§ 1. Цель измерения
Наша способность на ежедневном уровне решать множество разных задач зависит от нашей способности отличать только те качества и параметры, которые достаточно резко отграничены друг от друга. Сегодня холодно, и поэтому мы надеваем пальто; в другой день тепло, и мы оставляем пальто дома. Эта подушка – жесткая; мы меняем ее на ту, которая мягкая. Одна пища – сладкая, а другая – кислая; мы делаем выбор согласно своим предпочтениям.
Однако даже в обыденной жизни зачастую необходимо выносить суждения относительно качеств, которые не столь четко отграничены друг от друга. Нам могут сказать: «Пойдите на курс профессора А вместо курса профессора В; профессор А легче, чем профессор Б». «Путешествуйте на электричке; она менее заполнена, чем метро». «Покупайте кофе марки Х; он свежее, чем кофе марки Y». Подобные предписания являются для нас значимыми, поскольку, несмотря на отсутствие ясно отмеченных различий, мы, тем не менее, без труда усматриваем различие между «легким» и «сложным», «более заполненным поездом» и «менее заполненным поездом», между «свежим» и «несвежим». Сходным образом в науках суждения, утверждающие качественные различия, являются первыми результатами исследования. Примерами таких качественных суждений являются суждения о том, что планеты движутся между неподвижными звездами, о том, что железо расширяется при нагревании, или о том, что дети похожи на своих кровных родственников.
Однако как в обыденной жизни, так и в науке зачастую важно заменить суждения, просто утверждающие или отрицающие качественные различия, суждениями, которые более точно указывают на степень таких различий. Это важно делать для точности утверждений, равно как и в интересах обнаружения согласованных (comprehensive) принципов, в терминах которых можно систематически описать предметную область. Так, мы можем считать, что в этом году уровень безработицы выше, чем в прошлом, или что зимы во времена нашего детства были более суровыми, чем сегодня. Однако важным может оказаться также знание и о том, насколько более высоким стал уровень безработицы, или насколько менее суровыми стали зимы, ведь если мы сможем выразить различия в терминах определенных градаций, то мы тем самым не только обезопасим себя от ошибок поспешных и наивных впечатлений, но также и заложим основу для адекватного и устойчивого контроля над изменениями. Сходным образом в науке нам важно знать, насколько сильно планеты удалены от нас, как быстро они двигаются, насколько расширяется железо при заданных условиях нагрева и насколько велика степень сходства между различными кровными родственниками. Обладание такой информацией обусловливает нашу возможность осуществлять практический контроль над предметом нашего исследования, а также делает возможной формулировку в отношении этого предмета принципов, доступных для недвусмысленного подтверждения или опровержения.
Теоретические и практические соображения приводят нас, таким образом, к замене качественных различий количественными. Качественные различия используются людьми, которые не способны предложить адекватный анализ того, что значат эти различия, или объяснить, как эти различия могут быть обоснованы. Вполне вероятно, что мамаша, говорящая своей подруге: «Мой Джонни на голову выше твоего Фрэнки», никогда в жизни не задумывалась обо всех трудностях, связанных с анализом значения высказываемого ею суждения. Если ее принудить к объяснению того, на каком основании она сделала свое утверждение, она может поставить мальчиков спинами друг к другу и отметить взглядом, что Джонни действительно выше Фрэнки на одну голову. Однако эта же самая мамаша полностью растеряется, если спросить у нее, что она имеет в виду, когда говорит: «Джонни в два раза превосходит Фрэнки в арифметике».
Чтобы использование чисел для обозначения количественных различий не привело нас к ошибке или абсурдным выводам, требуется проведение подробного анализа. Если бы наша обыденная жизнь и наука ограничивались примерами, подобными сравниванию роста детей, то сложные методы установления различия никогда бы не использовались. Для измерения, вычисления и проведения сложной дедукции следствий из посылок не потребовались бы скрупулезные методы, которые на самом деле в них используются. В любой области деятельности нам необходимо использовать более сложные механизмы по провозглашению, сбору и оценке оснований, чем методы, которые предлагает необученный взгляд или прикосновение. Очень немногие исследования могут проводиться без введения на определенном этапе количественных методов. Поэтому при изучении метода науки следует уделить внимание анализу основ прикладной математики.
§ 2. Природа счета
Какими же способами привносится точность в наши утверждения? Во многих исследованиях пересчет индивидов, обладающих определенным свойством, является единственным возможным методом избежать неясных идей. Действительно ли в Нью-Йорке больше детей не старше десяти лет, чем в Лондоне? Правда ли, что в 1900 г. в Соединенных Штатах было больше промышленных предприятий со штатом менее десяти человек, чем в 1920-м? «Общие впечатления» по таким вопросам слишком неясны, чтобы считаться надежными. Рискованно было бы развивать согласованную социальную теорию (т. е., например, утверждать, что прогрессирующей индустриализации страны сопутствует элиминация малых промышленных предприятий), если бы умозрительные построения нашей теории основывались только на неясных впечатлениях и не были бы доступны эмпирической проверке. На вопросы, подобные перечисленным, можно дать недвусмысленный ответ, только проведя непосредственный пересчет индивидов, относящихся к соответствующим классам.
Пересчет осуществляется не просто так, а потому что мы предполагаем наличие значимых связей между перечисляемыми группами. Поэтому мы не проводим численной описи всех групп индивидов, какие только можем отыскать. Перечисление осуществляется на основании гипотез, выражающих то, как мы понимаем релевантность. Такие гипотезы играют контролирующую роль на каждом этапе исследования. Более того, становится ясным и то, что сравнение групп путем пересчета их членов осуществимо только в том случае, если сами группы недвусмысленным образом отличаются друг от друга. Таким образом, мы прибегаем к пересчету для того, чтобы сделать наши идеи точными. Последнее же возможно только после того, как мы обретем достаточное знание о предмете исследования, чтобы быть в состоянии различать в нем те или иные качества.
Метод пересчета имеет свои ограничения, которые заключаются в том, что исчислимыми могут быть только дискретные группы или же предметные области, которым можно придать форму дискретной группы. Мы можем пересчитать жителей города, потому что каждый из них отличается от каждого другого. Мы не можем пересчитать капли в стакане воды до тех пор, пока мы не найдем способ отделить капли друг от друга и пока не введем конвенцию о том, что мы будем считать каплей.
Большое значение пересчета как метода прояснения наших идей происходит из того факта, что число индивидов в группе само по себе представляет неизменное свойство этой группы. Предположим, мы хотим пересчитать яблоки, находящиеся в сумке. Мы достаем их одно за другим и соотносим каждое яблоко с отдельным членом из набора стандартных объектов (наши пальцы, числа, буквы алфавита). Допустим, что первое яблоко соотнесено с буквой А, второе – с буквой Б, третье – с С и оставшееся яблоко – с D. Таким образом, число полученной в результате пересчета совокупности яблок является постоянным свойством этой совокупности; оно не зависит от того, кто осуществляет пересчет, или от порядка, в котором пересчитываются объекты. Прикладная арифметика отчасти является совокупностью правил, с помощью которых наиболее простым образом может быть установлено данное неизменное правило.
Многие сложности, сопутствующие перечислению групп, происходят из сложности интерпретации того, что именно пересчитывается. Во многих исследованиях пересчет осуществляется легко и недвусмысленно, поскольку перечисляемые группы изначально различимы. Мы можем пересчитать число мужчин и женщин в некоторой общине, поскольку различные биологические функции мужчин и женщин не позволяют их перепутать. Однако там, где граница разделения не столь различима, интерпретация полученных чисел является сомнительной. Так, совсем нелегко провести линию разделения между опытными и неопытными работниками; и хотя мы можем пересчитать число индивидов в каждой из двух этих групп, на результат пересчета также будет распространяться двусмысленность, связанная с понятием опытного работника.
Сбор и интерпретация информации о большом количестве социальных факторов обременены отдельными сложностями. Подобную информацию, как правило, получают из письменных или устных опросов, предложенных лишь части населения; при этом никогда не следует забывать, что точность подобной информации не может превышать точности, с которой респонденты отвечают на вопросы. Всегда следует учитывать неосведомленность, нечестность и праздность, которые могут быть свойственны респондентам. Ни одна математическая операция, проводимая над результатами опросов, не может элиминировать недоступные для пересчета неточности в ответах. Так, перепись населения 1890 года в Соединенных Штатах предусматривала учет цвета кожи респондентов: черные, мулаты, квартероны (черные на четверть), октороны (черные на одну восьмую). Поскольку большинство людей не осведомлено о значении этих различий и еще большее их число не знает, к какой классификации себя отнести, вполне можно утверждать, что ответы будут ненадежными, даже если респонденты отвечали честно. Вопросы, задаваемые в переписи, следует выстраивать крайне аккуратно: они не должны относиться к темам, о которых большинство людей плохо информировано. Полученная из вопросников информация о том, сколько дней в году респондент был трудоустроен или как именно тратил свои деньги в течение года, в большинстве случаев оказывается негодной. То же самое относится и к распространяющейся практике опросов среди не имеющих достаточной квалификации студентов по проблемам половых отношений, экономики или политики.
Праздность или нечестность, которые могут быть присущи респондентам, зачастую являются столь же важными факторами, как и неосведомленность. В одном британском опросе спрашивалось, является ли респондент работником или работодателем. Результат указал на очень большое число работодателей, которое существенно расходилось с информацией, полученной из других независимых источников. Данное расхождение было объяснено, по крайней мере предположительно, тем, что респондентам было стыдно признаться перед опрашивающим в том, что они были всего лишь работниками. Большинство результатов опросов по таким темам, как религия, общественные убеждения, наличие физических или психических расстройств, с точностью будут ненадежными, поскольку, отвечая на такие вопросы, респонденты будут скорее всего испытывать чувство страха или стыда.
Если исследуемые нами группы являются очень большими и их сложно проанализировать исчерпывающим образом, то может случиться так, что перечисление всех их членов окажется невозможным или неоправданным в финансовом смысле. В таких случаях мы прибегаем к отбору подходящих образцов. Ниже у нас еще будет возможность рассмотреть и ограничения, связанные с этой процедурой. Отличительная особенность данного процесса состоит в заключении о том, что соотношение свойств в отдельно взятом примере такое же, как и во всей исследуемой совокупности. Этот процесс подразумевает наличие аргумента, который мы обозначили как «рассуждение от подходящих образцов», или «статистическое умозаключение».
§ 3. Измерение интенсивных качеств
Мы видели, что сравнения, основанные на пересчете, зависят от нашей способности ясно отличать друг от друга различные группы или различные свойства. Однако нередко свойства нельзя четко отличить друг от друга, поскольку они представляют непрерывную последовательность. Так, у нас может возникнуть желание различить ножи по их остроте, виды древесины по их жесткости, детей по их резвости. Для некоторых случаев достаточно знать, что один кусок дерева жестче другого, на основании такого грубого критерия жесткости древесины, как возможность без труда вбить в нее гвоздь. Однако иногда нам нужно узнать, насколько жестким является данный кусок дерева по сравнению со всеми другими видами древесины, и тогда нам требуется более точный и однородный критерий, чем приведенный выше. Мы хотим по возможности приписать числа для обозначения различных степеней жесткости; и мы нередко именно так и делаем. Такие приписываемые числа называются единицами измерения различных степеней качества. Какие же принципы необходимо соблюдать при использовании чисел для обозначения таких различий в качестве?
Нам следует остерегаться распространенной ошибки. Часто считается, что возможность приписывания числовых значений различным степеням качества говорит о том, что эти различные степени всегда соотносятся друг с другом одним и тем же образом, подобно соотношению между приписываемыми им числами. Это серьезная ошибка, которая происходит из мнения о том, что измерение состоит только из приписывания чисел. Мы увидим, что не все качества могут измеряться в одном и том же смысле. Так, когда мы говорим, что один бак содержит 100 кварт воды, а другой – 50 кварт, то на основании этого можно, как мы скоро увидим, утверждать, что первый бак содержит в два раза больше воды, чем второй. В этом случае соотношение объемов такое же, как и соотношение чисел. Однако, когда мы говорим, что в один день температура равняется 100°F, а в другой день – 50°F, можно ли сказать, что в первый день температура была в два раза выше, чем во второй? Или же когда мы обнаруживаем, что IQ одного студента равняется 100, а другого – 50, значит ли это, что первый студент в два раза умнее второго? Анализ условий измерения покажет, что последние два утверждения не имеют значения.
Нам следует обратить внимание на то, что числа могут использоваться, по крайней мере, тремя различными способами: 1) как ярлыки или идентифицирующие метки, 2) как знаки, обозначающие положение определенной степени качества в некоторой последовательности таких степеней, и 3) как знаки, обозначающие количественные отношения между качествами. В некоторых случаях числа могут выполнять все три функции сразу.
1) Числа (номера), приписываемые заключенным или вагонам поезда, используются только в качестве удобного способа именования этих объектов. Числа удобнее вербальных имен, потому что с помощью чисел можно легко поименовать любого нового появившегося в группе индивида, просто взяв число, следующее по порядку за последним использованным таким образом числом. Когда числа используются для этих целей, большинство людей считает, что нет никакого соответствия между отношением между перечисляемыми объектами и отношением между приписываемыми числами. Заключенный номер 500 не является в пять раз опаснее или безнравственнее, чем заключенный номер 100. Иногда неверно даже то, что заключенный номер 500 оказался в тюрьме позже заключенного номер 100, поскольку один и тот же номер может несколько раз использоваться в качестве имени без какой-либо путаницы.
2) Более важным в научном смысле является использование чисел в тех случаях, когда порядок численного увеличения является тем же, что и порядок положения исследуемого свойства на шкале или схеме для определенных качеств. Допустим, нам нужно различить группы предметов по их твердости и мягкости. Мы можем принять следующее определение того, что значит для одного предмета быть жестче другого: алмаз жестче стекла, если алмаз может поцарапать стекло, а стекло не может поцарапать алмаз; предмет будет считаться столь же жестким, как и некоторый другой предмет, если с помощью первого предмета нельзя поцарапать второй, а с помощью второго – первый. В таком случае мы можем расположить предметы по шкале жесткости, если сможем экспериментально показать, что указанное отношение выполняется для каждой тройки различных по жесткости предметов: алмаз жестче стекла, стекло жестче древесины сосны, алмаз жестче древесины сосны. Таким образом, демонстрируется, что отношение «быть жестче, чем» является асимметричным (если В1 жестче, чем В2, то В2 не жестче, чем В1) и транзитивным (если В1 жестче, чем В2, и В2 жестче, чем В3, то В1 жестче, чем В3). Так, мы получаем возможность расставить предметы в линейной последовательности по их жесткости и, тем самым, получить шкалу или схему данного качества.
Теперь представим, что у нас 100 различных по жесткости предметов В1, В2… В100, расставленных в согласии со сформулированными выше условиями, так что В1 является самым жестким, а В100 – самым мягким. Мы можем захотеть приписать им числа для обозначения их относительной жесткости, так чтобы получившийся порядок численного увеличения был таким же, как и порядок увеличения относительной степени жесткости. (Это можно сделать, поскольку отношение увеличения чисел является асимметричным и транзитивным.) Однако какое число приписать предмету В1? Мы можем решить приписать ему число 0, или 1, или 25, или же любое другое число по нашему желанию. Допустим, мы решили приписать число 1 для В1, а В100 – число 100, а также согласились обозначать жесткость В2 числом 2, а жесткость В3 – числом 3 и т. д.
Данный выбор не был вынужденным. Мы вполне могли решить обозначать числом 1 В1, числом 5 – В2, числом 10 – В3 и т. д. Поэтому в терминах процедуры, которой мы следовали, расставляя предметы по шкале жесткости, нет никакого значения, которое можно было бы приписать утверждению о том, что В50 в два раза мягче, чем В25. Данное утверждение не обладает значением, поскольку при расстановке предметов по шкале единственными определяемыми отношениями являются отношения транзитивности и асимметричности применительно к возможности поцарапать один предмет другим. В приведенном утверждении неверно предполагается, что, поскольку один предмет располагается «выше» по шкале, чем другой предмет, он «содержит» больше того, что мы называем «жесткостью». Также в приведенном утверждении на том основании, что один предмет якобы содержит больше этого свойства, неверно предполагается, что он содержит определенное количество единиц этого свойства. Оба эти предположения должны беспощадно элиминироваться, ибо они происходят из ошибочной идеи о том, что жесткость является чем-то, что можно складывать. Однако ничто в процессе создания шкалы не подтверждает данной идеи. Жесткость и мягкость, так же как и температура, форма, плотность, ум, вежливость, являются несуммируемыми качествами. Такие качества зачастую называются интенсивными. Их можно измерить только в смысле выстраивания различных степеней данного качества в некоторой последовательности. Относительно подобных качеств вопросы о том, насколько больше или во сколько раз больше, являются бессмысленными.
§ 4. Измерение экстенсивных качеств
Обратимся к третьему способу использования чисел. Иногда числа применяются для измерения количественных отношений в строгом смысле, т. е. так, что на вопросы «сколько» и «на сколько» могут быть даны ответы. Предположим, что мы рассматриваем набор предметов и хотим измерить их вес. Для того чтобы это сделать, мы должны, во-первых, построить шкалу или схему весов, похожую на ту, которую мы строили для измерения жесткости. Мы можем, к примеру, согласиться с тем, что предмет R тяжелее, чем какой-то другой предмет R тяжелее, чем какой‑то другой предмет S , если при размещении R и S на разных сторонах рычажных весов сторона, на которой находится предмет R , оказывается ниже противоположной. Далее мы должны экспериментально установить, что отношение «быть тяжелее, чем» является транзитивным и асимметричным. Мы также оговорим, что предмет R имеет тот же вес , что и предмет R ′, если R не тяжелее R ′ и R ′ не тяжелее R ; это значит, что ни одна сторона весов не оказывается ниже противоположной, когда на них кладутся R и R ′.
Мы можем построить не только шкалу степеней веса. Мы также можем отыскать интерпретацию в терминах некоторой операции с предметами для утверждения, в котором говорится, например, о том, что один предмет весит в три раза больше другого. Такая интерпретация возможна, поскольку веса можно складывать. Физический процесс сложения заключается в помещении двух или более весов вместе на одну из сторон взвешивающего устройства. Теперь рассмотрим три предмета В, В\', В", которые являются одинаково тяжелыми, и положим их на одну сторону весов; на другую сторону мы положим предмет С так, чтобы было установлено равновесие. Тогда предмет С будет таким же тяжелым, как три предмета В, В\', В", взятые вместе, и его вес будет в три раза больше, чем вес каждого из трех предметов. Данная процедура может быть расширена для определения последовательности стандартных весов. В терминах данной процедуры можно осмысленно говорить, что один объект в n раз тяжелее или 1/n раз тяжелее другого объекта.
Однако мы пока еще недостаточно убедились в том, что числа, приписываемые подобным образом предметам, обладают всеми своими известными значениями. Мы показали, что вес, в отличие от тяжести, является суммируемым свойством. Нам нужно также показать, что числа, приписываемые весам, совместимы с самими собой, и сделать это придется опять с помощью эксперимента. Мы должны убедиться в том, что мы не допускаем ситуации, когда различные числа приписываются одним и тем же весам. Так, предположим, вес определенного объекта А рассматривается как определенная единица измерения или 1, и что мы с помощью этого процесса можем приписывать веса другим объектам так, что А2 будет обладать весом 2, А4 – весом 4, а А6 – весом 6. Можем ли мы быть уверены в том, что А2 и А4, будучи размещенными на одной стороне весов, окажутся на том же уровне, что и А6, если его поместить на противоположную сторону? Очень важно отметить, что мы не можем быть уверены в этом до тех пор, пока мы не проведем соответствующего эксперимента. Суждение о том, что 2 + 4 = 6, может быть доказано чисто арифметически без какого-либо эксперимента. Однако до тех пор, пока мы не проведем соответствующих экспериментов, мы не можем быть уверены в том, что физическая операция сложения весов согласуется с известными свойствами чисто арифметического сложения. Физическая операция сложения весов обладает обычными формальными свойствами арифметического сложения только в некоторых случаях, а не во всех: рычажные весы должны быть правильно сконструированы, стороны рычага должны быть одинаковой длины и т. д.
Метод измерения весов может использоваться также и для измерения других свойств. Длины, временные интервалы, площади, углы, электрический ток, электрическое сопротивление – все это может быть измерено сходным образом. Эти свойства являются суммируемыми: совмещая два объекта, обладающих одним и тем же свойством, мы получаем объект с увеличенной степенью этого свойства. Суммируемые свойства часто называются экстенсивными. Их можно измерять в соответствии с процессами, рассмотренными в данном параграфе. Такое измерение мы будем называть фундаментальным.
§ 5. Формальные условия измерения
На данном этапе мы можем абстрактно сформулировать условия для измерения. Минимальные требования для использования чисел для измерения (в самом широком смысле этого слова) качественных различий представлены в первых двух условиях:
1. Если дан набор из n предметов, В1, В2… Вп, то мы должны расставить их в последовательность относительно данного качества так, чтобы между любыми двумя предметами имело место одно, и только одно, из следующих отношений: (a) Bi > Bj, (b) Bi < Bj (с) Bi = Bj. Знак «>» и обратный ему знак «<» обозначают отношение, на основе которого предметы могут выделяться как отличающиеся по степени изучаемого качества. Отношение > должно быть асимметричным.
2. Если Bi > Bj и Bj > Вк, то Bi > Вк. Это условие выражает транзитивность рассматриваемого отношения.
Данные два условия достаточны для измерения интенсивных качеств, таких, как температура или плотность. Они являются необходимыми, однако недостаточными для экстенсивного измерения. Для экстенсивного измерения нам нужен некоторый физический процесс сложения, обозначаемый знаком «+». Необходимо также экспериментально показать, что этот процесс обладает следующими формальными свойствами:
3. Если Ве + Bf= Вg, то Bf+Be = Вg.
4. Если Bi = Вi, то Bi + Bj >Вi ′.
5. Если Bi = Вi и Bj = Вi ′, то Bi + Bj = Вi ′+ Вj ′.
6. (Bi + Bj) + Bk = Bi + (Bj + Bk).
Измерение в строгом смысле возможно, только если выполнены все эти условия. Когда выполнены только первые два условия, бессмысленно делать утверждения, имплицирующие соблюдение всех шести условий. Когда мы утверждаем, что IQ одного человека равняется 150, а другого – 75, то все, что мы можем иметь в виду, – только то, что на определенной шкале для измерения интеллекта (требующей наличия специализированных способностей) один человек располагается «выше» другого. Бессмысленно говорить, что первый человек в два раза умнее или в два раза более развитый, чем другой, потому что не было открыто ни одной операции по сложению ума или развития, которая бы согласовывалась с последними четырьмя условиями, необходимыми для того, чтобы соответствующее утверждение было осмысленным.
§ 6. Количественные законы и производное измерение
Когда мы устанавливаем стандартную последовательность измерений для какого-либо качества, присущего предметам, мы измеряем любой другой пример данного качества, сравнивая его с каким-либо членом стандартной последовательности. Например, стандартная последовательность длин воплощена в платиновом метре, хранящемся в Париже при определенных физических условиях. Его более или менее точные дубликаты распространены по всему миру. Если кто-то захочет узнать длину некоего куска материи, он сопоставит этот кусок с мерой длиной в один метр или с измерительной линейкой. Таким образом, для оценки длины куска материи требуется непосредственное вынесение суждения о проведенном сравнении. Сходные процессы измерения имеют место и в случае других измеряемых качеств.
Однако измерения качеств редко осуществляются для измерения как такового. Их проводят для установления точных отношений между различными свойствами предметов. В лаборатории измерения проводятся для единственной цели – открытия количественных законов, связывающих физические свойства.
Рассмотрим один такой количественный закон. Большинство людей знакомо со свойством жидкостей и твердых тел, именуемым «плотностью». В общем, известно также и то, что именно плотность определяет их плавучесть в воде. Однако не всегда известно, каково отношение плотности к другим свойствам тела. Предположим, мы хотели бы измерить плотность следующих пяти жидкостей: бензина, спирта, воды, соляной кислоты, ртути. Мы можем считать одну жидкость, скажем, ртуть, более плотной, чем вода, если мы можем найти такое твердое тело, которое будет плавать на поверхности ртути и тонуть в воде. С помощью эксперимента мы можем показать, что плотность, определяемая таким образом, является асимметричным, транзитивным свойством и что поэтому жидкости могут быть расставлены в последовательность по увеличению плотности. В действительности порядок жидкостей будет таким же, как мы его записали выше. При этом мы обнаруживаем, что плотность не является суммируемым свойством жидкостей и что мы можем измерять ее только как интенсивное качество. Мы можем приписать числа 1, 2, 3, 4, 5 для обозначения положений жидкостей на шкале плотности. Как мы уже отмечали, данные числа являются случайными.
Однако читателю может быть известно, что плотностям разных жидкостей приписываются различные числа, которые при этом не являются случайными. Причина этого заключается в том, что многие интенсивные качества могут измеряться иными способами, а не только посредством расстановки, согласно некоторой последовательности. Плотность является одним из таких качеств.
Этот иной способ является довольно известным. Он зависит от существования численного закона между другими свойствами жидкостей, с которыми их плотность связана неизменным отношением. Когда мы взвешиваем различные объемы некоторой жидкости, скажем, воды, мы экспериментально обнаруживаем, что отношение чисел, измеряющих вес и объем жидкости, остается одним и тем же, безотносительно того, насколько большой или малый объем мы измеряем. Таким образом, мы устанавливаем количественный закон между свойствами веса и объема жидкости. Этот закон гласит: W = cV, где W является мерой веса, V – мерой соответствующего объема, ас – постоянной величиной для всех примеров одной и той же жидкости; для других же жидкостей величина с будет иной. Проведя правильный подбор единиц веса и объема, мы обнаруживаем, что с обладает значением 0,75 для бензина, 0,79 – для спирта, 1 – для воды, 1,27 для серной кислоты и 13,6 для ртути. Мы также делаем важное открытие того, что порядок этих отношений тот же самый, что и порядок плотности жидкостей, когда он устанавливается способом, использованным нами выше. Это отношение, являющееся постоянным для всех примеров однородной жидкости, может рассматриваться как мера ее плотности. Однако нам следует быть внимательными, чтобы не сказать, что плотность ртути в 13,6 раза «больше» плотности воды, поскольку плотность, безотносительно способа ее измерения, является несуммируемым свойством. Плотность можно с точностью измерить и приписать числа различным ее степеням не случайным образом только в силу существования связи между весом и объемом. Данная связь может быть выражена в виде количественного закона между отношениями, измеряемыми фундаментальными способами измерения. Плотность же может измеряться только производным методом.
Количественные законы играют очень важную роль в научных исследованиях. Открытие количественных законов между качествами, измеряемыми в строгом смысле слова, т. е. с помощью фундаментального измерения, позволяет нам точно измерять множество интенсивных качеств, таких как температура, плотность, плавучесть, эластичность или эффективность агрегатов. Только с помощью количественных законов мы можем измерять температуры отдаленных звезд или кровяное давление в артериях живых существ. Однако важно отметить, что без наличия свойств, измеряемых с помощью фундаментального процесса, количественные законы были бы невозможны, а производные измерения интенсивных свойств были бы неосуществимы. (Однако свойства, измеряемые с помощью фундаментального процесса, также могут измеряться и производным методом.) Это отчасти объясняет некоторые сложности в развитии социальных наук. Точные расчеты интенсивных свойств являются неосуществимыми, поскольку фундаментальные измерения в социальной сфере сложны, а также потому что можно отыскать лишь часть количественных законов, соединяющих такие интенсивные свойства с экстенсивными свойствами.
Количественные законы представляют определенные неизменные отношения между физическими свойствами. Наука направлена не только на установление таких законов по отдельности, но также на отыскание того, как различные количественные законы связаны друг с другом.
Предположим, к примеру, что мы позволяем двум круговым цилиндрам катиться вниз по двум различным наклонным плоскостям. Цилиндры имеют различные радиусы прямого сечения, а плоскости наклонены к горизонту под разными углами. Если мы хотим отыскать закон, соединяющий расстояние, пройденное каждым цилиндром, и время, то мы можем установить, что для первого цилиндра данный закон будет выглядеть так: d = 0,20t2, а для второго – так: d = 0,35t2. Эти законы обладают одной и той же формой. Однако количественные константы в них разные и, похоже, не связаны друг с другом.
Физика как научная дисциплина стремится открыть другие количественные законы, которые будут объяснять различие в этих количественных постоянных, и мы для этого используем другие цилиндры и другие наклонные плоскости. И это предприятие имеет успех. Физическое исследование показывает, что количественный закон поведения катящегося цилиндра может быть выражен в форме d = ft2, где величина f сама по себе является связанной с гравитационной постоянной, наклоном плоскости, коэффициентом движения, радиусом сечения цилиндра и распределением вещества в цилиндре. Таким образом, науки отыскивают все более общие неизменные законы, объясняющие многие специальные свойства составного явления. Однако подобное исследование может быть успешным только в том случае, если различные свойства тел были отделены друг от друга посредством процессов измерения.