(а – с)(Ь – d) = ab – be – ad + cd.
Далее припишем а и Ь значение нуль. Тогда мы получим уравнение 2:
(0 – с)(0 – d) = 0 × 0 – 0 × с – 0 × d + cd;
или уравнение 3:
(-c)(-d) = (+cd).
В общем, заключением доказательства является положительное произведение двух отрицательных величин.
Является ли данное доказательство обоснованным? Читатель с легкостью увидит, что не является, поскольку уравнение 1 было развито на основе предположения, что а и Ь не равны нулю. Мы не можем получить уравнение 3 из уравнения 1, если не введем дополнительное допущение, что уравнение 1 будет истинным для всех возможных значений а и Ь. Однако это дополнение эквивалентно допущению о том, что все законы, распространяющиеся на сложение и умножение положительных чисел, также истинны и для отрицательных чисел. Но именно это суждение изначально и доказывалось.
На самом деле мы знаем, что правила оперирования отрицательных чисел независимы от правил оперирования положительных чисел. В очередной раз становится очевидной ценность разложения аргумента на составляющие его шаги. Точно так же как изучение допущений, требующихся для доказательства пятого постулата Евклида, привели Лобачевского и Больяя к открытию неевклидовых геометрий, так и исследование основополагающих правил алгебры привели сэра Уильяма Р. Гамильтона и Г. Г. Грассмана к открытию различных алгебраических систем. Без неевклидовых геометрий вряд ли было бы возможно развитие более сложной общей алгебры и современной физики. Важно отметить, что метод, требующий проявления всех требующихся для доказательства допущений, а также беспристрастные исследования всех альтернатив подобных допущений имеют далеко идущие следствия. Наилучший способ прояснить значимость логического метода для цивилизации – это задуматься о том, какую роль он сыграл в истории развития науки.
Упражнения
Глава I. Предмет логики
1. Что из перечисленного ниже мы знаем непосредственно, а что с опорой на основания?
a. Существует центр Земли.
b. Существует король Италии.
c. Мы обладаем легкими, с помощью которых дышим.
d. Существует бельгийская колония Конго.
e. Между Индией и Китаем существует страна, именуемая Тибетом.
2. На каких основаниях вы верите в то, что ваш дальний предок жил в 2000 году до н. э.? На каких основаниях базируется ваше верование о том, что на земле жили такие личности, как Вашингтон, Наполеон, король Артур, царь Давид, Гомер, Моисей?
3. Докажите, что 5 + 2 = 7. Сформулируйте все допущения, используемые вами при доказательстве. (См. Пуанкаре А. Основания науки.)
4. Что имеется в виду, когда утверждается, что логика является формальной дисциплиной?
5. Какие базовые допущения используются в следующем доказательстве: а2 – b2 = (а + Ь)(а – Ь)?
6. Сформулируйте суждение, необходимое для доказательства того, что:
a. Земля – круглая.
b. Она вращается вокруг оси, а также вокруг Солнца.
7. Каковы основания для утверждения о том, что, согласно действующей конституции, президент Соединенных Штатов может быть избран меньшинством голосов избирателей?
8. Являются ли обоснованными следующие аргументы:
a. Сан-Франциско находится к западу от Нью-Йорка.
Пекин находится к западу от Сан-Франциско.
Берлин находится к западу от Пекина.
∴ Берлин находится к западу от Сан-Франциско.
b. А находится справа от В.
В находится справа от С.
∴ А находится справа от С.
Является ли данный аргумент справедливым относительно людей, сидящих в кругу?
9. Являются ли приведенные ниже умозаключения обоснованными только лишь потому, что посылки и следствия в них являются истинными?
a. Рыбы живут в воде.
Обезьяны не рыбы.
∴ Обезьяны не живут в воде.
b. Сравните с аргументом а:
Рыбы живут в воде.
Киты не рыбы.
∴ Киты не живут в воде.
10. Являются ли ниже приведенные умозаключения обоснованными:
a. Все львы свирепы.
Некоторые львы не пьют кофе.
∴ Некоторые существа, пьющие кофе, не являются свирепыми.
b. Некоторые подушки являются мягкими.
Ни одна кочерга не является мягкой.
∴ Некоторые кочерги не являются подушками.
c. Ни один банкрот не является богатым.
Некоторые торговцы не банкроты.
∴ Некоторые торговцы являются богатыми.
d. Ни один император не является дантистом.
Все дантисты вызывают страх у детей.
∴ Ни один император не вызывает страх у детей.
e. Все сообразительные мальчики получили призы.
Все трудолюбивые мальчики получили призы.
∴ Все сообразительные мальчики были трудолюбивыми.
f. Все либералы придерживаются данного мнения.
Он придерживается данного мнения.
∴ Он – либерал.
11. Скажите, почему приведенные ниже умозаключения являются обоснованными или необоснованными:
a. В случае объявления войны начнется вторжение на
территорию врага.
Война не объявлена.
∴ Вторжение на территорию врага не начнется.
b. Если число делится на 4, то оно является четным.
Это число не является четным.
∴ Это число не делится на 4.
c. Если улица полита, то в воздухе нет пыли.
Улица не полита.
∴ В воздухе присутствует пыль.
d. Ребенок болен или он избалован.
Ребенок болен.
∴ Ребенок не избалован.
e. Если он выполнит свои предвыборные обещания, то
станет популярным мэром.
Он будет популярным мэром.
∴ Он выполнит свои предвыборные обещания.
f. Если он рожден в Париже, то не может стать членом
правительства.
Он рожден в Париже.
∴ Он не может стать членом правительства,
g. Он безразличен или он забывчив.
Он не забывчив.
∴ Он безразличен.
12. Обсудите следующие умозаключения:
a. Девяносто девять критян из ста – лжецы.
Эпименид – критянин.
∴ Эпименид – лжец.
b. Все известные мне критяне – это Минос, Сарпедон, Радамант, Девкалион и Эпименид.
Все они – ужасные лжецы.
∴ Почти все критяне были лжецами.
c. Все горошины, взятые из мешка А, – белые.
Эти горошины – белые.
∴ Данные горошины взяты из мешка А.
13. В чем разница между умозаключением и импликацией?
14. В чем различие между логикой и грамматикой, логикой и психологией, логикой и физикой?
15. В книге IV, в главе XVII «Опыт о человеческом разумении» относительно значимости изучения формальной логики Локк высказывается следующим образом:
«Если силлогизм следует считать единственным надлежащим орудием разума и средством познания, то выходит, что до Аристотеля никто ничего не знал и не мог знать с помощью разума и что даже после изобретения силлогизмов из десяти тысяч человек нет и одного такого, которому было бы это свойственно.
Но бог не был настолько скуп, чтобы создать людей просто двуногими тварями и предоставить Аристотелю превратить их в разумные существа» [124] .
В чем сила данного выпада против Аристотеля?
Дополнительная литература
Stebbing L. S. Modern Introduction to Logic. Chap. I., 1930; Dewey J. How We Think. Pt. II. 1933;
Venn J. Principles of Empirical or Inductive Logic, 2nd ed., Chap. 5, Sec. I.
Глава II. Анализ суждений
1. Классифицируйте следующие суждения:
a. Синица в руке лучше, чем журавль в небе.
b. Попранная истина в конце концов восторжествует.
c. Шесть – первое идеальное число.
d. Вся королевская конница не могла собрать Шалтая Болтая.
e. Мертвые уже никогда не заговорят.
f. В контракте нет ничего, что мешало бы тебе уйти,
g. Многие люди тщетно трудятся.
h. Большинство взрослых состоит в браке.
i. Восемь из тысячи солдат были убиты,
j. Молодежь всегда полна надежд.
к. Немногие деревья являются фруктовыми.
l. Мое пальто на стуле.
m. У некоторых видных личностей были выдающиеся дети,
n. Немногие видные личности имели выдающихся детей,
o. Немало видных людей имели выдающихся детей,
р. Малое количество фактов лучше большого количества риторики.
q. Кто-то из членов комитета разгласил секрет,
г. Грамотность является необходимым, но недостаточным критерием для голосования,
s. Неимение денег – необходимое, но недостаточное условие для получения помощи,
t. Только добродетельные люди счастливы,
u. Только безработные являются ленивыми,
v. Только с иностранцами плохо обходятся,
w. Приветствуются все студенты, кроме первокурсников,
х. Допускаются только бизнесмены,
у. Все, кроме раненых, шли голодными.
2. Выразите логическую структуру следующих аргументов:
а. «В самом деле, допустим, что мир не имеет начала во времени, тогда до всякого данного момента времени протекла вечность и, стало быть, прошел бесконечный ряд следующих друг за другом состояний вещей в мире. Но бесконечность ряда именно в том и состоит, что он никогда не может быть закончен путем последовательного синтеза. Стало быть, бесконечный прошедший мировой ряд невозможен; значит, начало мира есть необходимое условие его существования» [125] .
(Это часть кантовского доказательства (в его первой антиномии) тезиса о том, что мир имел начало в определенный момент времени.)
b. «Всякая сложная субстанция в мире состоит из простых частей, и вообще существует только простое или то, что сложено из простого…
В самом деле, допустим, что сложные субстанции не состоят из простых частей; в таком случае если бы мы устранили мысленно все сложение, то не осталось бы ни сложных, ни простых частей (так как простых частей нет), иными словами, не осталось бы ничего, следовательно, не было бы дано никакой субстанции. Итак, или сложение нельзя устранить мысленно, или же после его устранения должно остаться что-то существующее без всякой сложности, т. е. простое. Но в первом случае сложное не состояло бы из субстанций (так как для субстанций сложение есть лишь случайное отношение, без которого они должны существовать как самостоятельно (fur sich) пребывающие сущности). Так как этот случай противоречит нашему предположению, то остается только второй случай, а именно что субстанциально сложное в мире состоит из простых частей. Отсюда непосредственно следует, что все вещи в мире суть простые сущности, что сложение есть только внешнее состояние их и, если бы мы даже и не могли полностью вывести первичные субстанции из этого состояния соединения и изолировать их, разум все равно должен был бы мыслить их как первые субъекты всякого сложения и, стало быть, до сложения как простые сущности» [126] .