно, с полюсами: если строго следовать геометрическим предписаниям по построению проекции, то они должны оказываться «бесконечно» далеко сверху и снизу; в реальности их помещают на некотором произвольном расстоянии от экватора, но каждый полюс при этом приходится изображать линией. Раздувать точку в линию – намного более «плохая практика», чем искажения формы и размера. Из-за кривизны сферы на ней нельзя нарисовать координатную сетку, которая работала бы во всех точках: как минимум в одной точке она непременно откажет. Стандартные координаты на земном шаре/глобусе – широта и долгота – введены для того, чтобы каждой точке на поверхности отвечали два числа; получилось же – каждой, кроме полюсов. В полюсах сходятся все меридианы и поэтому нет значения долготы (а все направления указывают на юг с Северного полюса и на север с Южного).

Не только сферу не накрыть одной картой с хорошей и всюду пригодной координатной сеткой. Похожее может случиться в пространстве-времени, стоит только расширить жизненный опыт за пределы того, что доступен «равномерным и прямолинейным» наблюдателям. Например, как мы видели в добавлениях к предыдущей прогулке, космонавты в ускоряющейся ракете теряют возможность разобраться, что творится за определенным пределом. Координаты – «разметка» пространства-времени, – которые они вводят для описания мира со своей точки зрения, не работают глобально.

Рис. 6.6. Отождествления одних и тех же пунктов на двух картах. Если склеить карты так, чтобы соответствующие точки наложились друг на друга, координатные линии окажутся изогнутыми

Кривизна возникает, когда мы выбираемся за пределы локального. Сложное – искривленное – возникает в результате попарных склеек друг с другом простых локальных карт. Встреченные нами картографы устанавливают соответствия между одними и теми же пунктами в областях пересечения соседних карт, как схематично показано на рис. 6.6. Склейка карт по приграничным областям таким образом, чтобы все соответствующие пункты наложились друг на друга, требует деформации плоских листов, на которых эти карты нарисованы[104]. Из таких деформированных листов может «собраться» искривленная поверхность – например, сфера (а могут и другие!).

Географические карты двумерны, а куски пространства-времени четырехмерны, и потому там несравнимо богаче разнообразие возможностей для склейки сложного (искривленного) из простых кусков. Вместо воображаемых картографов мы расселяем про пространству-времени воображаемых локальных наблюдателей. Локальные наблюдатели тоже называют свои куски пространства-времени картами (это в данном случае профессиональный термин). Важное отличие от горе-картографов: у наблюдателей в пространстве-времени нет априорной сетки из параллелей и меридианов. Честно говоря, и картографы вполне могли бы оказаться в ситуации типа изображенной на рис. 6.7, если они не умеют определять направление на север. Но у них по крайней мере есть города, деревни, реки и отдельно стоящие деревья, чтобы установить соответствие между приграничными областями соседних карт; а в пространстве-времени ничего этого может не оказаться под рукой. А что есть в пространстве-времени, чтобы «привязывать» соседние карты друг к другу? Движение, причем в его самом популярном варианте: свободное падение. Его-то мы сейчас и используем.

Рис. 6.7. Составители двух соседних карт наносят координатную разметку каждый по-своему

*****

Самые прямые в искривленном. Каждая карта, окружающая локального наблюдателя, – это маленький мирок, воспроизводящий фрагмент плоского пространства-времени, а там небольшие тела («камни»), предоставленные самим себе, движутся по прямым линиям с постоянной скоростью – в данном случае относительно наблюдателя, т. е. хозяина карты. Этим, собственно говоря, и поддерживается невесомость в кабине космического корабля, где поместился наш локальный наблюдатель. «Но как же это по прямой с постоянной скоростью?! – слышу я возмущенное недоумение. – Ведь космический корабль летит вокруг Земли, а вовсе не по прямой!» Конечно, все дело в склейке карт. У наблюдателя, как мы договорились, малый кусок пространства-времени, а это, в частности, означает, что ставит он свои опыты недолго. За очень небольшое время он не успеет никуда «завернуть». А на чуть более поздней стадии полета сидящего в кабине космонавта уже надо рассматривать как другого локального наблюдателя. Вокруг него все предметы в кабине корабля тоже движутся по прямым линиям с постоянной скоростью. Но картину мира первого локального наблюдателя необходимо подвергнуть преобразованию «на краю», чтобы сшить с картиной мира второго локального наблюдателя! В областях склейки карт требуется система соответствий, для того чтобы «передавать» описание движения из одной карты в другую. Простые локальные картины соединяются в нечто глобальное.

Это глобальное мы и называем искривленным пространством-временем. Оно может быть устроено сложно (пример, если забежать вперед, – черная дыра), но сохраняет ключевую преемственность с плоским в отношении движения. В «обычном» плоском пространстве предоставленное самому себе тело движется по прямой с постоянной скоростью. Развертка такого движения в пространстве-времени – прямая линия. Зафиксируем это: движение предоставленного самому себе тела описывается прямой в плоском пространстве-времени. «Преемственность» же состоит в том, что движение предоставленного самому себе тела в искривленном пространстве-времени описывается самой прямой линией из всех, какие там возможны. Там, где из-за кривизны нет «настоящих прямых», имеются тем не менее прямые-насколько-возможно. Например, на сфере или, что выразительнее, на глобусе эти насколько-возможно-прямые линии – окружности большого круга, в том числе экватор (но не другие параллели) и все меридианы. Любые дуги таких окружностей называются для краткости геодезическими. Путешествующий по геодезической заключает из своего текущего опыта, что движется по прямой. Для примера на рис. 6.8 показан самый длинный прямой путь, проведенный на земном шаре только по воде. Его длина – 32 090 км; тот факт, что это действительно окружность большого круга, можно самостоятельно проверить на глобусе, но это видно и из рис. 6.9, откуда заодно понятно, что этот путь и правда лучшее приближение к прямой, да в некотором смысле прямая и есть.

Рис. 6.8. Самый длинный прямой путь по поверхности Земли, проходящий только по воде

Рис. 6.9. Три фрагмента пути, изображенного на предыдущем рисунке

Лучшее возможное приближение к прямым в искривленном пространстве-времени – это математически определенный класс линий, для которых не очень оригинально оставили название геодезические (слово «линии» обычно опускают, превращая «геодезические» в существительное). И вот главное: все эффекты гравитации предлагается описывать, вводя такое искривленное пространство-время, что геодезические в нем – это в точности развертки движения под действием гравитации. Мы добрались до формулировки закона природы, обобщающего ряд наблюдений о движении, включая одинаковость движения всех тел под действием гравитации: в отсутствие других воздействий, кроме гравитационного, развертки движения – это геодезические в искривленном пространстве-времени. Такой закон движения несколько необычен из-за появившейся в нем геометрии, к ведению которой относится понятие «геодезические», но он оказался необычайно плодотворным (снова забегая вперед: именно отсюда следовало объяснение поворота орбиты Меркурия, и это было только начало!). Раз появившись, геометрия хочет теперь изгнать гравитацию как силу: стоит только каким-то независимым способом описать искривленное пространство-время, геодезические в котором точно отвечают движению под действием гравитации, как гравитация в качестве отдельной сущности больше не нужна. Все, что она могла сказать «разбросанным камням» (материи), – как им двигаться, но это можно теперь получить из математического описания искривленного пространства-времени: надо только найти в нем геодезические.

Геодезические – развертки свободного падения

Замена гравитации геометрией – шаг прогрессивный, потому что он позволяет не вводить две разные сущности: пространство-время и действующую в нем гравитацию, которые к тому же как-то договорились, чтобы свободное падение локально выключало гравитацию. Вместо этого есть одна сущность – искривленное пространство-время, которое и проявляет себя как гравитация. Как проявляет? «Через геодезические», т. е. геометрически. «Пространство-время говорит» из тезиса Уилера – это высказывание про закон природы, согласно которому в отсутствие других воздействий, кроме гравитационного, движение пробных тел в пространстве описывается геодезическими в искривленном пространстве-времени. В ньютоновском представлении тела движутся по прямым линиям, пока на них не подействует какая-то сила, сбивая их с этих прямых. Более общее эйнштейновское понимание состоит в том, что движением тел управляют геодезические до тех пор, пока не вмешается какая-либо негравитационная сила! Гравитация, таким образом, «поглотилась» геометрией, она вся уже содержится в том, как устроены геодезические.

И заодно всякое свободное падение – движение под действием только гравитации – зачисляется теперь в «привилегированный» класс движений, при которых все законы природы одинаковы. Каждый наблюдатель, который так движется, волен эгоистично объявить себя неподвижным, а мир вблизи себя считать устроенным максимально просто – как (маленький, конечно) кусок обычного, плоского пространства-времени. Это, собственно, и есть его карта. А вот общение с другими членами клуба требует согласования картин мира – перевода данных между картами.

Но теперь возникает задача описания искривленного пространства-времени в целом. Нужны средства – разумеется, математические. Они должны сообщать нам все то знание, которое можно собрать по крохам, имея дело с толпой локальных наблюдателей, расселенных по картам; но при этом хотелось бы избежать «миллиона согласований» между локальными картинами мира и вообще не оплачивать каждый раз массовку. Подходящее для этого средство нашлось, и используется в нем то, что больше всего на слуху, когда речь заходит об искривленных геометриях: «фокусы» с параллельными линиями. В обсуждаемом сейчас случае возможностей для «фокусов» особенно много, потому что искривленное пространство-время искривлено в разных своих точках по-разному, и само понятие параллельности меняется от точки к точке. На него и переносится основное внимание. Если его – понятие параллельности – задать повсюду в пространстве-времени, то это, по существу, и определит, что за искривленное пространство-время получилось. При этом, в отличие от расхожего примера, каким является глобус, доступный нашему наблюдению со стороны, нет решительно никакого способа посмотреть со стороны на пространство-время. Действовать поэтому надо средствами, которые имеются у наблюдателей, живущих внутри; если они смогут тем или иным образом самостоятельно задать параллельный перенос, то будут в состоянии отвечать на вопросы об устройстве их искривленного пространства-времени.

Для «определения параллельности» внутренними средствами, как выясняется, недостаточно самих по себе двух точек, в которых мы желаем определить параллельные направления: нужно еще выбрать какую-то линию, их соединяющую, как показано на рис. 6.10. Математическое знание под названием параллельный перенос тогда сообщает, что значит перенести стрелку из одной точки в другую вдоль выбранной линии. Правда, результат параллельного переноса зависит от этой линии! В плоском пространстве мы привыкли к более простой ситуации: если две стрелки, прикрепленные к разным точкам, параллельны, то они «просто» параллельны, вне зависимости от каких бы то ни было кривых, соединяющих выбранные точки. Но тут уж ничего не поделаешь, в искривленных геометриях нельзя избежать зависимости от кривой, вдоль которой происходит параллельный перенос. (А если этой зависимости совсем нет, то это-то и означает, что геометрия оказалась плоской; подробности впереди.) И в нашем случае математическое определение параллельного переноса должно быть согласовано с тем, что лежит в основе всего построения искривленного пространства-времени: со свободным падением. Поэтому мы все-таки обращаемся к локальным наблюдателям с заданием превратить их наблюдения за свободным падением в знание о том, каким образом стрелки/направления следует параллельно переносить вдоль кривых. Мы покупаем у них это знание в виде пакета услуг, а после этого о локальных наблюдателях наконец забываем.

Рис. 6.10. Параллельный перенос вектора, заданного в точке A, вдоль кривой. Кривая проведена на двумерной искривленной поверхности. Задача параллельного переноса – в любой точке кривой указать векторы, которые считаются параллельными исходно выбранному вектору

Толпе локальных наблюдателей, оказывается, по силам определить процедуру параллельного переноса вдоль кривой в пространстве-времени, используя конструкцию, которая называется лестницей Шильда[105]. Это система «параллелограммов», точнее, того, что заменяет параллелограммы в мире, где вместо прямых линий – геодезические. Для простоты мы ограничимся такими кривыми в пространстве-времени, которые в принципе могут описывать движение какого-нибудь тела – под действием чего угодно, но все-таки с досветовыми скоростями. На рис. 6.11 слева изображена такая кривая, а из точки A₀ на ней торчит стрелка: она определяет направление, которое и нужно перенести вдоль кривой. Идея в том, чтобы построить «параллелограмм», одна сторона которого – заданная стрелка, а другая – направление на некоторую «следующую» точку на кривой; тогда сторона, противоположная заданной стрелке, и окажется ее параллельным переносом в ту другую точку. Строить «параллелограмм» предлагается по двум диагоналям, пользуясь тем, что (как и в настоящем параллелограмме) точка их пересечения делит каждую из них пополам. Ключевое же обстоятельство состоит в том, что линии, используемые во всех построениях, включая и диагонали, – отрезки геодезических! Это означает, что локальные наблюдатели проводят их, отправляя тела в свободное падение[106]. Получающееся отсюда правило параллельного переноса в результате «знает» о том, как происходит свободное падение. Поэтому и искривленное пространство-время, по существу определяемое параллельным переносом, оказывается пригодным для описания гравитации, служащей причиной этого вида движения, – чего мы, собственно говоря, от искривленного пространства-времени и хотели.

Рис. 6.11. Построение лестницы Шильда для параллельного переноса какого-то направления вдоль произвольной кривой. Наблюдатели создают «параллелограммы» из отрезков геодезических

Построение «параллелограммов» из коротких отрезков геодезических называется лестницей Шильда, потому что процедура, приводящая к параллелограмму на рис. 6.11 справа, повторяется, и вдоль кривой появляются новые параллелограммы, составленные из отрезков геодезических. Если лестницу Шильда строить в плоском пространстве-времени, то она вся состоит из настоящих параллелограммов, поэтому перенос получается параллельным в привычном нам смысле. Используя же вместо прямых отрезки геодезических, мы получаем обобщение на случай, когда настоящих прямых нет, а с параллельностью заранее ничего не ясно.

Рис. 6.12. Левая стрелка – касательный вектор к кривой. Если его перенести параллельно в какую-то другую точку кривой, то даже в плоском пространстве (где параллельный перенос происходит по правилу параллелограмма) он перестает быть касательным к кривой

Мы покупаем услугу «безлимитный параллельный перенос любой стрелки вдоль любой кривой» в готовом виде и больше не вникаем в хлопоты локальных наблюдателей по построению лестниц Шильда. Параллельный перенос как система правил, определяющих, как переносится любая стрелка вдоль любой кривой, – это главное математическое средство, позволяющее разбираться с тем, что происходит в искривленных геометриях. Наши траты быстро окупаются – уже одним тем, что у нас появляется способ проводить «длинные» геодезические (далеко за пределы одной карты). Дело в том, что параллельный перенос позволяет выразить все то, чего мы хотим от геодезических – чтобы они были «самыми прямыми из возможных», – в виде уравнений. Изящная идея основана на совсем простом наблюдении. Параллельному переносу вдоль кривой можно подвергнуть вектор, касательный к кривой в выбранной точке, как показано на рис. 6.12; при этом, однако, нет никаких причин, по которым перенесенный вектор оказался бы тоже касательным: произвольная кривая «поворачивает куда захочет», никак не сообразуясь с правилами параллельного переноса. В плоском пространстве, правда, есть одно исключение: если сама выбранная кривая является прямой линией, то касательный вектор остается касательным при параллельном переносе. Звучит это настолько банально, что вроде бы и внимания не заслуживает, ведь касательный вектор к прямой направлен вдоль самой этой прямой и уж, конечно, остается касательным, когда его переносят параллельно. Пусть банально; но в таком виде это свойство обобщается на все случаи, где имеется параллельный перенос!

Геодезические становятся решениями уравнений!

Геодезические – «самые прямые» при заданном параллельном переносе

Геодезические – это в точности такие кривые, что касательный вектор к каждой из них остается касательным, когда его параллельно переносят вдоль кривой. Именно в этом смысле геодезические – «самые прямые из возможных»: они «менее всего поворачивают», но измеряется это «менее всего» с помощью правил параллельного переноса. Это свойство и выражается в виде уравнения: решить его – значит найти кривую, касательный вектор к которой остается касательным при параллельном переносе вдоль нее. Записать уравнение для геодезических несложно, если мы заранее озаботились приобретением параллельного переноса – тоже, конечно, на языке формул[107].

И вот награда за все пережитое: фраза «пространство-время говорит материи, как ей двигаться» теперь становится уравнением – фактически уравнением движения для пробных тел («камней», которые мы захотели разбросать в разные стороны). В другой половине цитаты Уилера приведённой ранее в данной главе «говорит» материя: она определяет, какой быть кривизне пространства-времени. Это высказывание тоже скрывает в себе закон природы (называемый уравнениями Эйнштейна), и до него мы доберемся на следующей прогулке; пока же, считая кривизну известной (прежде всего в задаче, заменяющей задачу Кеплера), мы посмотрим, какие движения в пространстве получаются из геодезических в искривленном пространстве-времени. Возможность краем глаза заглянуть в этот новый мир нам предоставил Меркурий, но прецессия его орбиты – только начало. От поворота орбит мы доберемся до остановки времени, но и этим не ограничимся.

*****

Геодезические на смену Кеплеру и Ньютону. Геодезические в плоском пространстве-времени – это прямые линии без всяких кавычек и слов «как бы». Наши старые знакомые, равномерные и прямолинейные наблюдатели, даже не знали, что говорят прозой – что их движение описывается геодезическими. Но, признав этот факт, они обнаруживают себя в совершенно равном положении со всеми, чье движение описывается геодезическими и в более сложных ситуациях. Все законы природы для них одинаковы, потому что локально, в малом, каждого из них окружает кусок плоского пространства-времени. Законы природы одинаковы не только для равномерных и прямолинейных наблюдателей, но и для всех свободно падающих – и для «Луны-3», когда она падала от Земли к Луне и потом обратно к Земле, и для Стармэна, закинутого на гелиоцентрическую орбиту. Эта одинаковость – часть того, что утверждает общая теория относительности. Измеряя скорость света вблизи себя, каждый наблюдатель всегда найдет ее равной c. Закон движения, говорящий, что в пространстве-времени оно, движение, описывается геодезической, «поддерживает» все эффекты, составляющие содержание специальной теории относительности; общая теория относительности обобщает специальную, включая ее в себя.

Рис. 6.13. Геодезическая, на которой находится Земля, с точки зрения наблюдателя, неподвижного относительно Солнца. На рисунке не выдержан масштаб: радиус спирали в проекции – около 150 млн километров, но ее шаг – 9,5 трлн километров времени

Пример того, что дает «лучшая замена прямых» в виде геодезических, – это само по себе хорошо знакомое нам движение планеты вблизи звезды (источник кривизны в данном случае – звезда; это предмет второй части фразы Уилера, и он ждет следующей прогулки). Общее представление о ситуации дает рис. 6.13; как всегда на таких рисунках, вертикальное направление занято временем, а одним из пространственных направлений приходится пожертвовать (что в данном случае совершенно безболезненно, потому что орбита лежит в одной плоскости). Трудно не заметить, что описание движения вблизи притягивающего центра с помощью математически определенной «самой прямой» в королевстве кривых линий – это довольно значительное развитие представлений, восходящих к Кеплеру. Для начала его эллипсы – это линии в пространстве, а не в пространстве-времени, как геодезические. Чтобы увидеть, какая пространственная орбита получается из той или иной геодезической, надо взглянуть на геодезическую «сверху», вдоль оси времени. Другими словами, траектория в пространстве – это «тень» геодезической, отбрасываемая вдоль оси времени на пространство. Но эта тень вообще-то оказывается не эллипсом; эллипс – лишь хорошее приближение в условиях малой кривизны и медленного движения. Нас же сейчас интересует, как все устроено на самом деле в мире, где кривизна значительна, а гравитация, соответственно, сильна.

Там все иначе. Геодезические довольно остро реагируют на то, как ведет себя кривизна по мере приближения к притягивающему центру. На правах новичков мы начнем с упражнения, где нет никакой зависимости от направления в пространстве, если смотреть из центра: там сидит звезда или нечто похожее, а притяжение ее устроено совершенно одинаково по всем направлениям от нее. Этакое идеальное (идеально круглое) Солнце, к тому же еще и не вращающееся (в астрофизических применениях, как обычно, приходится смотреть сквозь пальцы на медленное вращение). И конечно, теперь мы готовы поместить в центр что-то, создающее кривизну посильнее Солнца. Все эффекты мы собираемся наблюдать через движение. Для этого нам потребуется запас «пробных тел», чтобы разбрасывать их и смотреть, как они полетят. Мы выбираем эти тела маленькими по размеру, чтобы отложить обсуждение животрепещущего вопроса о том, что случается, когда разные части одного тела оказываются на разных геодезических, расходящихся одна от другой или, наоборот, сходящихся все ближе. Кроме того, хорошо, когда пробные тела имеют малую массу. Их движение не зависит от массы, как я не перестаю повторять с самого начала этой прогулки, но мы хотим, чтобы тела оставались пробными, т. е. сами не оказывали обратного воздействия на центр (это не новое требование; на прогулке 4 мы видели, например, что оно сильно упрощает задачу трех тел). Лучше всего запастить набором стандартных гаек, скажем, массой 1 кг (или 1 г) – тогда, записывая в таблицу обстоятельства каждого запуска, мы автоматически будем относить все величины к единице массы (что и подразумевается в дальнейшем).

Таких величин, которые, собственно, и определяют судьбу разбрасываемых гаек, две: энергия и «количество вращения», которыми мы их снабжаем при запуске. Энергия во многом определяет общий характер развития событий; слишком много энергии может означать, что пробная гайка не станет спутником центральной массы, а улетит куда-то неопределенно далеко. «Количество вращения» – термин для домашнего употребления[108], выражающий примерно то, что в нем и слышится. Вращающееся колесо имеет большое количество вращения, когда оно крутится быстро и/или масса его сосредоточена ближе к ободу, чем к центру. Количество вращения запущенной гайки относительно центра равно нулю, если мы целимся точно в центр, и, наоборот, велико, когда на значительном расстоянии от центра гайка летит так, что, глядя на нее из центра, надо быстро поворачивать голову. Согласно Ньютону, планету/гайку можно запустить на орбиту вокруг притягивающего центра, сообщив ей любое количество вращения, кроме нулевого (последнее означало бы прямое попадание в центр; с учетом геометрических размеров Солнца очень малое количество вращения тоже означало бы попадание, но мы временно это игнорируем). Ньютоновы орбиты могут подходить сколь угодно близко к центру, но тело при этом на центр никогда не падает. Мы отметили это как хорошую новость в главе «прогулка 1», но наши знания были тогда ограничены тепличными вариантами орбитального движения. Искривленное пространство-время говорит гайкам и планетам (и всему остальному, включая даже свет) не совсем то, что Ньютон, а часто – совсем не то. Просто к содержимому нашей Солнечной системы оно обращается, можно сказать, шепотом, буквально едва слышным (всего 43 угловые секунды в столетие!). Но когда оно говорит в полный голос, картина меняется радикально: в истории про движение небесных тел появляется спираль – вид движения вблизи притягивающего центра, отсутствовавший у Ньютона. Это означает перспективу упасть на центр; орбитальное движение оказывается рискованным предприятием.

При сильной гравитации возможны спиральные орбиты

Как, кстати говоря, проще всего было бы сообщить Ньютону, какое движение получается из решения уравнений для геодезических, на его, Ньютона, языке – не посвящая его в общую теорию относительности, но (что в таком случае неизбежно) попросив принять на веру один результат? В данном простом случае математика геодезических приводит к результату, который можно сформулировать в терминах силы притяжения: в дополнение к Ньютонову обратному квадрату в ней появляется еще одно слагаемое, зависящее от расстояния как обратная четвертая степень, 1/R⁴, но одновременно с этим зависящее от количества вращения, приходящегося на единицу массы запущенной гайки (пропорциональное квадрату количества вращения)[109]. У меня нет больших сомнений, что вскоре после того, как Ньютон справился бы с удивлением, он смог бы получить отсюда все разнообразие «неньютоновых» орбит, к которым мы сейчас и переходим.

Рис. 6.14. При малом количестве вращения пробное тело неизбежно падает на центр. Таких траекторий движения вблизи притягивающего центра нет в соответствии с законами Ньютона, а на самом деле они есть

Для начала оказывается невозможным запустить гайку на орбиту, если ее количество вращения меньше некоторого порогового; гайка (или планета) неминуемо упадет на центр, как показано на рис. 6.14. (Для Солнца это пороговое значение невелико – в полторы тысячи раз меньше, чем для такой же гайки примерно на орбите Меркурия.) Если же мы желаем вывести гайку на орбиту с минимальным количеством вращения, которое все-таки позволит ей не упасть, то вариант только один: круговая орбита вполне конкретного радиуса (при заданной массе центрального тела). Это специальная – самая внутренняя устойчивая круговая – орбита. Слово «круговая» понятно; «устойчивая» означает, что мелкие нарушения не приводят ни к падению на центр, ни к уходу прочь; а «самая внутренняя» означает, что все остальные устойчивые круговые орбиты лежат дальше от центра. По-английски она стандартно называется ISCO (innermost stable circular orbit), что я на свой страх и риск переведу как БУКО – ближайшая устойчивая круговая орбита.

БУКО лежит близко к центру, в области сильной гравитации, и из-за этого движение по ней происходит быстро – со скоростью, равной половине скорости света с точки зрения наблюдателя, сумевшего каким-нибудь (довольно непостижимым) образом зафиксировать себя в одной точке этой орбиты. Ее радиус, r_БУКО, зависит только от массы центрального тела и для тела массы Солнца равен 8862 м. Пожалуй, имеет смысл заменить Солнце на что-то помассивнее, чтобы БУКО пролегала, скажем, на расстоянии ближайшего приближения (настоящего) Меркурия к (настоящему) Солнцу: около 46 млн километров. Насколько массивнее? Всего в 5 млн раз. Земля (или то, что от нее осталось) летала бы вокруг такого «усиленного» Солнца примерно по своей настоящей орбите – скажем, по круговой орбите радиусом в одну астрономическую единицу – заметно быстрее, чем летает сейчас: год для ее обитателей занимал бы 3 часа 37 минут. Вот что называется «пространство-время говорит в полный голос» – и правда ведь, здорово?[110]

Рис. 6.15. Допустимые рубежи приближения орбит к центру (справа налево). Орбита здесь понимается как траектория, устойчивая или нет, точно следуя которой тело не падает на центр и не уходит от центра навсегда. Показаны интервалы вдоль радиуса (расстояния от центра), которые определяют: (1) допустимые радиусы устойчивых круговых орбит; (2) допустимые радиусы неустойчивых круговых орбит, соскальзывание с которых наружу не приводит к уходу от центра; (3) минимальные расстояния, на которые может приближаться к центру любая устойчивая орбита; (4) минимальные расстояния, на которые может приближаться к центру любая геодезическая, не приводящая к падению на центр; (5) допустимые радиусы неустойчивых круговых орбит, соскальзывание с которых наружу приводит к уходу от центра. Любая геодезическая, описывающая движение пробного тела и зашедшая в область (6), ведет к падению тела на центр

Мы, пожалуй, останемся в такой «усиленной Солнечной системе» и продолжим отправлять гайки на орбиты, раз за разом сообщая им все большее количество вращения. Радиус БУКО – величина, отсутствовавшая в Ньютоновой постановке задачи, – определяет расстояние от центра, где неньютоновы эффекты вступают в полную силу. Чем ближе к центру, тем «труднее» существовать орбитам. Кроме самого радиуса БУКО, характерными рубежами являются и доли от него: две трети, половина и одна треть, как мы сейчас увидим. Эти доли r_БУКО изображены на рис. 6.15. В области (1), внешней по отношению к БУКО, возможны разнообразные орбиты, и в частности устойчивые круговые. Пребывание на БУКО, как мы только что говорили, требует минимального количества вращения, при котором возможно орбитальное движение. Задавшись же количеством вращения больше БУКОвского, мы можем запустить гайку даже на две круговые орбиты: одна из них, устойчивая, проходит дальше от центра, чем БУКО, но, кроме нее (при том же количестве вращения!), обнаруживается еще и неустойчивая круговая орбита, проходящая ближе к центру, чем БУКО[111]. Радиусы всех неустойчивых круговых орбит лежат в области (2) между 2/3 r_БУКО и самим r_БУКО. Впрочем, все эти неустойчивые круговые орбиты представляют собой статью расхода гаек, потому что немалая часть из них будет «чуть что» сваливаться с неустойчивой орбиты на центр и пропадать там (а другая часть – соскальзывать наружу, где их в принципе можно отлавливать).

Пока количество вращения запускаемой гайки превосходит БУКОвское значение не сильно (не более чем в раза), можно отправить ее на довольно экзотическую орбиту, демонстрирующую «тягучее» разматывание и наматывание: для этого надо попросить кого-то сильно заранее поместить гайку на неустойчивую круговую орбиту и едва подтолкнуть ее наружу. Тогда бы мы увидели, как гайка очень неспешно «раскручивается» по спирали, пока не окажется очень далеко от центра, а затем начинает обратное «наматывание», делая неопределенно большое число оборотов по мере приближения снова к той самой неустойчивой круговой орбите. Сообщив гайке количество вращения, превосходящее БУКОвское точно в раза, можно сначала устроить ее на неустойчивой круговой орбите на расстоянии в две трети радиуса БУКО (2/3 r_БУКО), а затем едва заметно подтолкнуть наружу; получившаяся разматывающаяся спираль уже уходит неопределенно далеко от центра: гайка улетает навсегда, хотя и делает это с максимальной неохотой. У Ньютона способом максимально «неохотно» распрощаться с притягивающим центром были параболы, но они не делали никаких витков, а кроме того, минимальное расстояние парабол до центра не было ничем ограничено (само собой, раз там не было падения на центр). В сильной гравитации движение одновременно и разнообразнее, и капризнее.

Сообщая гайкам все большее количество вращения, можно запускать их на неустойчивые круговые орбиты, которые лежат еще ближе к центру, чем 2/3 r_БУКО, но только не ближе чем 1/2 r_БУКО; это область (5) на рис. 6.15. Сваливаясь с каждой такой орбиты наружу, гайка «бодро» улетит прочь от центра. А поместить какое-либо тело на круговую орбиту еще ближе к центру – с радиусом 1/2 r_БУКО или меньше – невозможно. Как понять это «невозможно»? Нет соответствующих геодезических; а попытка втиснуть туда гайку методом грубой силы упирается почти в точности в то же, что не позволяет разогнать никакое тело до скорости света: по мере приближения радиуса круговой орбиты к 1/2 r_БУКО неограниченно растут и энергия, и количество вращения, необходимые для пребывания на ней.

Круговые орбиты малого радиуса невозможны

Своеобразные рубежи в две трети и половину r_БУКО – это не только про круговые орбиты. Устойчивое пребывание любого тела без моторчика ближе чем 2/3 r_БУКО от центра вообще преходяще: в зависимости от количества вращения и энергии оно или улетит далеко прочь (аналог ситуации с Ньютоновой гиперболой; собственно, и здесь траектория становится неотличимой от гиперболы на большом удалении от центра), или упадет на центр (Ньютонова аналога нет). Значит, никакие планеты и другие тела (включая космический мусор) не могут оставаться ближе к центру, чем расстояние 2/3 r_БУКО. Их ареал обитания – это область устойчивых орбит, область (3) на рис. 6.15. Еще более драматическим оказывается рубеж в 1/2 r_БУКО, ограничивающий область (6): попадание в эту область по любой геодезической неминуемо вызовет падение на центр. Другими словами, все геодезические, не приводящие к падению, ограничены областью (4). Мы можем убедиться в фатальном характере рубежа в половину радиуса БУКО, взявшись простреливать гайками всю проблемную область внутри двух третей радиуса БУКО. Мы потеряем все те снаряды, которые влетели «под» половину радиуса БУКО; те же, которые туда не попали, в конце концов вылетят прочь, совершив, возможно, какое-то количество витков вокруг центра, а затем навсегда уйдут от него по траекториям, которые вдали от центра становятся все ближе к гиперболам. И не стоит выполнять маневр гравитационной пращи в слишком близкой окрестности притягивающего центра – даже тем, кто не боится проблем, вызванных приливными силами. Правда, космический корабль с включенными (желательно фотонными или какими-то другими сверхпродвинутыми) двигателями еще имеет шансы спастись из-под половины радиуса БУКО, но и ему нельзя подходить на одну треть радиуса БУКО, если только стоит задача вернуться домой. Вернуться с расстояния 1/3 r_БУКО и ближе никакой возможности нет; мы же, наоборот, еще вернемся к этой таинственной области чуть позже на этой прогулке.

Временно оставим посягательства на область вблизи центра; какие вообще бывают орбиты, если это не окружности? Урок, который мы извлекли из истории с Меркурием, говорит, что эллипсы могут не получиться. Вообще-то при движении по всякой некруговой орбите расстояние до центра изменяется в пределах от некоторого минимального до некоторого максимального. При этом форма орбиты критически зависит от того, на какой угол поворачивается планета, на взгляд из центра, за то время, пока расстояние проходит полный цикл (уменьшается от максимального до минимального и затем снова возрастает до максимального). Если этот угол мало отличается от полного оборота, то мы и правда можем воспринимать траекторию как поворачивающийся эллипс, как на рис. 6.16 слева. Но если полный цикл изменения расстояния от центра сильно рассинхронизирован с полным оборотом, то получается что-то, определенно эллипсом не являющееся, как, например, на рис. 6.16 справа.

Вместо вытянутых эллипсов – фигуры «лепесток-намотка»

Рис. 6.16. Расстояние планеты до центра меняется периодически, но поворот на 360° планета завершает раньше, чем расстояние возвращается к прежним значениям. Слева: орбиту можно охарактеризовать как поворачивающийся эллипс. Справа: орбиту трудно назвать эллипсом (хотя отличие от орбиты слева – в скорости прецессии, т. е. количественное)

Типичные вытянутые орбиты – разнообразные фигуры «лепесток-намотка». Наши гайки проводят некоторое время вдали от центра («лепесток»), затем устремляются ближе и, пока расстояние еще не увеличилось, могут несколько раз обойти вокруг центра («намотка»). В зависимости от тех же двух параметров орбиты, энергии и количества вращения, число намоток может быть любым. Любым может быть и число лепестков, и очередность их прохождения, как показано на рис. 6.17. И даже более того: за то время, пока расстояние прошло несколько полных циклов изменения между максимальным и минимальным, угол поворота вовсе не обязательно набирается равным целому числу раз по 180°, и орбита «лепесток-намотка» тогда просто-напросто не замыкается. С математической точки зрения незамкнутые орбиты встречаются неизмеримо чаще замкнутых; но любое наблюдение за реальной орбитой определяет ее параметры с некоторой точностью, и в пределах этой точности всегда найдется какое-то – возможно, очень большое – число оборотов, через которое орбита замкнется. В этом смысле математически различные случаи «замыкания после очень большого числа оборотов» и «незамыкания» выглядят одинаково. На рис. 6.18 видно, как начинают развиваться такие орбиты. Едва ли в этих узорах можно усмотреть многое от Кеплера. И вся эта не-кеплерово-ньютоновость – не результат тех или иных случайностей (например, сделавших центральное тело несферическим), а элемент фундаментального устройства, причем в самом «симметричном» случае, когда центр притягивает одинаково по всем направлениям (кривизна не зависит от направления). Само собой, все орбиты с необходимостью находятся в пределах области (3) на рис. 6.15. Пожалуй, теперь лучше понятно, какой же удачей оказались наши «домашние» эллипсы: математически, как решения уравнений движения в рамках закона тяготения Ньютона, они замкнуты, а отклонения, наблюдаемые в нашей медленной Солнечной системе, представляют собой, что называется, академический (хотя и немалый) интерес. При медленном движении в слабой гравитации орбиты замкнуты с большинства практических точек зрения, что открывает шансы для относительной устойчивости планетных систем, включая, конечно, Солнечную, и для возможности возникновения там жизни.

Рис. 6.17. Орбиты с тремя лепестками, одной дополнительной намоткой в центре и разной последовательностью прохождения лепестков, как это показано утолщенной линией для части орбиты. Справа тело каждый раз пропускает один лепесток. Максимальное удаление от центра составляет около 25 r_БУКО, а минимальное расстояние лишь несильно превосходит 2/3 r_БУКО

Рис. 6.18. Незамкнутые траектории на практике трудно отличимы от тех, которые замы-каются после очень большого числа оборотов. Показано несколько первых оборотов таких траекторий. Начало обхода орбиты показано утолщенной линией. Слева: орбита с тремя лепестками, одной дополнительной намоткой и правилом «пропустить один лепесток». Справа: орбита с четырьмя лепестками и одной дополнительной намоткой

*****

Равенство без исключений. Мы позабыли о наблюдателях, не падающих свободно в кораблях с выключенными двигателями (или верхом на гайках), а включающих двигатель в своей ракете, или замедляемых атмосферой, или испытывающих давление света, или просто сидящих у себя дома. Одинаковы ли законы природы в картах (малых областях) всех таких наблюдателей? Да, одинаковы. Никакого клуба избранных наблюдателей на самом деле нет, все они равны перед законами природы, и единственное требование, которое остается, – чтобы они (наблюдатели) были локальными, т. е. изучали мир в пределах малого куска пространства-времени. Конечно, включение или невключение двигателя – это две разные ситуации, которые не спутаешь; однако в каждой из них наблюдатель, изолировавшийся от внешнего мира, может упрямо считать себя неподвижным – ценой того, что ему, возможно, придется зафиксировать наличие гравитации. Это видно вот как. Свободное падение с тем или иным ускорением на взгляд со стороны (1g вблизи поверхности Земли; как всегда, требуется убрать воздух) «выключает» гравитацию для участников падения: они ощущают невесомость. Но если ракета, в которой они падали, включает двигатели так, чтобы прервать падение и остановиться на фиксированной высоте над поверхностью (похожая задача решается на рис. 6.19), то вместо невесомости они немедленно ощутят силу тяжести – ту самую, земную, сообщающую всем телам ускорение 1g. А если теперь в такой же ракете где-нибудь вдали от Земли, Солнца и чего угодно включить двигатель с такой же тягой, то ракета полетит с ускорением 1g (относительно равномерных и прямолинейных наблюдателей, о которых, впрочем, мы вот-вот забудем), а на борту будет ощущаться та же самая сила тяжести, сообщающая всем телам ускорение 1g, – гравитация как будто на Земле. Так вот, главное: никакого «как будто». Это и есть гравитация – точно такая же, как на Земле рядом с поверхностью, локально неотличимая от земной. Другими словами, если наблюдатель, на чей-то сторонний взгляд, решил ускориться (затормозить, повернуть или все сразу), то испытываемая им перегрузка неотличима от действия гравитации: отказываясь выглядывать в окно, он может с равным успехом считать, что покоится, но находится в области действия гравитации. Никакие эксперименты, охватывающие малый кусок пространства-времени, не позволяют отличить ускорение от гравитации. В дополнение к двум пунктам в главе «прогулка 5» мы теперь имеем ключевое утверждение, известное как общий принцип относительности:

Все законы природы одинаковы для всех локальных наблюдателей, движущихся произвольным образом относительно друг друга. Локальный наблюдатель не может определить, вызвано ли относительное ускорение какого-либо тела гравитацией или ускорением самого наблюдателя.

Локальные эксперименты не позволяют отличить ускорение от гравитации

Рис. 6.19. Падающая ракета включает двигатель, чтобы остановиться перед касанием поверхности

Эквивалентность гравитации и ускорения имеет множество следствий; одно из них состоит в том, что гравитация замедляет ход времени. Чем в более сильной гравитации находится наблюдатель, тем медленнее течет его время по сравнению с наблюдателем где-то далеко в пустом пространстве. Ускорение ракеты, как мы видели в главе «прогулка 5» (где ракета меняла направление движения на противоположное), имеет эффект замедления времени; общий принцип относительности тогда говорит нам, что это же верно и для гравитации.

Гравитация замедляет время

Поскольку притяжение Земли несколько слабеет с высотой, те, кто работает на верхнем этаже небоскреба, стареют чуть быстрее, чем их коллеги на первом этаже. Сейчас это замедление времени можно измерить для разницы высот уже в несколько десятков сантиметров той же техникой, которая позволила проверить замедление времени на велосипедно-автомобильных скоростях. В эпоху, когда лучшие средства измерения времени были менее точными, требовалась несколько большая разница высот. Осенью 1971 г. прецизионные для того времени цезиевые часы отправились в путешествие на самолетах, после чего их показания сравнили с показаниями часов, остававшихся на базе. Показания разошлись; ситуация эта прекрасна тем, что причин расхождения две и они действуют в разных направлениях в зависимости от направления движения самолета, поэтому часы проделали два кругосветных путешествия в противоположных направлениях. Часы в самолете находятся на некоторой высоте над поверхностью и должны от этого идти быстрее тех, что на базе; часы в самолете движутся относительно базы с контрольными часами, но из-за вращения Земли вокруг своей оси и сама база движется относительно наблюдателя, условно помещенного в центр Земли. С точки зрения этого наблюдателя наибольшей скоростью обладают часы, летящие на восток; с «промежуточной» скоростью движется сама база; меньшая из трех скоростей – у самолета, летящего на запад. Формулы для вычислений простые, сложность же была в том, чтобы как можно точнее оценить условия эксперимента: измерить те, которые меняются (скорость и высота), а остальные поддерживать неизменными. Использовались обычные рейсовые самолеты; для часов и батарей были куплены два отдельных билета на имя Mr. Clock. В восточном направлении цезиевые часы за 65 часов и 25 минут полета проделали путешествие из Вашингтона в Вашингтон через Лондон, Франкфурт, Стамбул, Бейрут, Тегеран, Нью-Дели, Бангкок, Гонконг, Токио, Гонолулу, Лос-Анджелес и Даллас. Ожидаемые расхождения, накапливающиеся за это время, лежат в пределах 200 наносекунд, но сокращение двух эффектов оставило от этих двух сотен лишь десятки: время, прошедшее в самолете, должно было превышать время на базе на (144 ± 14)_{из-завысоты} + (–184 ± 18)_{из-за скорости} = (–40 ± 23) нс (минус означает, что на самом деле не превышать, а быть меньше). Измерения же показали (–59 ± 10) нс. Интервалы перекрываются! В западном направлении полет через Лос-Анджелес, Гонолулу, Гуам, Окинаву, Тайбэй, Гонконг, Бангкок, Бомбей, Тель-Авив, Афины, Рим, Париж, Шаннон и Бостон занял около 80 часов 20 минут чистого времени, и здесь ожидаемые эффекты складывались: (179 ± 18)_{из-за высоты} + (96 ± 10)_{из-за скорости} = (275 ± 21) нс. Актуальная же разница показаний часов составила (273 ± 7) нс. Этот эксперимент Хафеле и Китинга затем повторяли в нескольких вариантах, в том числе постоянно отслеживая положение и скорость самолета с помощью радара. На 25-ю годовщину оригинального опыта его частично повторили на участке Лондон – Вашингтон и обратно, а в 2010 г. благодаря дальнемагистральным рейсам удалось облететь вокруг Земли всего с тремя промежуточными пунктами: на маршруте Лондон – Лос-Анджелес – Окленд – Гонконг – Лондон ожидаемую разницу вычислили как 246 ± 3 нс, а реально зафиксировано было 230 ± 20 нс.

*****

Падения света. «Материя» в высказывании Уилера включает и свет. Ему (свету) пространство-время тоже говорит, как двигаться: по геодезическим. «Надменность» света, впрочем, никуда не делась, и подходящие для него геодезические несколько отличаются от остальных – они не могут описывать движение никакого тела, но это тоже геодезические в строгом математическом смысле. Они ожидаемо называются «световые геодезические». Особая роль света проявляет себя и в том, что свет движется только по геодезическим. Обычное тело можно толкать палкой, увозить в трюме ракеты или приделать к нему моторчик – и тогда оно уже не будет свободно падать, т. е. двигаться под действием одной только гравитации, и в пространстве-времени его движение не будет описываться геодезической. Но со светом ничего такого проделать нельзя; его можно только притянуть гравитационно, а это и значит, что его траектории в пространстве описываются геодезическими в пространстве-времени. И пространственные траектории вовсе не обязательно оказываются прямыми!

Распространение света – это всегда свободное падение

Световые геодезические таковы, что, в частности, свет далеких звезд, проходя вблизи Солнца, отклоняется от прямой линии. Эти отклонения можно измерить; правда, к таким измерениям надо специально готовиться, потому что требуется загородить Солнце, чтобы оно не слепило. Для этой цели прекрасно подходит Луна – правда, только в короткие минуты солнечных затмений и в тех регионах, где затмение полное. После первого такого измерения в 1919 г. Эйнштейн буквально проснулся знаменитым: почему-то именно отклонение света, а не вращение орбиты Меркурия вызвало публичный резонанс. Возможно, дело в исторически сложившейся «драматургии»: аномалия в движении Меркурия была сначала измерена, а потом получила объяснение, тогда как отклонение света сначала было предсказано, а потом измерено. Современные высокоточные наблюдения позволяют зафиксировать и отклонения лучей света, проходящих на таком угловом расстоянии от Солнца, что «выключения» светила не требуется; космический телескоп Hipparcos Европейского космического агентства, а затем его преемница Gaia, работающая в точке Лагранжа L₂ системы Солнце – Земля, проделали десятки тысяч таких измерений. Отклоняют свет, только намного сильнее, и объекты в сотни миллиардов и более раз массивнее Солнца – галактики и скопления галактик; этот эффект называется гравитационным линзированием. Здесь для успеха наблюдения нужно найти яркий источник света за какой-нибудь галактикой. Не очень далекая галактика ZW 2237+030 (400 млн световых лет) учетверяет изображение такого яркого источника (квазара), находящегося на расстоянии около 8 млрд световых лет, а изображение галактики SDP.81 (11,7 млрд световых лет от нас) имеет вид кольца из-за линзирования другой, более близкой галактикой (рис. 6.20)[112].

Чтобы увидеть, как проявляют себя законы, по которым отклоняется – да, свободно падает – свет, вместо разбрасывания гаек надо светить фонариком в сторону притягивающего центра. Из-за того, что вместе со светом нельзя отправить никакие предметы, включая часы, нет «внутреннего» способа измерять протяженность вдоль световой геодезической; как следствие – в световых геодезических меньше разнообразия, чем в «обычных». Это станет заметно, как только мы заменим космический разбрасыватель гаек на тот или иной вариант космического лазера: разнообразие возможных орбит сократится, и вместо двух параметров (энергии и количества вращения относительно центра) результаты наших экспериментов по запуску света в сторону притягивающего центра будут зависеть только от одного. В этом качестве особенно удобно использовать «прицельное расстояние» – минимальное расстояние, на котором луч прошел бы от центра, если бы двигался по прямой. Свет не распространяется по прямой мимо центра притяжения, но параметр все равно удобный, да и название хорошее. А вот от энергии света ничего не зависит: если вы одновременно пошлете свет из обычной лампы и из рентгеновского лазера, то эти два «света» нигде не разделятся, не разойдутся в стороны и не отстанут друг от друга.

Рис. 6.20. Гравитационное линзирование. Слева: эйнштейновский крест – более тусклая галактика в центре создает четыре изображения яркого объекта, находящегося далеко за ней. Справа: эйнштейновское кольцо – искаженное изображение далекой галактики. (Близкой галактики-линзы не видно на этом изображении, полученном в субмилли-метровом диапазоне)

Рис. 6.21. Траектории света вблизи притягивающего центра. Лучи света испущены издалека справа с прицельными расстояниями (снизу вверх) 8 · 1/6 r_БУКО, 7 · 1/6 r_БУКО, 6,5 · 1/6 r_БУКО, 6 · 1/6 r_БУКО = r_БУКО, 5,5 · 1/6 r_БУКО, 5,4 · 1/6 r_БУКО, 5,3 · 1/6 r_БУКО и («завивающийся» луч) 5,2 · 1/6 r_БУКО. Начиная с прицельного расстояния 5,19615 · 1/6 r_БУКО лучи перестают возвращаться наружу, а точно с этого прицельного расстояния свет попадает на круговую орбиту радиуса 1/2 r_БУКО. Различные оттенки серого использованы для того, чтобы различать лучи

На рис. 6.21 лучи света направляются к центру с различными прицельными расстояниями и в зависимости от этого отклоняются сильнее или слабее. Там выбраны прицельные расстояния, измеряемые в «шестых долях от r_БУКО»: 8 · 1/6 r_БУКО, 7 · 1/6 r_БУКО и еще несколько. Про лучи, которые повернули на 180°, уже как-то неловко говорить «отклоняются»; выбрав определенное прицельное расстояние (около 0,892826 r_БУКО, что в «шестых долях», как на рисунке, составляет примерно 5,357 · 1/6 r_БУКО), можно увидеть вернувшийся свет нашего же лазера, причем без всяких зеркал – из пустоты. Эта необычная ситуация – если угодно, предельный случай гравитационного линзирования. Совсем небольшое дополнительное уменьшение прицельного расстояния заставит свет делать обороты вокруг центра – возможно, более одного раза (в этой области малые изменения в прицельном расстоянии приводят к сильно различающимся траекториям).

Притягивающий центр выглядит как черный диск

Падающий свет перестает выходить в какую бы то ни было сторону, если он отправляется к центру с прицельным расстоянием менее Центр притяжения выглядит со стороны как черный диск, улавливающий свет. Куда свет девается? На расстоянии 1/2 r_БУКО от центра лежит (неустойчивая) круговая орбита света. Мы видели чуть выше, что никакие тела на эту круговую орбиту «не впихнуть» из-за запретительного роста энергии (да и количества вращения), но для света законы, как всегда, особые; как раз свету на этой орбите хорошо (впрочем, и здесь есть свои ограничения: она неустойчивая)[113]. Но чтобы издалека отправить свет на такую орбиту, надо выбрать прицельное расстояние точно равным А весь свет, приходящий с меньшими прицельными расстояниями, не попадает даже на орбиту радиуса 1/2 r_БУКО и ни на какую другую орбиту, а просто падает на центр.

Свет может обращаться по круговой орбите

Способ исследовать происходящее подробнее – соединить гайки и фонарики, т. е. посмотреть, как распространяется свет, испущенный фонариками, которые приделаны к разбросанным повсюду гайкам. Впрочем, для распространения света не важно, свободно или не свободно падал его источник, поэтому вместо многих гаек с лампами можно отправить в полет один космический корабль с мощным двигателем, чтобы потом использовать оборудование повторно. На рис. 6.22 источник света находится относительно далеко от центра для самой правой диаграммы и тем ближе к центру, чем левее диаграмма. Диаграммы показывают, какая часть света, излученного во все стороны, пропадет в центре притяжения. Пока корабль или гайки с фонариками находятся далеко от центра (справа на рис. 6.22 – на расстоянии 15 r_БУКО от центра; ничего специального в числе 15 нет, оно фигурирует просто в качестве сравнительно большого), мы, по существу, повторяем опыт, проделанный с лучами света на рис. 6.21: лишь малая часть света, испущенного во все стороны, пропадает в центре: это узкий темный сектор на диаграмме. Но когда источник достигает БУКО, угол раствора «сектора пропавшего света» вырастает уже до 90°, а на знакомом нам расстоянии 2/3 r_БУКО (третья справа диаграмма на рис. 6.22) свет пропадает уже из сектора с углом раствора 133,4°. Свет, испущенный вдоль половины направлений, не выйдет наружу, когда космический корабль доберется (или гайка упадет) до половины радиуса БУКО (1/2 r_БУКО); именно здесь, конечно, космонавтов слепит свет от разных других источников, «подзадержавшийся» на круговых орбитах. В области ближе половины радиуса БУКО световые сигналы во внешний мир удастся послать, только если луч наведен в пределах все более узкого конуса, смотрящего прочь от притягивающего центра, – все более узкого по мере приближения к фатальному расстоянию 1/3 r_БУКО. Точно на этом расстоянии от центра посылать сигналы поздно: диаграмма, как на рис. 6.22, становится полностью черной. С этого расстояния наружу не ведут даже световые геодезические; геометрия пространства-времени такова, что их нет. Это положение дел часто выражают словами: «Гравитация настолько сильна, что ее не может преодолеть даже свет».

Рис. 6.22. В зависимости от расстояния до центра свет, испущенный вдоль некоторых направлений (показаны в виде черных секторов), падает на центр. Расстояния от источника света до центра (слева направо): 2,01 · 1/6 r_БУКО, 2,1 · 1/6 r_БУКО, 2,5 · 1/6 r_БУКО, 3 · 1/6 r_БУКО = 1/2 r_БУКО, 4 · 1/6 r_БУКО = 2/3 r_БУКО, 6 · 1/6 r_БУКО = r_БУКО и 90 · 1/6 r_БУКО = 15 r_БУКО

Горизонт «полупроницаем» – пройти через него можно только в одну сторону

Граница той области пространства-времени, из которой не ведут наружу даже световые геодезические, называется горизонтом событий или просто горизонтом[114]. (Мы встречались с рукотворным горизонтом в главе «прогулка 5», но то была разминка.) Явление, закрытое горизонтом, носит название, которое в 1967 г. популяризировал (или придумал и популяризировал) Уилер, – «черная дыра».

*****

Отрезанный ломоть пространства-времени. Мы начали с безобидных орбит вокруг Солнца, потом для большей выразительности увеличили массу Солнца в 5 млн раз и продолжили изучать орбиты. Почему же «оказалось», что это орбиты вокруг черной дыры? Короткий ответ: чтобы насладиться всеми эффектами высокой кривизны, нужно подобраться близко к телу, которое эту кривизну создает, но для обычных звезд мы уткнемся в саму звезду задолго до того, как эти эффекты проявят себя в полной мере.

Чуть подробнее: тело, имеющее массу Солнца и размер Солнца, притягивает вблизи своей поверхности (а там оно притягивает сильнее всего) недостаточно сильно, чтобы имелись выразительные отличия от движения в соответствии с законами Ньютона. По-настоящему интересное, как мы видим, происходит на расстояниях, сравнимых с радиусом БУКО. Но радиус БУКО для тела массы Солнца – 8862 м (внимание: метров), что меньше радиуса самого Солнца примерно в 78 500 раз. Чтобы впихнуть в такие пределы всю массу Солнца, потребуется сжать Солнце от нынешней средней плотности около (чуть меньше) полутора тонн на метр кубический до плотности в несколько сотен миллионов миллионов (10¹⁴) тонн на метр кубический. Это много по любым стандартам, и тем не менее объекты примерно с такой плотностью во Вселенной есть: это нейтронные звезды. Вопрос о том, какой в точности радиус они имеют, – сложный, потому что наши знания о веществе с такой плотностью далеко не полны; известно, что их массы не сильно превосходят солнечную – 1,4 массы Солнца или несколько выше. Относительно недавно из наблюдений за нейтронной звездой массой как раз 1,4 солнечных масс удалось, достаточно сложным образом, извлечь оценку ее радиуса – около 11 км. Радиус же БУКО для тела такой массы – 12,4 км, что формально пролегает снаружи тела, но следующий интересный радиус 2/3r_БУКО оказывается уже внутри. Однако нейтронные звезды быстро вращаются, а вращение влияет на то, как искривляется пространство-время вокруг них, и история с орбитами оказывается сложнее. Как бы то ни было, вблизи нейтронных звезд и в самом деле реализуется сильная гравитация, а в них самих и вблизи них происходит разнообразнейшее интересное, но для того, чтобы мы полностью насладились разбрасыванием гаек, им слегка не хватает плотности.

Сверхсжатие материи создает горизонт событий

А при дальнейшем уплотнении материи она (материя) переходит порог, за которым наступает еще большее и неостановимое уплотнение под действием собственной гравитации. Материя в известной степени исчезает, а вместо нее остаются кривизна и горизонт. От Вселенной безвозвратно «полуотрезается» кусок, укутанный горизонтом. «Полу-» – потому что прерываются причинные связи в одном направлении, оттуда сюда, что и выражается словами «черная дыра»[115]. От «провалившейся» внутрь материи не могут приходить никакие сигналы, и по сю сторону горизонта от нее остается не так много информации: только о массе и количестве вращения (и, если он вдруг случится, об электрическом заряде). Эта информация закодирована в том, как именно искривлено пространство-время снаружи горизонта. Под горизонтом продолжающееся сжатие материи, полностью скрытое от нас, приводит к состояниям, для описания которых у нас нет никаких средств; имеющиеся теоретические знания теряют там свою применимость.

Черная дыра не имеет твердой границы

Определяющий признак черной дыры – наличие горизонта (событий); строго говоря, горизонт ограничивает не только область в пространстве, но область в пространстве-времени, из которой не может прийти никакой сигнал[116]. Горизонт в более простом понимании, как поверхность в пространстве, – «пустая» поверхность, а не граница какого-либо тела, и сквозь нее внутрь можно проникнуть разнообразными способами: по геодезическим (падая свободно) или нет (включая двигатель); и свет, и тела проходят через него в направлении центра, ничего не замечая, однако, пройдя его, уже не могут вернуться. Эту «пустую» поверхность в пространстве довольно естественно называть границей черной дыры, но, в отличие от границы всех обычных тел, это не «твердая» граница. И снаружи горизонта, и на самом горизонте, и под горизонтом пусто: там просто ничего нет (ведь задержаться там, вместо того чтобы продолжить падать, не в состоянии даже свет).

*****

Правила черной дыры для навигации. Итак, наши эксперименты с гайками и фонариками, оказывается, относились к черной дыре – причем к черной дыре простейшего вида, для которой все направления в пространстве равноценны. Это невращающаяся черная дыра (для вращающейся уже не все направления равноценны, потому что есть выделенное – ось вращения). Вообще-то, все астрофизические черные дыры вращаются: во Вселенной едва ли найдется тело без собственного вращения, и невращающимся черным дырам особенно не из чего возникнуть. Поэтому простейшая, невращающаяся, черная дыра – не точное описание реальных черных дыр. Тем не менее пользы от такого описания все равно немало. Оно годится для оценок того, что происходит вокруг вращающихся черных дыр; эти оценки могут быть не точны, но никогда не бессмысленны. А главное – геодезические вокруг невращающейся черной дыры можно использовать не только для черных дыр, но и для звезд и даже планет, включая Солнце и Землю, когда нужно описать эффекты их гравитации точнее, чем на это способен закон тяготения Ньютона. Тот факт, что Солнце – все-таки нормальная звезда радиусом примерно 700 000 км, а не черная дыра, никакого значения не имеет! Все геодезические на большем расстоянии от центра, чем эти 700 000 км, «не знают», создает гравитацию Солнце или сидящая в центре черная дыра, имеющая массу Солнца. В отсутствие вращения и звезды, и «заменяющей» ее черной дыры это верно с абсолютной точностью. Реальное Солнце, конечно, вращается, но по чернодырным стандартам его вращение невелико, и при вычислении ряда эффектов им можно спокойно пренебречь, а при большой необходимости есть способы учесть его в виде очень небольших поправок, существенных только для сравнения с прецизионными измерениями. Разумеется, БУКО и горизонт формально оказываются глубоко внутри Солнца, и ничего похожего на них в недрах настоящего Солнца нет. Но именно чернодырные геодезические в той их части, которая высовывается за пределы Солнца, и ответственны за поворот орбиты Меркурия.

Геодезические, рассчитанные для черной дыры с массой Земли (радиус горизонта для которой чуть меньше девяти миллиметров), говорят о том, какие поправки по сравнению с расчетами по Ньютону следует вносить в работу систем глобальной навигации вроде ГЛОНАСС (рис. 6.23). Критически важно поддерживать синхронизацию часов на спутниках: они летают длительное время, и неучтенные рассогласования в определении времени, если они есть, накапливаются[117]. Поэтому приходится учитывать среди прочего и разницу в ходе времени на поверхности Земли (для оценки: 6400 км от центра) и на орбите (6400 + 19 100 = 25 500 км). Сила притяжения на этой высокой орбите примерно в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли; правда, замедление времени откликается не на силу, а на величину энергии притяжения, и в результате делить надо не на 16, а всего лишь на 4. Но далее в вычисления вторгается величина скорости света, и в итоге замедление времени ожидаемо оказывается скромным: около 40 микросекунд за сутки. Но время в системах глобальной навигации нужно для определения расстояний, которые проходит «свет» (радиосигнал), а здесь снова вмешивается скорость света: 40 световых микросекунд – это почти 12 километров. Такая ошибка делает задачу определения местоположения нерешаемой. Даже в тысячу раз меньшее неучтенное расхождение в ходе времени между двумя спутниками приведет через день к характерной ошибке около 10 м. Навигационным спутникам приходится подучить кое-что про черные дыры.

Рис. 6.23. Спутник, осведомленный об эффектах кривизны пространства-времени

Кроме «помощи» навигационным спутникам, невращающиеся черные дыры ясно демонстрируют набор эффектов, которые во вращающихся черных дырах могут несколько видоизменяться и/или действовать совместно с другими эффектами, но не отменяются. Они проявляют себя в первую очередь через движение.

*****

Часть времени не помещается. Область вблизи горизонта – площадка для серии необычных фокусов. Нам понадобится путешественник – наблюдатель, готовый с некоторого удаления туда прыгнуть. Перед началом своего путешествия, еще находясь далеко от черной дыры, он включает часы. Одновременно с ним это делает и персонал, который собирается бросить его в сторону черной дыры. В момент включения все часы показывают 0 (нуль), и это общее время для всех вовлеченных сторон. Но по мере того как путешественник удаляется от «базы», его представления о времени начинают отличаться от представлений о времени всех провожающих. Вклад в относительное замедление времени вносят и скорость, и гравитация, но, в отличие от опыта Хафеле и Китинга с часами на пассажирских сиденьях, здесь увеличение скорости происходит вместе с попаданием в область все более сильной гравитации. Происходящее дальше я попробую описать в рамках оптической иллюзии или, если угодно, «фотошопного» эффекта. Высокое здание довольно странным образом скособочено с одной стороны (рис. 6.24): пол на втором этаже не весь горизонтальный, а делается наклонным и опускается до уровня улицы; пол третьего этажа тоже наклонно спускается на землю, скажем, на расстоянии метра от того, где уткнулся в нее пол второго этажа. Пол четвертого этажа сходит к поверхности еще через полметра; следующего этажа – еще через четверть метра и так далее: все этажи подходят к поверхности и при этом теснятся все плотнее. Прогуливающийся вдоль этой постройки прохожий отмечает, что прошел мимо пола второго этажа; затем третьего и так далее. Довольно скоро он перестает считать пересекаемые им этажи, потому что слишком много их попадает в один сантиметр его пути, а потом и в один миллиметр и так далее. Даже не прибавляя шага, прогуливающийся наблюдатель довольно скоро минует их все. Да, и я забыл сразу сказать, что этажей в здании больше, чем любое число, которое вы можете назвать.

Рис. 6.24. Наблюдатель, идущий вдоль скособоченного здания

Этот неоднозначный образец городской архитектуры – в математическом смысле относительно приемлемая аналогия: если пытаться как-то геометрически представить себе искривленное пространство-время в окрестности черной дыры, то нечто похожее и получается, но только, как всегда в таких случаях, направление вверх – это ось времени. Архитектура – «застывшая музыка» – сейчас показывает нам застывшее время. Этажи с номерами 1, 2, 3, … в недеформированной части здания – это моменты времени 1, 2, 3, … на стартовой площадке, а каждый этаж, взятый целиком, – это все то, что происходит одновременно по мнению находящихся там, на старте. «Листы одновременности» искривляются в искривленном пространстве-времени. Путешественник, летящий через пространство к черной дыре, быстро пересекает листы одновременности, отвечающие будущим моментам времени по часам своих бывших товарищей. Если, скажем, сразу после пересечения листа 1000 он вдруг вспомнит про сверхмощный двигатель, все-таки положенный в рюкзак, и захочет повернуть обратно, то вернется он не раньше – а в действительности заметно позже – момента 1000 по часам своих заново обретенных друзей. Но если не вспомнит, то, пролетев определенное расстояние в пространстве – до горизонта, – он пересечет все моменты будущего времени для своих друзей.

Приближение к горизонту исчерпывает время далеких наблюдателей

А если он все-таки захочет вернуться после пересечения горизонта? Возвращаться некуда. Времени, в которое можно было бы вернуться, для него не осталось. Друзья определенно стали бывшими; и не только они, но и все, что случится с внешней Вселенной в их будущем, остается – уже осталось – в прошлом путешественника, который пересек горизонт. Собственно говоря, это один из способов объяснить, почему вернуться нельзя – потому что для возвращения требуется не космический корабль, а машина времени.

Под горизонтом пространство и время меняются ролями

Попадание под горизонт меняет жизнь несколькими способами, наиболее занимательный из которых, если отвлечься от всего личного, – замена времени на пространство. Часы на руке у падающего туда наблюдателя продолжают, разумеется, отсчитывать его собственное время; но из-за кривизны это время – давайте думать о некотором промежутке времени – «уложено» вдоль радиуса, ведущего к центру черной дыры. Из-за того, что радиальное направление стало для него временем, попадание в центр теперь столь же неотвратимо, как наступление ближайших моментов будущего. Центр черной дыры для падающего наблюдателя представляется не точкой в пространстве, а моментом будущего времени. И наступит он довольно скоро по часам падающего. Как скоро? Чтобы узнать время движения от горизонта до центра, надо знать, конечно, радиус горизонта. Здесь, правда, в дело снова вмешивается несовпадение картин мира удаленных зрителей и самого путешественника. Когда мы говорим о радиусе горизонта и других характерных расстояниях вроде показанных на рис. 6.15, всегда подразумеваются их значения, определяемые удаленными наблюдателями. Для падающего же путешественника не только промежутки времени, но и пространственные расстояния – «свои собственные». В результате время, за которое он, продолжая свободно падать, долетит от горизонта до центра, оказывается равным 2/3R, если в качестве единиц измерения использовать километры (деление на скорость света, как всегда, даст время в секундах)[118]. Радиус же горизонта тем больше, чем больше масса черной дыры. Для черной дыры солнечной массы у путешественника, если бы он дожил до приближения к горизонту, осталось бы не так много времени на раздумья о смысле жизни под горизонтом – менее 7 микросекунд (миллионных долей секунды). Для черной дыры, волюнтаристски выбранной выше так, чтобы ее БУКО проходила на расстоянии ближайшего приближения Меркурия к Солнцу, это уже 34 секунды. Пожалуй, более оптимистично падение в сверхмассивную черную дыру M87^*, «фотография» которой приведена на рис. 3.13: по оценкам от телескопа EHT, с помощью которого и получено изображение, ее масса около 6,5 млрд масс Солнца. Для невращающейся черной дыры такой массы свободное падение от горизонта к центру по радиусу заняло бы 11 часов 51 минуту и (неполные) 39 секунд. Это не так мало, чтобы провести серию интересных физических экспериментов – увы, совершенно бесполезных для мирового научного сообщества.

Само по себе путешествие под горизонтом M87^* будет комфортным на большей своей протяженности, но не до самого конца. Та часть тела путешественника, которая находится ближе к центру, стремится следовать туда быстрее, чем более удаленные части тела. В какой степени? Щадя чувствительную часть аудитории, заменим смелого туриста на два шара массой по 50 кг каждый, соединенные друг с другом так, что расстояние между их центрами составляет 1 м, и будем считать, что тело этого «муравья» ориентировано вдоль радиуса: один шар как раз на 1 м ближе к центру, чем другой. На большей части пути натяжение в «талии» остается незаметным. Еще за 20 секунд до прибытия в пункт назначения натяжение слегка превосходит то, которое создает груз массой 5 г, подвешенный здесь у нас в земных условиях; но за 0,9 секунды до прибытия натяжение приближается к 2,8 кг. «Голова» муравейного человека, если она дальше от центра, чем «ноги», испытывает такое усилие на отрыв. За 0,05 секунды до финиша никакого робо-человека-муравья не останется: натяжение между двумя его составными частями приблизится к такому, которое создает подвешенный груз в одну тонну. К моменту 10 микросекунд «до» не останется и настоящих муравьев: две половинки тела весом по 5 миллиграмм, соединенные талией длиной в 1 миллиметр, будут разрываться сильнее, чем у нас растягивает подвес гиря весом 2 кг. В конечном итоге, однако, и муравьи, и атомы, из которых они состоят, окажутся не растянутыми, а сжатыми: геодезические сходятся в центре примерно как улицы в некоем городе с радиальной структурой, показанном на рис. 6.25 слева, но только делают это, как и полагается геодезическим, неотвратимо и до самого центра. На рис. 6.25 справа условно показаны растяжения и сдавливания по разным направлениям, причем не надо забывать, что картина на самом деле трехмерная. Сдавливание с боков в конце концов одерживает верх над растяжением вдоль радиуса, и совсем близко к центру объем каждой единицы материи неотвратимо уменьшается (это состояние и вызывает отказ имеющихся теорий).

Рис. 6.25.Слева: автотранспорт, въезжающий по радиусам в центр города, заполняет улицы все более плотно из-за «сдавленности с боков» – уменьшения периметра по мере приближения к центру. Справа: растяжения и сжатия, действующие на протяженные тела вблизи притягивающего центра

Но с точки зрения зрителей, оставшихся на базе, все выглядит иначе. Путешественник, за которым они наблюдают, по мере своего приближения к горизонту пересекает листы одновременности (этажи на рис. 6.24), отвечающие все более поздним моментам времени с их точки зрения; это значит, что они смогут увидеть его на том расстоянии от горизонта, где он пересек лист номер 1000, не раньше, чем их собственное время доползет до момента 1000. Но ближе к горизонту листы одновременности упакованы все более тесно (этажи скособоченного здания утыкаются в асфальт все ближе один к другому), и поэтому путешественник пересекает их один за другим: от листа с номером 1000 до листа с номером 10 000 буквально рукой подать, и он пролетит это расстояние за чепуховое время по своим часам. Но болельщикам надо ждать 9000 единиц времени, пока это случится по их часам (и потом еще сколько-то, чтобы до них дошел сигнал от путешественника). Падение, на взгляд со стороны, не ускоряется, а замедляется![119] По мере приближения к горизонту малейшее продвижение путешественника в сторону горизонта будет требовать от болельщиков, желающих это увидеть, все более долгого ожидания (Ахилл и черепаха наоборот в некотором роде). С точки зрения болельщиков время путешественника замедляется до полной остановки на горизонте. Лазерный луч, которым путешественник (направив его должным образом, сверившись с рис. 6.22) пожелает сигнализировать о своем приближении к горизонту, будет приходить на базу все более сдвинутым в красную область спектра, затем в инфракрасную, микроволновое излучение, радиоволны и в конце концов станет недетектируемым. В этом смысле «информационная потеря» падающих в черную дыру вещей происходит не скачком, а постепенно. Путешественник «зависнет», «замрет» – и «растает» вблизи горизонта. Отдаленные зрители не смогут дождаться даже пересечения горизонта (неважно, для массивной черной дыры или нет), потеряют терпение и разойдутся. Прыжки на горизонт событий – незрелищный спорт. При этом, однако, никак не получается сказать «пока зрители скучают, у путешественника начинаются проблемы». Даже в ответ на вопрос, живы ли еще, или уже нет путешественник и все муравьи на борту, приходится переспрашивать: в каком смысле?

*****

Кривизна – расхождение геодезических. Схождение и расхождение геодезических измеряется кривизной пространства-времени. До сих пор я употреблял это слово, надеясь, что его значение примерно понятно из контекста, но сейчас подходящий момент, чтобы определить кривизну точнее. Искривленное пространство-время, которое встречается на этой прогулке буквально за каждым углом, потому и «искривленное», что неосторожным муравьям там может оторвать голову (и прыгать под горизонт для этого совершенно не обязательно, это может случиться где угодно). Технически кривизна описывает все способы, которыми могут пострадать муравьи, и выражает «уровень опасности» числами. Этих чисел несколько, и они, как правило, меняются от точки к точке в пространстве-времени.

Кривизна выражает «уровень опасности» со стороны приливных сил

Мы отчасти знакомы с кривизной, потому что это – почти приливные силы, которые впервые встретились нам на прогулке 4. Это геометрическая подоплека приливных сил. В ньютоновском мире приливные силы были в основном растяжениями и служили источником разнообразных явлений – от приливов и синхронизации вращений Луны до разрушения тел на пределе Роша. Их продолжают называть тем же словом и в более общей ситуации, но теперь это слово превращается в термин и не обязательно обозначает то же самое, что обозначало в своей прошлой жизни: в гравитации, описываемой как геометрия, более разнообразны несчастья, которые могут выпасть на долю муравья; а кроме того, дело происходит в пространстве-времени.

Кривизна – это сбои в гармонии невесомости

Кривизна выражает, насколько желают удалиться, или сблизиться, или обвиться друг вокруг друга соседние геодезические (не траектории в пространстве, а геодезические в пространстве-времени, как, возможно, стоит подчеркнуть). «Соседние» здесь понимается в строго определенном математическом смысле, да и «желают» тоже – как относительное ускорение (подробности того, как оно определяется, приведены в добавлениях к этой прогулке). Поскольку каждое малое тело, развертка движения которого есть геодезическая, находится в состоянии свободного падения, можно сказать, что кривизна – это нарушения «одинаковости» свободного падения для соседей по геодезическим. Муравей испытывает нарастающий дискомфорт в точности потому, что движение его головы и тела описывается различными геодезическими. Поэтому кривизну нельзя «испытать» или измерить, имея лишь одно пробное тело: требуется как минимум два, движение которых отвечает двум «соседним» геодезическим. А поскольку в пространстве-времени четыре независимых направления, изучить относительные ускорения геодезических необходимо вдоль каждого из направлений; но и геодезические можно «прокладывать» в любых направлениях, поэтому требуется немало по-разному ориентированных муравьев. Из наблюдений за тем, как они разрываются, сдавливаются или скручиваются, получается набор из нескольких чисел в каждой точке пространства-времени.

Рис. 6.26. Расхождение/схождение геодезических на сфере

В двумерии, как всегда, все намного проще, и дежурный пример поведения геодезических на сфере показан на рис. 6.26. Там в качестве одной геодезической выбран экватор (если считать, что полюса расположены сверху и снизу), а на некотором расстоянии ξ от него выбрана точка, и через нее проведена другая геодезическая, «максимально параллельная» экватору. На рисунке показан ее участок. Она, как и экватор, представляет собой окружность большого круга и по этой причине не может оставаться на неизменном расстоянии от экватора; на рисунке две геодезические сходятся (в общем случае я говорю о расхождении геодезических; сходятся или расходятся – это вопрос знака). Сейчас, конечно, мы говорим о геодезических в традиционном «геодезическом» понимании, что, как всегда, несколько портит аналогию с пространством-временем. Тем не менее если бы на сфере жили двумерные существа и если бы имелся закон природы, что они могут передвигаться только по геодезическим, то они заключили бы, что когда Существо А и Существо Б ползут каждое своим путем, некая сила тянет их друг к другу: они неизбежно сближаются, а после встречи, наоборот, неизбежно начинают расходиться. В нашей Вселенной свободное падение тел в пространстве описывается геодезическими в пространстве-времени, а мы, глядя на происходящее изнутри пространства, ощущаем расхождение/схождение геодезических как неустранимые эффекты гравитации.

И еще: происходящее на сфере для нас наглядно, потому что мы смотрим со стороны, а в отношении пространства-времени такой возможности нет, поэтому расхождение геодезических требуется описывать в тех же внутренних терминах, в которых мы и строим искривленную геометрию. По счастью, ничего изобретать не нужно, имеющегося основного инструмента – параллельного переноса – достаточно для придания кривизне точного смысла. Подробности того, как это делается и что получается, описаны в добавлениях к этой прогулке. Чисел, выражающих все способы взаимного поведения соседних геодезических, заметно больше одного. Они организованы в таблицу формата 4 × 4 × 4 × 4, в которой вообще-то 256 ячеек. Правда, 112 из них никогда не заполнены (технически это выражается в том, что в них всегда проставлены нули, не несущие никакой информации). Половина оставшихся – это повторение чисел из некоторых других ячеек, но с противоположным знаком; таким образом выражается взаимность типа «если А удаляется от Б, то Б удаляется от А». Но и из оставшихся 72 ячеек далеко не все содержат независимые данные – числа в них тоже повторяются или выражаются друг через друга; в этом проявляются более глубокие свойства взаимности, следующие из правил параллельного переноса. Так или иначе все числа, раскиданные по таблице 4 × 4 × 4 × 4, выражают те свойства геометрии, которые служат объяснением приливных сил – т. е. сил, которые различным образом растягивают, сжимают и скручивают подвернувшиеся куски материи. И кривизна не устранима никакими трюками типа применения принципа относительности. Она не выключается переходом к какому-либо специальному виду движения, ведь расхождение между двумя геодезическими остается расхождением независимо от того, какую из них вы выбрали в качестве «своей собственной». Мы еще вернемся к этому «монстру» 4 × 4 × 4 × 4, а заодно увидим, что он не так и страшен, а пользы от него необычайно много. А пока обсудим наконец класс черных дыр, у которых кривизна устроена поинтереснее, чем мы видели до сих пор.

*****

Нельзя не вращаться. Как мы уже говорили, черные дыры в космосе должны вращаться. Наличие оси вращения немедленно нарушает «одинаковость по всем направлениям», которая упрощала картину в случае невращающихся черных дыр. Разбрасывать гайки по окрестностям вращающейся черной дыры – занятие практически бесконечное, потому что разнообразие велико; орбиты незамкнуты, если только не случатся условия резонанса (рис. 6.27), но теперь, в отличие от невращающейся черной дыры, требуется синхронизация циклических изменений радиуса и двух углов оборота вокруг центра[120].

Рис. 6.27. Орбиты пробных тел вокруг вращающейся черной дыры. Слева: незамкнутая орбита, постепенно заметающая весь объем. Справа: периодическая орбита в случае, когда выполнены некоторые резонансные условия

Новый аттракцион предлагается тем, кого бросают во вращающуюся черную дыру строго по радиусу: падение происходит вовсе не по радиусу! Более сложное устройство кривизны определяет такие геодезические, что гайки и наблюдатели, начавшие падение по радиусу, вовлекаются во вращение в пространстве – вокруг оси вращения черной дыры и в ту же сторону. Это неблизкая нам ситуация, когда гравитация действует не только как притяжение, но еще и как «утяжение» вбок, определяемое собственным вращением того, что притягивает. Источнику кривизны не надо даже быть черной дырой (хотя, конечно, с черными дырами все всегда отчетливее). Измерение этого тончайшего эффекта для Земли, с ее слабой гравитацией и медленным вращением, удалось выполнить в 2004 г. с помощью спутника Gravity Probe B. Вовлечение во вращение вокруг центрального тела выражалось в прецессии гироскопа, которая, собственно, и фиксировалась на спутнике. Близнецы, кстати, могут использовать вовлечение во вращение, чтобы в очередной раз рассогласовать свой возраст (рис. 6.28): кривизна, как мы помним, – это свойство пространства-времени, и облет вращающегося тела в двух разных направлениях, по вращению и против вращения, влияет на ход времени по-разному. У того из близнецов, кто летит против вращения, времени до встречи пройдет меньше. В околоземном пространстве это пренебрежимые во всех смыслах сотни аттосекунд, но вращающиеся черные дыры только и ждут, чтобы их облетели с двух разных сторон.

Рис. 6.28. Вовлечение во вращение вызывает различия в ходе времени. Наблюдатель A огибает вращающееся тело против направления вращения, наблюдатель C – по направлению, а наблюдатель B не делает ни того ни другого. Показания всех часов в итоге различаются

Падающему наблюдателю, впрочем, не до этого. В отличие от своего приятеля, он поступил очень разумно, заплатив турагентству больше за возможность падения именно во вращающуюся черную дыру: приятель, сэкономивший на вращении, будет двигаться только по радиусу, а от шампанского при пересечении горизонта его будет отвлекать смена ролей пространства и времени. У вращающейся же черной дыры эффекты следуют по отдельности, а горизонтов вообще в два раза больше (есть внешний, собственно, и окутывающий черную дыру, а кроме него, еще и внутренний), так что один горизонт обходится дешевле, плюс еще до внешнего горизонта наблюдатель пересекает эргосферу. Это звучное название выбрано для еще одной математически определенной поверхности – в том смысле «математически», что ее расположение и правда известно математически, но еще и в том смысле, что проходит она в пустом пространстве и поэтому не является «физической» поверхностью чего бы то ни было. Эргосфера объемлет вращающуюся черную дыру снаружи от (внешнего) горизонта (рис. 6.29) и сходится с горизонтом только на полюсах, а в плоскости экватора отстоит от него на расстояние, сравнимое с радиусом самого горизонта в той же экваториальной плоскости. После пересечения эргосферы время приобретает свойства пространственных направлений, хотя до настоящего горизонта еще далеко. Внутри эргосферы время вытягивается «вокруг», по направлению вращения самой черной дыры, и именно поэтому все предметы, которые туда попали, не могут не вращаться: увеличение угла поворота вокруг черной дыры становится таким же неотвратимым, как наступление ближайших моментов будущего времени. При этом все еще можно как приближаться к горизонту, так и удаляться от него, и, насмотревшись на это чудо «пространственного времени», еще можно вернуться назад – так, собственно, и делают те, кто купил дешевый вариант экскурсии, в который не включено посещение горизонтов.

Рис. 6.29. Важные границы вокруг вращающейся черной дыры в разрезе. Ось вращения проходит вертикально. Форма поверхностей зависит от выбора координат, но их относительное расположение и точки соприкосновения от этого не меняются. Снаружи внутрь: эргосфера, внешний горизонт, внутренний горизонт и внутренняя эргосфера. Зазор между внешним горизонтом и эргосферой тем больше, чем сильнее раскручена черная дыра

А после пересечения внешнего горизонта – теперь уже непременно не по радиусу, что, конечно, было отдельно отмечено в рекламной брошюре, – время еще раз «поворачивается» и вытягивается вдоль радиуса. Это значит, что уменьшение радиуса – приближение к центру – наконец-то стало неотвратимым (хочется сказать «как наступление завтрашнего дня», но события, как правило, развиваются быстрее, чем за сутки). Вернуться назад больше нельзя. Но агентство, как довольно скоро выясняется, не обмануло: ближе к центру находится второй, внутренний горизонт. После его пересечения приближение к центру перестает, строго говоря, быть обязательным, во всяком случае, для тех путешественников, кто запасся двигателем[121].

Впрочем, до второго горизонта надо еще добраться невредимым (как всегда, чем больше черная дыра, тем позднее – ближе к центру – приливные силы разойдутся вовсю). Кривизна пространства-времени вокруг вращающейся черной дыры проявляет себя по полной, и порождаемые ею приливные силы умеют делать намного больше, чем вызывать приливы и создавать разрыв и сжатие, как мы видели на рис. 6.25 справа; теперь еще и неоднородность вовлечения во вращения создает усилие, заставляющее каждое тело скручиваться вокруг различных направлений (или ломаться от скручивающих усилий; это уж как получится). Если ваше левое плечо толкают вперед сильнее, чем правое, то, кроме общего движения вперед, вы начнете поворачиваться направо. Примерно эта особенность окрестностей вращающейся черной дыры схематично показана на рис. 6.30; надо только помнить, что полная картина трехмерная и каждое тело испытывает подобные усилия вдоль трех осей – и это в добавление к сжатиям/растяжениям, показанным на рис. 6.25 справа. В контракте с турагентством все-таки был мелкий шрифт.

Рис. 6.30. Закручивания пробных тел; серым и черным показаны закручивания в разных направлениях. Слева: вдали от вращающегося тела. Справа: около вращающейся черной дыры. Закручивания по пересекающимся линиям действуют одновременно. Серый и черный на горизонте указывают на максимальную степень закрученности в двух противоположных направлениях. Светлым показана область, где закрученность близка к нулевой

Добавления к прогулке 6

Сила ли гравитация?.Является ли гравитация силой, раз она «стала геометрией»?.А вообще, что такое сила? Это нечто, что «действует» (скажем, на тела) таким образом, что вызывает изменение их количества движения. Сказать что-то еще о «силе вообще» довольно трудно. Сообщение закона Ньютона в том и состоит, что сила – это темп изменения количества движения, но природа «силы» при этом никак не конкретизируется. Важно лишь, что она вызывает изменения в движении. «Сила говорит материи, как ей двигаться», – мог бы сказать и Ньютон, если бы согласился записать интервью для новостного канала, не вдаваясь в детали (все подробности про дифференциальные уравнения второго порядка все равно бы вырезали при монтаже)[122]. В обсуждаемом случае искривленная геометрия прекрасно справляется с ролью силы именно потому, что говорит материи, как ей двигаться.

Убедиться же, что гравитацию как силу никто не отменял, по-прежнему можно разнообразными способами, например уронив что-нибудь тяжелое себе на ногу или исходя из того, насколько в общем невысоко удается подбросить камень.

Принцип максимального старения. Как всякая хорошая вещь, геодезические в пространстве-времени известны с более чем одной стороны. Геодезические для тел оказываются решением еще одной задачи, часто возникающей по разным поводам и выражающей несколько неожиданный аспект той идеи, что геодезические – «самые прямые из возможных».

Любые два события в пространстве-времени, одно из которых лежит в абсолютном прошлом другого, можно соединить несчетным числом путей в пространстве, по которым, кроме того, можно двигаться, по-разному меняя скорость. Это дает «еще более несчетное» число «путей», соединяющих выбранные события в пространстве-времени. Только один из этих путей представляет собой геодезическую. Например, путешествовать от космодрома до того же космодрома в будущем можно разными способами: на ракете, летящей до TRAPPIST-1 и обратно, или же поселившись в палатке неподалеку от стартовой площадки на все время от старта до возвращения ракеты; последнее, конечно, тоже «путешествие» между фиксированными событиями старта и финиша, из одной точки в пространстве-времени во вполне определенную другую точку в пространстве-времени. Про космодром, кстати, мы решили на прогулке 5 (см. рис. 5.19), что это космическая платформа где-то в межпланетном, а может быть, и межзвездном пространстве, и в таком случае оставаться на космодроме означает путешествовать из собственного прошлого в собственное будущее по геодезической.

Геодезические гарантируют самые долгие путешествия

Для каждого пути в пространстве-времени, соединяющего выбранные события, будем записывать время, проведенное в пути, т. е. время, которое покажут часы, которые сами путешествуют. Среди всех возможных вариантов путей тот, который описывается геодезической, выделен особым свойством: отправленные по нему часы показывают максимальное время путешествия по сравнению со всеми другими часами, путешествующими между теми же событиями.

Это выглядит противоположно нашим представлениям о «самом прямом». Геодезические на глобусе (и вообще там, где нет времени как отдельного «направления») – это пути минимальной длины между двумя точками, они же и «самые прямые из возможных». Но перед нами еще один случай, когда отличие времени от пространства вносит свои поправки, и в пространстве-времени обстоятельства поворачиваются таким образом, что самые прямые линии, соединяющие два события, – это самые долгие путешествия для путешествующих. На космодроме, плавающем в космосе, как мы видели на прогулке 5, проходит больше времени, чем на борту: понятно, скажем мы теперь, ведь на космодроме двигателей нет, поэтому он следовал по геодезической (даже если по чьей-то неосмотрительности начал падение в сверхмассивную черную дыру), а ракета – определенно не по геодезической, раз включала двигатели. «Парадокс близнецов» (кто именно постареет сильнее) разрешается мгновенно: тот, кто на космодроме.

Рис. 6.31. Расхождение геодезических измеряется как разность двух способов параллельного переноса касательного вектора. Слева: на геодезической выбрана точка, в которой проведен касательный вектор к геодезической. В точке, кроме того, указано направление к какой-то соседней геодезической. В центре: касательный вектор, перенесенный на вторую геодезическую, параллельно переносится вдоль этой геодезической. Справа: касательный вектор сначала подвергается параллельному переносу вдоль «своей» геодезической, а затем параллельно переносится на соседнюю. Разница между результатами в центре и справа и выражает расхождение геодезических

Свободное падение обеспечивает максимальное старение

Это свойство геодезических иногда называют «принципом максимального старения». Пространство-время говорит материи двигаться так, чтобы время на часах, путешествующих между событиями А и Б, было максимальным по сравнению с показаниями часов, добирающихся от А к Б любыми другими способами – при участии любых воздействий, кроме гравитации. Показания путешествующих часов часто называют собственным временем. Три с виду различные идеи выражают одно и то же: геодезические – свободное падение – максимальное собственное время.

Свойства параллельного переноса определяют кривизну

Кривизна: расхождение геодезических и забор. Кривизна – это «мера неодинаковости» близких геодезических, измеряемая их относительным ускорением. Определение кривизны опирается на правила параллельного переноса, и точный ответ на вопрос «кривизна чего?» звучит как «кривизна заданных правил параллельного переноса». Чтобы выразить количественно, в каком темпе расходятся две соседние геодезические (рис. 6.31), мы выбираем место (точку) на одной из них, соединяем эту точку стрелкой с другой геодезической и в той же выбранной точке проводим касательный вектор к первой геодезической. Относительное ускорение геодезических выражается как разность результатов параллельного переноса, выполняемого двумя способами, которые различаются порядком действий. В первом варианте сначала параллельно переносим касательный вектор вдоль стрелки на вторую геодезическую, а затем то, что получится, переносим параллельно вдоль второй геодезической. (Стрелку мы при этом проводим так, чтобы после переноса вдоль нее получился касательный вектор ко второй геодезической; это всегда можно сделать.) Во втором варианте сначала касательный вектор переносится параллельно вдоль первой геодезической, а уже затем получившийся вектор параллельно переносится на вторую. Разница между двумя результатами – относительное ускорение – и выражает схождение/расхождение геодезических. Эта математическая процедура выполняется для «очень близких» геодезических.

Рис. 6.32. Площадка, определяемая небольшими смещениями вдоль двух координатных линий. Показаны два различных пути, соединяющие начальную точку с противолежащей на координатной сетке

Кривизна – это набор «всех» таких расхождений, подходящим образом организованный по направлениям в пространстве-времени. Чтобы перечислить «все» расхождения указанного вида, надо перечислить все базовые способы направить геодезические и провести стрелку, которая их соединяет. Это удобнее сделать, решая эквивалентную, но чуть другую задачу о параллельном переносе двумя способами – задачу по постройке забора. В облюбованном уголке пространства-времени выберем каким-нибудь способом координатные линии; на рис. 6.32 показаны два семейства координатных линий. Вообще-то четырехмерное пространство-время полагается «расчертить» четырьмя такими семействами, но нам сейчас нужны именно два – любая пара из имеющихся четырех. Предпримем очень короткое путешествие: пройдем немного вдоль одной из координатных линий (назовем ее x), свернем на другую (скажем, y) и, пройдя по ней немного, отправимся назад по соседней линии x и, наконец, вернемся в исходную точку по линии y. Путешествие мысленное, и требуется оно только для того, чтобы обозначить «участок» в форме параллелограмма. Этот участок теперь и предлагается обнести забором из досок. Первую доску поставим в исходно выбранной точке и направим ее, скажем, вдоль координатной линии z (на рисунке не показана). Хороший забор – такой, который не «заваливается», а это означает, что следующую доску надо поставить параллельно первой, еще следующую – тоже параллельно и т. д. В дело оказывается вовлечен параллельный перенос! Для ускорения строительства работу поручают двум бригадам: каждая «привязывается» к самой первой доске, а затем первая продвигается сначала вдоль координатной линии x, а потом по координатной линии y, а вторая бригада идет сначала вдоль y, а потом вдоль x. В искривленном пространстве-времени забор «не сойдется»: первая и вторая бригады не согласятся по поводу того, как должна стоять финальная доска в месте их встречи. Это несогласие и определяется кривизной. Как всегда, стороны «участка» считаются малыми в математически точно определенном смысле. Полученная кривизна тогда относится к точке, откуда мы начали построение. (Чтобы узнать кривизну в какой-то другой точке, надо повторить все действия начиная оттуда.)

Чтобы выразить кривизну, надо сказать, как именно следует повернуть доску, которую ставит вторая бригада, чтобы она совпала с доской, которую ставит первая. Сказать это нужно, конечно, не для одного конкретного забора, который мы велели строить, направив самую первую доску вдоль линии z, а для любого забора – такого, первая доска которого смотрит в любом направлении. Базовых направлений четыре, по числу измерений пространства-времени[123]. А сам участок, обносимый забором, можно построить не только на малых смещениях по x и y, но и на малых смещениях вдоль любой пары направлений. Итак: два направления задают участок, а третье определяет ориентацию первой доски. Каждое направление – это одна из осей (x, y, z, t). Все эти возможности организуются в таблицу 4 × 4 × 4; в ней определенно встречаются случаи, когда площадки на самом деле нет (в качестве первого направления выбран, скажем, x, но в качестве второго – тоже x), но нам удобно в таких случаях не беспокоиться отдельно, а заменять все данные нулями. В остальных случаях, когда с площадкой все в порядке, мы вносим в таблицу данные, определяющие «доводку» финальной доски второй бригады, – и это еще четыре числа[124]. Так и получается, что данные, описывающие кривизну, размещены в таблице формата 4 × 4 × 4 × 4. Часть ячеек в ней заведомо содержит нули, содержимое части ячеек выражается через содержимое других, но все равно штука впечатляющая. Такую таблицу кривизны следует построить в каждой точке пространства-времени. Если пространство-время плоское, то все заборы всегда сходятся и в таблице одни нули. Наличие же кривизны означает, что есть несходящиеся заборы. У нас большие планы на кривизну на следующей прогулке.

Признания и литературные комментарии

«Развертки», которые в пространстве-времени представляют любое движение тел в пространстве, называются мировыми линиями. Геодезические «для тел» называются времениподобными (световые геодезические по этой причине иногда называются светоподобными; для них распространилась и калька с английского «нулевые», что примерно означает, что у них нет собственного времени). «Лепесток-намотка» для орбит в сильной гравитации – мой вольный («смысловой») перевод английского zoom-whirl; БУКО – тоже мое изобретение, стандартная аббревиатура – ISCO. Орбиты, «сматывающиеся и наматывающиеся» на неустойчивую круговую орбиту, называются гомоклинными. Количество вращения, как уже было сказано, официально называется моментом импульса или моментом количества движения. Невращающаяся черная дыра называется черной дырой Шварцшильда (я так и буду называть ее в дальнейшем), вращающаяся – черной дырой Керра. «Таблица кривизны» формата 4 × 4 × 4 × 4 – это тензор кривизны, или тензор Римана.

Самые основные положения общей теории относительности в прекрасном популярном формате обсуждает Гарднер [9]. Мое изложение концепции искривленного пространства-времени в значительной степени опирается на идеи из книги [18]. Своим уникальным стилем (книгу интересно просто подержать в руках, вне зависимости от того, собираетесь ли вы ее читать) она обязана Уилеру. В русском переводе трехтомник вышел больше сорока лет назад и стал событием. Содержание его, несомненно, устарело в отношении ряда астрофизических задач; тем не менее изложение там основ общей теории относительности является одним из классических, а сокращение MTW (по фамилиям трех авторов) – безошибочно распознаваемый способ на него сослаться. Относительно недавно на языке оригинала даже вышло переиздание, которое Мизнер и Торн просто сопроводили комментариями о том, где именно наука заметно ушла вперед со времени написания книги (Уилер скончался в 2007 г.; Торн получил Нобелевскую премию в 2017-м). Из [18] я, кроме того, позаимствовал идею изображения секторов, свет из которых пропадает в черной дыре, как на рис. 6.22.

Основные представления об общей теории относительности (кратко) и все главные свойства черных дыр (с комфортной степенью подробности) изложены в книге [7]. Приливные эффекты, производимые компактными объектами, учитываются среди прочего в задаче об ускорении космического зонда за счет гравитационной пращи у белых карликов и нейтронных звезд [26]. Упомянутое определение радиуса нейтронной звезды массой 1,4 солнечных выполнено в работе [50]. Изображения орбит пробных тел вблизи черной дыры взяты из работы [87], где предлагается способ их классификации. Источник рис. 6.28, изображающего вовлечение систем отсчета (на этой прогулке – вовлечение гаек) во вращение вблизи вращающегося тела, – статья [57]. Картины сжатия, растяжения и скручивания на рис. 6.25 и 6.30 заимствованы из [39, 95]. Самый длинный прямой путь на земном шаре, проходящий по воде, построен в работе [54]. По Транссибирской магистрали я, к сожалению, никак не соберусь проехать.

Движение на прогулке 6

Движение под действием одной только гравитации – свободное падение – происходит одинаково для всех малых тел, вне зависимости от их массы и каких-либо других свойств. В космических полетах при выключенном двигателе это свойство обеспечивает невесомость, независимо от того, какие небесные тела притягивают космический аппарат и как он от этого движется. Такое положение дел, возведенное в фундаментальный принцип, позволило считать гравитацию выражением того, насколько геометрия пространства-времени отклоняется от плоской геометрии. Движение в пространстве под действием гравитации происходит так, что в искривленном пространстве-времени ему отвечают геодезические – самые прямые из возможных линий. Движение, описываемое геодезической, локально «выключает» гравитацию: каждый локальный наблюдатель, испытывающий действие только гравитации, может логически непротиворечивым образом считать себя неподвижным и не испытывающим ее действия. Более того, локальный наблюдатель, испытывающий ускорения за счет негравитационных сил, может считать себя неподвижным, приписав ускорения эффектам гравитации. В этом состоит общий принцип относительности – равноправия всех видов движения. Из всех возможных способов движения между двумя событиями в пространстве-времени движение под действием одной только гравитации обеспечивает максимальный интервал времени по движущимся часам. Распространение света описывается особыми, «световыми» геодезическими в пространстве-времени, из-за чего и траектория света в пространстве искривляется притягивающими массами.

В условиях сильной гравитации и больших скоростей движение вблизи притягивающего центра происходит не по Кеплеру – Ньютону: появляется возможность падения на центр, эллипсы размыкаются и могут деформироваться до орбит «лепесток-намотка», а устойчивые орбиты не существуют слишком близко к центру и при количестве вращения ниже некоторого порогового. Вокруг притягивающего центра возникает горизонт событий – воображаемая поверхность, из-под которой не может выйти наружу ничто, даже свет. Движение от удаленных областей до горизонта происходит за ограниченное время по движущимся часам, но занимает все будущее время с точки зрения удаленных наблюдателей. Движение под горизонтом черной дыры неотвратимо ведет к ее центру, который из точки в пространстве превращается в момент будущего времени. Движение вблизи вращающихся тел и черных дыр демонстрирует вовлечение во вращение, и внутри эргосферы вращательное движение неотвратимо.

Расхождение соседних геодезических определяет кривизну пространства-времени – геометрическую основу приливных сил. Сколько-нибудь протяженные объекты, движущиеся в области с высокой кривизной, не могут сохранить свою целостность.

Прогулка 7