§ 1. Логика как наука о типах порядка
В предыдущих главах мы видели, что обоснованность доказательства зависит не от истинности или ложности посылок, а от их формы, или структуры. В качестве фундаментальной задачи логики мы признали изучение этих объективных отношений между суждениями, которые являются условиями обоснованности умозаключения, с помощью которого мы переходим от посылок к заключениям.
Иногда логика определяется как нормативная наука, исследующая нормы, отличающие правильное мышление от неправильного. На данном этапе читатель уже достаточно подготовлен, чтобы оценить данное определение и признать подобное описание логики неадекватным. Изучение логики направлено на открытие структуры суждений и их объективных отношений друг к другу. Способность подобных структур служить нормами мышления не является их исключительной функцией, какой бы важной она ни была. Слишком большой акцент на нормативной способности данных структур может привести к пренебрежению их ключевыми свойствами и предпочтению тех, которые напрямую связаны с нормативным мышлением. В традиционной логике делался именно такой акцент, что привело к ее неспособности исследовать логические формы в достаточно общем виде, а также к исключению из сферы рассмотрения всех возможных формальных структур.
До недавнего времени повсеместно считалось, что Аристотель раз и навсегда исследовал все предметное поле логики. Кант, к примеру, относительно логики писал следующее: «…со времени Аристотеля ей не приходилось делать ни шага назад, если не считать улучшением устранение некоторых ненужных тонкостей и более ясное изложение, относящиеся скорее к изящности, нежели к достоверности науки. Примечательно в ней также и то, что она до сих пор не могла сделать ни шага вперед, и, судя по всему, она кажется наукой вполне законченной и завершенной» [35] .
Однако если читатель обратится к некоторым из рассмотренных нами примеров математического мышления, то вскоре обнаружит, что традиционная логика не соответствовала той цели, которую сама для себя провозгласила. В этих примерах приведены виды умозаключений, которые не могут без крайней искусственности и несостоятельности анализа быть сведенными к каким-либо традиционным формам. Так, импликации, подобные следующей: «Если А выше, чем В, и В выше, чем С, то А выше, чем С», не подпадают ни под один из типов, рассматриваемых в традиционной логике. С позиции логики как органона для установления и проверки умозаключений в традиционной логике не подвергались систематическому изучению логические отношения, составляющие фундамент сложных умозаключений в математических и естественных науках.
Однако в одном смысле кантовская оценка традиционной логики справедлива. В традиционной логике были успешно проанализированы определенные виды умозаключений, а также были проявлены формальные факторы, от которых зависела их обоснованность. Большая часть достижений традиционной логики имеет непреходящую ценность. Ее основные недостатки сводятся не к тому, что было сделано в ее рамках, а к тому, что сделано не было. Так, в традиционной логике была открыта субъектно-предикатная форма суждений, однако не было отмечено то, что эта единая грамматическая конструкция могла заключать суждения совершенно разных типов. В традиционной логике подчеркивалась необходимость связки, но упускались логические свойства этой самой связки, от которых зависела обоснованность умозаключения. Вследствие этого традиционной логике не удалось выработать более общую теорию вывода и более успешное исчисление мышления, чем силлогизм. Теория сложных суждений в ней не учитывалась, а важная тема экзистенциальной нагруженности суждений не была рассмотрена в явной форме. Наконец, в традиционной логике не были подвергнуты систематическому изучению логические принципы, и, как следствие, не был выработан метод получения всех возможных суждений, которые можно было бы логически обоснованно утверждать.
Эти ограничения одновременно указывают и на то, что должна включать в себя программа изучения логики, опирающаяся на более адекватное понимание своего предмета. Неудовлетворенность ограниченным содержанием древней логики сама по себе не является современной в полной мере. Так, логики Пор-Рояля исследовали некоторые виды несиллогистического вывода, такие как «Солнце является неощутимым телом; персы поклоняются Солнцу; следовательно, персы поклоняются неощутимому телу». Однако они не представили систематического учения о подобных умозаключениях.
Границы более общего логического учения в ясной форме были очерчены Лейбницем. В «Новых опытах о человеческом разумении» (1704) он рассмотрел различные виды несиллогистического вывода и предложил проект «универсальной математики», которая должна была стать инструментом исследования области любого порядка. В других своих работах Лейбниц описал основные свойства этой дисциплины. С одной стороны, следовало создать «универсальный язык» или «универсальные характеристики», с тем чтобы иметь возможность выражать посредством специально созданных символов фундаментальные, неразделимые понятия всех наук («алфавит человеческой мысли») [36] . Способы сочетания этих символов должны быть заданы явно, и тогда с помощью них можно было бы заново провозгласить все науки, с тем чтобы явно продемонстрировать логическую структуру их предметного поля. С другой стороны, следовало создать «универсальное исчисление», которое стало бы инструментом оперирования на системе идей, выраженных в символической форме универсальных характеристик. Тогда можно было бы систематически открывать отношения между суждениями, а полученный метод позволил бы сократить мысленные и физические усилия при рациональном исследовании любого предметного поля. Эти идеи Лейбница получили некоторое развитие лишь в последнее время в трудах математиков и философов. Однако его собственный вклад в данный проект был фрагментарным и оказывал незначительное влияние на историю логических исследований до тех пор, пока его идеи не были открыты независимо другими исследователями.
Возрождение в сфере логических исследований пришлось на первую половину XIX века и было практически полностью связано с именами двух английских математиков: Огастеса де Моргана и Джорджа Буля. Размышления над процессами, наблюдаемыми в области математики, убедили их в том, что возможно было получить гораздо большее количество обоснованных умозаключений, чем имелось на тот момент. Основным вкладом де Моргана явилось заложение основ теории отношений. Открытие Буля заключалось в том, что логические процессы можно было сделать более обобщенными и ускоренными, если правильно оговорить конвенции относительно используемых символов. Его книга «Исследование законов мысли» (1854, данное название не соответствует оригинальному) заложила целую эпоху в истории логики. В ней с неоспоримым успехом было показано, что математические методы применимы не только в исследовании количеств, но и относительно любой упорядоченной области и, в особенности, к отношениям между классами и между суждениями. Постепенно понимание логики как исследования типов упорядочивания вошло в сознание людей. Со времен Буля тесная связь между логикой и математикой была продемонстрирована такими математиками, как Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор, Пеано, и такими философами, как Пирс, Фреге, Рассел и Уайтхед.
§ 2. Формальные свойства отношений
Анализ общих идей, используемых в математике, показывает, что наиболее распространенной из них является отношение. Ясное понимание его природы крайне важно при изучении структуры суждений.
Отношения легко проиллюстрировать, однако сложно определить. «Быть больше, чем», «быть холоднее, чем», «быть столь же старым, как», «быть отцом» – все это примеры некоторых отношений, в которых объекты разных видов могут находиться друг к другу. Считается, что объект находится в отношении, если мы в своем утверждении о нем открыто указываем на другой объект. Термин, от которого исходит отношение, называется референтом [37] , а термин, на который направлено отношение, называется релатумом. В суждении «Наполеон был мужем Жозефины» отношением является «быть мужем», и оно соединяет «Наполеона» и «Жозефину» [38] . «Наполеон» является референтом, а «Жозефина» – релатумом. Данное отношение является двухместным. В суждении «Борджиа дала яд своему гостю» отношением является «дала». Оно соединяет «Борджиа», «яд» и «гостя». Данное отношение считается трехместным [39] . Четырехместное отношение иллюстрируется в суждении «США купили Аляску у России за семь миллионов долларов». Можно привести и примеры других многоместных отношений, однако отношения с более чем четырьмя терминами встречаются редко.
Примерами двухместных отношений также являются такие суждения, как «Муссолини – итальянец». Здесь имеет место отношение «быть членом класса». В суждении «итальянцы – европейцы» имеет место отношение включенности в класс. Понятие отношения заменяет понятие связки: связка в традиционной логике является особым типом двухместного отношения. Мы еще рассмотрим некоторые свойства двухместных отношений, от которых зависит обоснованный вывод. Однако все многоместные отношения также можно классифицировать на основании различий, которые мы проведем ниже.
В суждении «Наполеон является мужем Жозефины» «быть мужем» представляет отношение; в суждении «Жозефина является женой Наполеона» его представляет «быть женой». Это последнее отношение называется обратным отношением первого. Если Наполеон находится к Жозефине в отношении «быть мужем», то Жозефина не находится к Наполеону в этом же отношении. Поэтому отношение «быть мужем» считается асимметричным.
В суждении «Джону столько же лет, сколько и Тому» отношение «столько же лет, сколько и» является симметричным, ибо если Джон находится в этом отношении к Тому, то и Том находится в этом же отношении к Джону. Симметричное отношение – это то отношение, которое является тем же самым, что и его обратное отношение. Однако если истинно суждение «Джентльмены предпочитают блондинок», то суждение «Блондинки предпочитают джентльменов» может быть истинным, а может быть и ложным. Такие отношения, как «предпочитать», иногда являющиеся симметричными, а иногда – асимметричными, считаются несимметричными.
Если истинно «А является отцом В» и «В является отцом С», то «А не является отцом С». Такое отношение, как «быть отцом», называется «интранзитивным». Однако если «Джон старше Тома» и «Том старше Гарри», то «Джон старше Гарри». Отношение «быть старше» является транзитивным. Некоторые отношения иногда являются транзитивными, а иногда интранзитивными. Если «Цезарь является другом Брута» и «Брут является другом Кассия», то Цезарь может быть другом Кассия, а может таковым и не быть. Подобные отношения называются нетранзитивными (nontransitive).
Отношения, основанные на симметрии и транзитивности, независимы друг от друга, и, следовательно, мы можем получить любой из нижеприведенных девяти типов отношений, а) Транзитивные симметричные. Например, «быть таким же по возрасту, как и». Ь) Транзитивные асимметричные. Например, «быть предком», с) Транзитивные несимметричные. Например, «быть не старше, чем», d) Интранзитивные симметричные. Например, «жениться на», е) Интранзитивные асимметричные. Например, «быть отцом», f) Интранзитивные несимметричные. Например, «ближайший родственник по крови», д) Нетранзитивные симметричные. Например, «быть кузеном». h) Нетранзитивные асимметричные. Например, «быть работодателем», i) Нетранзитивные несимметричные. Например, «быть поклонником».
Третий принцип классификации учитывает количество объектов, с которым референт может быть связан определенным отношением.
Если суждение «мистер А является кредитором мистера В» истинно, то другие люди, помимо мистера А, могут находиться в таком же отношении к мистеру В, и другие люди также могут находиться в этом же отношении и к мистеру А. Такое отношение называется много-многозначным.
Если суждение «Иоганн Христиан Бах является сыном Иоганна Себастьяна Баха» истинно, то другие индивиды, кроме Иоганна Христиана, могут находиться в этом отношении к Иоганну Себастьяну, однако есть только один индивид, к которому Иоганн Христиан может находиться в этом отношении. Отношение «являться сыном» называется «много-однозначным».
Обратным отношением для много-однозначного отношения будет одно-многозначное отношение. Так, при истинности суждения «И. С. Бах является отцом И. X. Баха» И. С. Бах может находиться в этом отношении и к другим индивидам, помимо И. X. Баха, однако только один индивид может находиться в этом отношении к И. X. Баху.
Наконец, рассмотрим суждение «десять на единицу больше девяти». Есть только одно число, к которому «десять» [40] может находиться в этом отношении, и только одно число, которое может находиться в этом отношении к «девяти» [41] . Отношения, такие как «на единицу больше», называются однозначными и играют основополагающую роль в теории соотношений.
Четвертый принцип классификации учитывает то, существует ли определенное отношение между каждой парой из определенного набора или нет. Рассмотрим ряд целых чисел и отношение «быть больше, чем». Любые два целых числа находятся друг к другу в отношении «быть больше, чем» или в обратном ему отношении «быть меньше, чем». Только отношение с таким свойством считается связным. Отношение «больше на два, чем» не обладает связностью.
§ 3. Логические свойства отношений в умозаключениях
Многие из умозаключений, рассмотренных нами в предыдущих главах, можно рассматривать как умозаключения, которые зависят от природы отношений включения или исключения классов. Мы кратко отметим то, почему логические свойства этих отношений, равно как и других отношений, важны для изучения обоснованного вывода.
1. Обращение категорических суждений зависит от симметричности или несимметричности отношения включения в класс (или исключения из него). Суждение «все пожарные являются физически развитыми» можно рассматривать как утверждающее, что класс пожарных включен в класс физически развитых людей. Это суждение нельзя попросту подвергнуть операции обращения, поскольку полное включение одного класса в другой является несимметричным отношением. Однако суждение «некоторые пожарные являются физически развитыми» можно подвергнуть обращению, поскольку частичное включение классов является симметричным отношением. Операция обращения также допустима и для суждения «ни один пожарный не является физически развитым человеком», т. к. полное исключение одного класса из другого является симметричным отношением.
2. Правильность категорических силлогизмов зависит от транзитивности отношения включения в класс. Рассмотрим силлогизм «все люди трусливы; все профессора суть люди; все профессора трусливы». Данное умозаключение можно рассматривать как утверждающее, что если класс людей включен в класс трусов и класс профессоров включен в класс людей, то класс профессоров включен в класс трусов. Данное отношение, безусловно, является транзитивным. Можно показать, что правильные силлогизмы в других модусах и фигурах зависят от такого же логического свойства связки.
Однако в силлогизмах, где одна из посылок является единичным суждением, требуется иной анализ. Рассмотрим следующий пример: «Все люди трусливы; Муссолини – человек; Муссолини труслив». В этом силлогизме утверждается, что если класс людей включен в класс трусов и если Муссолини является членом класса людей, то он является членом класса трусов. В меньшей посылке утверждается иной тип отношения, чем в большей, ибо отношение «являться членом» нетранзитивно (см. с. 89), тогда как отношение «быть включенным в» транзитивно. Правильность умозаключения в данном случае обусловлена модифицированной формой принципа dictum de omrti.
3. Все так называемые реляционные силлогизмы (силлогизмы a fortiori) зависят от транзитивности отношений. Так, в силлогизме «Джон старше, чем Том; Том старше, чем Генри; Джон старше, чем Генри» отношение «старше, чем» является транзитивным.
4. Теперь рассмотрим следующий сорит:
Все профессора красивы.
Все красивые люди состоят в браке.
Все состоящие в браке люди хорошо питаются.
∴ Все профессора хорошо питаются.
Наглядно видно, что основой для данного вывода является транзитивность отношения включения в класс. 5. Рассмотрим, наконец, чистый условный силлогизм:
Если пойдет дождь, то я возьму зонт.
Если я возьму зонт, я точно его потеряю.
∴ Если пойдет дождь, я точно потеряю зонт.
В каждом из данных трех суждений утверждается импликация. Заключение является обоснованным следствием, поскольку отношение импликации является транзитивным.
§ 4. Символы: их функция и ценность
Если ценность в проведении различий между разными видами отношений заключается лишь в проявлении основ и без того уже знакомых умозаключений, то читатель может счесть подобные исследования бесплодными. Однако в действительности изучение логических свойств отношений дает ключ к систематическому исследованию более сложных видов вывода. Такие более сложные формы вывода, в свою очередь, нельзя изучать без введения специальных символов. Ценность таких специальных символов в обобщенном изучении логики столь высока, что такое изучение стали называть символической, или математической, логикой.
Важность символов в развитии современной логики невозможно переоценить. Согласно Пирсу: «Символы являются основой любого мышления и любого исследования, символы – неотъемлемое условие существования мысли и науки; поэтому неверно говорить, что для хорошей мысли важен хороший язык именно потому, что последний является сущностью первой» [42] . Именно поэтому нам необходимо исследовать функцию и ценность символов.
1. Родовые особенности языка. Лучше всего начать с родовых особенностей всех языков. Языки отличаются друг от друга в двух отношениях: с одной стороны, в них используются различные фонетические и идеографические элементы; с другой – различные группы идей обозначаются в них фиксированными фонетическими и графическими элементами. Виды опыта, для выражения и передачи которых предназначен язык, имеют бесконечное число особенностей, тогда как в языке используется лишь конечное число фундаментальных лингвистических элементов, которые можно называть «основой слова». Из этого следует, что любой язык в том виде, в каком мы его знаем, должен основываться на определенной широкозахватной классификации, или категоризации, опыта. Смысловые впечатления или чувственные состояния, не будучи абсолютно идентичными, группируются по принципу широких сходств. Такая группировка указывает на наличие большого числа свойств, общих для каждой группы. Более того, различные виды отношений между этими наборами групп также значимы и требуют выражения в языке.
То, по каким группам будут распределены виды опыта, зависит от интересов пользователей языка, равно как и от выражаемой предметной области. Следовательно, категоризации опыта, удовлетворительные для одних целей, могут не оказаться таковыми для других. А язык, функционирующий как удовлетворительная символическая схема в одном случае, может оказаться слишком неуклюжим или же, наоборот, чрезмерно утонченным в другом. В любом случае читателю следует учесть, что символическим является весь язык, а не только символическая логика. Всякая коммуникация или исследование происходят посредством слов, звуков, графических меток, жестов и т. д. Слова указывают на нечто, будь то чувства, идеи или содержание идей. Когда мы говорим: «У соседей пожар», то произносимые нами звуки не являются тем, что они обозначают. Звуки, к примеру, не горят, они не находятся на отдалении в несколько футов и т. д. Они обозначают нечто для кого-то.
Классификации видов опыта, на которых основываются языки, как правило, четко не отделены друг от друга. Вследствие этого языки в известной степени страдают неопределенностью. Так, несмотря на то что число различимых оттенков цветов весьма велико, лишь несколько из них получили имена. В различных языках имена получают различные цвета, и границы, конституирующие цвет, также зачастую разнятся. Даже в научных языках присутствует некоторая неопределенность относительно пределов обозначений или применений, присущих именам.
В силу того обстоятельства, что, с одной стороны, число основ слова в любом языке невелико, тогда как, с другой стороны, число особенностей видов опыта неограниченно, то последние зачастую приходится представлять с помощью определенных сочетаний словарных основ. Такие виды сочетаний в языке являются формальными элементами и служат теоретическим базисом грамматики. То, что эти формальные аспекты языка в своей совокупности не являются случайными, не вызывает сомнений, ибо комбинации словарных основ должны представлять виды опыта так, чтобы в них можно было усмотреть отношения между тем, что обозначается этими словарными основами, взятыми по отдельности. Грамматика не может заменить логический анализ, однако, несмотря на это, существует некое сходство между логикой и грамматикой. Грамматическая структура представляет определенные абстрактные отношения, которыми обладает предмет, когда он выражен в языке.
Обыденные языки разрабатывались для практических потребностей, в случае с которыми тонкие различия не требуются и даже могут послужить помехой. Большинство языков по своему характеру являются эмоциональными и номинальными. Они направлены на то, чтобы передать или вызывать определенное чувство. Все эти факты вкупе с вышесказанным демонстрируют, что подобные языки не могут использоваться для адекватного и неискаженного представления тех различий, которые появляются в результате утонченного анализа или которые происходят из классификаций опыта, проведенных ради иных целей. Следовательно, если мы хотим избежать искажений, привносимых чувственными и интеллектуальными подтекстами в точный анализ, если мы хотим по возможности максимально ограничить неопределенность обыденных символов, если мы хотим не допустить даже мелких изменений значения вербальных символов, то нам необходимо разработать специально сконструированные символы.
Изучение того, как слова меняют свои значения, является захватывающим занятием. В следующей главе мы рассмотрим некоторые примеры путаницы в философии математики, ставшей следствием того, что подобные изменения не были вовремя усмотрены. Мы сконцентрируемся лишь на двух способах полной потери словом своего исходного значения и его замены на другое значение.
Одним из этих способов является обобщение. Один и тот же символ может со временем начать обозначать более широкий класс объектов и, тем самым, перестать с точностью обозначать более специальные вещи, обозначавшиеся с помощью него ранее. Так, символ «бумага» раньше обозначал папирус; затем он начал обозначать писчий материал, сделанный из лоскутьев; сегодня с помощью него обозначается не только писчий материал из лоскутьев, но также и изделие, получаемое в результате химически обработанной древесной массы. История слова «число» также может служить примером процесса постепенного обобщения. Сначала оно обозначало лишь целые числа; затем постепенно также и дробные, иррациональные, трансцендентные (такие, как к) и даже детерминанты. Другими примерами подобных слов являются «сила», «энергия», «геометрия» и «равенство».
Вторым способом, с помощью которого могут изменяться значения, является специализация. Для одного и того же символа область обозначаемых им объектов может быть ограничена. Тем самым он начинает обозначать более специальные вещи, чем обозначал ранее. Так, слово «хирург» («surgeon») некогда означало любого человека, работавшего руками. Сегодня им обозначаются лишь те, у которых есть специальное медицинское образование. Другими словами, со временем подвергнувшимися процессу специализации являются такие, как «министр», «целитель» и «художник».
Более интересное и плодотворное изменение значений слов происходит в результате расширения сферы их применения по причине метафорического расширения их значения. Так, слово «управляющий» («governor») некогда обозначало рулевого на корабле, «дух» («spirit») обозначало дыхание, изгиб трубы называется «локтем», а соответствующие соединительные окончания трубы называются «мама» и «папа» и т. д.
На данном этапе можно суммировать преимущества, которые можно получить от специально построенных символов.
Во-первых, такие символы позволяют различить и впоследствии не отождествлять различные значения. Нам нужно лишь договориться об употреблении отдельного символа для каждого отдельного понятия и не допускать обозначения разных понятий с помощью одного и того же символа. Это позволит свести к минимуму неопределенность, присущую обыденному языку.
Во-вторых, удобный символ позволяет сконцентрироваться на том, что является существенным в данном контексте. Когда в математике мы заменяем букву, например R, сложным выражением, таким как (а + Ь + с + d), или когда мы в силлогизме используем буквы «S», «Р», «М» для обозначения терминов «Сократ», «смертный» и «человек», мы недвусмысленно даем понять, что результат нашего размышления зависит не от специального значения этих выражений, а от соединяющих их абстрактных отношений.
Третьей важной функцией символов является ясное и краткое проявление формы суждений. Данная функция давно используется в математике. Так, в качестве элементарного примера можно рассмотреть различие в форме между «4х2 = 5х – 1» и «4х3 = 5х2 – 1» и тождество форм между «х + 4– у = 1» и «4х = Зу», которые можно усмотреть при первом же поверхностном взгляде. В первой паре уравнений одно является квадратным, а другое – кубическим, оба уравнения из второй пары являются линейными. Если бы подобные уравнения формулировались словами, то людям было бы не под силу осуществлять длинные цепочки умозаключений. Так, описание уравнений Максвелла в словах заняло бы несколько страниц, что укрыло бы существенные отношения между различными элементами. Адекватно введенные символы проясняют то, что является постоянным и неизменным в суждении, и то, что является лишь переменной. Неизменные свойства являются формой, или структурой, суждения.
Четвертое и значительное преимущество подобных символов – это их функция, сокращающая физические и мысленные усилия. Когда выработаны символы, многое из того, что ранее требовало концентрации и внимания, выполняется механически. Зачастую символьная запись подсказывает выводы, которые при обычных условиях не были бы замечены исследователем. Открытие отрицательных и мнимых чисел, введение
Максвеллом электрического смещения и последующее открытие эфирных волн стали прямым следствием указанного свойства символов. Именно по этой причине иногда говорится, что «при расчетах перо кажется умнее своего пользователя». Важность специально построенных символов с очевидностью проявляется именно в этой возможности использовать их в качестве исчисления.
§ 5. Исчисление классов
Развитие адекватной символьной записи наряду с открытием формальных свойств отношений позволили обобщить традиционную логику, равно как и получить мощное исчисление.
Например, операции сложения, умножения и т. д. в математических науках могут рассматриваться в терминах теории отношений. Так, операция сложения основывается на трехместном отношении. Отношение а + Ь = с связывает два слагаемых, а и Ь, с с. Данное отношение является много-однозначным, поскольку любой паре слагаемых соответствует одна, и только одна, сумма, тогда как одной сумме соответствует неопределенное число пар слагаемых. Однако если сумма и одно из слагаемых зафиксированы, то другое слагаемое однозначно определимо. Подобные трехместные отношения, присутствующие в различных видах операций, можно изучать и более подробно.
Однако нет необходимости в том, чтобы этими операциями были только обычные алгебраические операции. Операции, в целом относящиеся к типу неколичественных, были выработаны для сочетания классов, рассмотренных с их объемами.
Ниже мы предлагаем краткое описание общей теории классов суждений, которое хотелось бы предварить советом, взятым из работ Доджсона: «Если вы не поняли определенный отрывок, перечитайте его заново. Если он все равно остался непонятным, перечитайте его заново. Если, прочитав отрывок три раза, вы не достигли понимания, то, скорее всего, ваш мозг начал уставать. В этом случае отложите книгу и займитесь другими делами, а на следующий день, когда вы прочтете его свежим взглядом, он наверняка покажется вам вполне легким для понимания».
Из истории символической логики известно, что сначала была разработана теория классов, поскольку было изначально замечено, что аристотелевскую логику можно рассматривать как дисциплину, имеющую дело с взаимосвязями между классами. Однако при систематическом изложении принципов логики логика классов не занимает первого места относительно других принципов. Утверждать, что два класса находятся друг к другу в определенном отношении, означает утверждать определенное суждение. Любое исследование в рамках теории классов использует принципы теории суждений. Поэтому теория суждений предшествует любому другому исследованию в области логики и должна быть разработана в первую очередь. Однако в столь элементарном обсуждении, каким является наше исследование, данным обстоятельством можно пренебречь, поскольку наша основная цель заключается в том, чтобы указать на то направление, в котором может быть расширена традиционная логика, а не в том, чтобы предложить систематический анализ обобщенной логической теории. Поэтому ничего страшного не произойдет, если мы, изменив логическому порядку, проследим за хронологической последовательностью в разработке данных логических принципов.
Под термином «класс» мы будем понимать группу индивидуальных объектов, каждый из которых обладает определенными свойствами, благодаря которым он считается членом данного класса. Так, класс, обозначаемый термином «человек», является множеством отдельных людей, класс, обозначаемый термином «четное число», является множеством четных целых чисел и т. д. Таким образом, мы будем рассматривать классы относительно их объема. Область возможных классов называется универсумом рассуждения (предметной областью) или просто универсумом (областью). Он будет обозначаться символом «1». Может случиться так, что класс не будет содержать никаких членов. Например, класс людей ростом в двадцать футов не имеет членов, хотя и обладает определяющей характеристикой, а именно: человек ростом в двадцать футов. Такой класс будет называться нуль-классом и будет обозначаться символом «О». Понятие нуль-класса, несмотря на свою сложность для начинающих, имеет много технических преимуществ.
Существует три вида операций над классами, каждый из которых имеет собственное обозначение. Рассмотрим класс мужчин на универсуме людей. Исключив этот класс из указанного универсума, мы получим класс женщин. Индивиды, являющиеся членами универсума, но не являющиеся членами класса мужчин, будут обозначаться как «дополнение» к классу мужчин. Следовательно, женщины являются дополнением к классу мужчин на данном универсуме рассуждения. Класс и его дополнение исключают друг друга и исчерпывают универсум рассуждения. Если «а» представляет некий класс, то «не-a» представляет его отрицание.
Теперь рассмотрим два класса: английские книги и французские книги. Класс, содержащий английские или французские книги, называется логической суммой этих классов. Операция объединения классов подобным образом называется логическим сложением. Если а и Ь являются классами, то их логической суммой будет а + Ь. Читается это либо как «а плюс Ь», либо как «а или Ь». Данная дизъюнкция не является строгой. Символ «+» используется, поскольку логическое сложение обладает некоторыми формальными аналогиями по сравнению со сложением в обычной арифметике.
Далее рассмотрим класс профессоров и класс раздражительных людей. Предположим, мы хотим выбрать всех индивидов, которые являются членами обоих классов, чтобы получить класс раздражительных профессоров. Такая операция называется логическим умножением, а ее результат называется логическим произведением двух классов. Если а и Ь являются классами, то их произведение может быть обозначено как «а х b» или просто как «аЬ».
На данном этапе становится понятно, откуда берется идея нуль-класса. Мы полагаем, что, умножая классы, мы получаем классы. Логическим произведением классов женщин и водителей электровозов является класс женщин, являющихся водителями электровозов. Следовательно, этот класс будет классом, даже если в нем не будет ни одного члена.
До настоящего момента мы рассматривали операции над классами. Однако мы не сможем получить исчисления до тех пор, пока не предложим символическую запись для отношений между классами. Различие между операциями над классами и отношениями между классами заключается в том, что проведение операций над классами дает нам новые классы, а утверждение тех или иных отношений между классами дает суждения, а не классы. Основополагающим отношением мы будем рассматривать отношение включения в класс. Один класс будет считаться включенным в другой, если каждый член первого класса также является и членом второго. Если а и Ь являются классами, то суждение «а включен в Ь» мы будем обозначать как «а < Ь».
Отношение включения (<) является транзитивным и несимметричным, т. к. если а < b и Ь < с, то а < с. Но если а < b, то из этого еще не следует, что b < а. Мы можем определить равенство двух классов в терминах обоюдного включения. Класс а равен Ь, если а включен в Ь и Ь включен в а, т. е. если у них одни и те же члены. Символически это будет выглядеть так: (а = Ь) = (а < b). (Ь < а), где знак «=» обозначает равенство между классами, а знак «=» обозначает эквивалентность между суждениями, а точка («.») обозначает совместное утверждение двух суждений.
Принципы исчисления классов Чтобы начать исчисление, нужно установить ряд основополагающих принципов, которые будут совершенно недвусмысленно определять природу только что обсуждавшихся нами операций и отношений. Обычно предполагается следующий набор принципов.
1. Принцип тождества : для любого класса а < а.
В этом принципе утверждается, что каждый класс включен в самого себя. Из данного принципа, а также из определения равенства следует, что а = а.
2. Принцип противоречия :
= 0.
Ничто не является членом класса а и одновременно членом класса не-а.
3. Принцип исключенного третьего : а +
= 1.
Каждый индивид универсума либо является членом а, либо членом не-а.
4. Принцип перестановки : аb = Ьа
а + Ь = Ь + а.
Проиллюстрировать данный принцип можно следующим образом: класс индивидов, являющихся одновременно немцами и музыкантами, это то же самое, что и класс индивидов, являющихся одновременно музыкантами и немцами; класс индивидов, являющихся немцами или музыкантами, это то же самое, что и класс индивидов, являющихся музыкантами или немцами.
5. Принцип ассоциации :
( ab ) c = a ( bc ),
( a + b ) + c = a + ( b + c ).
6. Принцип дистрибуции :
( a + b ) c = ac + bc ,
ab + c = ( a + c ) ( b + c ).
В первой строчке выражен аналог хорошо известного свойства обычных чисел. Во второй же вводится значимое различие между предлагаемой алгеброй и ее обычным (вычислительным) видом.
7. Принцип тавтологии :
aa = a ,
a + a = a .
Эти два принципа заключают в себе радикальное различие между обычной (вычислительной) алгеброй и той, что предлагается здесь.
8. Принцип поглощения :
a + ab = a ,
a ( a + b ) = a .
9. Принцип упрощения :
ab < a,
a <a + b .
Из последних двух принципов следует, что нуль-класс включен в любой класс (0 < а) и что любой класс включен в универсум (а < 1). Чтобы наглядно в этом убедиться, нужно всего лишь допустить, что Ь = 0 в первом выражении и что Ь = 1 во втором выражении.
10. Принцип композиции :
[( a < b ) . ( c < d )] ⊃ ( ac ⊃ bd )
[( a < b ) . ( c < d )] ⊃ [( a + c ) <( b + d )].
Здесь мы, как обычно, используем символ «⊃» для обозначения отношения импликации и точку («.») для обозначения совместного утверждения обоих суждений. Первое выражение читается так: «Если а включен в b и с включен в d , то логическое произведение а и с включено в логическое произведение b и d .
11. Принцип силлогизма :
[( a < b ) . ( b < c )] ⊃ ( a < c ).
Если а включен в Ь и Ь включен в с, то а включен в с. Отношение «включен в» тем самым задается как транзитивное.
Выражение традиционных категорических суждений
Теперь выразим символически каждый из четырех видов категорических суждений.
Суждение «все а суть b» может быть выражено как «(а < b)». Более того, можно показать, что эта запись эквивалентна записи «(аb = 0)». Поэтому мы получаем: «(а <
) ≡ (
= 0)».
Суждение «ни один а не есть b» эквивалентно суждению «все а суть не‑». Следовательно, символически эта запись может быть выражена как «(a <
)». Однако данное выражение эквивалентно выражению «(ab = 0)», так что можно получить и следующую запись: «(a <
) ≡ (ab = 0)».
Частные суждения противоречат общим, и поэтому в них отрицается то, что утверждается в общих. Поэтому в суждении «некоторые а суть Ь» отрицается то, что ни один а не есть Ь (символически: a <
). Это обстоятельство может быть выражено как «(a <
)′» или как «(ab ≠ 0).
Суждение «некоторые а не суть b» должно противоречить суждению (а < b). Следовательно, его можно выразить как «(a < b)′» или как «(
≠ 0)».
Каждая из этих четырех символических форм должна быть знакома читателю по проведенному ранее анализу категорических суждений.
Доказательство теоремы де Моргана В рамках данной книги мы не можем развить исчисление классов, с тем чтобы показать его огромные возможности. Однако мы хотели бы проиллюстрировать природу доказательства в этом исчислении, предложив демонстрацию теоремы де Моргана применительно к классам.
Нам нужно найти дополнение к классу (a + Ь).
В силу принципа исключенного третьего a +
= 1 и Ь +
= 1. Также, согласно принципу упрощения, 1x1 = 1 и ∴ (а +
) (Ь +
) = 1. Используя принципы дистрибуции и ассоциации, вышесказанное можно записать так: (ab +
+
) + (
) = 1.
Теперь рассмотрим классы (ab +
+
) и (
). Они исчерпывают универсум, поскольку их сумма равняется 1; они также являются взаимоисключающими, поскольку их произведение равняется 0. Поэтому любой из них является дополнением другого.
Однако, согласно принципу тавтологии, ab +
+
= ab +
+
+ ab. Правая часть, по принципу дистрибуции, равна а (Ь +
) + Ь (а +
) = а + Ь. Следовательно, поскольку (
) является дополнением к (ab +
+
), который, в свою очередь, равен (а + Ь), то, значит, (
) также равен и (а + Ь).
Следовательно, мы получаем (
) = (
), что является одной из форм теоремы де Моргана.
Теперь попробуем получить дополнение к ab.
Используя аргумент, тождественный только что приведенному, (ab) и (
+
+
) являются дополнениями друг к другу. Также мы имеем:
Следовательно, (
) =
+
. Это вторая форма теоремы де Моргана. Эти результаты могут быть обобщены для любого конечного числа классов. Так:
и
§ 6. Исчисление суждений
Исчисление суждений изначально разрабатывалось как еще одна интерпретация символов, применяемых в теории классов. В определенной мере оба эти исчисления обладают тождественной формальной структурой, и каждое суждение в теории классов обладает соответствующим ему суждением в теории суждений, которое можно получить, используя подходящую интерпретацию. Приведенная ниже таблица может быть использована в качестве словаря для перевода теорем исчисления классов в теоремы исчисления суждений:
С помощью данного словаря все принципы, истинные относительно классов, могут быть сформулированы в иных символах и будут также истинны относительно суждений.
Несмотря на то что данный подход позволяет проявить формальные аналогии между двумя исчислениями, он, тем не менее, имеет несколько недостатков. Во-первых, как уже упоминалось, существует несколько теорем, которые являются истинными в случае, если термины обозначают суждения, и ложными, если они обозначают классы. Рассмотрим следующую теорему: если р имплицирует q или r, то р имплицирует q или р имплицирует r. Символически она записывается как [ p ⊃ ( q ∨ r )] ⊃ [( p ⊃ q ) ∨ ( p ⊃ r )] и является истинной для суждений. Однако если рассматривать ее применительно к классам, то она будет ложной. Например, неверно, что если все англичане являются либо мужчинами, либо женщинами, то все англичане являются мужчинами и все англичане являются женщинами.
Более серьезное возражение проистекает из того факта, что при разработке исчисления суждений мы хотим перечислить все используемые принципы вывода. Если мы будем развивать теорию суждений систематическим и дедуктивным образом, начиная с ряда недоказанных принципов для суждений, мы сможем доказать любой другой принцип. Если мы будем при этом достаточно осмотрительны, то сможем уберечь себя от опасности использования какого-либо принципа вывода, который мы не доказали бы ранее или не ввели в качестве допущения. Следовательно, действуя таким образом, мы можем достигнуть удовлетворительной систематизации логических принципов. Однако если мы используем исчисление классов в качестве основы для разработки теории суждений, то мы не сможем использовать данный метод получения всех принципов вывода.
Как и в исчислении классов, где все последние рассматривались относительно своих объемов, в исчислении суждений все суждения анализируются только относительно своих истинностных значений, а не относительно конкретного значения, которое в них утверждается. Читателю следует это четко уяснить, с тем чтобы не совершать грубых ошибок.
Проиллюстрируем сказанное на примере анализа определения термина «импликация», которое часто приводится в дискуссиях по символической логике, ( p ⊃ q ) определяется как то, что эквивалентно ( p ′ ∨ q ) или ( p . q ′)′. Словами: « p имплицирует q » истинно, если «
или q » истинно.
Но «
или q» истинно в любом из перечисленных случаев: 1) р истинно и q истинно; 2) р ложно и q ложно; 3) р ложно и q ложно. Единственное, что может сделать данное суждение ложным, это ситуация, в которой р является истинным, a q ложным. Из этого следует, что «р имплицирует q» истинно в любом из первых трех перечисленных случаев. Однако если мы рассмотрим данные случаи подробнее, то должны будем признать, что до тех пор пока р ложно, «р имплицирует q» будет истинным безотносительно того, истинно или ложно q; и до тех пор, пока q истинно, «р имплицирует q» будет истинным безотносительно того, истинно или ложно р. Все это можно сформулировать несколько парадоксальным образом, сказав, что ложное суждение имплицирует любое суждение и что любое суждение имплицирует истинное суждение. Следовательно, каждое из следующих суждений должно быть истинным: «„2 + 2 = 5" имплицирует „Сакко и Ванцетти были казнены за убийство"» и «„Альфред Смит проиграл президентские выборы в 1928 году" имплицирует „углы у основания равнобедренного треугольника равны"».
Однако парадокс исчезнет, если читатель отбросит предубеждение, связанное с обыденным пониманием слова «импликация», и обратит внимание на то, что, согласно своему определению, в исчислении суждений оно обозначает нечто иное. Это различие проявляется в обозначении первого вида импликации термином «формальная», а второго – «материальная» [43] . (Иногда первая называется «следованием», «тавтологической импликацией» или «строгой импликацией».) Утверждение формальной импликации, как мы видели в первой главе, не подразумевает допущения фактической истинности или ложности двух суждений, а обозначает лишь то, что они связаны благодаря собственной структуре (которую они разделяют со всеми другими суждениями такой же формы) и что невозможно, чтобы имплицирующее суждение было истинным, а имплицируемое – ложным. Имя «материальная импликация» мы придаем тому факту, когда первое из двух суждений ложно или когда второе истинно. При этом указанные два вида импликации не являются несвязанными друг с другом. Формальная импликация силлогизма означает, что в любом частном выражении силлогизма присутствует материальная импликация между посылками и заключением. Однако данное рассмотрение не учитывает того факта, что в каждом силлогизме имеет место необходимость, основанная на элементе тождества, напрямую не присутствующем во всех других случаях употребления материальной импликации. Когда мы говорим: «Киты являются млекопитающими, и все млекопитающие обладают легкими, следовательно, киты обладают легкими», то здесь присутствует связь, которой нет в таком примере, как «„Данте родился в 1250 году" имплицирует „литий является металлом"», где истинность общего суждения обеспечивается за счет ложности первого и истинности второго. Однако здесь мы уже сталкиваемся с метафизическим вопросом о том, связаны ли все истины необходимым образом с конечной природой вещей.