8. Проверьте по толковому словарю изменение в значении таких слов, как «вид», «рукопись», «часы», «род», «доктор».
9. Что означает класс?
10. Что означает логическая сумма двух классов? Логическое произведение двух классов?
11. Что означает утверждение, что один из двух классов включен в другой?
12. Что такое нуль-класс и каковы отношения между этим классом и любым другим классом?
13. Выразите нижеприведенные суждения в символической форме:
a. Только настойчивые добиваются успеха.
b. Некоторые профессора не являются седыми.
c. Никто, кроме молодых, не способен на героизм.
d. Все книги по логике содержат опечатки.
e. Ни один спортсмен не живет долго.
14. Докажите в символической форме:
a. Все а суть Ь; следовательно, все не-b суть не-а.
b. Ни один а не является Ь; следовательно, все а являются не-Ь.
c. Некоторые а суть Ь; следовательно, некоторые Ь суть а.
d. Некоторые а не суть Ь; следовательно, некоторые не-Ь не суть не-а.
15. Выразите в символической форме:
a. Если р имплицирует q, a q имплицирует г, то р имплицирует г.
b. Если р и q имплицируют г, то р и не-г имплицируют н e-q.
c. Если р или q имплицирует г, то либо р имплицирует г, либо q имплицирует г.
Для дальнейшего изучения:
Couturat L. Algebra of Logic.
Whitehead A. N. Universal Algebra, Bk. I, Chap. I and Book II. Lewis С. I., Langford. Symbolic Logic.
Eaton R. M. Symbolism and Truth. Chap. VII.
О природе символов:
Johnson W. E. Logic, Part II. Chap. III.
Whitehead A. N. An Introduction to Mathematics. Chap. V.
Eaton R. M. Symbolism and Truth. Chap. II.
Глава VII. Природа логической или математической системы
1. Установите то, что нижеследующие постулаты являются непротиворечивыми. Также покажите, что они независимы друг от друга.
Постулат 1. Если а и Ь – различные элементы класса К, и < – некоторое отношение, то а < b или Ь < а.
Постулат 2. Если а < Ь, то а и Ь различны.
Постулат 3. Если а < Ь, то Ь < с, тогда а < с [134] .
2. Покажите, что набор операций (сложения, умножения, деления и вычитания) над целыми числами является изоморфным набору операций над дробями.
3. Обсудите отношение алгебры к аналитической геометрии в свете вопроса об изоморфизме.
4. Докажите, что аристотелевский принцип dictum de omni et nullo для категорического силлогизма является эквивалентным пяти аксиомам обоснованности, сформулированным в § 3 главы IV.
5. Покажите, что аксиома I для категорического силлогизма (средний термин должен быть распределен хотя бы единожды) является эквивалентной аксиоме 2 (ни один термин не может быть распределенным в заключении, если он не распределен в посылках).
6. «Напишите на одной карточке любое нечетное число, например 35, а на другой – любое четное, например 46. Попросите, чтобы кто-то дал одну карточку А, а другую – Б, но при этом так, чтобы вы не знали, у кого из них какая карточка. Ваша задача сообщить А о том, какое число написано у него на карточке. Скажите, чтобы А умножил свое число на любое четное, а В свое – на любое нечетное. Попросите А и В сложить получившиеся у них в результате умножения числа и назвать вам получившуюся сумму. Если сумма – четная, то у А изначально на карточке было нечетное число, если сумма – нечетная, то у А изначально было четное число» [135] . Докажите, что данный результат будет всегда сохраняться.
7. Покажите, что невозможно разложить целое число на множители, являющиеся простыми числами, более чем одним способом.
8. Что такое аксиома?
9. Что имеется в виду, когда утверждается, что суждение является самоочевидным?
10. Какого рода вопросы может задавать и разрешать логика относительно суждений?
11. Докажите с помощью математической индукции:
12. Прочитайте главы 6 и 7 «Введения в математику» Уайтхеда. Обсудите способы, которыми отличаются друг от друга целые, рациональные, действительные и мнимые числа.
Для дальнейшего изучения:
Younq J. W. Fundamental Concepts of Algebra and Geometry.
Chaps. II, III, IV, V.
Carmichael R. D. The Logic of Discovery. Chaps. II, III, IV, V, VI. Whitehead A. N. Introduction to Mathematics.
Jourdain R E. B. The Nature of Mathematics.
Russel B. Mysticism and Logic. Chaps. IV, V.
Глава VIII. Вероятностный вывод
1. Какова вероятность того, что монета упадет вверх решкой три раза подряд, если вероятность выпадения монеты какой-либо из двух сторон одинакова?
2. Какова вероятность выпадения орла три раза при пяти бросках монеты?
3. В кошельке находится 2 монеты по двадцать пять центов каждая, 3 – по десять, 6 – по пять центов. Наугад извлекаются две монеты. Какова вероятность того, что этими монетами будут:
a. Две монеты по двадцать пять центов?
b. Одна по десять и одна по пять?
4. Вероятность того, что А умрет в течение десяти лет, равна 9/100; того, что В, – 7/100; того, что С, – 11/100.
a. Какова вероятность того, что А проживет еще 10 лет?
b. Какова вероятность того, что А и В вместе проживут еще 10 лет?
c. Какова вероятность того, что по меньшей мере один из троих проживет еще 10 лет?
5. Если 7 человек сядут за круглый стол в случайном порядке, какова вероятность того, что 2 определенных человека будут сидеть рядом? Какова вероятность того, что рядом будут сидеть три заранее определенных человека?
6. Вероятность выпадения орла при броске монеты равняется 1/2, шестерки при броске кости – 1/6, а извлечения белого шара из урны – 3/5. При условии, что данные события независимы, какова вероятность того, что:
a. Произойдет одно, и только одно, из этих событий?
b. Произойдет два из этих событий, и не более?
c. Произойдет по меньшей мере 1 событие?
d. Произойдет по меньшей мере 2 события?
e. Произойдет не более 1 события?
f. Произойдет не более 2 событий?
7. В одной из двух на вид схожих коробок содержится 4 ручки и 2 карандаша. В другой находится 5 ручек и 3 карандаша. Наугад берется одна из коробок, и один предмет содержимого извлекается. Какова вероятность того, что это будет ручка? Если содержимое двух коробок находилось бы в одном мешке, какова вероятность того, что извлеченный наугад предмет оказался бы ручкой?
8. Проанализируйте следующий аргумент:
«Известный нам мир содержит ограниченное количество добра, которого, несмотря на ограниченность, гораздо больше, чем требуется в чисто механистической системе.
Если бы Вселенная целиком состояла бы из громадного количества элементарных сущностей, частиц материи, электричества, импульсов энергии излучения, которые бы сохранялись, но при этом бы отталкивали и притягивали друг друга в приблизительном согласии физических законов, то нам следовало бы ожидать, что на определенном этапе они бы склеивались в объединенные структуры, которые, в свою очередь, хоть и не так часто, но все же могли бы сочетаться и формировать еще более сложные структуры и т. д. Однако вероятность того, чтобы такие более сложные совокупности сочетались только случайным образом, сама по себе была бы бесконечно мала. Более того, также существовала бы устойчивая тенденция распада и рассеивания подобных структур сразу после их формирования вместе с потерей материи и энергии, концентрировавшейся в них.
Серьезный атеист должен относиться к вопросу о мире также с должной серьезностью и задаться следующим вопросом: какова вероятность того, что подобное развитие, в мире распада, стало следствием случайности? Разумеется, под словом «случайность» мы здесь не имеем в виду отсутствие какой-либо причинно-следственной связи, а лишь отсутствие любой причинно-следственной связи, кроме той, что признается в физике. Таким образом, случайностью будет считаться, если стопка карточек, на каждой из которых будет по одной букве, будет брошена в воздух и, упав, сложится в осмысленное предложение, например: «Видеть кошку». Движение каждой карточки будет механически обусловлено, однако настоящей случайностью будет то, что они выпадут именно так…Пусть атеист в споре с нами сделает ставку и назовет степень вероятности, требующуюся для того, что определенное число частиц, волн или каких бы то ни было других составных элементов Вселенной организовались только согласно признаваемым физикой законам механической причинности, так чтобы в результате получился даже не тот космос, который мы реально имеем, а любой другой с равным количеством значимых структур или процессов. Разумеется, он не сможет спорить с нами на равных и, боюсь, наше преимущество в ставках будет столь значимым, что он даже будет выглядеть глуповатым, делая ставку на отстаиваемую им теорию.
Однако какова альтернатива этой позиции? Она не является такой уж страшной, а представляет всего лишь гипотезу о том, что тот вид причинности, который так хорошо нам известен, вид, который мы обнаруживаем в той части материи, которую можем воспринимать непосредственно, а также изнутри, вид, который, коротко говоря, управляет нашей жизнью и сознанием, является не просто случайностью, а существенной составляющей мира, породившего нас» [136] .
9. Исследуйте данные аргументы и определите их вероятностный характер:
Наш посетитель – самый заурядный мелкий лавочник, самодовольный, тупой и медлительный. Брюки у него были мешковатые, серые, в клетку. Его не слишком опрятный черный сюртук был расстегнут, а на темном жилете красовалась массивная цепь накладного золота, на которой в качестве брелока болтался просверленный насквозь четырехугольный кусочек какого-то металла. Его поношенный цилиндр и выцветшее бурое пальто со сморщенным бархатным воротником были брошены тут же на стуле. Одним словом, сколько я ни разглядывал этого человека, я не видел в нем ничего примечательного, кроме пламенно-рыжих волос. Было ясно, что он крайне озадачен каким-то неприятным событием.