§ 1. Значимость классификации
Мы уже обращали внимание читателя на тот факт, что процесс классификации вещей подразумевает формирование гипотез о природе вещей или даже является частью этого формирования. Полезно более подробно исследовать данную тему.
Среди многих философов существует общее чувство о том, что вещи принадлежат «естественным» классам. Иными словами, это чувство о том, что, например, рыбы принадлежат к классу позвоночных в силу общей природы вещей, точно так же как позвоночные, в свою очередь, принадлежат к классу животных. Сторонники данного взгляда иногда считают иные виды классификации «искусственными». Так, разделение животных на тех, которые живут в воздухе, на земле и на суше, считается искусственным. Данное различие подразумевает истину, которая осознана спутанным образом. Строго говоря, последнее из приведенных выше разделений, а также любое разделение животных по какому-то конкретному признаку, даже тому, который выбран случайно, является совершенно естественным. В любой классификации мы выбираем определенный признак, которым на самом деле обладают все члены соответствующего класса, и в этом смысле всякая классификация может считаться естественной. Точно так же любую классификацию можно считать и искусственной в том смысле, что признаки, по которым она проводится, выбираем мы сами. Из-за этой причины происходят бесконечные споры о правильной классификации различных наук. Науки же можно классифицировать по-разному, и каждая отдельная классификация будет диктоваться отдельными целями.
Однако классификация может сильно разниться по своей логической и научной полезности в том смысле, что различные признаки, по которым проводятся классификации, в качестве принципов организации знания отличаются друг от друга по своей эффективности. Таким образом, старая классификация всех живых существ на животных, которые живут на земле, птиц, которые живут в воздухе, и рыб, живущих в воде, не представляет сильного фундамента для систематизации всего того, что мы знаем и можем обнаружить относительно этих существ. Привычки и структура дельфина или кита во многом являются более сходными с привычками и структурой гиппопотама или лошади, чем скумбрии или щуки. То обстоятельство, что дельфины и киты обладают молочными железами и вскармливают свое потомство, тогда как все виды рыб откладывают икру, которая затем оплодотворяется, приобретает фундаментальное значение для понимания всего жизненного цикла. Сходным образом тот факт, что некоторые животные обладают спинным хребтом или, точнее, центральной нервной системой, становится ключевым в усмотрении различных структур и позволяет нам понимать принцип их организации и функционирования. Поэтому одни признаки обладают более высокой логической ценностью, чем другие, в том, что они позволяют нам достигнуть систематичности в знании или науке.
Следовательно, утверждение, что задача науки заключается в том, чтобы сначала собрать факты, а затем классифицировать их, не представляет адекватной картины реальной ситуации. В определенном смысле классификация нужна для того, чтобы решить, какие факты отбирать, однако это далеко не все. Самой важной задачей является выбрать в объектах именно тот признак, который окажется ключевым для понимания их природы.
Очевидно, что не существует никаких априорных правил, по которым можно было бы отыскать такой ключевой признак. Чаще всего для этого требуется гений. Однако справедливо и то, что человек, обладающий большими знаниями в данной области, гораздо скорее отбросит нерелевантные или незначительные признаки, чем профан.
Роль формальной логики здесь будет сводиться к тому, что с помощью нее мы сможем определить объекты и признаки так, чтобы наше размышление было точным и допускало построение систематической дедуктивной системы.
§ 2. Цель и природа определения
Язык ежедневного общения является во многом неясным. Даже язык технической литературы не всегда в этом смысле лучше разговорного языка. Всем известны сложности в определении того, являются ли некоторые микроорганизмы животными или растениями, некоторые книги пристойными или непристойными, некоторая симфония гениальной, некоторое общество демократическим, а мы обладающими или не обладающими некоторыми правами. Подобные слова неясны потому, что их объем незаметно переходит в объем уже других слов. Множество глупостей нашего мышления обусловливается тем, что большинство наших слов являются неясными, что делает проверку мыслей другого человека практически невозможной задачей. Неясность слов обыденного языка – одна из основных причин построения технических словарей в отдельных науках.
К неясности слов следует также добавить и двусмысленность как еще одну опасность на пути строгого мышления. Серьезные ошибки в критическом мышлении становятся возможными по причине того, что в определенных контекстах замена значения одного слова значением другого, близкого, но не тождественного исходному, проходит незамеченной. Известным примером того, как двусмысленность слов может сделать необоснованным разумное рассуждение, представляет работа Милля «Уитилитаризм». Милль пытается доказать, что «счастье является желаемой вещью, причем, в конечном счете, оно является единственной желаемой вещью». Свой аргумент Милль строит следующим образом: «Что требуется от данной доктрины, чтобы то, что в ней утверждается, было принято людьми? Иными словами, какие условия должна эта доктрина выполнять? Единственный способ доказать, что определенный объект является видимым, заключается в том, чтобы сделать его доступным обозрению. Единственный способ доказать, что звук слышим, это позволить людям его услышать; и так далее для всех остальных источников нашего опыта. Сходным образом единственное основание, которое можно привести в поддержку того, что нечто является желаемым, это показать, что люди на самом деле его желают» [65] . Сказать, что вещь является желаемой, значит либо что она должна быть объектом желания, либо что она на самом деле является таким объектом. Данные два значения различны. Для того чтобы доказать тезис о том, что счастье является, в конечном счете, единственной желаемой вещью, Миллю необходимо понимать термин «желаемое» в первом смысле. Однако весь его аргумент направлен на демонстрацию того, что счастье желаемо во втором смысле этого слова.
Двусмысленность, которая, скорее, происходит из грамматической структуры предложений, чем из двусмысленности самих слов, была свойственна большому количеству древних пророчеств. Известным тому примером является пророчество дельфийского оракула, данное царю Пирру, которое в силу своей грамматической формы могло интерпретироваться либо как «Пирр победит римлян», либо как «Римляне победят Пирра».
Людям следует прикладывать немало усилий для того, чтобы ограничить неясность слов и исключить их двусмысленность. Неясность может быть лишь уменьшена, но никогда не может быть полностью исключена. Конкретное значение неясного слова может быть получено в контексте его употребления. Например, как мы уже отмечали выше, когда Иисус произнес: «Блаженны плачущие, ибо они утешатся», то из контекста ясно, что слово «плачущие» означало то же самое, что и «алчущие и жаждущие правды».
Однако подобный способ прояснения значения слов не всегда возможен или желаем. Для этих целей нужна специальная процедура, а также принятие стандартного или формального правила для определения символов. Рассмотрим такое правило.
Читатель, без сомнения, помнит известный диалог между господином Журденом и учителем философии из «Мещанина во дворянстве» Мольера. Воспроизведем его в несколько сокращенном виде:
Учитель философии. Итак, чему же вы хотите учиться?
Г-н Журден. Чему только смогу: ведь я смерть как хочу стать ученым, и такое зло меня берет на отца и мать, что меня с малолетства не обучали всем наукам!
Учитель философии. Это понятное чувство, nam sine doctrina vita est quasi mortis imago. Вам это должно быть ясно, потому что вы, уж верно, знаете латынь.
Г-н Журден. Да, но вы все-таки говорите так, как будто я ее не знаю. Объясните мне, что это значит.
Учитель философии. Это значит: без науки жизнь есть как бы подобие смерти.
Г-н Журден. Латынь говорит дело… А теперь я должен открыть вам секрет. Я влюблен в одну великосветскую даму, и мне бы хотелось, чтобы вы помогли мне написать ей записочку, которую я собираюсь уронить к ее ногам.
Учитель философии. Отлично.
Г-н Журден. Ведь, правда, это будет учтиво?
Учитель философии. Конечно. Вы хотите написать ей стихи?
Г-н Журден. Нет, нет, только не стихи.
Учитель философии. Вы предпочитаете прозу?
Г-н Журден. Нет, я не хочу ни прозы, ни стихов.
Учитель философии. Так нельзя: или то, или другое.
Г-н Журден. Почему?
Учитель философии. По той причине, сударь, что мы можем излагать свои мысли не иначе, как прозой или стихами.
Г-н Журден. Не иначе, как прозой или стихами?
Учитель философии. Не иначе, сударь. Все, что не проза, то стихи, а что не стихи, то проза.
Г – н Журден. А когда мы разговариваем, это что же такое будет?
Учитель философии. Проза.
Г-н Журден. Что? Когда я говорю: «Николь, принеси мне туфли и ночной колпак», это проза?
Учитель философии. Да, сударь.
Г-н Журден. Честное слово, я и не подозревал, что вот уже более сорока лет говорю прозой. Большое вам спасибо, что сказали [66] .
Сравним приведенный выше «урок» с другой сценой (также сокращенной) из платоновского диалога «Евтифрон». Сократ встречает Евтифрона, направляющегося в афинский суд, с тем чтобы обвинить своего отца в убийстве. Сократ удивляется этому и спрашивает Евтифрона, благочестиво ли вести себя подобным образом по отношению к собственному отцу. В ответ на это Евтифрон утверждает, что знает, в чем заключается природа благочестия.
Сократ…Что именно ты называешь благочестивым и нечестивым?
Евтифрон. Я утверждаю: благочестиво то, что я сейчас делаю, а именно благочестиво преследовать по суду преступника, совершившего убийство, либо ограбившего храм, либо учинившего еще какое-нибудь подобное нарушение…; не преследовать же по суду в таких случаях – нечестиво…
Сократ…Но… сейчас постарайся яснее изложить то, о чем я тебя недавно просил. Ведь ты, мой друг, перед этим неудовлетворительно ответил на мой вопрос, что такое благочестивое вообще, сказав лишь, будто благочестивым является то, что ты сейчас делаешь, преследуя отца по суду за убийство.
Евтифрон. И правду сказал я тебе, Сократ.
Сократ. Положим. Но ведь ты же признаешь, Евтифрон, что и многое другое бывает благочестивым?
Евтифрон. Конечно, бывает.
Сократ. Так припомни же, что я просил тебя не о том, чтобы ты назвал мне одно или два из благочестивых деяний, но чтобы определил идею как таковую, в силу которой все благочестивое является благочестивым. Ведь ты подтвердил, что именно в силу единой идеи нечестивое является нечестивым, а благочестивое – благочестивым. Разве ты этого не помнишь?
Евтифрон. Помню, конечно.
Сократ. Так разъясни же мне относительно этой идеи – что именно она собой представляет, дабы, взирая на нее и пользуясь ею как образцом, я называл бы что-либо одно, совершаемое тобою либо кем-то другим и подобное этому образцу, благочестивым, другое же, не подобное ему, таковым бы не называл.
Евтифрон. Но если ты желаешь, Сократ, я тебе это скажу!
Сократ. Да, я желаю.
Евтифрон. Итак, благочестиво то, что угодно богам, нечестиво же то, что им неугодно.
Сократ. Великолепно, Евтифрон! Ты дал мне именно тот ответ, которого я от тебя добивался. Правда, я не знаю, правильно ли это, но ясно, что ты докажешь в дальнейшем истинность своих слов [67] .
Номинальное определение
Приведенные примеры представляют нам несколько попыток дать определение языковым символам. Данные попытки имеют ряд важных различий, на которые нам следует обратить внимание. Для господина Журдена, который не знал латыни, объяснение латинского предложения состояло в переводе. Он узнал значения набора незнакомых ему ранее символов, когда ему сообщили, что они были эквивалентны набору уже знакомых ему символов. Мы обычно считаем, что перевод может быть истинным или ложным. Так, если слова «sine pecunia» используются для перевода слов «без знания», то те, кто знает латынь, назовут такой перевод ложным. Однако если бы не был указан тот факт, что данные новые слова относятся к языку, исторически именуемому «латынью», то вопрос об истинности или ложности перевода не встал. В таком случае просто имела бы место замена старого известного набора символов на новый неизвестный, как это имеет место при создании криптограмм, личных кодов, искусственных языков, а также при изобретении технических терминов в различных науках. Так, термин «социология» был изобретен Огюстом Контом как имя для изучения человеческих отношений в организованной групповой жизни, и другие исследователи приняли этот термин и начали его использовать. Однако данное слово могло бы быть введенным для обозначения науки о легальных или деловых товариществах, феноменах людских сборищ или же о способах, по которым любые вещи могут рассматриваться совместно друг с другом. То, что, в отличие от многих других предлагавшихся терминов, большинством был принят именно этот термин для обозначения отношений между людьми без выделения какой-либо отдельной формы таких отношений, стало результатом выбора, с которым мы можем соглашаться или не соглашаться по нашему собственному усмотрению без упоминания какой-либо истинности или ложности. То же самое имеет место и в математике, когда мы вводим такие символы, как «+», для замены ими слова «плюс», которое, в свою очередь, стало использоваться как эквивалент термина «прибавить». Со времен Аристотеля все внимательные исследователи помнили об этом и часто использовали императивную форму для определения нового слова. Иллюстрацией может послужить такая фраза, как: «Назовем процесс схватывания значений «осознанием»».
Таким образом, номинальное определение является соглашением или решением (resolution) относительно использования языковых символов. Новый символ называется определяемым выражением и вводится как взаимозаменяемый с уже известной группой слов, именуемой определяющим выражением. В работе Рассела и Уайтхеда «Principia Mathematica» определение такого рода излагается следующим образом: определяемое выражение пишется слева, а определяющее – справа; между ними ставится знак равенства и буквы «Df.» справа от определяющего выражения. Так, импликация, обозначаемая как «⊃», определяется следующим образом: « p ⊃ q = p ′ ∨ q . Df.». Или же словами: «„ р имплицирует q “ эквивалентно по определению „не р или q “». В алгебре следуют этой же процедуре. Экспонент (показатель степени) может вводиться так: a 2 = a × a . Df.
Номинальное определение, таким образом, представляет решение, а не нечто истинное или ложное, хотя, разумеется, утверждение о том, что кто-либо действовал или не действовал, согласно собственному решению, может быть истинным или ложным. А поскольку то, что не является ни истинным, ни ложным, не может быть суждением, то номинальные определения не могут быть реальными посылками какого-либо аргумента. Сами по себе слова не имплицируют никакой истинности или ложности.
Однако, несмотря на то что номинальные определения не расширяют нашего реального знания, они, тем не менее, полезны в научном исследовании в силу следующих причин:
1. Во-первых, мы экономим место, время и внимание или же умственную энергию, если используем новый и простой символ вместо целой группы старых символов. Так, если бы мы продолжили использовать обычные слова и не вводили бы технических терминов, таких, как те, что используются в высшей математике и теоретической физике, например, «дифференциальный коэффициент», «энергия», «энтропия», то наши выражения стали бы настолько длинными и сложными, что мы не могли бы охватить сложные отношения, обозначаемые этими терминами. Таким образом, книгу Ньютона «Математические начала натуральной философии», написанную на языке геометрии, легче читать, если перевести ее на технический язык современного математического анализа.
2. Перевод знакомых терминов в незнакомые способствует прояснению наших идей, поскольку избавляет используемые нами символы от случайных и нерелевантных ассоциаций. Знакомые или обычные слова обладают сильными эмоциональными ассоциациями и привносят в процесс строгой дедукции неясность предполагаемых значений.
Еще один способ, с помощью которого проясняется значение слов, заключается в демонстрации части объема этих слов. Так, слово «проза» было объяснено господину Журдену посредством предоставления ему примеров, к которым оно могло корректно применяться. Данный метод может быть порекомендован из соображений психологической полезности. Однако его применение не дает «определения» в обычном смысле данного слова. Мы можем понимать, что значит слово, когда мы знаем, что оно обозначает, т. е. к чему оно может применяться; но при этом мы все равно не определяем его значения.
Попытка Евтифрона определить термин «благочестие» в этом смысле, с точки зрения Сократа, была совершенно неудовлетворительной. То, что приводится в качестве примера благочестия, может одновременно являться и примером чего-то еще. Как мы вообще можем быть уверены в том, что в приведенном примере мы опознаем именно то, на что в нем указывается, если мы не знаем содержания определяемого термина? Отчасти по этой причине Сократ отверг первую попытку Евтифрона дать определение благочестию.
Реальные определения
При второй своей попытке Евтифрон осознал природу удовлетворительного объяснения. Рассмотрим его пробное определение термина «благочестие», поскольку оно представляет нам реальное определение в его отличии от вербального.
Сам Сократ и его друг имели общее представление о том, что значит термин «благочестие». Если говорить точнее, то они знали, к каким видам действий данный термин можно было корректно применять. Но при попытке отыскать определение термина «благочестие» Сократ стремился проанализировать то, что представлял данный термин. Следовательно, он удовлетворился ответом, предложенным Евтифроном, хотя, как становится ясно из диалога, он впоследствии отверг его как ложное. Придадим соответствующую форму определению Евтифрона:
Благочестие = то, что угодно богам. Df [68] .
Подобно номинальному определению, данное реальное определение определяет слово «благочестие» посредством эквивалентной ему группы слов. Однако в данном примере, и это является отличительной особенностью реального определения, определяющее выражение представляет анализ идеи, формы, типа или универсалии, обозначаемой термином «благочестие». Определяющее и определяемое выражения вместе указывают на одну и ту же вещь или свойство. Оба они обладают значением независимо от приравнивающего их процесса определения. Определяющее выражение при этом показывает структуру того, на что указывают оба выражения.
Реальное определение, таким образом, является подлинным суждением, которое может быть истинным или ложным. Поскольку определяемое и определяющее выражения должны обозначать одну и ту же универсалию и поскольку определяющее выражение должно выражать структуру этой универсалии, реальное определение может быть истинным, только если обе стороны определения эквиваленты в своем значении и в правой стороне это значение верно проанализировано.
Мы можем предложить иную иллюстрацию реального определения. Можно предположить, что все знакомы со значением термина «подобные фигуры». Такие фигуры похожи друг на друга некоторым образом, который не смогут точно выразить люди, не знакомые с геометрией, однако который они, тем не менее, смогут в общем виде определить. Ниже приводится реальное определение сходства:
Это истинное определение того, что обычно подразумевается под термином «подобные фигуры», поскольку значение правой стороны определения точно такое же, как и значение левой стороны, и в то же время правая сторона предлагает анализ структуры того, что символизируют обе стороны.
Теперь мы можем исследовать некоторые цели определений.
Во-первых, имеет место желание узнать значение новых слов. Оно может быть удовлетворено через выражение этого значения с помощью более знакомых слов. Во-вторых, существует желание найти конвенциональное короткое выражение и заменить им длинное и громоздкое. Таким образом, вместо того чтобы использовать фразу «сын сестры моей матери», мы вводим более короткую фразу «мой кузен». В-треть-их, мы хотим лучше ознакомиться со значением слова посредством разложения его на составляющие элементы. Для этого требуется реальное определение. Все эти мотивы являются психологическими.
Читатель, должно быть, обратил внимание на то, что обычно определяющее выражение является более длинным, чем определяемое, причем не только в номинальных определениях, которые для этого и созданы, но также и в реальных определениях. Данный факт тесно связан с психологическими целями определений. Поскольку определяющее выражение содержит большее число символов, чем определяемое, оно также порождает в сознании и большее число идей. Данные идеи, однако, структурно связаны друг с другом и, ограничивая друг друга, одновременно в своей совокупности эквивалентны значению определяемого выражения. Так, в приведенном выше определении сходства правая сторона содержит символы «отношение», «расстояние», «соответствующие точки», «неизменный»; представляемые ими понятия являются знакомыми, и они систематизированы так, что доля неясности, содержащаяся в каждом из них, не влияет на смысл сложного целого.
Данный психологический феномен проявляется более наглядно в тех случаях, когда значение слова проясняется с помощью ряда синонимов. Так, «быть честным» значит «быть беспристрастным, объективным, открытым, искренним, откровенным, прямым, заслуживающим доверия, бесхитростным». Ни один из так называемых синонимов не обладает в точности тем же значением, что и слово «честный». Однако содержания синонимов частично совпадают таким образом, что они взаимно друг друга ограничивают. Та часть, которая является общей у всех этих содержаний, может с большей или меньшей точностью проявить значение нужного слова.
Однако не следует путать рассмотренные психологические причины для формулировки определений с логической функцией, которой обладают определения. Логически определения стремятся раскрыть основные свойства или структуру понятия отчасти для того, чтобы придать понятию определенность, отчасти для того, чтобы отграничить его от других понятий, а отчасти для того, чтобы обусловить систематическое исследование предметной области, относящейся к данному понятию. При логическом изучении некоторой предметной области реальное определение всегда может использоваться в качестве посылки или части посылки. Так, из определения подобных фигур с учетом других посылок мы можем вывести теорему о том, что объемы любых двух подобных фигур соотносятся друг с другом так же, как и кубы любых двух соответствующих расстояний. Аристотель это четко осознавал, когда утверждал, что «определения суть начала доказательств» [69] .
К сожалению, терминология, относящаяся к данным вопросам, претерпела серьезные изменения. Поэтому всякая попытка свести традиционное и современное видение кажется сбивающей с толку. В методике современной математики, как мы уже видели, все реальные определения являются неявными. В ней не требуется каких-либо явных определений, кроме номинальных. Однако то, что Аристотель называл «недоказуемыми определениями», открывающими сущность предметной области, в современной логической методике представлено аксиомами, или примитивными суждениями. Такие аксиомы определяют предметную область неявно, т. е. как удовлетворяющую или верифицирующую эти аксиомы. Примером тому может послужить природа электричества в том виде, в каком она определяется в уравнениях Максвелла, а также природа гравитации, определяемая законами Ньютона. По-видимому, нет необходимости напоминать читателю о том, что даже если данная система реальных определений или аксиом может логически предшествовать всем теоремам, при развитии нашего знания эти аксиомы, тем не менее, по порядку следуют далеко не первыми, равно как и не являются более очевидными или достоверными, чем любая из имплицируемых ими теорем.
Мы провели четкое различие между вербальными и реальными определениями. Однако на практике данное различие никогда не является таким четким, и даже в определениях, которые по своей форме кажутся вербальными, все равно присутствует некоторое общее указание на анализ того, что данные слова обозначают. Было бы странно, если бы этого не было, ибо слова по своей природе являются обозначающими. Более того, содержащиеся в словах эмоциональные ассоциации и намеки зачастую могут препятствовать ясному осознанию их значений. Такая ситуация особенно характерна для общественных наук. Такие слова, как «демократия», «свобода», «долг», обладают сильной эмоциональной функцией; они часто звучат в качестве лозунгов в бою, взывая к эмоциям и заменяя мысли. Многие споры об истинной природе собственности, религии, закона, которые, без сомнения, возникают из конфликта эмоциональных установок, с неизбежностью исчезнут, если бы вместо самих этих слов были поставлены их точно определенные эквиваленты.
Однако в качестве препятствий для осознания значений встречаются и не только эмоциональные факторы. Религия, например, иногда определяется в догматических терминах, иногда в терминах социальной организации и ритуала, а иногда в терминах эмоционального опыта. В результате возникают конфликты относительно значения или сущности религии и т. д., которые, как нередко утверждается, являются скорее спорами о словах. Однако в подобных утверждениях содержится только половина истины, поскольку зачастую спорящие имеют перед глазами конкретный феномен, представляющий все указанные аспекты. Споры относительно правильного определения религии являются попытками установить фундаментальные свойства некоторого социального феномена, поскольку, если рассматривать указанные свойства в качестве определяющих религию, то далее из них возможно будет вывести много важных следствий. Так, если вера в определенную доктрину является сущностью религии, то из этого выводятся совсем иные следствия, чем из рассмотрения религии как определенного типа эмоционального опыта. В первом случае делается акцент на подчинение и интеллектуальную дисциплину, тогда как во втором случае подчеркиваются эстетические элементы, а теология игнорируется.
Вековой диспут о природе закона содержит сходные составляющие. Следует ли понимать закон как приказ, как принцип, утверждаемый разумом, или же как согласие? Данное разногласие – это не просто разногласие о словах. Оно заключается в вопросе о том, какой аспект понятия закона сделать центральным, так чтобы из него можно было вывести соответствующие следствия. Хорошей иллюстрацией является школьный вопрос о том, является ли летучая мышь птицей? Две спорящие стороны могут соглашаться с тем, что птица – это теплокровное позвоночное, передние конечности которого видоизменены в крылья, но при этом не соглашаться относительно вопроса о том, является ли летучая мышь птицей. Почему? Потому, что одна сторона может считать, что существует более близкая связь между летучей мышью и грызунами, чем между летучей мышью и птицами, и утверждать, что данные общие свойства между грызунами и летучими мышами являются решающими для классификации последних.
Резюмируем наше обсуждение реальных определений. В реальном определении присутствует два набора выражений, каждый из которых обладает собственным значением, которые являются эквивалентными в случае истинности определения. В истинном определении определяющее может подставляться вместо определяемого без изменения смысла. Если выполняется не только логическая функция определения, но и психологическая, то определяющее должно пониматься легче, даже если оно выражено с помощью более длинного и сложного выражения, чем определяемое.
Существуют ли какие-либо общие правила, которые можно использовать при формулировке определения? Ответим на данный вопрос после того, как рассмотрим традиционный подход к анализу определения.
§ 3. Предикабилии
Аристотелевский анализ определения является основополагающим для всей его теории науки и сам по себе основан на анализе возможных способов, которым предикат может быть отнесен к субъекту. Его исследование стало результатом размышлений над методом и результатами спекуляций Сократа и Платона. Его работы по силлогизму не могут быть поняты без ссылки на его анализ возможных видов суждений, каждый из которых зависел от природы отношения между субъектом и предикатом. Данный анализ, получивший название теории предикабилий, был, в свою очередь, тесно связан с фундаментальными метафизическими учениями, особенно с учением о неизменных естественных видах или типах.
Аристотель смог получить исчерпывающий перечень возможных отношений между предикатом и субъектом с помощью следующего рассуждения: каждый предикат должен быть либо обратимым со своим субъектом, либо нет; иными словами, если А есть В, то тогда В относится к А так, что либо все, что является В, является А, либо нет. Если предикат обратим (Аристотель также называет его соразмерным), то он либо обозначает сущность субъекта и тогда является его определением, либо обозначает его собственное. Если предикат необратим, то он либо содержится в определении субъекта и тогда является родом или видовым отличием, либо не содержится в определении и тогда является привходящим. Предикат должен, таким образом, относиться к субъекту одним из пяти возможных отношений: он должен быть либо определением субъекта, либо его собственным, либо родом, либо видовым отличием, либо привходящим. Объясним теперь значимость каждого из данных определений. При этом читателю следует учитывать, что субъект как термин, по Аристотелю, обозначает идею, тип или универсалию, а не единичную конкретную вещь. Предикабилии указывают на возможные способы, которым универсалии связаны друг с другом. Как таковой конкретный индивид, согласно Аристотелю, не является предметом изучения науки. Наука об индивидах возможна лишь в той степени, в которой они воплощают тип или форму. Научное (или систематическое) знание о Сократе мы можем получить только как о человеке, а не как об индивиде. Поэтому в исследовании предикабилий Аристотель концентрировался на содержательных аспектах терминов. Однако предикабилии можно интерпретировать и относительно их объемов, что традиционно и делалось.
Согласно Аристотелю, «определение есть речь, обозначающая суть бытия [вещи]» [70] . Когда он говорил о сути вещи, он имел в виду набор фундаментальных свойств, являющихся необходимыми и достаточными свойствами для того, чтобы любая вещь была вещью соответствующего типа. «Суть вещи» приблизительно значит то, что мы имели в виду, когда говорили о конвенциональном содержании термина. Так, суть (сущность) или определение круга заключается в том, что он является плоской фигурой, каждая точка которой равноудалена от одной точки. Предикат (т. е. «плоская фигура, каждая точка которой равноудалена от одной точки») обратим или соразмерен с субъектом: его можно приписывать всему, что является кругом, а все, к чему он может быть применен, является кругом. Предикат является сутью (сущностью), поскольку он сообщает о том, чем является круг, так что из этого с необходимостью следуют все свойства круга.
Определение состоит из двух элементов: рода и видового отличия. «Род есть то, что сказывается в сути о многих и различных по виду [вещах]» [71] . Так, плоская фигура – это род по отношению к кругу. Круг, в свою очередь, по отношению к плоской фигуре является видом. Однако плоская фигура также является родом и для треугольника, эллипса, гиперболы и т. д. Данные виды проявляют видовые различия, но принадлежат одному роду.
Видовое отличие – это та часть сущности, которая отличает данный вид от других видов, относящихся к тому же роду. Видовым отличием круга является то, что все его точки равноудалены от одной точки, видовым отличием треугольника является то, что он образуется в результате пересечения трех прямых.
Различие между родом и видовым отличием имело для Аристотеля абсолютный характер и было связано с его взглядами на метафизику [72]. Однако с чисто логической, или формальной, точки зрения данное различие является абсолютным только в рамках конкретного контекста. Рассмотрим следующее определение: «Человек – это разумное животное». Согласно Аристотелю, животное является родом, а разумное – видовым отличием. Однако формально с таким же успехом можем рассматривать разумное как род, а животное как видовое отличие. Сказанное станет еще более ясным, если мы выразим определение как логическую конъюнкцию двух атрибутов. Так, X является человеком = X является разумным и X является животным. Логически нет никакой разницы в том, какой конъюнкт рассматривать как более важный. Логическая функция видового отличия заключается в том, чтобы ограничивать род и давать ему квалификацию. В приведенном определении данная функция выполняется любым из двух терминов относительно другого. Следовательно, определение можно рассматривать как логическое произведение двух терминов. Данная интерпретация специально разработана для возможности рассматривать предикабилии относительно их объемов.
Отношение рода к его видам иллюстрируется с помощью средства, именуемого «древом Порфирия». Ниже приводится традиционная иллюстрация данного дерева, ссылаясь на которую Бентам говорил о «непревзойденной красоте древа Порфирия».
Читатель может обратить внимание на то, что отношение между животным как родом по отношению к человеку как его виду отличается от отношения человека как вида к его индивидуальным членам. Первое отношение – это отношение класса к подклассу, а второе – это отношение между классом и его членами. Порфирий, существенно видоизменивший аристотелевскую теорию предикабилий, также спутывал эти два отношения. Собственное
«Собственное – это то, что хотя и не выражает сути бытия [вещи], но что присуще только ей и взаимозаменяемо с ней. Например, собственное для человека – это то, что он способен научиться читать и писать. В самом деле, если [это существо] – человек, то оно способно научиться читать и писать, и, наоборот, если оно способно научиться читать и писать, оно человек» [73] . Так, собственным круга будет то, что он обладает максимальной площадью при данном периметре, а также то, что если через точку, взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд, то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд.
Различие между сущностью и собственным рассматривалось Аристотелем как абсолютное, поскольку он считал, что субъект обладает только одной сущностью (сутью). Однако, с чисто логической точки зрения, данное различие является абсолютным только относительно данной системы. Так, если мы определяем круг как множество точек, равноудаленных от данной, мы можем формально вывести свойство о максимальности площади при данном периметре. С другой стороны, если круг определяется как фигура, обладающая максимальной площадью при данном периметре, то из этого с необходимостью следует, что все ее точки являются равноудаленными от данной точки. Роли определения и собственного, таким образом, являются взаимозаменяемыми. Выбор признака предмета для его определения задается внелогическими соображениями. Следовательно, различие между сущностью и собственным при всей своей значимости, тем не менее, является абсолютным только относительно данной системы. В связи с обсуждением природы математики мы уже видели, что не существует суждений, по природе недоказуемых, или же терминов, по природе неопределимых. Сказанное в том разделе применимо и здесь. Выше мы также указали на то, что «недоказуемые определения» Аристотеля в современной математике называются «аксиомами». Таким образом, у читателя не должно возникнуть сложностей в интерпретации «собственных свойств», вытекающих из определений как теорем системы, имплицируемых ее аксиомами. К сожалению, в вышеприведенной цитате Аристотель не показывает, как собственные способности научиться читать и писать следуют из определения человека.
Наконец, «привходящее – это то, что хотя и не есть что-либо из перечисленного – ни определение, ни собственное, ни род, но присуще вещи, или то, что одному и тому же может быть присуще и не присуще, например, быть сидящим может и быть, и не быть присуще одному и тому же» [74] . Для круга привходящим будет наличие вписанного в него треугольника. С чисто логической точки зрения, привходящее – это суждение, формально не выводимое из определения. По-видимому, нет нужды в очередной раз напоминать читателю, что привходящий предикат не приписывается конкретному индивиду, а только индивиду, представляющему некоторый вид. Так, курносость является привходящим не для Сократа как индивида, а для Сократа как человека. Человеку как типу не нужно быть курносым, хотя он и может таковым являться. Курносость есть привходящее, поскольку она не является необходимым следствием бытия человека.
Такова, вкратце, теория предикабилий Аристотеля. Согласно данному учению, условие, которое должны выполнять определения, заключается в том, что они должны формулироваться в терминах рода и видового отличия.
§ 4. Правила для определений
Правила образования определений удобно обсуждать, не ограничиваясь аристотелевским анализом. Ниже приведены основные аспекты этих правил:
1. Определение должно представлять сущность того, что в нем определяется. Определяющее выражение должно быть эквивалентно определяемому, т. е. оно должно быть применимо ко всему, к чему может быть применено определяемое выражение, и ни к чему более.
2. Определение не должно содержать круга; оно не должно явно или неявно содержать определяемый предмет.
3. Там, где определение может быть дано в утвердительных терминах, оно не должно даваться в отрицательных.
4. Определение не должно выражаться в неопределенной или метафорической манере.
Прокомментируем коротко каждое из этих правил.
1. Первое правило в иных словах выражает суть того, что мы обсуждали в предыдущих параграфах. Когда традиционное учение о предикабилиях закладывается в основу обсуждения, данное правило может быть заменено на предписание о том, что определение должно осуществляться per genus et differentiam [75] . Реальные определения являются определениями слов и одновременно разложением универсалии, обозначаемой как определяющим, так и определяемым выражением.
Мы уже обращали внимание читателя на то обстоятельство, что в современной математике реальные определения являются неявными, поскольку субъект определяется в терминах аксиом, которым он должен удовлетворять. Следовательно, зачастую случается так, что несколько терминов должны быть определены не по отдельности, а как находящиеся друг с другом в определенных отношениях. Так, в работах Гильберта по основаниям геометрии точки, прямые и плоскости рассматриваются как неопределяемые элементы. Однако они неявно определяются аксиомами. Эти аксиомы устанавливают отношения, которые должны существовать между точками, прямыми и плоскостями, взятыми сами по себе, а также отношения между точками и прямыми, точками и плоскостями и т. д. Однако независимо от того, является определение явным или неявным, оно должно быть выбрано так, чтобы признаки, присущие определяемым вещам, были формально выводимыми из этого определения.
2. Если определяемый термин или его синоним оказываются в определяющем выражении, то, с логической точки зрения, никакого продвижения в определении термина достигнуто не было, даже если психологическая цель определения при этом достигнута. Так, если «смелость» определяется через свой синоним «храбрость», то это может некоторым образом прояснить для нас значение слова «смелость», если мы лучше знакомы со значением слова «храбрость». Однако реальная эффективность данного определения имеет лишь вербальный характер, поскольку структура термина «смелость» (т. е. то, что он обозначает, а не сам термин) остается не проанализированной. Подобные тавтологические определения иногда остаются незамеченными. Наше правило нарушается, например, если «Солнце» определяется как «звезда, светящая днем», т. к. само слово «день» определяется в терминах светящего Солнца.
Иногда может казаться, что в определении имеет место нарушение указанного правила, хотя на самом деле этого не происходит. Известным примером тому является определение термина «число», предложенное Расселом. Согласно Расселу, «число – это все, что является числом некоторого класса». Здесь «число» определяется как «число некоторого класса». Определение не нарушает данного правила потому, что определяемым выражением является «число» или «число вообще», а определяющее выражение содержит термин «число некоторого класса». Определения подобного рода часто встречаются в математике. Так, последовательность
u 0 + u 1 + u 2 + … + un
определяется как сходящаяся, если последовательность
S0 = u0, S1 = u0 + u1, S2 = u0 + u1 + u2,
Sn = u0 + u1 + u2 + … + un
является сходящейся.
3. Разумеется, предпочтительнее определять вещь в терминах того, чем она является, чем в терминах того, чем она не является, поскольку, как правило, указание на то, чем вещь не является, не позволяет в достаточной мере отграничить ее от других вещей. Так, определение наручных часов (watch) как хронометра, не являющегося настенными часами (clock), не будет удовлетворительным, если существуют и другие хронометры помимо наручных и настенных часов. Однако важно не переоценить данное правило, ибо в некоторых случаях определение вещи в терминах того, чем она не является, может оказаться адекватным. Так, определить неравносторонний треугольник как треугольник, который не является ни равносторонним, ни равнобедренным, значит идеально отграничить неравносторонние треугольники от всех остальных, с условием того, что указана геометрическая система, в которую включен данный треугольник. В некоторых случаях отрицательные определения становятся неизбежными. Так, определение сироты как ребенка, у которого нет родителей, с необходимостью должно состоять из отрицательных терминов, ибо состояние сиротства является отрицанием состояния обладания родителями. Читатель без труда сможет указать и на другие примеры подобных терминов, например, на термины «независимость», «параллельный», «банкрот», «неплатежеспособный». Более того, вопрос о том, считать ли определение отрицательным или положительным, зачастую зависит от языковых конвенций. Некоторые языки могу обладать положительным термином для выражения определенной идеи, тогда как в других эта же самая идея будет выражена в отрицательном термине. Следовательно, определение может выглядеть отрицательным только потому, что один из составляющих его терминов по своей форме является отрицательным. Так, определить пьяницу как человека, который несдержан в выпивке, не означает нарушить указанное правило, ибо несдержанность (intemperance) сама по себе определяется в терминах злоупотребления спиртным.
4. Главная опасность, содержащаяся в определениях, выраженных метафорическим языком, заключается в том, что метафоры могут наводить на значения, которые вовсе и не предполагаются в определении. Так, определение слова «король» термином «кормчий государства» может вводить в заблуждение, поскольку порождает мысль о том, что король может управлять судьбами нации, согласно предначертанному курсу.
Требование, согласно которому определяющее выражение не должно быть неясным, выражает психологические мотивы для определений. Классическим примером определения, нарушающего данное психологическое требование, является предложенное Сэмюэлем Джонсоном определение слова «сеть»: «ретикулярное изделие с перекрестиями на заданных интервалах и пустотами у пересечений».
При этом присутствие в определяющем выражении терминов, неизвестных большинству читателей, не делает определение неясным. В физике «действие системы частиц» определяется как «сумма всех частиц среднего количества движения для равных расстояний, умноженная на расстояние, пройденное каждой частицей». Разумеется, компетентному специалисту в аналитической динамике, в отличие от неподготовленного новичка, данное определение неясным не кажется.
§ 5. Деление и классификация
Согласно традиционному подходу, определение состоит из разложения данного вида на род и видовое отличие. Однако сам род также может быть разделен на разные виды. Так, плоская фигура как род может быть разделена не только на виды треугольника, но и на виды четырехугольника, конического сечения и т. д. Указание различных видов одного и того же рода называется логическим делением, или просто делением. Род, с которого начинается процесс деления, называется высший род. Виды, получившиеся в результате деления рода, могут, в свою очередь, делиться и дальше. Виды, которыми заканчивается деление, называются низшими видами. Промежуточные виды между высшим родом и низшими видами называются подчиненными родами.
Процесс деления, с точки зрения объема термина, заключается в расчленении класса на составляющие его подклассы. Деление, следовательно, связано с определением, поскольку определение задает границы класса, определяемого термина. Однако если на деление термина посмотреть не с точки зрения составляющих его видов, а с точки зрения относящихся к нему индивидных членов, тогда процесс деления связывается и с классификацией. Деление разбивает род на виды, тогда как классификация группирует индивидов в классы, а получившиеся классы – в еще более общие классы.
Для проведения успешного логического деления был выработан определенный набор правил. Эти правила также применимы и к классификации.
1. Деление должно быть исчерпывающим.
2. Составляющие некоторый род виды должны исключать друг друга.
3. На каждом этапе деление должно осуществляться по одному принципу, основанию деления.
Так, если мы разделим рациональные числа на четные и нечетные, то нарушим первое правило, ибо не учтем дроби. Первое правило требует учета всех видов, составляющих род. Мы нарушим второе правило, если разделим четырехугольник, как род, на ромбоиды, параллелограммы и прямоугольники, поскольку все прямоугольники являются параллелограммами. Принцип, по которому осуществляется деление, называется основанием деления. При делении профессоров на математиков, физиков и т. д. основанием деления является их специализация, если мы разделим их на плохих и хороших преподавателей, то основанием деления будут их риторические навыки. Деление, подчиняющееся третьему правилу, будет с необходимостью подчиняться и второму. Но обратное ложно. Так, деление числа, как рода, на четные, нечетные и дробные числа дает взаимоисключающие виды, но основание деления при этом не одно и то же.
Несмотря на то что, с формальной точки зрения, данные правила не допускают исключений, на практике они не всегда помогают. Они, скорее, выражают некий идеал, чем формулируют метод. Более того, в хорошо развитой науке данный идеал оказывается неадекватным. К науке он скорее применим только в период ее младенчества.
Мы не можем получить удовлетворительного определения, деления или классификации, пока в подробностях не изучим предметную область. Во-первых, когда мы имеем дело с существующей предметной областью, мы никогда не можем быть уверены в том, что проведенные нами деление и классификация являются исчерпывающими. Внезапно появившийся новый и непредвиденный составной элемент предметной области может полностью нивелировать идею развиваемой нами системы или, по крайней мере, заставить нас ее серьезно пересмотреть. Точно так же мы никогда не можем быть уверены в том, что подчиненные роды на самом деле исключают друг друга. Данное предупреждение является следствием утверждения о том, что никогда нельзя быть уверенным в том, что деление исчерпывает предметную область, поскольку всегда может появиться ранее неизвестный подкласс, обладающий свойствами некоторых других уже установленных видов.
Во-вторых, процесс научной классификации по своей природе похож на продвижение на ощупь и не является столь формальным, как того требуют перечисленные правила. Даже до начала непосредственного и самостоятельного развития науки опыт принуждал к усмотрению некоторых видов вещей, в которых определенные сочетания качеств имели место с большим или меньшим постоянством. Так, в нерефлективном опыте признаются такие объекты, как деревья, земля, животные и т. д., на основании очевидных сходств между отдельными представителями этих типов. Однако с развитием знания свойства, являвшиеся не столь заметными, стали считаться основой для классификации или деления. Так, хотя дельфин во многом похож на рыбу, в современной биологии он классифицируется как млекопитающее, поскольку вскармливает свое потомство. Основание для классификации зависит от обнаружения определенного значимого признака, в силу которого предметная область может быть организована в более систематическом виде. Однако для обнаружения таких признаков требуется длительное время, и поэтому они не могут детерминироваться исключительно формальным образом.
Все науки на своем начальном этапе являются классифицирующими, готовыми принять любую случайную схему группировки объектов с целью овладения предметной областью. В современной биологии классификация родов до сих пор не соответствует третьему из приведенных выше правил. Антропология до сих пор не смогла выйти из классификационного этапа, а химия до недавнего времени также довольствовалась классификацией своей предметной области, лишь представляющей элементы, соединения и реакции. Однако сегодня химия организована на основе физических принципов, которые в более ясной форме проявляют предметную область химии и связь этой науки с другими науками.
Исчерпывающего деления на взаимоисключающие элементы всегда можно достигнуть, разделяя род на составляющий вид и его отрицание. Именно с помощью этого метода Аристотель получил исчерпывающий набор возможных отношений между субъектом и предикатом. Данный метод называется дихотомическим делением. Проиллюстрирован он может быть следующим образом:
Несмотря на то что дихотомия обеспечивает исчерпывающий характер деления и взаимоисключение терминами друг друга, она не является существенным продвижением по сравнению с обычным делением. Практическая сложность отыскания значимых оснований деления остается. При этом, осуществляя дихотомическое деление, мы также не можем быть уверены в том, что все подклассы содержат элементы. Более того, данный метод в некотором смысле является нескладным, и в современной логике было показано, как дихотомическое деление можно осуществлять почти в механическом режиме. Допустим, к примеру, что мы хотим классифицировать население Соединенных Штатов на основаниях половой принадлежности, возраста, превышающего тридцать лет, и обладания хорошим или исключительным здоровьем. Пусть «1», как обычно, представляет универсум рассуждения; « а » – представителей мужского пола, « а ′» – женского; « b » – тех, кому за тридцать, « b ′» – тех, кому тридцать или меньше; « с » – тех, у кого хорошее или исключительное здоровье, « с ′» – тех, у кого плохое здоровье. Население Соединенных Штатов можно, таким образом, разделить на восемь групп:
1 = ( a + a ′) = ( a + a ′) ( b + b ′) = ( a + a ′) ( b + b ′) ( c + c ′) = abc + abc ′ + ab ′ c ′ + a ′ bc + a ′ bc ′ + a ′ b ′ c + a ′ b ′ c ′.
Символ «аЬс» будет обозначать мужчин старше тридцати и с хорошим здоровьем, « a ′ bc ′» – женщин старше тридцати с плохим здоровьем и т. д.