Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей — страница 9 из 19

Окрестные прогулки

Отложенная прогулка 8Движение рядом

Рядом с нами – в мире соразмерного нам масштаба – движется многое, включая животных, населяющих леса, тундру, степи, саванны, полупустыни и пустыни, горы и полярные области; птиц, в том числе перелетных, а также водоплавающих и нелетающих; жуков; пчел, ос и шершней; бабочек, стрекоз, мух; комаров и другого гнуса; пауков; головастиков в лужах и тихих водоемах. Постоянно, эпизодически или при необходимости движутся поезда, грузовые и пассажирские, включая подземные; движутся самолеты, вертолеты и дроны разной степени технической оснащенности; планеры и дельтапланы; роторы вертолетов, рули высоты самолетов, закрылки, элероны, предкрылки и интерцепторы на крыльях; движутся эскалаторы в метро и скрытые под ними шестерни; ленты транспортеров; детали и механизмы станков на фабриках и заводах; лифты в многоквартирных домах, гостиницах и торговых центрах; двери на петлях и раздвижные двери; поворачивающиеся дверные ручки; ключи в замках и личинки замков; открывающиеся окна и форточки; ножи кухонных комбайнов и кофемолок; роторы в пылесосах и роботы-пылесосы, ползающие по полу; барабаны в стиральных машинах; вентиляторы в компьютерах и других системах охлаждения и климатического контроля; стрелки, маятники и шестеренки в механических часах; облака в воздухе и воздух в виде ветра различной силы, вплоть до ураганов, а также в туннелях метро впереди поездов; аттракционы в парках; фуникулеры и горнолыжные подъемники различных типов; велосипеды, скутеры, сегвеи, мопеды и мотоциклы; трамваи, троллейбусы и автобусы; грузовые и легковые автомобили, внутри каждого из которых находятся в постоянном движении или время от времени приходят в движение коленчатый вал, карданный вал, распределительные, балансирные и приводные валы; маховик, поршни, клапаны, шатуны, коромысла, компенсаторы, ШРУСы, дифференциалы; вакуумные насосы, насос охлаждающей жидкости, топливный и масляный насосы; вентиляторы охлаждения двигателя и кондиционера, заслонки и клапаны термостатов; диски сцепления, шестерни и подшипники коробки передач, полуоси колес; приводы управления, стояночного тормоза, блока АБС, стеклоподъемников, замков дверей, регулировки кресел; электродвигатель стеклоочистителей и сами стеклоочистители, электродвигатель омывателя; тормозные диски, цилиндры в суппортах; рычаги, пружины и амортизаторы подвески; рейка рулевого управления, электро- или гидроусилитель, шарниры рулевой тяги; стрелки на приборах. Движутся лодки, катера, яхты, паромы, баржи, круизные лайнеры, сухогрузы, танкеры, еще не упоминавшиеся морские животные, а также рыбы в реках, протоках, заводях, прудах, водохранилищах, озерах, морях и океанах; движется вода в водопроводах и мощных гидрантах, в фонтанах и трубах отопления, в водостоках и канализации; в родниках, ручьях и текущих в океан реках с их притоками; в трансокеанских течениях, в Гольфстриме к северу и югу от экватора; в цунами, тайфунах, артезианских колодцах, извержениях, дождях, водоворотах, паводках, разливах, донных волнах, водоразделах, водопусках, гейзерах, водопадах, омутах, мальстрёмах, наводнениях, потопах, ливнях; движутся приводимые в действие водой, ветром или паром турбины и генераторы на электростанциях, разделяющие заряды для передачи и хранения энергии в электрической форме.

Все перечисленное, как и еще большее число неупомянутых явлений, связанных с движением, заслуживает подробного знакомства, для которого совсем не остается места на этих прогулках; от движения во внешнем космосе мы переходим, минуя близкий нам «земной» масштаб, к движению внутри вещей, определяющему их свойства и даже само их существование.

Часть 4Внутренние прогулки

Прогулка 9Измельчение в незнание

Маршрут:Растворенное движение и атомы. – Пыльца, Сфинкс и случайные блуждания. – Градусы раздробленного движения. – Равенство возможностей. – Вероятности: организованное незнание. – Мера и цена незнания. – Беспокойная сестра энергии. – Свобода, равенство и братство: последствия. – Неубывать иль нет? – Широко образованный демон. – Следы преступления Уилера. – Расфасовка света. – Квант действия.

Главный герой:незнание

Растворенное движение и атомы. Воздух вокруг нас состоит примерно на 78 % по объему из азота и на 21 % из кислорода. Элементарные «куски» и того и другого – молекулы, которые сами по себе не являются ни «воздухом», ни вообще газом, – быстро движутся. Это движение ничем не регулируется, но вы не ожидаете, что 78 % объема с одной стороны вашей комнаты займет азот, а 21 % объема с другой стороны – кислород (как при этом поведут себя другие компоненты воздуха, занимающие по объему менее одного процента, едва ли будет в фокусе вашего внимания на фоне уже произошедшего). В несуразном мире, где такое могло бы время от времени случаться, у всех обитателей, дышащих кислородом, наверняка развились бы интересные биологические приспособления. Сложнее было бы и с использованием любого вида огня: поддержание устойчивого пламени требовало бы специального перемешивания воздуха. Зато подобное «саморазделение» происходило бы не только по составу, но и в отношении других величин, нарушая привычный порядок вещей: средне нагретые области делились бы на горячие и холодные (или иногда на очень горячие и очень холодные), в том числе внутри жидких и твердых тел.

В нашей Вселенной то, что смешивается, смешивается навсегда, а движение тел, касающихся друг друга, дробится и «проваливается» вглубь материи. Движение бильярдных шаров в идеале (приближение к которому делает реквизит все более дорогостоящим) перераспределяется между ними без потерь в момент соударения, а далее сохраняется; в реальности же движение в конце концов «исчезает», шары останавливаются[162]. Движение соударяющихся «податливых» предметов исчезает почти сразу: автомобиль на испытательном полигоне, встречая препятствие типа стены, деформируется и перестает двигаться. Любое движение вокруг нас, если его специально не поддерживать, останавливается из-за трения, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что энергия движения никуда не делась, а только изменилась в качестве: она «раздробилась» на множество крохотных порций, распределенных по ничтожно малым частям, из которых сложены не только автомобили и стены, но и все вещи вокруг нас, а кроме того, и мы сами. Достаточно с силой потереть ладони друг о друга, чтобы ощутить эту энергию. Энергия прячется во всех окружающих вещах – она присутствует там всегда, но извлечь ее «обратно», реорганизовав движение мельчайших деталей для совершения чего-то полезного, непросто.

Внутри окружающих нас тел движение находит «дно», проваливаться ниже которого – дробиться еще сильнее – некуда. В обычных условиях это «дно» составляют атомы и молекулы. Их так много, что самым первым, определяющим их свойством становится именно их массовое поведение, на фоне которого не так уж и важно, что собой представляет каждый из них. Принимая на себя или в себя движение, простые составляющие материи могут двигаться поступательно, обмениваясь энергией и количеством движения при столкновениях, как если бы они были бильярдными шарами; и/или вращаться, как если бы они были твердыми волчками; и/или испытывать колебания одних своих частей относительно других, как если бы эти части были соединены чем-то вроде пружин; и/или дергаться туда-сюда вблизи фиксированного положения, как если бы они были прикреплены к чему-то на резинке; и/или… Тот факт, что при определенных условиях они делают всё это, «как если бы» они были чем-то привычным, только сильно уменьшенным, не означает, что они этим и являются; но инерция мышления заставляет переносить на них картину типа «бильярдных шаров, только очень маленьких», поэтому каждое открытие свойств, никак в эту картину не укладывающихся, оказывается вызовом нашим когнитивным возможностям.

Еще в начале XX в. не так мало видных представителей научного и философского сообщества (Мах, Оствальд и, например, Менделеев в редакции своих «Основ химии» 1906 г.) относились к идеям атомизма с осторожностью, если не сказать скепсисом: притом что атомистическая гипотеза позволяла хорошо объяснить многие факты, ненаблюдаемость самих атомов – возможно, как тогда считалось, принципиальная ненаблюдаемость – вносила путаницу в статус этих концептуально удобных логико-математических конструктов. Вот эмоциональное описание происходившего:

Кто бы мог подумать, что не когда-нибудь, а в 1900 г. люди будут сражаться, можно сказать, насмерть из-за вопроса, реальны ли атомы. Великий философ Эрнст Мах в Вене сказал «нет». Великий химик Вильгельм Оствальд сказал «нет». Но один человек на этом судьбоносном изломе столетий отстаивал реальность атомов, опираясь на прочный фундамент теории. Это был Людвиг Больцман… Возвышение человечества зависело в тот момент от зыбкого равновесия воззрений, потому что, если бы идеи антиатомизма в самом деле восторжествовали, наше движение вперед затормозилось бы на десятилетия, а возможно, и на сотню лет[163].

Вообще-то молекулы и атомы – не предел деления материи. Да, когда падающий молот ударяет в сваю, которую требуется забить в почву, вполне адекватный взгляд на «измельчение» движения состоит в том, что его предел – уровень атомов; но по-настоящему мощный удар вызвал бы внутри вещества такое движение, что заметная доля энергии ушла бы прочь в виде излучения – в некотором роде изнутри атомов. Если же в качестве очень продвинутого молота взять внешние оболочки звезды, падающие на ее (звезды) ядро, то энергия движения, которую они приобретают прямо перед ударом, дробится по носителям на масштабах, которые во многие десятки тысяч раз меньше, чем характерные атомы и молекулы, а итогом является уже не забивание сваи или нагрев, а появление сверхновой и производство элементов – создание новых атомных ядер. Тем не менее до поры до времени мы можем ограничиться атомами и молекулами в качестве самых мелких носителей раздробленного движения.

Движение (энергия движения, что я почти всегда буду подразумевать, хотя и не всегда буду говорить), «ушедшее» внутрь вещей, существует там в соответствии с некоторыми законами, сказать про которые, что они влияют на наш мир, было бы преуменьшением: дело не только в том, как много деталей машин нагревается, поглощая движение; среди прочего эти законы, возможно, определяют направление времени.

Рис. 9.1. Один кубический сантиметр воздуха (в масштабе) и Земля (не в масштабе)

Определяющая черта происходящего в том, что, раздробившись, движение принимает формы, не позволяющие за ним следить. Эта проблема информационная, но совершенно непреодолимая. Количество носителей движения в телах/объектах вокруг нас колоссально и характеризуется числом 6,022… × 10²³: именно столько молекул имеется в определенном, относительно небольшом объеме (22,4 литра) воздуха при некоторых («нормальных») условиях. Нам сейчас важен только порядок величин, который можно выразить так. Если поверхность Земли расчертить на клетки 1 см × 1 см – т. е. превратить всю Землю, включая океаны, в уже встречавшуюся нам клетчатую тетрадь – и раскладывать молекулы по этим клеткам, то для заполнения всех клеток хватит молекул из одного кубического сантиметра воздуха (рис. 9.1), причем в каждой клетке окажется даже по пять молекул. Можно оценить масштаб информационной катастрофы, неизбежной при попытке просто записать, каковы, скажем, скорости всех молекул из 1 см³ воздуха. Для записи скорости одной молекулы требуются три числа, скажем, десятизначных; чтобы закодировать одно из них, требуется 34 бита, итого три числа потребуют примерно 100 бит. Но в нашем кубическом сантиметре около 2,7 × 10¹⁹ молекул. Запись их скоростей потребует примерно 300 000 000 терабайт. И переписывать всю эту информацию надо никак не реже 10¹⁰ раз в секунду, потому что примерно с такой частотой каждая молекула сталкивается с другими; но поскольку одни молекулы не ждут других, обновлять картинку лучше 10¹¹ раз в секунду, а это означает, что частота перезаписи – 100 гигагерц. И все это только для записи скоростей; мы даже не обсуждали положение каждой молекулы в пространстве. Про задачу просто записать, что с ними происходит, можно довольно смело утверждать, что она не будет решена никогда. Задача предсказать движение молекул на компьютере, анализируя каждое их столкновение, тем более безнадежна; остается только восхититься тем, что в природе она непрерывно «решается» самими молекулами. Для описания же происходящего в мало-мальски серьезном объеме реального тела приходится придумывать какие-то другие средства, не требующие такого информационного безумия.

*****

Пыльца, Сфинкс и случайные блуждания. Постоянное оживление, в котором находятся не видимые ни глазом, ни под микроскопом молекулы, имеет, однако, видимые проявления. Это движение очень мелких, но все же различимых под микроскопом чужеродных частиц, попавших в жидкость. Его наблюдали многократно, но названо оно по имени ботаника Брауна, который занялся его исследованием в 1827 г., начав с частиц пыльцы в воде; эффект называется броуновским движением[164]. Браун повторял опыты с пыльцой не только от живых, но и от мертвых растений, а также с разнообразными другими агентами, вплоть до «крошечных осколков египетского Сфинкса», очевидно, случившихся под рукой. Мелкие легкие частицы в воде испытывают более сильные толчки со стороны молекул воды то с одной, то с другой стороны и из-за этого «дергаются». Мир глазами броуновской частицы – это случайный выбор нового направления смещения «в каждый следующий момент времени», причем это мир с отсутствием памяти: каждый следующий пинок маленькая частица получает в направлении, никак не зависящем от направления предыдущего. В слегка упрощенном виде, но с сохранением всего главного происходящее неплохо моделируется, когда время и правда считается дискретным, а все пинки, получаемые частицей, – одинаковыми по силе. Из-за них в моменты времени, которые можно условно обозначить числами 0, 1, 2, 3, … (это никакие не секунды, конечно), частица совершает шаг в какую-то сторону. Если для начала представить себе одномерное движение, то возможностей для шагов только две: вправо или влево. На рис. 9.2 это вверх и вниз; там показаны приключения не одного, а трех блуждателей – просто для того, чтобы увидеть сразу несколько. Удаление блуждателей от места старта выражается в том, высоко или низко проходит соответствующая линия на рисунке. Вдоль горизонтальной оси отложено 5000 шагов. Для построения я использовал генератор (псевдо)случайных чисел, а в литературе к делу часто привлекается пьяница, который не может вспомнить, вправо или влево по улице ему надо двигаться, делает шаг наугад, падает, а когда поднимается, не помнит, в какую сторону он только что пытался идти, и снова делает шаг наугад. Для человека здесь труднее всего не падать и подниматься, а делать шаги по-настоящему случайно.

Рис. 9.2. Три реализации случайных блужданий «вверх-вниз» из 5000 шагов. На каждом шаге выполняется смещение на единицу вверх или на единицу вниз. Количество сделанных шагов («время») отложено по горизонтальной оси, а смещение от начальной точки – по вертикальной

Случайность блужданий без памяти имеет свои законы. Эти законы не могут ничего сказать про одного конкретного блуждателя: его приключения на то и случайны (хотя мы и не ожидаем всерьез, что он сделает миллион шагов подряд в одном и том же направлении). Но, представляя себе, что блуждателей много или даже что один и тот же энтузиаст проделывает подобное упражнение каждый вечер, вполне разумно интересоваться их судьбой в среднем. Если на расстоянии 30 шагов вправо по улице находится автобусная остановка и, единожды дойдя до нее, незадачливый персонаж останется там ждать автобуса, то как долго в среднем ему придется ходить туда-сюда, чтобы все-таки оказаться у остановки? Можно спросить и наоборот: на каком максимальном расстоянии от места старта побывает – скорее всего, побывает – блуждатель, если сделает 100 шагов? А если сделает 1000? При блужданиях в двух измерениях – по плоскости – аналогичный вопрос задается про время/число шагов, которое требуется, чтобы выйти из круглого парка. Примеры блужданий в двух измерениях показаны на рис. 9.3: это уже не графики отклонения в зависимости от числа шагов, а сами траектории случайных блуждателей на плоскости. На левом рисунке три блуждателя начинают из одной и той же точки; в каждый момент времени 0, 1, 2, 3, … каждый из них случайным образом выбирает направление и делает шаг длины 1. Общее свойство броуновских блужданий, вне зависимости от числа измерений, выражается в том, насколько далеко с течением времени уходят блуждатели. Ответ: максимальное достигнутое удаление от начала в среднем пропорционально квадратному корню из времени. Точнее, это квадратный корень, умноженный еще на некоторое число – оно важно для реального броуновского движения, но в нашей простой модели равно единице. Сделав 100 шагов, наш блуждатель удалится в среднем на 10 шагов от начала, а сделав 225 шагов – на 15 шагов от начала. Уйти далеко оказывается не самой простой задачей: понадобится (в среднем) совершить 10 000 шагов, чтобы (в среднем!) достичь удаления в 100 шагов от начала. Конечно, чтобы общие закономерности восторжествовали, может понадобиться довольно долгое хождение. Для реализаций, приведенных на рис. 9.3 слева, например, оказалось, что один из блуждателей за 300 сделанных им шагов не ушел далеко от центра, а двое других проявили себя активнее (и по случайности все они разошлись в разных направлениях; вообще-то 300 шагов – это очень мало). Тем не менее при большом числе испытаний получается та самая картина квадратного корня из времени. Это совсем не похоже на движение тел, как мы его знаем: движение с постоянной скоростью означает, что расстояние растет так же, как и время: в три раза дольше означает в три раза дальше. В окружении же «раздробленного» движения, передающего блуждателю случайные пинки, требуется прождать в девять раз дольше, чтобы (в среднем!) получилось в три раза дальше[165].

Рис. 9.3. Траектории случайных блужданий на плоскости. Длина каждого шага равна 1. Слева: три блуждания по 300 шагов каждое. Справа: случайное блуждание в 5000 шагов

Одна проблема с пинками, которые маленький «предмет» получает от молекул, оставалась нерешенной до начала XX в., – это несоответствие масштабов. Размер пыльцы (и, видимо, «крошечных осколков египетского Сфинкса») – около одного микрона, т. е. 10^–4 см, а характерный размер молекулы воды, как мы сейчас знаем, 10^–8 см, т. е. в 10 000 раз меньше (сами броуновские частицы видны в микроскоп, а молекулы/атомы нет). Даже при отсутствии ясных данных о размере атомов и молекул было понятно, что они много меньше, чем частицы, которым они передают свое движение. Кроме того, число столкновений, которые молекула испытывает каждую секунду (скажем, 10¹² в воде), никак не соответствует возможностям человеческого глаза, который способен замечать движение лишь в интервале не менее 1/30 секунды (и микроскоп здесь ничем не поможет). Ответ появился в статье Эйнштейна, вышедшей в мае 1905 г. – примерно за месяц до статьи о теории относительности. Наблюдаемые смещения броуновской частицы – это итог сложения множества одиночных воздействий. Из механизма случайных блужданий удалось вывести, что все то огромное количество элементарных столкновений, которые претерпевает броуновская частица, приводит к ее среднему смещению на несколько микрон при времени наблюдения порядка минуты. Для того чтобы в моей модели на рис. 9.3 описать нечто похожее на наблюдаемое броуновское движение, следует, во-первых, продолжить его не до 5000, а до 500 000 000 000 шагов, а затем, чтобы смоделировать картину, наблюдаемую в микроскоп, сгладить всю мелкую рябь: для начала представить всю суету, происходящую на рис. 9.3 справа, в виде двух «больших» скачков, а затем произвести подобное огрубление еще много раз. Элементарных шагов в микроскоп не видно, а совершаются они один за другим так часто, что с нашей точки зрения воздействия на броуновскую частицу можно считать непрерывными. Она исполняет неклассический танец, демонстрируя совсем неньютоновский тип движения, у которого толком нет скорости, а есть только средние смещения. Такое понимание представляло собой расширение взглядов на движение вообще.

Реальное движение броуновской частицы отражает некоторые ключевые черты поведения окружающих ее молекул. Среднее смещение частицы зависит от температуры, а также от вязкости жидкости и (технический, но важный момент) от числа атомов/молекул, определяемого специальным образом (это уже встречавшееся нам число 6,022… × 10²³). Возможность определить это число, хорошо известное по своим разнообразным проявлениям, из наблюдения за броуновским движением заметно повлияла на преодоление скепсиса в отношении атомов[166]. Заодно Эйнштейн установил связь между случайными блужданиями и диффузией. Траектории на рис. 9.3 (особенно справа, где блуждатель делает больше шагов) не случайно напоминают «растворение» чернил в воде или молока в кофе. В основе диффузии лежат те же механизмы раздробленного движения и случайных блужданий, так что в результате тот же закон квадратного корня из времени описывает средние показатели того, как далеко распространилось в воде облако чернил[167].

Броуновское движение – движение без скорости, случайный процесс нерегулярных смещений, описываемых только вероятностно, – пример того, как наблюдение за движением видимого и размышления о его причинах позволяют делать заключения о невидимом; самих атомов и молекул не видно, но об их свойствах удается кое-что узнать. В более широком контексте броуновское движение стало междисциплинарным инструментом исследования и моделирования мира; разнообразные случаи его применения пересекают границы различных областей знания. Незнание подробностей заменяется тут на действие случайности, реализуемой в рамках некоторых предположений, а уже из них выводится знание о среднем поведении, некоторые проявления которого можно наблюдать.

*****

Градусы раздробленного движения. Невозможность знания о происходящем с самими молекулами в индивидуальных деталях требует некоторого «массового» описания. В широком смысле оно называется статистическим, и это единственный доступный нам способ понимать огромную часть мира. У многих обитателей Земли эволюционно развилась способность непосредственно воспринимать среднюю энергию движения молекул вокруг себя. Каждый из нас чувствует ее как температуру. «Более горячее» – это просто проявление большей энергии движения там внутри. Для выражения температуры можно использовать различные шкалы, но их смысл – средняя энергия «измельченного» движения. На рис. 9.4 показаны две бытовые шкалы (в градусах Фаренгейта и Цельсия), одна научная (в кельвинах) и еще одна, где температура измеряется буквально в тех же единицах, что и энергия, – похожие шкалы часто используют, но только не в быту, во всяком случае, мне не попадались в продаже термометры, калиброванные в зептоджоулях или миллиэлектронвольтах. Фаренгейт и Цельсий – это шкалы, установленные достаточно произвольным образом. Правило перевода между соответствующими значениями температуры F и C имеет вид F = 9/5 С + 3. Но ни та ни другая шкала не обладает свойством «в два раза выше температура – в два раза больше энергия внутреннего движения». Чтобы добиться такого, каждую из них надо сдвинуть: перенести начало шкалы («нуль»). В результате подходящего сдвига из шкалы Цельсия получается шкала с эпитетом «абсолютная»: нулевая отметка на ней называется абсолютным нулем, а ее градусы и называются кельвинами (неправильное название, на которое я часто сбиваюсь, – градусы Кельвина). Для одного и того же состояния тела показания в кельвинах и в двух других шкалах связаны как K = C + 273,15 и K = 5/9 F + 255,372. А из кельвинов перевод в энергию выполняется уже простым умножением: на 0,0207097, чтобы получить энергию в зептоджоулях (десять-в-минус-двадцать-первой-долях джоуля), или на 0,12926, чтобы получить энергию в миллиэлектронвольтах, как на моей придуманной шкале[168]. Именно из-за простоты перевода в энергию (одним умножением) все и любят абсолютную шкалу, терпя небольшие неудобства типа выражения «298 градусов» для температуры отличного летнего дня.

Рис. 9.4. Одна и та же температура, представленная в градусах Фаренгейта и Цельсия, в кельвинах и в миллиэлектронвольтах, непосредственно выражающих среднюю энергию движения одной молекулы: 77 ℉ = 25 ℃ = 298,15 K = 38,539 мэВ

При нуле градусов Цельсия средняя энергия движения одной молекулы равна числу, которое едва ли многое сообщает (5,657 зДж), однако более выразительные числа получаются, если вместо энергии движения поинтересоваться скоростью. Средние скорости, правда, зависят от массы молекулы: чтобы легкой и тяжелой молекулам «набрать» одну и ту же энергию движения, легкой приходится двигаться быстрее. При 0 ℃ молекулы азота в воздухе (те самые 78 % по объему) движутся со средней скоростью 493 м/с, а чуть более тяжелые молекулы кислорода (21 % объема воздуха, без которого для нас нет жизни) – со средней скоростью 461 м/с. Наконец, молекулярный водород, который почти в 16 раз легче кислорода (и который присутствует в атмосфере в «следовых», т. е. совершенно ничтожных, количествах), движется со средней скоростью 1904 м/с. Нагрев от 0 до 100 ℃ приводит к тому, что эти средние скорости увеличиваются до 576, 539 и 2148 м/с соответственно[169].

Рис. 9.5. Прыжок со специальным снаряжением с высоты около 38 км. Испытателю предстоит падение в более холодные слои атмосферы, чем тот, где находится аэростат; более теплые встретятся только ближе к поверхности

Если бы «молекулы воздуха» и могли заскучать в какой-нибудь банке, где ничего не происходит, то атмосфера Земли предоставляет им немало шансов развлечься из-за того, как температура изменяется с высотой над земной поверхностью. Температура на поверхности достаточно сильно различается в разных точках, но на границе тропосферы и стратосферы (в среднем около 12 км вверх, что, впрочем, означает от 9 км над полюсами до 17 км над экватором) она держится на уровне –60 ℃ или –70 ℃. Маршруты дальнемагистральных пассажирских самолетов проходят чуть ниже, и командир корабля обычно сообщает о температуре за бортом около –50 ℃. Граница тропосферы не задается в виде математически точно определенной поверхности, это до некоторой степени умозрительная конструкция типа Восточно-Сибирского моря, но мысленно отделять тропосферу от лежащей над ней стратосферы имеет смысл уже по той причине, что в стратосфере неожиданно делается теплее: от ее нижней границы на уровне 12 км до верхней границы (50–55 км) температура возрастает от –60 ℃ до «небольшого минуса», приближающегося снизу к 0 ℃. Это не значит, что там можно находиться (рис. 9.5); но это в точности отражает ситуацию с движением молекул, средние скорости которых в верхней части стратосферы оказываются такими же, как в мягкую зиму вблизи поверхности Земли. Источник разогрева – ультрафиолетовая составляющая солнечных лучей, которая поглощается молекулами; в результате основная доля ультрафиолета не достигает земной поверхности, а молекулы там наверху разгоняются. Еще выше, в мезосфере (до 80–85 км), температура снова падает до –90 ℃ или даже сильнее. Но это еще не конец слегка парадоксальной истории. В лежащей еще выше термосфере (простирающейся, уже несколько условно, до высот 500–1000 км, в сильной зависимости от солнечной активности) температура поднимается до 1500 ℃ или даже 2000 ℃ – до полутора или двух тысяч, здесь нет опечатки в виде лишнего нуля; впрочем, температуры сильно (на сотни градусов) различаются днем и ночью, а также в период высокой и низкой солнечной активности. Термосфера – выразительный пример того, что температура выражает только среднюю энергию движения, но не сообщает больше ничего: молекулы (в основном уже атомы) в термосфере пролетают между столкновениями друг с другом целые километры, поэтому «согреться» там решительно не обо что. В пределах термосферы летает немало космических аппаратов, включая Международную космическую станцию (высота несколько более 400 км над земной поверхностью); трение об эти остатки атмосферы – второй по значимости фактор, после сплюснутости Земли у полюсов, влияющий на их орбиты (см. прогулку 4). Молекулы воздуха летают там и правда быстро: при 2000 ℃ атомарный кислород имеет среднюю скорость 1882 м/с, а атомарный водород – среднюю скорость, близкую к первой космической.

*****

Равенство возможностей. Энергию, которая уходит внутрь вещей, традиционно называют теплотой или (с ускользающей от меня разницей в смыслах) теплом. Тепло – это энергия, которую горячее тело передает холодному при их контакте, при этом происходит выравнивание их температур.

Измерения температуры отражают только среднюю энергию движения, и никто при этом не думает, что все молекулы в воздухе в углу вашей комнаты имеют одну и ту же энергию. Точно так же известная величина среднего дохода жителей города N не означает, что все они имеют в точности этот доход. Молекулы постоянно обмениваются количеством движения и энергией и поэтому решительно не в состоянии делить между собой энергию движения всегда поровну – вместо этого они как-то распределены по энергиям. Для только что упомянутых жителей их распределение по доходам определяется экономической и социальной политикой, но «кто регулирует», какая доля молекул имеет энергию в половину средней или в три раза больше средней? Имеются ли вообще какие-то элементы организации в молекулярном хаосе? На первый взгляд это довольно безнадежный вопрос, и перед погружением в него я предлагаю перерыв на кофе.

Молекулы делают все, что не запрещено законами сохранения

Желая иметь горячий кофе под рукой в течение дня, вы можете налить его в термос («вакуумный сосуд»). Идея этого изобретения в том, чтобы запретить обмен энергией с внешней средой. В реальном термосе это удается с большим или меньшим успехом, но если времени прошло немного, а ваш термос все-таки не самый плохой, то из него не успеет уйти заметное количество энергии и на протяжении недолгой поездки на работу можно считать, что ваш кофе изолирован от внешнего мира. При этом разные части самого кофе успели прийти к общей температуре, даже если перед закрытием крышки вы доливали сверху горячего. Что бы «молекулы кофе» ни делали, их суммарная энергия равна той, которую вы фактически зафиксировали в момент завинчивания крышки. Молекулы могут реализовать это требование, двигаясь колоссальным числом разных способов: они могут вести себя как угодно, лишь бы их энергии складывались в то, что надо, – в пределах маленькой неопределенности, которую приходится допустить, потому что ничего нельзя задать совсем точно. Не имея возможности вдаваться в подробности молекулярного движения, мы тем не менее хотели бы делать какие-то заключения о поведении молекул. Какого типа могли бы быть такие заключения? При игре в карты незнание подробностей о расположении карт в колоде (при скромном числе 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 способов упорядочить 52 карты) побуждает нас оценивать вероятности возможных раскладов, учитывая весь небольшой объем доступной информации (скажем, о собственных картах). Аналогичная программа в отношении молекул состоит в том, чтобы оценить вероятности разных способов их обустройства – разных реализаций, удовлетворяющих требуемым условиям (фиксированная энергия, нулевое общее количество движения, нет общего вращения). Ситуация тут поначалу выглядит удручающе: как узнать вероятности, с которыми реализуются возможности, если мы не знаем, как в точности какая молекула взаимодействует с другими, и т. п.? Усмотрение того, что здесь можно найти простой и работающий ответ, ничего не зная о свойствах конкретной системы, а зная только, что это система из огромного числа движущихся «деталей», кажется мне одним из самых масштабных чудес в современном научном описании мира. Не все разделяют мое изумление, но они, вероятно, просто лучше меня понимают, как работают вероятностные законы в применении к движению огромного числа частей/частиц. На меня же происходящее неизменно производит такое впечатление, будто кролика вынимают из шляпы: мне все время кажется, что два незнания неожиданно складываются в знание.

Вот рецепт (он принадлежит Больцману). Ни одну из возможных реализаций – возможных способов распределить движение среди молекул – мы не в состоянии предпочесть другим. Поэтому мы считаем, что все реализации имеют одну и ту же вероятность. Это постулат. И это какой-то отчаянно гениальный постулат, потому что развить в себе интуицию, способную его подсказать, не так просто. Например, среди возможных реализаций имеется и такая, где две молекулы поделили между собой поровну почти всю внутреннюю энергию вашего кофе и движутся при этом с невероятными скоростями навстречу друг другу (чтобы не нарушить сохранение количества движения), а все остальные молекулы имеют ничтожно малые скорости, и поэтому их вклад в энергию очень мал. Постулат Больцмана говорит, что такая реализация равновероятна с любой другой, не запрещенной законами сохранения.

Из этого постулата выводится множество подтверждаемых на практике следствий, чем он, собственно, и обосновывается. Формальное наличие абсурдистских реализаций (две, или сто, или миллиард сверхбыстрых молекул, которые забрали себе почти всю энергию движения, а все остальные молекулы едва шевелятся) оказывается несущественным – буквально пропадает – на фоне огромного числа всех возможных реализаций. Постулат равновероятности приводит к отличным предсказаниям, платить же за этот практически «даровой» успех придется чуть позже и не совсем так, как можно было бы ожидать, – не неточностью предсказаний, а необратимостью.

*****

Вероятности – организованное незнание. Пока вы ехали на работу, ваш кофе в термосе был, оказывается, весь внутри себя равновероятен. Но если вы перелили кофе в обычную чашку и он остыл до комнатной температуры (зачем вы только брали термос?), то он попал в класс систем, которые встречаются гораздо чаще, чем изолированные: он оказался в контакте и равновесии с внешней средой. «Равновесие» означает не (только) то, что ваша чашка не опрокидывается, а в первую очередь то, что тепло не переходит из кофе в воздух или обратно – но не потому, что кофе изолирован! Над полной энергией внутри вашего кофе вы больше не властны: она определяется тепловым контактом с внешней средой. Некоторые из молекул отдают часть своей энергии внешней среде (стенкам чашки и воздуху), а некоторые другие получают ее оттуда. Этот обмен происходит безостановочно: микропорции энергии приходят, дробятся и сливаются, меняя своих носителей, а другие микропорции уходят вовне, но в среднем потока тепла нет – в чем и состоит тепловое равновесие. То же самое имеет место для молока в холодильнике через некоторое время после того, как вы его туда поставили. Большая внешняя среда, находящаяся при постоянной температуре, часто называется тепловой баней. В бытовом языке баня как-никак ассоциируется с жаром, но холодильник – фактически лучшее из доступных в домашних условиях приближений к «тепловой бане».

Тепловое равновесие – это не изоляция, а постоянный обмен малыми порциями энергии

В случае теплового равновесия мы спрашиваем, с какой вероятностью нам может попасться молекула с какой-то интересующей нас энергией. Снова «кролик из шляпы»: на поставленный вопрос опять удается ответить, вообще не интересуясь подробностями внутреннего устройства кофе, атмосферы или космической плазмы. Этот ответ – одна из научных вершин XIX в., которая ничуть не потеряла своего значения и в наше время. Его можно получить (вывести) из больцмановского постулата о равнораспределении, используя минимальные дополнительные предположения[170]. Вероятность, что взятая наугад «простая составная часть» большой системы, пребывающей в тепловом равновесии, имеет какую-то энергию E, удается в результате представить в виде простой формулы, которую нужно будет привести хотя бы для того, чтобы оценить ее простоту. Словами она описывается чуть дольше, но я попробую, только сначала оговорюсь, что речь идет об относительных вероятностях. «Настоящие» вероятности устроены так, что сумма по всем возможностям («исходам») равна единице (например, 1/3, что пойдет дождь, и 2/3, что не пойдет). Если за этим не следят, то, значит, вероятности относительные[171].

Относительная вероятность, что встреченная молекула имеет определенную энергию движения, зависит от этой энергии: чем больше энергия, тем вероятность меньше. В какой степени меньше? Распоряжается здесь, как оказалось, геометрическая прогрессия. Это такой вид зависимости, когда увеличение энергии на фиксированную величину уменьшает вероятность в определенное количество раз. Конечно, геометрические прогрессии могут и возрастать: например, для некоторых напитков действует (по крайней мере, одно время действовало) очень грубое, но все-таки правило: каждые дополнительные шесть лет выдержки увеличивают цену вдвое. Двенадцатилетний – в два раза дороже, чем шестилетний; восемнадцатилетний – еще в два раза дороже. Двадцатичетырехлетний – надеюсь, идея ясна; боюсь только, мы сильно отвлеклись от кофе. Для молекул вашего кофе в чашке убывающая геометрическая прогрессия выдает вероятности в зависимости от энергии; получаемая вероятность уменьшается в определенное число раз, если вы решили поинтересоваться энергией, которая больше предыдущей, скажем, на 5 миллиэлектронвольт, и еще в такое же число раз для энергии, большей еще на 5 миллиэлектронвольт. А вот в какое именно число раз, определяется температурой. При низких температурах – в большое число раз (вероятности быстро уменьшаются с ростом энергии), при высоких – не очень. Высокая температура, другими словами, означает не только большую среднюю энергию движения, но и большую «терпимость» к энергиям выше средней (более энергичных молекул не так уж и мало).

И я обещал формулу, которая все это выражает в очень малом числе букв. Мы спрашиваем, какова относительная вероятность встретить молекулу с энергией вблизи выбранного значения E.[172] Вот она (семь букв и шесть символов, хотя можно записать и короче, пятью буквами и двумя символами): exp(–E/(k_BT)). Конечно, T – это температура по абсолютной шкале (кельвины); кроме того, exp – это обозначение для участвующей здесь геометрической прогрессии, причем знак минус означает, что эта прогрессия убывающая: чем больше E, тем меньше вероятность. И еще здесь присутствует постоянная величина k_B, решающая небольшую техническую проблему. Мы измеряем температуру в градусах, а энергию – в чем-то еще (эргах, или джоулях, или миллиэлектронвольтах, или киловатт-часах), поэтому, поделив энергию E на температуру T, мы получим не «голое» число, а число с размерностью. Геометрическая же прогрессия умеет работать только с «голыми» числами, такими как –0,7. Чтобы они получились, надо «доделить» на постоянную k_B, которая специально для этого и придумана. Этот переводной множитель имеет фиксированное численное значение в зависимости от того, в каких единицах измеряются энергия и температура, и называется постоянной Больцмана.

Знание вероятностей, с которыми попадаются носители с любой заданной энергией, – это серьезное знание, открывающее немало возможностей: например, из него можно вывести, как именно молекулы в газе распределены по скоростям, да еще в зависимости от температуры. Получается, что среди легких молекул немало тех, которые летят в разы быстрее среднего; но скорости более тяжелых молекул в основном близки к средней. Это имеет последствия среди прочего для устройства атмосферы: высокие скорости молекул и атомов в верхних слоях атмосферы означают их расставание с Землей, как только им случится полететь в правильном направлении. Поскольку водород, будучи самым легким, и так в среднем летает быстрее всех, да еще его молекулы охотно приобретают скорость много выше средней, не стоит удивляться его отсутствию в атмосфере.

Совсем простое упражнение на применение найденных вероятностей – вычислить среднюю энергию молекулы. Вообще-то я уже проболтался, что должно получиться что-то вроде температуры, но вот и интересно посмотреть, что же именно. Найти среднее, имея дело с вероятностями, означает сложить все возможные результаты, умножив каждый на его вероятность. Если вы оказались в довольно примитивном казино, где подбрасывают монету и за выпадение орла вы получаете 45 рублей, а при выпадении решки отдаете 55, то в среднем за одно подбрасывание ваш выигрыш составляет 1/2 · 45 – 1/2 · 55 = –5, т. е. за одну попытку вы в среднем теряете пять рублей. Одна вторая, дважды встречающаяся в этом расчете, – это вероятности выпадения орла и решки. Но если монета «подкручена» таким образом, что в 2/3 случаев падает орлом, а в 1/3 случаев решкой, то в среднем за одно подбрасывание ваш выигрыш составит 2/3 · 45 – 1/3 · 55 = 35/3, т. е. 11 рублей, после того как вы отдадите копейки на благотворительность. В этой истории имеются две «ставки» (45 и –55) и соответствующие им вероятности (в последнем варианте 2/3 и 1/3); зная это, мы определяем средний выигрыш. Точно так же надо поступить, чтобы найти среднюю энергию: «ставки» – это сами значения энергии E, а «подкрутки» – это вероятности, что встретится одно из этих значений, те самые exp(–E/(k_BT)). Вычисление среднего «как в казино» – математическая процедура, и она дает однозначный ответ: 3/2 k_BT. (Именно эти 3/2 k_BT и отложены на правом градуснике на рис. 9.4.) Средняя энергия движения одной молекулы отличается от температуры только неинтересным переводным множителем k_B (задача которого в том, чтобы согласовать две традиции: измерять температуру в градусах, а энергию в каких-то своих единицах) и интересным, как мы прямо сейчас увидим, множителем 3/2.

Энергия распределяется поровну по степеням свободы

Разные молекулы могут брать на себя энергию разными способами: не только двигаться в любых направлениях, но, например, еще и вращаться. Различные «каналы», по которым может распределяться энергия, называются степенями свободы. Число степеней свободы показывает количество различных форм движения. Пока нет причины заглядывать внутрь атомов, каждый атом имеет три степени свободы, по числу независимых направлений скорости; молекулы могут дополнительно иметь вращательные степени свободы, а кроме того, еще и колебательные, если некоторые их части как будто соединены пружинками. Чудеса из серии «индивидуальность не важна» продолжаются. В средней энергии движения молекулы, которую мы сейчас обсуждаем, 3 · 1/2 k_B, скрыта размерность пространства: тройка здесь – это три степени свободы движения в пространстве. На каждую из этих трех по отдельности приходится средняя «порция» энергии 1/2 k_B, а из-за того, что молекулы летают в трехмерном пространстве, движение каждой из них забирает три порции. А сколько энергии уходит в другие формы внутреннего движения, если они есть, – в колебательные и вращательные степени свободы каждой молекулы? Столько же! То же самое 1/2 k_B. Энергия дробится по всем степеням свободы одинаковыми средними порциями. Независимо от того, поступательное это движение, вращение или колебания, все виды движения в среднем принимают на себя одну и ту же порцию энергии – с одним важным уточнением, что степень свободы, связанная с колебаниями, несет две порции, потому что колебания происходят как переход энергии движения во что-то похожее на энергию сжатой пружины и обратно, из-за чего видов энергии там два и порций тоже получается две (быть может, лучше считать, что с каждым колебанием связаны две степени свободы; так или иначе, я больше не буду специально это оговаривать). Средняя энергия распределяется поровну по степеням свободы. Это несколько удивительное свойство («Как они знают?!») имеет даже характер теоремы – точного высказывания, с неизбежностью верного, если верны некоторые посылки. Основная посылка вот в чем. Если E – это энергия движения, то она зависит от скорости как «эм-вэ-квадрат-пополам», как мы обсуждали, без связи с молекулами, на более ранних прогулках[173]. Сейчас главным оказывается слово «квадрат». Если E – это энергия сжатия или растяжения чего-то вроде пружинки, то она (энергия) зависит от сжатия/растяжения тоже как квадрат (растянуть в два раза сильнее – в четыре раза больше энергии). Если E – это энергия вращения молекулы, то и там зависимость от скорости вращения содержит квадрат. Когда энергия зависит от чего-то квадратично (а энергия очень любит так делать), математическая процедура усреднения разных значений энергии с данными вероятностями их появления дает 1/2 k_B в качестве среднего.

Большие системы «стирают» индивидуальные особенности. В переполненном вагоне метро всего 250–300 человек, но в целом они ведут себя одинаково, вне зависимости от того, как кого из них зовут (хотя я должен признать, что иногда случаются яркие исключения). В интересующих нас системах число участников неизмеримо выше, и от их индивидуальности совсем ничего не остается. Неважно, что собой представляют молекулы, если только соблюдены некоторые общие условия. Неважно, как именно молекулы «сходят с ума» в более или менее неистовом движении. Равнораспределение энергии по степеням свободы выражает, как работает вычисление среднего, а не как называется то, что при этом подлежит усреднению.

*****

Мера и цена незнания. Знание вероятностей, с которыми движущиеся молекулы обзаводятся различными значениями энергии, – это намного большее знание о системе, чем просто информация о среднем значении, но все равно ничтожное по сравнению с объемом нашего незнания – с тем количеством информации, оперировать которым мы в любом случае не собираемся, главным образом ввиду полной невозможности этого, да, собственно, и его бесполезности, ведь мы совершенно слепы к деталям микроустройства. Каждая картина, которую мы способны отличить от других (кофе при температуре 52 ℃ – кофе при температуре 51,5 ℃ – сливки, перемешанные с кофе при температуре 51,5 ℃, – …), с точки зрения молекул реализуется несметным количеством способов. У них остается огромный объем «неконтролируемой самостоятельности»; совершенно неважно, какая именно молекула и в какой именно точке приобрела данную скорость прямо сейчас, – не пройдет и наносекунды, как скорость ее изменится, как и скорость каждой другой молекулы, а мы слишком велики и слишком медлительны, чтобы заметить хоть какие-нибудь проявления этой «внутренней жизни»[174].

Энтропия – мера незнания подробностей

Незнание, на которое мы обречены согласиться, оказывается не только философской категорией – оно еще и выражается некоторой величиной, которую в принципе можно даже измерить. Она называется энтропией: чем больше энтропия, тем больше незнание (тем больше молекулы могут вытворять такого, что полностью ускользает от нашего внимания). Это незнание имеет неожиданную практическую важность: как оказалось, энтропия выражает сопротивление вещей – тел и сред – извлечению из них «полезной энергии» (работы). Когда мы хотим собрать раздробленную энергию движения и пустить ее на хорошее дело, мы лишены информации о том, как движутся какие молекулы, и из-за этого оказываемся беспомощными перед задачей, скажем, отобрать более быстрые молекулы, которые подвинули бы какой-нибудь поршень справа налево и в результате подняли бы груз. Молекулы бьют по поршню во всех направлениях, делают это совершенно хаотически, и поршень никуда не движется. Грубый способ все-таки извлечь полезную работу из раздробленного движения состоит в том, чтобы нагреть газ под поршнем. Он грубый, потому что мы управляем процессом, меняя всего один параметр – температуру (среднюю энергию движения), и предоставляем молекулам сходить с ума как угодно во всем остальном. Устройства, которые совершают работу за счет того, что собирают вместе и делают «полезной» часть раздробленного движения, скрытого в телах, называются тепловыми машинами. Именно они сделали возможной промышленную революцию, хотя их создатели и не подозревали о природе теплоты как форме движения. При всей той роли, которую тепловые машины сыграли и продолжают играть в развитии цивилизации, они никогда не были особенно эффективными, и дело здесь далеко не только в технологиях, а, как оказалось, в «невидимой руке энтропии».

Тепловые машины – грубый способ использовать энергию движения молекул

*****

Беспокойная сестра энергии. Первоначально энтропию открыли не как меру незнания, а именно как величину, контролирующую протекание процессов с обменом теплом и вообще процессов с участием большого числа молекул. Истоки наших представлений об энтропии – в исследовании под заголовком «Размышления о движущей силе огня…» (рис. 9.6), которое в 1824 г. опубликовал 27-летний офицер французской армии (и выпускник Политехнической школы в Париже) Сади Карно[175]. Движущую силу огня не стоит недооценивать и два столетия спустя: даже на атомных электростанциях электричество производится путем нагревания газа (водяного пара), который, расширяясь, толкает поршень (лопатки турбины в современном исполнении). Карно не внес технологических новшеств в устройство тепловых двигателей; его рассуждения вообще относятся к идеальным машинам, т. е. скорее к воображаемым, чем реальным, но он смог увидеть за ними нечто более глубокое, чем любой набор технологических усовершенствований. Понятия энтропии еще нет в «Размышлениях…», оно появилось через два десятилетия после смерти автора, но рассуждения, проделанные в книге Карно, подготовили его введение.

Рис. 9.6. Книга Сади Карно «Размышления о движущей силе огня и о механизмах, пригодных для ее использования» и ее автор

Через идеальную тепловую машину (как и через реальную) протекает поток тепла: от горячего тела к газу и далее от газа к холодному телу[176]. Тепло, ушедшее в холодное тело, становится недоступным, а это означает, что то тепло, которое отдает горячее тело, превращается в работу далеко не полностью. И с этим ничего нельзя поделать. Карно установил, что в идеальном варианте (являющемся чистым мысленным экспериментом в смысле своей реализуемости, но одновременно и непреодолимым ограничением для любой реальной системы) бесполезно теряется доля теплоты (т. е. энергии), выражающаяся очень просто: надо абсолютную температуру холодного тела поделить на абсолютную температуру горячего. Если горячее тело имеет температуру 231 ℃ (чуть ниже температуры плавления олова), а холодное – температуру 25 ℃, то неизбежно теряется вот сколько: т. е. почти 60 %. И это в идеальной тепловой машине; во всех реальных случаях теряется заметно больше.

Энтропия – свойство не энергии, а ее носителей, но она говорит о «полезности» энергии для работы

Поскольку затраты энергии на поддержание горячего тела горячим – это, как правило, наша забота, низкая эффективность тепловых машин несколько огорчительна. А тот факт, что за неизбежными потерями скрывается конкретная величина, присущая каждому состоянию системы/тела, понял позднее Клаузиус. Он и ввел понятие энтропии, и он же изобрел это слово – как вариацию на тему древнегреческого корня, но с начальным «эн-», которое должно было напоминать о слове «энергия», в соответствии с идеей Клаузиуса, что эти две величины одинаково важны. Выбранный греческий корень (встречавшийся нам недавно в слове «тропосфера») имеет в том числе и значение «преобразование/изменение»[177]. Осознание же связи энтропии с незнанием – это следующий шаг, потребовавший еще некоторого времени, и определяющая роль в этом принадлежит Больцману; мы доберемся до него чуть позже.

Энтропия, однако, совсем не похожа на энергию. Она и не думает сохраняться; наоборот, она производится передачей телу тепла. Для подсчета энтропии каждую малую порцию тепла, которой тело обменивается с окружающим миром, надо подвергнуть «уценке», поделив ее на ту (абсолютную) температуру, которую тело имеет как раз в момент данного обмена. (Теплоту, которая передается системе извне, удобно считать положительной, а теплоту, которую система отдает вовне, – отрицательной, поэтому я могу всегда говорить, что тело получает тепло, имея в виду, что если оно получает отрицательное количество, то, значит, в действительности отдает.) Складывая все «уцененные» порции тепла, мы узнаем, насколько изменилась энтропия тела в ходе всех этих действий. В добавлениях к этой прогулке приведены некоторые подробности этого с использованием сказочно-сумасшедшей аналогии.

Наблюдение за макроскопическими телами и средами говорит, что, когда с ними что-то происходит (кофе остывает; газ совершает работу; насос накачивает воздух; чернила растворяются в воде; …), их энтропия всегда увеличивается. Например, когда горячее и холодное тела, приведенные в контакт, приходят к общей температуре, энтропия возрастает из-за различной уценки одних и тех же порций тепла: горячее тело отдает порцию тепла, при этом его энтропия уменьшается на размер этой порции, деленный на температуру. Холодное тело принимает ту же по величине порцию тепла, и его энтропия возрастает, но, чтобы узнать, насколько в точности, надо поделить эту порцию тепла на меньшую температуру – тело ведь холодное. Значит, холодное тело приобретает больше энтропии, чем горячее теряет, и общая энтропия возрастает.

Энтропия – во всем, но измерить ее не так просто

Энтропию не определить невооруженным глазом и не измерить, приложив к телу «энтропометр», но это никак не умаляет ее статуса. Невооруженным глазом не видны и эллипсы, по которым летают планеты, и Кеплер проделал немалую работу, чтобы они «появились» в результате обработки наблюдений. Чтобы добраться до энтропии, анализируя более непосредственные наблюдения, тоже требуется работа мысли. Важна в первую очередь не величина энтропии сама по себе, а факт ее возрастания. Утверждение, что энтропия неизменно возрастает (точнее, не убывает), выражает запрет на такие явления, как перетекание тепла от холодного тела к горячему. Само по себе сохранение энергии не запрещает таких явлений, но мы решительно не ожидаем, что посреди лета вода в пруду станет ледяной, а воздух вокруг пруда от этого нагреется. Не случается и разделения азота и кислорода по разным углам комнаты или разделения уже перемешанных воды и чернил. Определение энтропии устроено как раз таким образом, что все эти явления непременно сопровождались бы уменьшением полной энтропии. Тогда запрет на все «странные» явления такого сорта выражается в виде закона возрастания энтропии. Как и все законы, он представляет собой обобщение опытных фактов. И совокупность всех наших наблюдений над миром говорит, что это очень общий закон:

Если кто-нибудь укажет вам, что лелеемая вами теория Вселенной не согласуется с уравнениями Максвелла, то тем хуже для уравнений Максвелла. Если выяснится, что она противоречит наблюдениям, то что ж, время от времени этим экспериментаторам случается что-нибудь напортачить. Но если окажется, что ваша теория идет против второго закона термодинамики, то оставьте всякую надежду: судьба вашей теории – потерпеть самый уничижительный крах.

А. Эддингтон

«Второй закон термодинамики» в этой цитате (да и вообще) – это и есть закон возрастания энтропии. Правильнее говорить «неубывания», но у меня это не всегда получается, потому что «возрастание» звучит все-таки выразительнее. В специальных случаях энтропия может оставаться неизменной. «Специальные случаи» означают, что любые действия над системой надо производить очень плавно; порции тепла, передаваемые «за один раз», должны быть малы и передаваться медленно; а все участвующие в деле механизмы должны быть полностью лишены трения. Все это выражают словосочетанием «обратимые процессы», и это идеализация. При обратимых процессах энтропия остается прежней, когда система возвращается в исходное состояние, но в реальности этого добиться невозможно, и энтропия возрастает. (Речь, конечно, всегда идет о возрастании энтропии в изолированной системе; в какой-нибудь части мира, куда приходит и откуда уходит энергия, энтропия может убывать, но происходит это за счет ее возрастания где-то снаружи.)

Закон возрастания энтропии запрещает так называемый вечный двигатель второго рода: циклический (повторяющийся) процесс, единственным результатом которого является извлечение тепла из «горячего тела» и совершение полезной работы (словами лорда Кельвина, которому принадлежит эта формулировка, – «подъем груза»). Логический анализ показывает, что запрет на такие явления эквивалентен закону неубывания энтропии. Другая логически эквивалентная формулировка найдена Клаузиусом: невозможен циклический процесс, единственный результат которого состоит в извлечении тепла из «холодного тела» и передаче ее «горячему телу»[178]. Связь энтропии с ограничениями в работе тепловых машин не должна удивлять: способность тепловой машины совершать работу основана на том, что она получает тепло при большей температуре, а отдает тепло – при меньшей; но энтропия – это как раз такая величина, изменение которой выражает количество переданной теплоты, приходящееся на один градус.

В энтропии прежде всего бросается в глаза ее отличие от того, что мы знаем про энергию. В той главное – ее сохранение, которое работает в виде требования, чтобы всегда выполнялось равенство (стало) = (было); все, что нарушает это равенство, оказывается невозможным. Кофе, который вы налили в термос, изолировав его от остального мира, не может сделаться там горячее (собственно, и холоднее он делается только потому, что из реального термоса энергия все-таки уходит наружу). А закону возрастания энтропии предлагается действовать в виде неравенства (стало) ≥ (было). Это совсем другая идея, чем в законах сохранения. И вот где разверзается бездна. Если бы мы знали о теплоте примерно столько же, сколько было известно во времена промышленной революции, мы бы приняли закон возрастания энтропии как фундаментальный закон природы. Но мы знаем, что теплота – явление не «самостоятельное», а всего лишь проявление движения отдельных молекул. В какой мере «самостоятелен» закон возрастания энтропии? Следует ли он из известных законов движения? Или же к ним необходимо добавить что-то, на что мы до сих пор не обращали внимания, и только тогда мы сможем логически вывести, что энтропия никогда не убывает?

Энергия сохраняется, a энтропия стремится к максимуму

*****

Свобода, равенство и братство: последствия. Чтобы обсуждать связь закона неубывания энтропии с фундаментальными законами движения, необходимо для начала выразить энтропию не через передаваемые порции тепла, учитываемые с «уценкой», а через движение молекул. Задача совсем не выглядит простой. Решение предложил Больцман, и формула, выражающая энтропию «через молекулы», теперь выбита на его надгробии. Энтропия, согласно этой формуле, измеряет степень нашего незнания о том, как в точности движутся молекулы. Это звучит несколько противоречиво (оценки в школе измеряют, предположительно, уровень знания, а не уровень незнания, который даже непонятно как определить), но тем не менее работает вот как. Изолируем систему от внешнего мира, как ваш кофе в термосе. Там равновероятны все допустимые варианты движения всех молекул при фиксированной полной энергии. Молекулы ведут себя как довольно безумная труппа актеров, которые ставят пьесу вообще без режиссера и даже без автора: они каждое мгновение перераспределяют роли между собой, да и сами роли каждый раз переписываются произвольным образом, а через мгновение переписываются и перераспределяются снова; требуется только, чтобы некоторое число, общее на всех, не менялось (у актеров пусть это будет общий уровень шума, который они создают; у молекул это энергия). Чтобы полностью описать все возможные способы «раздачи ролей» молекулам, надо задать положение и количество движения каждой молекулы. Точнее, чтобы имеющиеся роли все-таки можно было перечислить в виде списка, надо разбить весь объем термоса на очень маленькие кубики и интересоваться тем, в каком именно кубике оказалась та или иная молекула. Аналогично нужно поступить и с количеством движения: определить небольшие интервалы вблизи выбранных значений количества движения и интересоваться тем, в какой интервал какая молекула попадает. Про то, что получится, говорят, что это состояния молекул. Каждое состояние молекулы – это местоположение («где она находится») в пределах какого-то из выбранных кубиков и количество движения («что делает», т. е. как движется), тоже в пределах выбранных интервалов. Полная конфигурация задается перечислением состояний всех молекул.

Молекулы кофе, изолированного от окружающего мира, «сами» выбирают для себя состояния из числа доступных. Доступно многое, но не все: недоступны состояния, отвечающие пребыванию вне термоса; определенно недоступны, кроме того, состояния со слишком большой энергией – большей, чем полная энергия, фиксированная с самого начала. В пределах же доступного молекулы делят между собой состояния на основе принципов свободы (можно все, что не запрещено) и равенства (различные возможности равновероятны). И, пожалуй, братства, хотя прямо сейчас это менее существенно: все молекулы одного вида полностью взаимозаменяемы. Каждая молекула непрестанно меняет одно доступное состояние на другое, но при этом мы можем наблюдать одну и ту же макроскопическую картину, потому что различные способы, которыми молекулы занимают доступные состояния, для нас неразличимы. Правда, и наша жизнь не совсем скучна, потому что макроскопических картин тоже немало, хотя и несравнимо меньше, чем вариантов «раздачи ролей» молекулам: мы готовы различить, например, картину, где молекулы у правой стенки термоса в среднем имеют большие энергии, чем молекулы у левой стенки. Это выражается в том, что температура кофе в двух точках различается, скажем, на 1 ℃; или, если у вас есть подходящие инструменты, на 0,1 ℃. У каждой такой картины имеется множество реализаций – множество разных вариантов расселения молекул по состояниям, подчиненных необходимым ограничениям (чтобы движение молекул, например, «поддерживало» заданную разность температур). И тут молекулы «наносят ответный удар» за то, что мы не вникаем в подробности. Их оружие – число реализаций каждой из макроскопических картин. Число реализаций огромно для каждой макроскопической картины, но для некоторых картин оно «еще огромнее» или даже «намного огромнее», чем для других. Только из-за того, что у них больше реализаций, такие картины встречаются (намного) чаще; а мы в результате наблюдаем необратимое развитие событий – смешивание, выравнивание температур и т. п. При растворении капли чернил в воде (рис. 9.7) имеется намного больше таких способов расселить молекулы по состояниям, что мы наблюдаем картину «чернила растворены в воде», чем способов, которые дают картину «чернила сконцентрированы в виде капли». При смешивании двух газов все молекулы газа 1 исходно находятся в одной части, а все молекулы газа 2 – в другой части объема, разделенные перегородкой. После того как перегородку убирают, у молекул обоих газов появляется больше состояний. Доступ к большему числу состояний дает большее число возможных реализаций для макроскопической картины «два газа перемешаны в полном объеме». Молекулы просто разбегаются по всем доступным для них состояниям и беспрестанно меняют эти состояния, а у нас перед глазами оказываются те макроскопические картины, которые с большим отрывом лидируют по числу реализаций, в результате чего мы и видим необратимые процессы: температуры выравниваются, чернила растворяются в воде, газы перемешиваются.

Рис. 9.7. Диффузия чернил в воде

Причина необратимости – доступность большего числа состояний

Число возможных реализаций (способов «раздачи ролей» молекулам) для данной макроскопической картины и есть, по существу, энтропия. Почти энтропия. Числа эти большие, и нам будет удобно сэкономить на записи, выражая их в виде 2^X и принимая X за меру числа реализаций. Экономия заметная: если, скажем, X = 100,25, то 2^X – это 1 507 499 113 128 880 389 969 770 996 486 реализаций. Итак, предположив на секунду, что мы можем сосчитать все способы расселить молекулы по состояниям так, чтобы реализовалась выбранная макроскопическая картина, мы получим какое-то «длинное» число; записав его в виде 2^X, находим соответствующее «короткое» число X. Это и есть энтропия, выраженная в битах – как количество информации. Оно показывает наше незнание о движении молекул – о том, каким именно из возможных способов они «сейчас» реализуют данную макроскопическую картину. Правда, биты – это «голые числа», не несущие в себе никаких градусов, килограммов, секунд, джоулей и т. п., а исходное определение энтропии выражает ее в единицах энергии, деленных на градусы. Величина, которая спасает дело в таких случаях, нам уже встречалась – это постоянная k_B = (маловыразительное число) · Дж/градус. Мы просто умножим число бит X на k_B и, по причинам совершенно техническим, умножим еще на 0,693.[179] Получится желаемая энтропия, выраженная через джоули и градусы: S = 0,693 k_BX. Почти это и высечено на надгробии Больцмана, только постоянная k_B, которую мы называем постоянной Больцмана и поэтому включаем в обозначение букву B (Boltzmann), там обозначена просто как k.[180]

Формула Больцмана относится к системам, которые изолированы от внешнего мира и не обмениваются с ним ничем, даже теплом: кофе в идеальном термосе. Этот ваш кофе, как мы помним, буквально несет внутри себя воплощение демократии и равенства возможностей: все, что не запрещено, может там реализоваться, причем с одинаковыми вероятностями. Для этих возможностей теперь есть количественная мера, о чем, быть может, стоит вспомнить, в следующий раз наливая кофе.

Тепловое равновесие – максимум энтропии

Зафиксируем новое понимание, почему энтропия возрастает: из-за доступа к большему числу состояний. А останавливается рост энтропии в каждой конкретной системе тогда, когда молекулам доступно максимальное число состояний, и поэтому имеется больше всего реализаций одной и той же макроскопической картины (а картины, у которых еще больше реализаций, недостижимы в имеющихся условиях). Именно это мы называем равновесием (техническое название – тепловое или термодинамическое равновесие). Отсутствуют не только потоки тепла, но и всякие макроскопические изменения. Пока равновесие еще не установилось, макроскопическая картина характеризуется тем, что «здесь чуть теплее, а там чуть холоднее»; «здесь больше чернил, а там – воды»; любые такие условия означают наличие некоторых ограничений на расселение молекул по состояниям и потому сравнительно меньшее количество реализаций. В равновесии же таких ограничений просто нет, и число реализаций, а с ним и энтропия максимальны. Все то вокруг нас, что находится в тепловом равновесии, включая ваш остывший кофе в чашке, добилось максимального значения энтропии, возможного в данных условиях. Этот принцип оказался могущественным средством изучения природы: чтобы узнать, например, как молекулы в воздухе распределены по скоростям (много ли совсем медленных или радикально быстрых по сравнению со средней скоростью), достаточно ответить на вопрос, какое распределение обеспечивает максимальную энтропию; и целая история, как мы скоро увидим, произошла, когда таким же образом попробовали выяснить, как свет устраивается в равновесии с веществом.

Больцмановское выражение энтропии «через молекулы» – смелая формула, потому что, не принимая никаких дополнительных предположений, крайне трудно установить ее буквальное совпадение с энтропией, определенной «через порции тепла». Это видно уже из того, что в определении энтропии через число реализаций макроскопической картины участвуют все те расселения молекул по состояниям, «между которыми мы не видим разницы» – что оставляет место для произвола. Обоснование формулы Больцмана состоит в том, что «его» энтропия ведет себя так же, как та, другая в зависимости от таких величин, как температура, давление и т. д., и точно так же участвует в соотношениях между разнообразными величинами. Это убедительное обоснование (хотя и оно, строго говоря, требует некоторых допущений), но все же остается место для небольших сомнений: а что, если какое-то слегка измененное определение энтропии «через молекулы» ведет себя так же хорошо и, кто знает, в каких-нибудь аспектах даже лучше?

И действительно ли из законов движения строго следует, что энтропия, определенная по Больцману, никогда не убывает?

*****

Неубывать иль нет?.Здесь начинается второй акт драмы.

Неубывание энтропии и его связь с первопринципами – вероятно, наиболее широко обсуждавшаяся тема во всей классической картине мироздания. Основная причина – связь с необратимостью, а потому и с направлением времени. Где-то по дороге от молекул к «нам», буквально от отдельных молекул к функционированию Вселенной в целом, происходит труднообъяснимое. Законы, по которым взаимодействуют любые две молекулы, одинаково хорошо описывают происходящее в обе стороны по времени. Две сталкивающиеся молекулы, наскакивающие друг на друга с количествами движения A, B и разлетающиеся с количествами движения A′, B′ (рис. 9.8 слева), делают это по Ньютону, под управлением действующей между ними силы, которая сложно зависит от расстояния. Но если в конечных состояниях A′, B′ заменить скорости обеих молекул на точно противоположные (см. рис. 9.8 справа), то под управлением тех же законов они превосходно проделают эволюцию в обратную сторону по времени и придут в состояния, которые отличаются от A, B только развернутыми на 180° скоростями. Столкновение каждой пары молекул, обменивающихся энергией и количеством движения, подчинено точным законам, которые не нарушатся, если «запустить фильм в обратную сторону». Каждое отдельное взаимодействие молекул дружит с обращением времени, но собранные вместе они не дружат совсем: время течет в ту сторону, где раздробленное движение расползается по большему числу возможностей. Капля чернил в воде со временем распространяется по всей чашке, но, если вода и чернила уже перемешаны, не стоит ожидать, что через какое-то время чернила соберутся в одном месте, оставив вокруг себя чистую воду. Не говоря уже о том, что осколки разбившейся чашки не собираются вместе. (В отличие от сталкивающихся молекул, мы довольно уверенно различаем прошлое и будущее по совокупности таких признаков.) Можно ли вывести необратимое поведение из законов Ньютона? Конечно, следить за отдельными молекулами никто не собирается, но из законов Ньютона – при несколько рафинированных, но часто реализуемых на практике предположениях – на правах теоремы следуют правила, определяющие, как могут меняться со временем величины, описывающие массовое поведение молекул. Эти-то правила и требуется применить. Интрига, однако, усложняется, потому что про массовое поведение молекул приходится дополнительно постулировать еще что-то – для изолированных систем, как мы видели, это равновероятность. С учетом всего этого действительно ли величина, определяемая формулой на надгробии Больцмана, возрастает вследствие известных законов и уже сделанных предположений о движении молекул?

Рис. 9.8.Слева: столкновение молекул, в результате которого они переходят из состояний A, B в состояния A′, B′, управляется действующей между ними силой. Справа: если начать с конца, поменяв скорости на противоположные, то под управлением той же силы пара молекул придет в начальное состояние, только с противоположно направленными скоростями

С больцмановской энтропией оказалось все хорошо, когда все просто, и не очень хорошо, когда все сложно. Процессы, в которых видимая нами макроскопическая картина может развиваться со временем только одним способом, называются детерминистскими, и вот хорошая новость: во всех детерминистских процессах энтропия, определенная по Больцману, не может (математически не может) убывать, так что гармония между принципами и практикой установлена. В таких случаях каждый способ расселения молекул по состояниям, отвечающий исходной макроскопической картине, эволюционирует в какой-то из множества способов расселения, отвечающих финальной макроскопической картине. Но все не так хорошо, когда различные реализации исходной картины могут эволюционировать к реализациям разных финальных картин. Такая ситуация означает, что и макроскопический процесс является недетерминистским: в нем возможны различные исходы, каждый с некоторой вероятностью. Организовать такое не так уж и сложно – например, поместив каплю чернил в воду и разглядывая какой-то небольшой объем жидкости в микроскоп. Здесь важно, что в микроскоп молекул заведомо не видно, поэтому, несмотря на присутствие корня «микро», глядя в микроскоп, мы все равно видиммакроскопическую картину. Здесь-то и неприятность. Мы можем заинтересоваться тем, прозрачен или непрозрачен выбранный крохотный объем воды. Или три каких-то объема. Характер диффузии чернил в воде таков, что эти очень небольшие объемы воды могут становиться и более мутными, и более прозрачными; если мы повторяем опыт, начиная с одной и той же макроскопической картины, и фиксируем состояния выбранных объемчиков, мы можем получать разные результаты. Ставшее мутным (смешивание произошло, энтропия увеличилась) может через некоторое время оказаться более прозрачным (энтропия понизилась).

А это значит, что энтропия подвержена флуктуациям: ее значения могут спонтанно изменяться в некоторых пределах, причем в обе стороны. Пока мы отказывались наблюдать за системой в слишком больших подробностях, она для нас эволюционировала детерминистски, стремясь к максимуму энтропии – равновесию, которое в этом случае одно-единственное при заданных условиях. Но если мы особенно привередливы и желаем следить за достаточно мелкими деталями, то мы можем обнаружить флуктуации энтропии; то, что в крупную клетку выглядело как одна-единственная равновесная макроскопическая картина, теперь может оказаться набором нескольких картин, между которыми система каким-то образом переходит. Выбор пути развития – с возрастанием или с убыванием энтропии – становится тогда вопросом вероятностей; возрастание энтропии оказывается более вероятным вариантом, чем убывание, но и только. Правда, намного более вероятным. Если, например, сначала имелась картина с энтропией, выражаемой «коротким числом» X = 80, а нас интересует возможность перехода системы к более низкоэнтропийной картине, для которой X = 70, то вероятность такого развития событий содержит множитель 2^70–80 = 2^–10 ≈ 0,001. Чем сильнее различаются значения буквы X «до» и «после», тем ниже вероятность: например, 2^–20 ≈ 0,00000095 (около одной миллионной)[181].

Можно ли умерить свое беспокойство за закон возрастания энтропии, установив, что энтропия возрастает хотя бы в среднем? «В среднем» здесь снова понимается «как в казино»: при наличии нескольких макроскопических исходов мы берем изменение энтропии для каждого исхода и умножаем его на вероятность этого исхода; все, что получится, складываем. Могут ли слагаемые с отрицательным изменением энтропии «пересилить»? В начале 1970-х гг. выяснилось, что в принципе больцмановская энтропия может убывать даже в среднем. Есть, однако, две утешительные новости. Во-первых, убывание в среднем не может быть любым, оно ограничено некоторым выражением, составленным из вероятностей появления различных макроскопических картин. Во-вторых, в случае недетерминистских процессов можно несколько «улучшить Больцмана» – модифицировать его выражение для энтропии, внедрив в него те самые вероятности переходов между макроскопическими картинами таким образом, чтобы по-новому определенная энтропия уже никогда не убывала.

Идея «поправить» определение энтропии отражает метания между ненаблюдением выраженных случаев убывания энтропии и желанием получить это неубывание из первопринципов: если при некотором выборе первопринципов и выражения для энтропии получается не совсем то поведение, которое хотелось бы получить, то, может быть, мы где-то недоугадали? Модифицировать определение энтропии, внося в него вероятности развития всей системы от одной макроскопической картины к другим, может показаться не самым изящным решением, потому что такая новая энтропия зависит уже не только от числа состояний, доступных молекулам (хотя и всегда возрастает). В пределах наблюдаемого нами мира вполне можно смириться с возможностью флуктуаций больцмановской энтропии, потому что сколько-нибудь значимое ее уменьшение слишком маловероятно; правда, и здесь нашлось теоретическое рассуждение, смущающее парадоксальным выводом, оно обсуждается в добавлениях к этой прогулке.

*****

Широко образованный демон. Связь между возрастанием энтропии, (не)знанием и движением подчеркнута изобретением самого известного в науке демона – демона Максвелла[182]. Придумал «демона» Максвелл, но слово впервые употребил лорд Кельвин, заметив при этом, что указывает тем самым на роль демона не как зловредного существа, а как посредника (что вообще-то составляет задачу не демона, а ангела). Эта умозрительная конструкция была предложена в 1867 г., но с тех пор продолжает обсуждаться, причем с привлечением все новых знаний из числа приобретенных за полтора века развития науки. Демон Максвелла – устройство, задача которого в том, чтобы систематически нарушать закон возрастания энтропии. Для этого ему требуется заполненный газом сосуд с внутренней перегородкой, где имеется отверстие, которое можно открывать или закрывать. Демон, собственно говоря, поселяется рядом с этим отверстием и открывает/закрывает «дверь» в зависимости от того, какая молекула и с какой стороны к нему подлетает. Оценивая их скорости, демон стремится собрать более быстрые молекулы по одну сторону от перегородки (рис. 9.9). Такое разделение молекул по скоростям (т. е. разделение газа по температуре) означает понижение энтропии; демон собирается добиться этого без открытого жульничества: без «выбрасывания» высокой энтропии из системы в другое место и без траты энергии из каких-нибудь принесенных с собой «батареек». Последнее надо понимать с небольшими оговорками, а именно как возможность сделать затраты энергии сколь угодно малыми, для чего есть даже ясный критерий. Разделив молекулы в газе на быстрые и медленные, демон может (сам или через посредников) организовать работу тепловой машины – например, предоставив более горячему газу, за счет его большего давления, двигать перегородку. Успешный демон – тот, кто смог затратить на все свои действия меньше энергии, чем ее будет получено в виде полезной работы от его машины. Другими словами, путем тонкого жульничества демон хочет устроить вечный двигатель второго рода, определенным образом организуя дезорганизованное, «раздробленное» движение молекул[183]. Большую или малую работу совершит устройство под управлением одного демона – неважно, потому что если как-то удалось наладить устойчивое получение работы из теплоты, то демонов можно набрать неограниченно много и получить сколько угодно полезной работы. Но главное, конечно, принципиальный вопрос нашего понимания устройства мира: действительно ли частичное преодоление того самого незнания, которое измеряется энтропией, позволяет реорганизовать хаотическое движение в регулярное?

Демон извлекает работу из информации

Рис. 9.9. Демон Максвелла и его изобретатель в молодости. Демон контролирует отверстие в перегородке, закрывая и открывая его в зависимости от скорости приближающихся к нему молекул с целью собрать в левой половине более быстрые. Четыре случая слева внизу: быстрая молекула остается слева, медленная молекула уходит направо, медленная молекула остается справа, быстрая молекула уходит налево

Осмотрительно интересуясь молекулами по одной за один раз, чтобы избежать информационной катастрофы, демон фактически собирается «восстановить» небольшую часть знания о молекулах, от которого мы отказались; а сократить незнание почти буквально и означает уменьшить энтропию. Минималистский вариант демона, делающий многие вопросы яснее или, во всяком случае, острее, предложил Сцилард[184]: одна молекула в коробке, находящейся в тепловом контакте со средой; тепловой контакт означает, что стенки могут «пнуть» молекулу сильнее или слабее, и она может приобрести или отдать некоторую энергию в результате каждого пинка; в среднем же молекула имеет ту самую энергию движения 3/2k_BT, которую полагается иметь при заданной температуре среды. Молекула летает «как получится» и не собирается систематически толкать какой-нибудь поршень туда, куда мы пожелаем. Демоническая схема состоит в том, чтобы «обмануть систему» на основе знания. В середину коробки вносится подвижная перегородка, которая присоединяется к механизму (например, лебедке) одним из двух способов в зависимости от того, где оказалась молекула после внесения перегородки: в левой или правой половине, как показано на рис. 9.10. Знание относится именно к тому, в какой половине коробки оказалась молекула. Это знание содержит ровно один бит информации (скажем, значение 0, если слева, и 1, если справа). После того как перегородка внесена, молекула, возможно, не сразу, но дотолкает ее до крайнего положения и тем самым совершит работу (поднимет груз). Затем перегородку вынимают и процесс повторяется. Молекула постоянно подпитывается энергией из-за контакта со стенками, а знание требуется для того, чтобы превратить эту энергию в работу.

Рис. 9.10. Двигатель Сциларда. По строкам сверху вниз: (1) одна молекула в коробке в тепловом контакте со стенками; (2) в момент внесения перегородки молекула может оказаться в правой или левой половине; (3) на основе информации о нахождении молекулы совершается выбор типа «0 или 1»: подсоединить механизм (например, лебедку) с одной или другой стороны коробки, чтобы молекула, сдвигая перегородку до упора, совершала полезную работу; (4) после завершения движения перегородка убирается; (5) система возвращается в исходное состояние «одна молекула в целой коробке в тепловом контакте со стенками».

Сцилард предложил эту схему в 1929 г.; общее ожидание состояло скорее в том, что такая штука не должна заработать, но требовались конкретные объяснения, почему именно. Прежде всего нужна осторожность при перенесении привычных макроскопических понятий на микроуровень. По объективным причинам здесь смешиваются понятие информации как абстракции (один бит – уменьшение нашего незнания вдвое, т. е. выбор «между 0 или 1», между левой и правой половинами коробки в данном случае) и свойства носителей этой информации, и даже свойства процессов, необходимых для обработки информации. Любые логические операции с информацией, они же вычисления, – это преобразования одной последовательности нулей и единиц («бит») в другую по тем или иным правилам. Но преобразуемые биты должны быть представлены (записаны) каким-то физическим способом – хотя бы в виде неких конфигураций минимального числа молекул. Логические преобразования, которым подвергается информация, имеют физическую сторону: соответствующие конфигурации молекул необходимо определенным образом менять. Немедленно возникает вопрос: какова в идеале минимальная энергетическая цена, которую надо платить за обработку информации? Ваш компьютер тоже платит энергетическую (а вы – денежную) цену за обработку информации: он греется тем сильнее, чем активнее вычисляет, т. е. выполняет эти самые логические операции; но сейчас речь идет об абсолютно идеализированных системах, а потому и об абсолютном минимуме энергозатрат, ниже которого опуститься нельзя в силу законов природы. Выяснилось, что необратимые логические операции (такие, по результату которых нельзя сказать, каковы были входные данные) с необходимостью требуют рассеяния некоторой энергии – перевода ее в тепловую форму, что означает увеличение энтропии. Коль скоро вычисления содержат необратимые операции, демон терпит поражение: тратит на обработку информации больше, чем выигрывает. Но к началу 1980-х гг. появилось понимание, что обработка информации возможна без логически необратимых шагов, что «отменяло» неизбежность рассеяния некоторого количества энергии в тепло. Демон снова приободрился. К этому моменту, надо сказать, он окончательно превратился из «сознательного» субъекта в некоторое подобие специализированного компьютера – что только способствовало ясности рассуждений[185]. Информацию о положении молекулы слева или справа он может получать, используя «очень слабый свет» (фотоны крайне низкой энергии) и тратя на это исчезающе мало энергии; команду, управляющую «лебедкой», он тоже может сформировать практически без энергозатрат.

От внимания «экзорцистов» (т. е. «изгонятелей демонов»), впрочем, не ускользнул другой аспект. Да, демон, управляющий коробкой Сциларда, может извлечь работу, при этом оставив молекулу во вполне определенном состоянии в конце цикла (она занимает всю коробку). Но демон обрабатывает и использует информацию, для чего ему нужна память. От него не требуется воспоминаний о случившемся вчера около полудня, но поступающую к нему информацию нужно каким-то образом фиксировать, что и называется записью в память. И вот про память демона, в отличие от молекулы, нельзя сказать, в каком состоянии она окажется. Заполнение памяти описывается недетерминистским процессом; отвечающее ему незнание в данном случае оказывается еще одним вариантом «молекулярного» незнания, и получается, что энтропия не уменьшается, а просто переносится из «системы» в память демона! Демон снова повержен. Его ответный ход может состоять в том, чтобы по завершении цикла очищать память, приводя ее в исходное состояние. Но эта необратимая операция имеет неизбежную цену в виде возрастания энтропии, что подрывает усилия демона. Стирание информации оказалось неотделимым от накладных расходов (рассеяние энергии, возрастание энтропии) даже в самом идеальном варианте. Утверждение, известное как принцип Ландауэра, говорит, что стирание одного бита неизбежно приводит к увеличению энтропии по крайней мере на 1 бит (т. е. на 0,693 k_B Дж/К).[186] Минималистский вариант стирания информации, откуда яснее видна его энергетическая цена, демонстрирует устройство, которое можно считать «машиной-Сциларда-наоборот» (рис. 9.11). На входе у нее – один бит информации, т. е. знание о том, находится ли молекула в левой (0) или правой (1) половине коробки. На выходе же требуется получить коробку, в которой молекула находится всегда в левой половине (0, обнуление ячейки памяти). Сделать это нужно способом, не требующим дополнительного знания, т. е. единообразно для любого входного состояния (иначе мы попадем в замкнутый круг!). Для этого предлагается во всех случаях вытаскивать перегородку и переставлять ее в крайнее правое положение, после чего двигать к среднему положению. Но это требует затраты той же работы, которую мы надеялись извлечь из машины Сциларда, потому что придется преодолевать пинки со стороны молекулы. Принцип Ландауэра говорит, что, изничтожая следы недетерминизма даже самым оптимальным для себя образом, демон потратит все, что нажил своим трудом.

Рис. 9.11. Очистка ячейки памяти требует совершения работы

Демон может пуститься на хитрость: купить себе память достаточно большого объема и отложить ее зачистку, цикл за циклом накапливая в ней случайную последовательность нулей и единиц (уж что туда «запишется» по завершении каждого цикла работы). Конечно, в какой-то момент ему все же придется сделать то, что он так долго откладывал, потому что от переполнения памяти он потеряет способность к управлению. Казалось бы, стирание памяти бит за битом потребует как раз столько полезной работы, сколько он к этому времени извлек из теплового резервуара, и не стоило тратиться на приобретение памяти. Но не тут-то было! Эта часть битвы, начатой в 1867 г., разворачивалась уже в компьютерную эпоху, и демон оказался сведущ и в этом предмете. Он сначала архивирует – сжимает – накопленные данные, из-за чего последовательность нулей и единиц становится короче, а стирание ее требует меньше энергии. В итоге демон оказывается в выигрыше! Сжатие информации (как в любой из знакомых нам программ-архиваторов) – обратимая операция: более короткую строку из нулей и единиц можно превратить в исходную, более длинную, применяя алгоритм сжатия «в обратную сторону». Из-за этой обратимости демон в принципе может обойтись минимальными расходами на само сжатие, и экзорцисты, казалось бы, терпят поражение.

Сложность объекта – длина его самого короткого описания

Сюжет становится все более закрученным. Для очередного изгнания демона потребовался новый массив научного знания. В середине XX в., с развитием теории информации, выяснилось, что последовательности из нулей и единиц могут быть устроены «более сложно» или «менее сложно», где сложность понимается не в человеческом, а скорее в «программном» (алгоритмическом) смысле: как длина самого короткого точного описания данной последовательности. Например, последовательность из 52 бит 0110011001100110011001100110011001100110011001100110 представляет собой тринадцать повторов последовательности 0110 и может быть так и описана, а про последовательность 11010001101001111000100000110110101110010011100010 заранее неизвестно, как описать ее короче. Строго говоря, алгоритмическая сложность определяется минимальной длиной программы, которая генерирует данную последовательность нулей и единиц, но это сейчас не очень важно. Так или иначе, алгоритмическая сложность показывает, «насколько случайна» последовательность: мой первый пример очевидным образом не случаен, а потому переупаковывается очень простым способом, в тем или иным образом выраженное сообщение о повторе одного и того же участка, а про второй пример я этого не знаю, потому что сгенерировал его случайным образом (надо признать, впрочем, что оба примера слишком коротки для серьезного применения алгоритмической сложности). Последовательность, которая накопится в памяти демона, будет случайной и потому плохо упаковываемой, так что он ничего не выиграет. Но это в среднем; временами ему может сопутствовать везение, и последовательности все-таки будут допускать достаточно экономную переупаковку. Это значит, что временами он сможет добиваться уменьшения энтропии, притянув к делу недетерминистский процесс (заполнение своей памяти).

На решение энергетических проблем человечества за счет толпы информационных демонов надеяться не приходится, а с принципиальной точки зрения просматриваются параллели с тем, что мы видели для больцмановской энтропии: она может уменьшаться из-за флуктуаций в недетерминистских процессах (здесь недетерминистским процессом является заполнение памяти демона). Предложение со стороны экзорцистов, не желающих оставить демону даже эпизодической радости от флуктуаций, состоит в том, чтобы дополнить правило для определения энтропии: включив память демона в систему, мы, разумеется, уже учитываем ее энтропию, но теперь к ней предлагается добавить алгоритмическую сложность той последовательности бит, которая имеется в памяти. Я не могу оценить перспективы этого предложения в полной мере, но нахожу весьма знаменательным, что состояние памяти дает вклад в полную энтропию и как физическая система (больцмановский вклад на основе подсчета числа состояний), и как информация (вклад в виде алгоритмической сложности). Такая энтропия-на-стыке-наук полностью определяется самим микросостоянием (в отличие от того, что обсуждалось в связи с модифицированной больцмановской энтропией, она не использует вероятности перехода системы от одной макроскопической картины к другим в недетерминистском процессе). Если демону особенно повезло – в памяти накопилась алгоритмически простая последовательность, – он получает вероятность добиться понижения энтропии; но в среднем, даже для макроскопически недетерминистских процессов, такая информационно-модифицированная энтропия только возрастает.

Железного вывода закона возрастания энтропии из фундаментальных принципов, по-видимому, нет. Обсуждение «демонов» в их разнообразных вариантах позволило лучше понять, как на микроскопическом уровне формируется «цена» не только за макроскопические действия, но даже и за принятие решений, т. е. обработку информации. От десятилетия к десятилетию тренд показательным образом менялся, захватывая разные области. Исходное намерение Максвелла было в том, чтобы очертить границы закона возрастания энтропии. Сцилард первоначально предложил свой вариант демона, чтобы увидеть, каким образом нечто вроде сознания могло бы нарушать закон возрастания энтропии (его статья называлась «Об уменьшении энтропии в термодинамической системе путем вмешательства разумных существ»), но со временем стало ясно, что с обманом молекулы в коробке вполне справится компьютер, и фокус внимания сместился на фундаментальные вопросы теории информации и на энтропийную цену за ее обработку. Надо сказать, приводились и аргументы (в связи с машинами Фейерабенда – Поппера и Ротстайна, обсуждать которые мы все-таки не будем) в пользу того, что можно обойтись вообще без обработки информации; но, как и в других случаях, компенсирующее увеличение энтропии может оказаться хорошо спрятанным где-то в самой процедуре и ее последствиях. Так или иначе, продолжающееся полтора века обсуждение, инициированное Максвеллом, затронуло несколько фундаментальных законов и вопросов об устройстве Вселенной. Следует ли все-таки постулировать закон возрастания энтропии в каком-нибудь виде (хотя бы в среднем) и тогда уж догадываться, как в точности надо определять энтропию «через молекулы», чтобы этот закон строго выполнялся? Требуется ли отдельно постулировать принцип, связывающий информацию и энтропию? Один из подходов состоит в том, чтобы принять принцип Ландауэра как постулат, а при анализе различных демонов применять его как руководство к поиску того места, возможно, хорошо замаскированного, где, несмотря на все ухищрения, все-таки происходят затраты энергии или рост энтропии. Современные квантовые технологии, в том числе при сверхнизких температурах, добавляют новые повороты в этот сюжет, выросший из идеи контроля за микроскопическим движением, но мы здесь остановимся.

Равновесное состояние – состояние максимального незнания

При этом едва ли кто-нибудь сомневается в том, что энтропия вокруг нас возрастает. Оставленный в покое фрагмент мира из-за внутреннего движения в том или ином варианте стремится к равновесию, которое означает максимум энтропии; продолжается это до прихода какой-нибудь внешней встряски – любого контакта с внешним миром, который вызывает перераспределение энергии. Вещи находят новое равновесие и снова набирают максимально возможное количество энтропии. Процесс продолжается, пока где-то есть источники неоднородности. Каждый раз, когда мы видим рядом с собой вещи в тепловом равновесии, можно вспомнить, что наше незнание об их внутренней жизни при этом максимально. Не демоны из мысленных экспериментов, а реальные окружающие вещи открыто издеваются над нами, уходя в состояния, про которые мы «больше всего не знаем».

*****

Следы преступления Уилера. «Гонка вооружений» между усовершенствователями демонов и экзорцистами, как бы то ни было, не оставила сомнений в том, что если есть какая-то величина, которая пусть с небольшими оговорками, но все-таки постоянно возрастает, то это энтропия. В начале 1970-х нарушение этого положения дел беспокоило Уилера не из-за тонкостей информационного обмена с внутренностью вещей, а из-за информационной грубости черных дыр. В то время считалось, что раз уж вещи исчезают под горизонтом, то бесследно исчезает и их энтропия, поэтому черные дыры, казалось, безжалостно стирают все следы и высокой, и низкой энтропии. Сам Уилер впоследствии высказывался по этому поводу так:

Мысль, что у черной дыры нет энтропии, беспокоила меня, но я не видел, как избежать такого вывода. Как-то раз в своем кабинете я в шутку признался Джейкобу Бекенстайну[187], что всегда чувствую себя преступником, когда ставлю чашку горячего чая рядом со стаканом чая со льдом, а затем позволяю им прийти к общей температуре. Мое преступление, сказал я Джейкобу, будет отзываться до конца времен, потому что нет никакого способа изгладить его и вернуть сделанное обратно. Но предположим, что рядом проплывает черная дыра, а я бросаю в нее горячий и холодный чай. Не сотрутся ли тогда навсегда все свидетельства моего преступления? Ничего сверх этих слов Джейкобу не требовалось. Он отнесся к ним серьезно и отправился их обдумывать.

Как тебе такое, Сади Карно?

Энтропия – концепция, которая исходно была сформулирована в применении к вполне определенной «начинке» (молекулам и атомам). До какой степени она может распространяться на более широкий круг явлений? (В отношении энергии, например, последовательно открывались ее новые виды, с новыми носителями – что никак не мешало основной концепции, что энергия сохраняется.) С «начинкой» черных дыр все непросто: там в основном пусто, а где, видимо, уже не пусто, действуют неизвестные нам законы природы. Выживет ли в таких экстремальных условиях энтропия со своим свойством неубывания? В другом месте Уилер рассказывает о последствиях своего разговора с Бекенстайном:

Через несколько месяцев он вернулся и сказал: «Вы не избавились от возрастания энтропии, а просто переложили его в другое место. У самой черной дыры есть энтропия». ‹…› Когда вышла работа Бекенстайна, Стивен Хокинг с [Брэндоном Картером] сочли все его рассуждения настолько немыслимыми, что решили написать статью с целью показать, что эти рассуждения неверны, но в конце концов пришли к выводу, что рассуждения правильные и что это свойство должно проявлять себя еще и другим способом – черная дыра может испарять электроны со своей поверхности.

«Поверхность» здесь – это поверхность горизонта (хотя высказывание об «испарении с горизонта» не следует понимать буквально). В искривленном пространстве-времени вблизи черной дыры, на взгляд удаленного наблюдателя, рождаются и исчезают элементарные частицы, и открытие Хокинга состояло в том, что некоторые (очень немногие, и в первую очередь даже не электроны, а фотоны) выбираются на волю – улетают туда, где черная дыра притягивает уже слабо. Они и составляют так называемое излучение Хокинга[188]. Если какой-то наблюдатель сможет зафиксировать это излучение и измерить, как его интенсивность зависит от длины волны, он придет к выводу, что источник – некоторое тело, которое находится при определенной температуре, и что это тело «только само светит», но не отражает ничего из того, что на него сваливается извне. Для этого он воспользуется законом излучения, который ждет нас буквально за поворотом на этой прогулке. Позаимствуем его содержание: закон говорит, что если тело не отражает «чужое» излучение, то интенсивность его собственного излучения на разных длинах волн имеет вполне конкретные значения в зависимости от температуры тела. Это, кстати, дает способ дистанционного определения температуры. Для обычных тел ее можно, конечно, определить и непосредственно, и получится то же самое, но для черных дыр нет другого способа, кроме «бесконтактного». Температура черной дыры массой в 5 масс Земли, изображенной в масштабе 1: 1 на рис. 7.15, если по-прежнему предполагать, что она не вращается (или вращается не слишком быстро), всего на 0,004 градуса выше абсолютного нуля (для черной дыры, имеющей массу Солнца, она составляет 0,000015 от этих четырех тысячных; чем массивнее черная дыра, тем ничтожнее температура, хотя и кажется, что ничтожнее уже некуда).

Наблюдатель, воодушевленный дистанционным определением температуры черной дыры, может далее произвести с ней, пусть мысленно, действия, которые ближе всего к тем, которые (тоже мысленно) проводил с нагреваемым газом Карно: передать черной дыре энергию. Это, конечно, легче легкого, потому что E = mc²: в черную дыру надо просто кидать массу. Приобретенная масса изменяет температуру черной дыры. Но, кидая маленькие порции массы и записывая все свои действия в журнал, наблюдатель внезапно решает учитывать каждую порцию с «уценкой» в соответствии с той температурой, которую в данный момент имеет черная дыра, – именно так, как это делается для энтропии. Здесь требуется уточнение, потому что масса – это не единственное, что получает черная дыра; падающие на нее предметы передают ей еще и некоторое количество вращения, поэтому наблюдатель должен аккуратно учитывать все, что он туда отправляет; это относительно несложно. Анализируя свои записи, наблюдатель обнаруживает, что «уцененные» порции энергии, отправленные в черную дыру, оказываются добавками к некоторой величине, связанной с самой черной дырой; неожиданно или нет, эта величина никогда не убывает. «Энтропия!» – восклицает наблюдатель. А потом обнаруживает нечто новое: во всех других известных ему ситуациях энтропия – достаточно абстрактное понятие, но для черной дыры она получает простое геометрическое воплощение. Энтропия черной дыры – это площадь поверхности ее горизонта; практически площадь поверхности, отличие состоит просто в умножении на число. (У Бекенстайна была только оценка для этого числа, а точно его нашел Хокинг; оно равно 1/4.) При этом горизонт – никакая не твердая поверхность, а нечто, определенное математически и лишенное опознавательных знаков. Но, если оставить в стороне тонкие квантовые эффекты, что бы ни происходило с черной дырой, площадь ее горизонта только возрастает[189].

Энтропия черной дыры колоссальна. Это ожидаемо, если вспомнить основную идею: энтропия выражает количество способов, которыми можно реализовать наблюдаемую макроскопическую картину так, чтобы мы не видели разницы. А для черной дыры наши возможности «видеть разницу» ограничены в максимальной степени, потому что судьба всего, в нее попавшего, скрыта под горизонтом и внешний вид черной дыры определяется только тремя числами: кроме массы и количества вращения, это еще электрический заряд. И всё[190]. Энтропия черной дыры должна выражать количество способов, каким ее можно создать, при всего лишь трех заданных числах. Для обычных тел вокруг нас энтропия определяется расстановками атомов и молекул, которые играют роль «дна» в измельчении движения. В черной дыре «дно» находится не на уровне молекул, а в области колоссально меньших длин. Вот какой у них масштаб. Площадь поверхности горизонта выражается, как и всякая площадь, в квадратных метрах, или в квадратных километрах, или в чем-то аналогичном. Сколько ни умножай площадь на постоянную Больцмана k_B, энергия-деленная-на-температуру (размерность энтропии) не получится; квадратные метры надо сначала как-то превратить в «голое» число. Правильные формулы об этом уже позаботились (иначе они бы не были правильными) и сообщают, что площадь горизонта надо поделить на другую, фиксированную площадь – что-то вроде площади очень маленького квадратика: 2,61 × 10^–66 см². Откуда она взялась и почему она именно такая? Она встроена в структуру нашей Вселенной примерно так же, как две другие уже встречавшиеся нам постоянные: скорость света c и ньютоновская гравитационная постоянная G. Скорость света выглядит большой по сравнению со скоростями из нашего более-менее обычного опыта; ньютоновская постоянная имеет множитель 10^–11, если пользоваться метрами, килограммами и секундами (и 10^–8, если пользоваться сантиметрами, граммами и секундами), из-за чего выглядит малой; но Специальная площадь 2,61 × 10^–66 см² запредельно мала по сравнению с любыми площадями, которые мы можем вообразить в рамках хоть какого-то опыта. Если Специальную площадь действительно представлять себе как квадрат, то длина его стороны будет во столько же раз меньше атома, во сколько раз атом меньше – нет, не яблока, не Земли и не радиуса земной орбиты, а расстояния, на преодоление которого свету требуется без малого месяц, что намного дальше, чем уходят от Солнца самые далекие известные объекты Солнечной системы, включая все упомянутые на прогулке 3.

Чтобы получить энтропию черной дыры, площадь горизонта надо выразить через число, показывающее, сколько раз на этой воображаемой поверхности укладывается квадрат невообразимо малого размера; неудивительно, что энтропии черных дыр оказываются колоссальными. Полюбившаяся нам черная дыра на рис. 7.15 не может похвастаться большой площадью поверхности горизонта: в одном квадратном метре уместится 40 таких горизонтов и почти половина еще одного. Но эта малая площадь выражается в терминах Специальной площади колоссальным числом порядка 10⁶⁷. Для черной дыры, имеющей массу Солнца, площадь ее горизонта – уже 10⁷⁷ повторений Специальной площади. Эти огромные числа – те самые X, которые при обсуждении количества незнания на уровне молекул выглядели короткими числами: скажем, из трех знаков, а не из семидесяти семи.

В черных дырах – основная энтропия Вселенной

Черные дыры несут в себе основное энтропийное содержание Вселенной. Продолжая в самом общем виде идеи Больцмана, мы думаем, что с высокими значениями энтропии как-то связаны степени свободы – тем или иным образом реализованные состояния чего-то («квантовой гравитации»), но мы не знаем, каковы они. Наличие Специальной площади само по себе не означает, что пространство-время составлено из каких-то кубиков; мы просто не знаем, о чем вообще можно говорить на столь малых масштабах, а «потыкать» туда нам нечем – не только потому, что фотонов (света) с подходящей длиной волны нет под рукой, но и по более фундаментальным причинам: такой фотон оказался бы носителем столь большой энергии в столь малом объеме, что сам превратился бы в черную дыру. Специальная площадь, таким образом, указывает на грань, ниже которой заведомо не распространяются наши представления о пространстве-времени, да и движении, и эта грань – предельные по своей интенсивности проявления гравитации. Она работает там в квантовом режиме, а от его систематического понимания мы довольно далеки. В отсутствие каких-либо подробностей относительно происходящего там мы пытаемся получить подсказки от энтропии: опирающиеся на нее соображения вызывающе безразличны к деталям, а потому иногда позволяют заглядывать глубже, чем проникает взор, различающий подробности.

На рубеже XX в. граница понятного мира проходила на 25 порядков выше – на масштабе, выражающем размер атома, и при невозможности «заглянуть внутрь» самая первая подсказка о неожиданном (квантовом!) укладе внутриатомной жизни также появилась не без помощи энтропии. «Энтропийные» соображения помогли угадать закон излучения – первый закон природы, отражающий квантовую природу мира. Чуть выше мы брали его взаймы, а сейчас наконец обсудим связанную с ним интригу по порядку. Закон носит имя своего первооткрывателя – Планка.

*****

Расфасовка света. Мы отступаем от эффектов сверхсильной гравитации и сопутствующих им ужасов в виде 77-значных чисел в несравненно более близкий нам мир молекул и атомов, а заодно в год со знаменательным номером 1900, когда Планк установил первый квантовый закон природы – закон излучения. В максимально грубой формулировке этот закон говорит, каким цветом светится нагретое тело в зависимости от его температуры; а точнее, речь идет о том, как интенсивность излучения распределена по разным длинам волн. Если вам случалось настраивать монитор вашего компьютера, то вы могли обнаружить указание на температуру, скажем, 6000 K – что вообще-то близко к температуре на поверхности Солнца. Как-то раз, высказав подозрение, что внутри монитора таких температур все-таки нет, я получил от консультанта в магазине исчерпывающее пояснение: «Но ведь это абсолютно черное тело» (что это, собственно, такое, мы обсудим чуть позже). Планковский закон излучения «абсолютно черного тела» оказался точкой входа в квантовый мир. Это достижение состоялось благодаря счастливому сочетанию нескольких факторов: предшествовавших теоретических идей, прогресса в экспериментальной науке, настойчивости самого Планка, его удачливости в квалифицированном угадывании, а еще – энтропии.

Сначала Планк собирался решить совсем другую задачу. Еще в 1894-м его заинтересовала возможность строго вывести закон возрастания энтропии, исходя из первопринципов. Возрастание энтропии – синоним необратимости, и в поисках источника необратимости Планк взялся исследовать процессы излучения и поглощения света (электромагнитных волн) веществом. Главное про электромагнитные волны сами по себе было известно к тому времени из вторых-бессмертных-после-законов-Ньютона уравнений, записанных Максвеллом. Они говорят, в частности, что излучение случается тогда, когда электрический заряд меняет характер своего движения – испытывает ускорение. Хотя тела вокруг нас электрически нейтральны, там внутри имеются положительные и отрицательные заряды; сейчас про них известно много подробностей, но и без этих подробностей можно было сделать вывод и о существовании зарядов, и о чем-то вроде их колебательного движения, исходя из одного только факта теплового излучения: все тела излучают электромагнитные волны просто оттого, что имеют некоторую температуру (рис. 9.12). На этом среди прочего основано «инфракрасное видение» во всех его разнообразных вариантах, от приборов ночного видения до существенного компонента систем дистанционного зондирования Земли.

Рис. 9.12. Тепловое излучение

Планка, однако, ждало разочарование: он вскоре понял, что надежды найти источник необратимости в процессах взаимодействия света и вещества тщетны. Но эта неудача в блуждании на ощупь оказалась не концом, а началом истории: свое желание понимать вещи исходя из первопринципов Планк перенес на законы излучения. Каждое нагретое тело излучает волны всех длин, но с разными интенсивностями, и длина волны, на которую приходится пик излучения, зависит от температуры. Строго говоря, при этом обсуждается излучение тела, которое не отражает «ни лучика» из падающего на него света, а только испускает излучение из-за того, что нагрето. Такой источник излучения как раз и называется «черное тело» (или, видимо, для красоты, «абсолютно черное тело»). Этот термин, звучащий как обычное слово, вводит в небольшое заблуждение: черное оно, строго говоря, только при температуре абсолютного нуля (неплохим примером абсолютно черного тела является Солнце). Связь между длиной волны, на которой «черное тело» излучает сильнее всего, и температурой была известна Планку как один из законов Вина – законов излучения, носящих имя их первооткрывателя. В другом законе Вин обобщил экспериментальные факты о свойствах излучении в виде формулы, которая неплохо описывала интенсивность излучения на разных длинах волн. Формула представляла собой «умную» подгонку под данные наблюдений и содержала две постоянные, численные значения которых следовало выбрать на основании экспериментальных данных[191]. Планк спросил себя: из какого знания можно было бы вывести формулу Вина? Наблюдая тепловое излучение, мы вообще-то получаем сигналы о том, что происходит где-то внутри молекул и атомов: из-за беспорядочного движения, которое где-то там происходит, заряды подвергаются беспорядочным ускорениям; они и излучают беспорядочно. Вопрос о том, что в точности представляют собой «состояния» электрических зарядов в веществе, как мы теперь знаем, не мог быть решен ни в конце XIX в., ни в начале следующего столетия; более того, решение требовало как минимум тех знаний, дорогу к которым еще только предстояло проложить Планку. Если бы Планк об этом знал, возможно, ничего бы и не произошло (а в 1890-е гг. Планк вообще не был уверен в реальности атомов и молекул; его сомнения подогревались тем, что, допустив существование молекул, приходилось, как тогда казалось, признать возможность демона Максвелла, который нарушает закон возрастания энтропии, а это Планку крайне не нравилось). Но Планк вооружился энтропией, а сила подходов, вовлекающих энтропию, как раз и состоит в возможности гусарского отношения к деталям. Не обязательно знать тонкости внутреннего устройства, достаточно допустить, что там имеется нечто максимально простое, способное излучать на каждой частоте, а именно множество колебательных систем – зарядов, колеблющихся с разными частотами. Между собой они находятся в состоянии теплового равновесия. Как мы видели, молекулы в газе в состоянии теплового равновесия «расталкивают» друг друга так, что устанавливается вполне определенное распределение молекул по энергиям; здесь же колебательные системы с различными частотами «расталкивают» друг друга путем обмена энергией так, что тоже устанавливается некоторое равновесное распределение по энергиям. О том, каким оно получилось, мы судим по характеру излучения: по тому, какую долю всей излучаемой энергии несут различные частоты[192].

Используя основные теоретические концепции, известные к тому моменту, Планк нашел, как в равновесии должна выглядеть связь между средней энергией колеблющихся зарядов и энергией, которую несет излучение с данной частотой. Соединив этот результат с формулой Вина (глупо было делать вид, что ее нет), Планк получил знание про энтропию, которое его очень вдохновило: зависимость энтропии от средней энергии колебательных систем управлялась уравнением, которое подсказывало, что энтропия всегда возрастает. Оставалось полшага до обратного вывода, который и был целью Планка: взяв в качестве первопринципа закон возрастания энтропии и использовав найденную им связь между средними энергиями, вывести закон Вина теоретически! Увы, это было невозможно. Мы отлично знаем это сейчас, и это же стало предельно ясно в октябре 1900 г., когда появились новые данные экспериментов. Они говорили, что природа описывается законом Вина не вполне точно – и тем хуже, чем больше длина волны излучения. Расхождения были очевидными, и они означали, что «подгоночный» закон Вина не является фундаментальным, а значит, его нельзя строго вывести из фундаментальных принципов. Надежды Планка снова рухнули.

Планк тем не менее продолжал думать в терминах уравнения для энтропии, которое говорило, как она зависит от энергии. Он волюнтаристски изменил это уравнение: несколько усложнил его, внеся туда элементы, которые могли опосредованным образом отражать новые экспериментальные данные для длинных волн. С использованием нового – строго говоря, ниоткуда не следовавшего – уравнения делом техники было получить новое выражение для того, как энергия распределена по колебаниям в веществе и как заодно она распределена по разным частотам излучения. Волшебным образом оказалось, что новое выражение для интенсивности излучения в зависимости от длины волны отлично согласуется с наблюдениями для всех длин волн. Заодно выяснилось, что закон излучения Вина – это упрощение новой формулы, допустимое для достаточно коротких волн. Одна из двух декабрьских статей Планка называлась «Об одном улучшении закона излучения Вина»; это улучшение теперь называется законом Планка или, на всякий случай, законом излучения Планка. Ничего сверх этого про излучение черного тела с тех пор придумывать не потребовалось. Так называемая цветовая температура вашего монитора – это та температура, при которой распределение интенсивности по длинам волн для вашего устройства ближе всего к распределению интенсивности абсолютно черного тела, которое описывается формулой Планка. И именно закон излучения Планка позволяет приписать температуру черной дыре.

После удачи, сопутствовавшей Планку с «умным угадыванием», можно было бы, наверное, счесть дело сделанным – и многие, вероятно, остановились бы в своих исследованиях данного предмета, коль скоро получен такой прекрасный, законченный результат. Но он не был законченным для Планка. Со свойственной ему концентрацией на первопринципах Планк нуждался в оправдании своих собственных волюнтаристских действий (изменения уравнения) исходя из каких-то фундаментальных механизмов. Он продолжал обдумывать угаданную им зависимость энтропии от энергии. Именно Планк впервые записал формулу для больцмановской энтропии в том виде, который теперь высечен в камне, и теперь он же обратился к этой формуле, чтобы узнать, сколько имеется реализаций, при которых система «излучение + вещество» в равновесии производит одну и ту же наблюдаемую картину излучения. Случившееся далее выросло из безобидного технического момента, который и нам уже несколько раз встречался. Нельзя считать состоянием буквально каждое значение частоты, потому что такие состояния невозможно сосчитать, как невозможно сосчитать точки на отрезке линии. Когда мы измеряем длину отрезка, мы выражаем ее не в количестве точек, а в количестве делений, нанесенных на линейку. Аналогичным образом требовалось ввести какие-то «деления» на шкале энергии. Собственно говоря, так действовал и Больцман, обсуждая связь энтропии и числа реализаций макроскопической картины. В той постановке задачи Больцмана интересовал выбор ячеек – «нанесение делений» – на шкале энергий; он не видел никакого предустановленного выбора для размера ячеек (интервала между делениями), и еще в 1877 г. ему пришлось сказать, что конкретный размер не имеет большого значения. Если другой исследователь выберет размеры ячеек как-то иначе, то с энтропией произойдет не самое страшное: ко всем ее значениям просто прибавится одно и то же число – а это не слишком большая беда, потому что не влияет на разницу энтропий («стало минус было»), которая в основном всех и интересует. В любом случае способа избежать этой неоднозначности у Больцмана не было, поскольку никто еще не знал, что во Вселенной определены ячейки специального размера.

Планк чрезвычайно удачно «нанес деления» на шкалу энергий – что вообще-то было еще одним элементом угадывания. В отличие от делений на линейке, расстояния оказались не одинаковы. Их размер возрастает вместе с частотой: для частоты вдвое выше размер в два раза больше: (интервал энергии) = (постоянная) · (частота). Входящую сюда постоянную Планк решил считать вообще ни от чего не зависящей. Значение ее надлежало определить из эксперимента. Оказалось, что оно «малое»: содержит множитель 10^–34, если пользоваться метрами, килограммами и секундами (и чуть менее огорчительные 10^–27, если пользоваться сантиметрами, граммами и секундами): h = 6,62607015 × 10^–34 кг · м²/с. Ничего не подозревающий автор закона излучения думал об этой постоянной всего лишь как об инструменте для подсчета числа реализаций, нужного для вычисления энтропии. Сейчас (и уже давно) она называется постоянной Планка или (несколько реже) квантом действия h, но в декабре 1900 г., когда Планк решил учитывать энергию порциями величиной h · (частота), никто еще букву h так не называл.

Превратив с помощью буквы h выражение для энтропии в выражение для числа реализаций, Планк углядел в нем неожиданное и ранее не встречавшееся – черты комбинаторной задачи. Комбинаторные задачи имеют дело с числом способов создать какие-то конфигурации – например, разложить заданное число предметов по некоторому числу ящиков. Если сами предметы различать между собой не нужно, то, скажем, два предмета можно распределить по двум ящикам тремя способами два предмета по трем ящикам – уже шестью; три по пяти – тридцатью пятью; еще один пример приведен на рис. 9.13. Обсуждаемое число способов сравнительно невелико при малом или даже умеренном числе предметов или ящиков, но оказывается необычайно большим, когда много и предметов для раскладывания, и ящиков.

Рис. 9.13. Четыре неразличимых предмета можно разложить по трем ящикам пятнадцатью различными способами

Вместо «предметов» перед глазами Планка оказались порции энергии величиной h · (частота), а вместо ящиков – колебательные системы (колеблющиеся заряды), служащие источниками излучения в веществе. За довольно впечатляющий срок (около двух месяцев напряженной работы) Планк извлек из своей волюнтаристской формулы указание, что колебательные системы могут обладать не любой энергией, а только сложенной из некоторого числа порций. Полную энергию, другими словами, следовало разбить на порции указанного размера и далее обращаться с порциями как с предметами: раздавать их по колебательным системам так, как будто предметы распределяются по ящикам. Полное число реализаций одной и той же картины (излучение на заданной частоте, обусловленное температурой вещества) оказалось в точности равным числу способов распихать порции энергии по колебательным системам, как по ящикам. Число реализаций отправляется далее в формулу Больцмана для энтропии, а из знания энтропии выводится условие равновесия, что и дает закон излучения, превосходно описывающий реальный мир.

Безоговорочный успех – полное и точное согласие с опытом – закона излучения, опирающегося на формулу Планка для энтропии, придавал легитимность постулатам, на основе которых он этот закон получил. Собственно говоря, к известным первопринципам надо было добавить только неизвестно откуда взявшийся учет энергии порциями специального размера h · (частота). Правда, предлагаемое предписание по обращению с энергией было не похоже ни на что известное, коль скоро энергия, согласно опыту, представляет собой величину непрерывную; и порции почему-то следовало брать разного размера для колебательных систем с разными частотами – но тогда все и сходилось! Планк чрезвычайно прозорливо усмотрел в своей формуле скрытую комбинаторную задачу, но считал всю «порционную» идею лишь техническим приемом, а не разрывом с известным знанием – чем она была на самом деле.

Ниоткуда не следовавший постулат о порциях оказался самым фундаментальным законом, открытым Планком. Среди прочего он привел к радикальным изменениям представлений о движении.

*****

Квант действия. Постоянная Планка h оказалась входным билетом в описание мира, где многое – и в первую очередь, пожалуй, движение – устроено не так, как мы привыкли. Она – одна из Мировых постоянных нашей Вселенной (в том же клубе – скорость света c и постоянная гравитационного взаимодействия G), и ее появление в любом выражении – неоспоримое указание на его «квантовую природу». Мы достаточно подробно обсудим, что это значит, на следующих прогулках, а пока можно думать, что «квантовый» означает устройство вещей, в ряде случаев предполагающее наличие некоторых «порций» или «ячеек» – во всяком случае, слово «квант» было первоначально выбрано для указания на некоторое отмеренное количество чего-либо[193]. Самому Планку его постоянная требовалась для введения дискретных «делений» на шкале энергии. Насколько такая дискретность соответствовала природе вещей, а не была вычислительным приемом, выяснилось не сразу; на современников закон Планка слишком большого впечатления поначалу не произвел. В 1905 г. Эйнштейн предложил объяснение происходящего в совсем другой ситуации, постулировав, что свет поглощается только порциями энергии и каждая такая порция буквально равна выражению h · (частота); это относилось уже не к упаковке каких-то значений энергии в «ячейки», как вроде бы было у Планка, а к свойствам света: при заданной частоте не бывает порций света меньшего размера. Впоследствии (1921) эта идея Эйнштейна была удостоена Нобелевской премии, но в 1900-х гг. события развивались еще неспешно. Для самого Планка осознание истинного смысла достигнутого – принципиального разрыва между описаниями мира без буквы h и с ней – заняло без малого десять лет (понадобилось влияние Лоренца, Эренфеста и других, а также вклад Эйнштейна).

Только в 1911-м постоянная h была «наконец» использована для вычисления энтропии газа – использована в качестве предустановленного размера «ячеек», которого не хватало Больцману, чтобы вычислить количество реализаций каждой макроскопической картины и найти абсолютное значение энтропии из формулы, которая теперь сопровождает его навсегда. Впечатляющим образом энтропия, найденная с использованием формулы Больцмана, совпала с экспериментально определенным значением, если в качестве фиксированного «размера» использовалась именно постоянная h; правда, это были ячейки не для энергии. Точное выражение для энтропии (результат вычисления «числа ячеек» и применения формулы Больцмана) носит имена своих первооткрывателей Тетроде и Саккура[194]; эксперимент по его проверке, который оказался осуществимым для паров ртути, потребовал и остроумия, и использования ранее полученных данных о нескольких других величинах. Установленное совпадение свидетельствовало о нескольких фактах сразу: формула Больцмана работает, а абсолютно точной делается тогда, когда отдельные состояния каждого движущегося атома/молекулы – это ячейки фиксированного размера h. Но только где или в чем эти ячейки?

Ячейки, которые отмеряет буква h, – это площади некоторых «площадок», но не в обычном пространстве, а в воображаемом, однако напрямую связанном с движением. Состояние каждого атома или молекулы – это три координаты и три компоненты количества движения; они сами собой разбиваются на пары: координата вдоль выбранного направления 1 и количество движения вдоль того же направления 1; аналогично координата вдоль направления 2 и количество движения вдоль того же направления 2; и разумеется, то же для направления 3 (рис. 9.14 слева). Возьмем для начала пару, отвечающую направлению 1, и представим эту пару чисел графически – точкой на воображаемой плоскости, как показано на рис. 9.14 справа. На этой плоскости проведены две оси: горизонтальная отображает координату 1 из обычного пространства, а вертикальная – количество движения вдоль того же направления 1. Когда мы точно так же поступим с координатами атома и компонентами его количества движения вдоль направлений 2 и 3, получится три воображаемые плоскости. Будем временно называть каждую из них Плоскостью действия. На рис. 9.14 изображена только одна из них, отвечающая направлению 1, и на ней мы и сконцентрируемся (с двумя другими все совершенно аналогично). Постоянная Планка h – это предустановленная площадь, определяющая размер «ячеек» на Плоскости действия. Этими ячейками могут быть прямоугольники любых пропорций, но фиксированной площади, как показано на рис. 9.15. Всю область на Плоскости действия, которая в принципе доступна данной частице (положение вдоль оси 1 при соответствующем количестве движения вдоль той же оси), следует «нарезать» на кусочки площади h каждый; число кусков и есть число состояний (с пониманием, что аналогичное вычисление надо проделать и для двух других Плоскостей действия, а результаты перемножить). Это число состояний отправляется в формулу Больцмана, которая в течение пары десятилетий и мечтать не могла о подарке в виде предустановленного размера. В подобном качестве постоянную h иногда называют квантом действия; эта постоянная, отмеряющая «размер ячеек», имеет совсем иной характер по сравнению с уже встречавшимися нам скоростью света c и гравитационной постоянной G: это не скорость и не стандартизованная сила, но Вселенная без нее тоже не продается[195].

Рис. 9.14.Слева: движущийся атом, схематично представленный положением в пространстве (жирная точка) и стрелкой, которая выражает его количество движения. Точка задается своими координатами по каждой из осей 1, 2 и 3. Вокруг стрелки выполнено построение, из которого видны ее компоненты вдоль тех же осей. Справа: воображаемая плоскость, где на горизонтальную ось перенесена координата атома вдоль оси 1, а на вертикальную ось – его количество движения вдоль той же оси. Положение точки на плоскости, таким образом, кодирует одну координату и одну компоненту количества движения атома

Рис. 9.15. Несколько прямоугольников на Плоскости действия, которые имеют одну и ту же площадь

Все это несколько необычно, потому что, с одной стороны, процедура выглядит умозрительной: форма ячеек не имеет значения, важна только площадь, из-за чего возникает ощущение, что ячейки какие-то «ненастоящие» (да и наносить их предлагается на воображаемую плоскость!). С другой стороны, разнообразные экспериментальные проверки, начиная с пионерских результатов Тетроде и Саккура, свидетельствуют, что пары ртути, и далеко не только они, «прекрасно осведомлены» о ячейках с площадью, точно равной h, на каждой Плоскости действия. Но как же фиксированные площади ячеек могут входить в устройство вещей? Ведь речь идет о движении – например, тех самых атомов ртути, которые, казалось бы, делают «что хотят» и которые решительно невозможно принудить к какой-то дискретности на воображаемых плоскостях, да еще с учетом только заданной площади, но не формы.

Взглядам на мир предстояло поменяться. Развитие представлений о внутреннем движении привело к впечатляющим результатам, один из которых состоял в крепнущем осознании, что «там что-то не так» – что для самого движения внутри вещей действуют какие-то другие правила. Весной того же – «планковского» – 1900 года лорд Кельвин выступил перед Британской ассоциацией по развитию науки с речью «Тучи XIX столетия над динамической теорией тепла и света», расширенный вариант которой был затем опубликован под тем же названием (рис. 9.16) [84]. Первые слова и выступления, и статьи говорили о двух совсем разных видах движения:

Красоту и ясность динамической теории, согласно которой тепло и свет – это виды движения, в настоящее время затмевают две тучи.

Рис. 9.16.Слева: первая страница статьи Кельвина «Тучи XIX столетия над динамической теорией тепла и света». Справа: памятник Уильяму Томсону (с 1866 г. – сэр Уильям Томсон, а с 1892-го – барон Кельвин; титул отчасти отражал его вклад в науку о теплоте и энтропии, а отчасти его политическую позицию)

Ясную картину мира затмевали две тучи (или, в зависимости от умонастроения переводчика, омрачали два облака): сложности с законами теплового излучения и не вполне понятные свойства распространения света. Вторая «туча» – предвестник теории относительности (прогулка 5), до появления которой оставалось пять лет. Первая же – предвестник квантовой механики; создание ее во всей полноте потребовало больше времени, но самая первая квантовая формула – закон теплового излучения – появилась уже в декабре. Науку о движении ожидали большие перемены.

Добавления к прогулке 9

Определение энтропии «из теплоты». К определению энтропии можно прийти (и это сделал главным образом Клаузиус), развивая рассуждения Карно и оперируя теплом/теплотой (это энергия) и температурой (это то, что одинаково у тел, между которыми тепло не перетекает).

Телам – вашему кофе, например – можно передавать и у них можно забирать теплоту; для этого, собственно, и придуманы разнообразные разогревающие (да и охлаждающие) устройства. Если кофе сначала нагрели, а потом охладили до исходной температуры, то вроде бы сколько тепла в него вошло, столько потом и ушло. Но это потому, что от кофе трудно добиться, чтобы в процессе нагреваний и охлаждений он двигал соседние тела, т. е. совершал работу (часто говорят «полезную работу»). Старомодный чайник, крышка которого приподнимается от давления водяного пара (рис. 9.17), подходит чуть лучше, даже если полезность работы по приподниманию крышки не вполне очевидна. В зависимости от того, сильно ли подпрыгивала крышка, содержимое чайника отдаст меньше теплоты, когда он будет остывать, чем получило при нагревании – из-за затрат энергии на приподнимание крышки. То же самое, но без помощи чайника: какая-то система (например, газ под подвижной крышкой – поршнем) переходит из состояния 1 в состояние 2 разными способами (газ сначала нагревают, а потом дают расшириться или наоборот; или где-то в середине приводят в контакт с холодным телом и т. п.). Количество теплоты, которое в итоге система получит/отдаст, зависит от последовательности действий, притом что начальное и конечное состояния (давление, температура, объем) остаются фиксированными. Но вот что оказалось: если передаваемую теплоту брать с «уценкой», то зависимость от последовательности действий по переводу из начального состояния в конечное пропадает. Я рискну описать ситуацию в житейских терминах, надеясь на снисходительность моих спутников по этой прогулке там, где история становится совсем уж сумасбродной; важна не реалистичность, а идея. Если вы планируете прогулку из пункта 1 в пункт 2 и один путь ведет вас по асфальту, а другой – по глубокой грязи, то вы, без сомнения, затратите на дорогу разное количество энергии; это не кажется удивительным никому, кто хоть раз пробовал месить грязь ногами на разбитой тропе. Однако в той сказочной стране, где вы всем этим занимаетесь, вы могли бы заметить нечто неожиданное (если вы так же наблюдательны, как Клаузиус). Записывайте порцию энергии, которую вы тратите на каждый шаг, и (!) делите ее на текущее значение некоторой величины Р. Эта Р – нечто, что характеризует ваше состояние в каждый момент, но может меняться от момента к моменту в зависимости от всего, что с вами происходит; я рискну предложить в качестве такой характеристики «радость». Радость от прогулки по асфальту низкая (вы же, скорее всего, ходите так каждый день), и небольшие порции энергии, которые вы тратите на каждый шаг, надо поделить на небольшую величину. Радость же от вытаскивания ноги из грязи – предположительно колоссальная, и значительную затраченную при этом энергию вы делите на большую величину, из-за чего получается нечто умеренное. Если походы по пересеченной местности не ваш конек, то можно договориться, что Р означает «расстройство». Так или иначе, Р – меняющаяся по ходу прогулки характеристика вашего текущего состояния.

Рис. 9.17. Чайник представляет собой очень несовершенный вариант тепловой машины. Тем не менее, если заткнуть носик, плотно закрытую крышку может сорвать, что означает превращение тепла в (полезную) работу

Учтя все затраты энергии и сложив все вклады при прогулке по тротуару и через болото, вы обнаружите, что в этой волшебной стране получается всегда одно и то же вне зависимости от пути. Выбор дороги между любыми двумя точками не влияет на то, какая получится сумма взятая по всем шагам вдоль этой дороги[196]. А раз выбор дороги не имеет значения, то в тех пунктах, где вы часто бываете, вы можете просто расставить таблички: быть может, 30 в точке 1 и 42 в точке 2, которые означают, что при переходе 1 2, неважно, по какому пути, это нечто, связанное с вами, всегда меняется на 42–30 = 12. Что же получается? Вы внезапно открыли в себе некоторое свойство S: в точке 1 вы находитесь в таком состоянии, что ваше S там равно 30; в точке 2 оно равно 42. Свойство S – это не затраты (энергии) и уж тем более не радость, но вы догадались о его существовании, учитывая затраты энергии на единицу радости, испытываемой в каждый данный момент.

С аналогией/аллегорией радостного туриста пора заканчивать, ее возможности ограниченны, но я надеюсь, что она передала главное: нашлась величина, изменение которой от состояния к состоянию не зависит от пути перехода между состояниями, а значит, эта величина однозначно связана с самим состоянием (для каждого какая-то своя). Только никаких пространственных перемещений у Клаузиуса нет, а «пути» – это какие-то способы перехода между различными макроскопическими состояниями тел (с разными давлением, температурой, объемом). С каждым макроскопическим состоянием, оказывается, связано некоторое свойство, измеряемое числом S. Изменение этого S между двумя состояниями равно вот чему: надо посчитать все порции теплоты, которые передавались системе (они могут быть положительными или отрицательными, как мы договорились), каждую порцию надо «уценить», поделив на температуру T, при которой эта передача осуществлялась, после чего полученное на каждом шаге надо сложить[197]. По какому «пути» переходить при этом между двумя состояниями? По любому! Одно и то же изменение величины S получится независимо от выбора пути.

Это новое свойство S и называется энтропией. У каждого макроскопического тела, в каждом его макроскопическом состоянии, всегда есть некоторая энтропия. Важная оговорка: при этом остается неясным, от какого уровня энтропию отсчитывать, ведь мы смогли определить только ее изменение между любыми двумя состояниями. (Эту проблему в полной мере сознавал и Больцман; его формула для энтропии через число реализаций «знала больше, чем ее создатель» – она ждала заключительного штриха в виде кванта действия h.)

Больцмановский мозг. Идея, что больцмановская энтропия может из-за флуктуаций понизиться, пусть и с очень малой вероятностью, приводит к отдельной серии парадоксальных рассуждений: если ждать очень долго, то вроде бы можно дождаться флуктуации любого масштаба. Правда, «очень» может означать время, существенно (на колоссальное число порядков) превосходящее возраст Вселенной. Пока все хорошо: в имеющейся сравнительно молодой Вселенной безумным флуктуациям места нет, так что неудивительно, что мы их здесь и не наблюдаем. Но что если Вселенная в своем (ускоряющемся) расширении просуществует неограниченно долго? Тогда за неопределенно большой промежуток времени – не за примерно 14 млрд лет, прошедших после Большого взрыва, а в фантастически далеком будущем – может случиться очень разное: например, флуктуация, в силу которой образуется Солнечная система со всеми подробностями, включая все, что нас окружает на планете Земля. Не разовьется эволюционно, как мы это себе представляем про наш мир, а возникнет в виде флуктуации. Да, вероятность этого чудовищно мала. Но заметно выше (хотя и все равно необычайно мала) вероятность, что флуктуации сложатся в более простую систему: один мозг (в окружении космоса), в котором записана вся знакомая вам картина окружающего мира, включая историю человечества на планете Земля в той самой Солнечной системе, историю науки и техники, личные воспоминания, ощущения от контактов с окружающей средой и т. п. Возникновение в качестве флуктуации вероятнее для одного мозга, заполненного всеми этими представлениями, чем для мозга внутри живого существа, окруженного другими живыми существами на планете вблизи Солнца в галактике Млечный Путь в Местной группе галактик в скоплении Девы. Уединенная ощущающая конструкция, которой «всё это кажется», известна как «больцмановский мозг». Парадоксальность ситуации в том, что если расширяющаяся вселенная вечна, то вероятность возникновения больцмановских мозгов делается такой, что вы должны скорее всего оказаться одним из них – флуктуацией, произошедшей в действительности в неопределенно далеком будущем и включающей последовательную систему наведенных ощущений, говорящих, что вы живете в эволюционирующей вселенной, которой не исполнилось и 14 млрд лет и которая управляется законами, часть которых люди поняли, сделав из них вывод, что сами должны с большей вероятностью являться больцмановскими мозгами.

Рис. 9.18. Джеймс Клерк Максвелл, Рудольф Юлиус Эмануэль Клаузиус, Людвиг Эдуард Больцман, Макс Карл Эрнст Людвиг Планк

Действующие лица. Четверо основных участников событий представлены на рис. 9.18.

Энтропия – беспорядок?.По-видимому, нет независимого способа определить, какие расселения молекул по состояниям мы считаем «более упорядоченными», а какие «более беспорядочными», не прибегая для этого к энтропии. Поэтому популярное высказывание, что энтропия – это мера беспорядка, несет в себе не так много содержания. Напротив, интерпретация энтропии как степени незнания видна непосредственно из определений (больцмановского, а также некоторых других, родственных ему).

Признания и литературные комментарии

Средние скорости молекул, которые я по нескольким поводам вычисляю, понимаются как среднеквадратичные, которые непосредственно связаны с энергией движения; средняя скорость по распределению чуть меньше, отличаясь множителем Под теоремой о «массовом поведении частиц» имеется в виду теорема Лиувилля об эволюции плотности числа состояний в фазовом пространстве. Говоря о статистическом описании макроскопических тел и сред, я полностью проигнорировал аспект ансамблей. Не добрался я и до формулы Эйнштейна для флуктуаций. Случайные блуждания в тех или иных условиях – важный вид движения в природе, в том числе в живой, в первую очередь внутри клетки, а также, например, в задаче об оплодотворении (где, впрочем, наиболее интересный вопрос не о среднем времени для всех блуждателей, а о том, каково типичное время, за которое цель будет достигнута хотя бы одним блуждателем). Современная рукотворная вариация на тему случайных блужданий, на которую обратил мое внимание Сергей Нечаев, – так называемые янус-частицы. Это частицы нано- или микромасштаба, поверхность которых различна с двух разных сторон: скажем, одна сторона отражает, а другая поглощает свет. Под действием падающего излучения случайное поведение таких частиц демонстрирует разнообразие свойств, включая подобие самоорганизации.

«Закон неубывания энтропии» называется, конечно, вторым законом (началом, т. е. принципом) термодинамики. Не только энтропия, но и энтропия тоже, к тому же в связи с направлением времени, обсуждается в небольшой, но насыщенной книге [23]. Посвященная примерно той же теме (времени), но намного большая по объему книга [51] затрагивает разнообразные аспекты энтропии, в том числе такие, которые я совсем не рассматриваю. Процитированное высказывание Эддингтона об энтропии имеет широкое хождение; его источник – [63]. Энтропия от Карно до черных дыр обсуждается в [83]. Современные приложения науки об энтропии обсуждаются в книге [103]. По поводу демона Максвелла и связи энтропии и информации я следую обзору [89], где освещено множество интригующих подробностей, но трудно избавиться от ощущения, что и они не исчерпывают всех тонкостей. В отношении возрастания и невозрастания больцмановской энтропии мой источник – книга [99] (автор – брат сэра Роджера Пенроуза, которого мы встречали в связи с извлечением энергии из вращающихся черных дыр и с «утыкающимися» геодезическими). Алгоритмическая сложность (длина самого короткого описания) – это колмогоровская сложность. Развитые отношения демона и информации выводят на сцену информационную энтропию (Шэннона), но я остановился в шаге от нее; о ее близости к и отличиях от колмогоровской сложности см. [78]. Не стал я обсуждать и так называемую энтропию Гиббса, в некотором роде обобщающую энтропию Больцмана, и серию связанных с ней вопросов. Время от времени возобновляются обсуждения возможностей для убывания энтропии в малых квантовых системах; как напоминает мне Сергей Нечаев, дискуссии здесь порой оказываются неожиданно жаркими и даже выплескиваются из специализированной научной литературы на страницы популярных изданий. Мой источник знания о биографии Тетроде и Саккура – заметка [109]. Подробности того, как развивалось сражение Планка с формулой для излучения (мало согласующиеся с тем, что пересказывается из учебника в учебник), можно найти в [47], [71], [83].

Выражение «Специальная площадь» – изобретение для этой прогулки, а стандартное название – планковская площадь. Плоскость действия в общеупотребительной терминологии – это плоскость в фазовом пространстве. Пассаж Уилера о чае приведен в [108]. О Бекенстайне, Хокинге и энтропии Уилер говорит в небольшом ролике https://www.youtube.com/watch?v=Bti2_qwJkTA&t=47s, который является частью обширной подборки, где он высказывается по различным вопросам, возникавшим в ходе его жизни и научной карьеры (среди прочего он обсуждает и издание в СССР книги [18]). В отношении черных дыр я обошел молчанием информационный парадокс, возникший как развитие идей о температуре, энтропии и излучении. Это история разворачивается на наших глазах, и один из ее этапов выразительно описан в книге [24]. За ним, однако, последовали новые раунды. Упомянутое «отсутствие волос» у черной дыры, по-видимому, перестает быть верным при должном учете квантовых эффектов (а сохраняющаяся здесь степень неопределенности вызвана, конечно, отсутствием последовательной теории квантовой гравитации).

Движение на прогулке 9

Невидимое и безостановочное движение окружает нас в прямом смысле слова везде, потому что вещи вокруг нас состоят из колоссального количества малых движущихся частей – молекул и атомов. Подробности этого движения «стерты» для нас, и из всего огромного числа его параметров мы непосредственно ощущаем только один – среднюю энергию движения, по существу являющуюся температурой. Дистанционное проявление внутреннего движения – тепловое излучение. В наших силах оказывается статистическое описание массового движения в терминах вероятностей, с которыми участники движения приобретают различные значения энергии. Сигналы о некоторых свойствах не наблюдаемого напрямую молекулярного движения удается считывать, наблюдая мелкие объекты значительно большего масштаба, чем молекулы. Воздействие на них со стороны молекулярного хаоса порождает специальный вид движения, сводящийся к случайной последовательности смещений; законы реализуемой при этом случайности лежат в основе широко распространенных явлений типа диффузии.

Неконтролируемость молекулярного движения оборачивается низкой эффективностью тепловых машин. Потерянное знание о молекулярном движении численно выражается энтропией. Эта величина, возникшая из законов передачи тепла и лишь затем понятая как мера потерянной информации, оказалась общей, универсально применимой концепцией, использование которой может давать подсказки об устройстве неизвестных частей мира. Она указала на наличие фундаментальной дискретности на субатомном уровне строения мира в тот момент, когда никакие подробности этого строения еще не были открыты; сейчас она же намекает на возможное «внутреннее содержание» черных дыр. Возрастание энтропии в макроскопических процессах отражает перераспределение внутреннего движения по все большему числу возможностей и необратимость подавляющего большинства процессов в мире. Равновесный характер внутреннего движения означает максимум энтропии. Идея использовать знание о поведении молекул для совершения работы затрагивает законы обработки информации, которые на самом фундаментальном уровне оказываются связанными с законами молекулярного движения.

Прогулка 10