Мне очень хотелось поделиться с сестрами радостями, которые я получал от своих путешествий в Европу, а им, конечно, хотелось к этим радостям приобщиться. Я не стану перечислять здесь в хронологическом порядке все поездки, совершенные мною в одиночестве или вместе с ними, и скажу только, что лето 1922, 1924 и 1925 годов я провел за границей, навещая друзей нашей семьи и своих коллег. За время этих поездок я все чаще и чаще виделся с Леви и завязал новые важные для меня знакомства не только в Англии и во Франции, но и в Германии. Летом 1922 года я оказался в Германии как раз в тот момент, когда там начиналась инфляция, и видел собственными глазами, какое это страшное бедствие.
Все это время я продолжал заниматься теорией потенциала. Моя работа протекала в двух направлениях. Прежде всего, я пришел к новому пониманию связи между значениями электромагнитного потенциала внутри области и его значениями на границе. Как я уже указывал, первоначально предполагалось, что значения электромагнитного потенциала внутри области должны непрерывно переходить в значения на границе и однозначно определяться этими последними. Мне, однако, удалось обнаружить, что в теории потенциала могут быть использованы некоторые понятия, родственные упоминавшемуся раньше обобщенному интегрированию, и что при этом приходится считать, что потенциал внутри области должен определяться значениями потенциалов в окрестности границы и что непрерывность при подходе к границе вполне может и нарушаться. Руководствуясь примером теории обобщенного интегрирования П. Дж. Даниеля, о которой я рассказывал выше, я пришел затем к существенному обобщению ряда понятий теории потенциала, начиная с самых основных понятий заряда и емкости. Основным моим нововведением было то, что зависимость значения потенциала во внутренней точке от граничных значений я рассматривал как некоторое обобщенное интегрирование, а не как простейшую непрерывную связь, при которой значения на границе могут быть получены из внутренних значений с помощью предельного перехода. Такой подход, по существу, означал, что обычная постановка задачи с граничными условиями заменялась обратной постановкой. Как и во многих других математических вопросах, такое обращение точки зрения внесло свежую струю в область исследований, долгое время казавшуюся совершенно мертвой.
Мой старший друг и наставник профессор X. Б. Филлипс из МТИ еще раньше рассматривал величины, аналогичные потенциалу, заданные на квадратной сетке (типа сетки решета) и на некоторых трехмерных структурах, родственных такой сетке. С помощью новых общих понятий теории потенциала мне удалось показать, что его результаты являются важным шагом в построении универсальной теории потенциалов любого рода.
Я полагал, что сумел пополнить арсенал обычных средств теории потенциала значительным числом новых, метких соображений. Применив их к старой проблеме Зарембы, полное решение которой оставалось неизвестным, я выяснил, что не ошибся в своих ожиданиях. Примерно в это же время на страницах «Трудов» (Comptes Rendus) Французской академии наук начали появляться многочисленные статьи по теории Зарембы, принадлежащие Лебегу и его молодому ученику Г. Булигану.
В науке часто бывает, что глубина и большая четкость появляющихся новых статей, не содержащих еще каких-либо особенно важных конкретных результатов, свидетельствуют о том, что в ближайшее время в этой области следует ожидать значительного продвижения. Именно так обстояло дело с работами Лебега и Булигана. Мне было совершенно ясно, что если я немедленно не приложу всех своих сил, то позже это уже может оказаться невозможным из-за того, что весь круг вопросов, связанных с теорией потенциала, будет окончательно вычеркнут из числа тех, в которых еще остаются какие-то проблемы, не разработанные до конца. Поэтому я удвоил усилия, стараясь как можно лучше использовать разработанный мной новый математический аппарат, и вскоре с радостью обнаружил, что получил результаты, которые в то время естественно было считать окончательным решением задачи.
Я хорошо сознавал, что должен торопиться, и немедля обратился к студенту Мануэлю Сандовалю Балльярте, мексиканцу по национальности, значительно лучше меня изъяснявшемуся по-французски, с просьбой помочь изложить мои идеи на сносном французском языке. В результате родилась небольшая заметка, которую я по почте отправил Лебегу для опубликования в «Трудах» Академии.
То, что произошло потом, представляет собой пример совпадения, гораздо более обычного в истории открытий и изобретений, чем это может показаться с первого взгляда. Пока мое письмо пересекало океан, Булиган получил некоторые очень важные результаты, которые он не успел еще окончательно отшлифовать. Эти результаты он показал Лебегу и по его совету представил их Академии в запечатанном конверте, в соответствии с обычаем, освященным вековой академической традицией. Мое письмо пришло в тот самый день, когда был вскрыт конверт Булигана. Обе заметки появились рядом в одном и том же номере «Трудов» вместе с коротким предисловием Лебега, относящимся к ним обеим. Хотя результаты этих заметок были изложены в разных терминах, их основная идея полностью совпадала. Впрочем, с точки зрения логики заметка Булигана представлялась менее совершенной, так как она содержала лишь предварительное сообщение о работе, далекой от полного завершения.
Итак, в моем соревновании с Булиганом результат оказался еще более ничейным, чем в предыдущем эпизоде, связанном с двойным открытием банаховых пространств. Знаменательно, что и на этот раз, так же как в случае с Банахом, соревнование закончилось в высшей степени дружелюбно. Булиган с полной готовностью признал большую законченность моей работы, и мы договорились встретиться, как только я попаду во Францию.
Другой круг вопросов, которым я занимался примерно в то же время, но уже без постоянной угрозы быть обойденным, также привел меня к установлению новых дружеских контактов. Дело в том, что мое внимание привлекли исследования датского математика Харальда Бора, посвященные тому, что он назвал «почти периодическими функциями». Эти функции изображаются кривыми, которые, хотя и не повторяются совершенно точно подобно узорам на обоях, но в некотором смысле близки к этому. Открытие таких функций представляло собой значительное обобщение классического гармонического анализа. Как уже говорилось выше, сам я тоже работал над обобщением гармонического анализа, пытаясь обосновать с его помощью формальные правила исчисления Хевисайда. Познакомившись с результатами Бора, я, естественно, захотел посмотреть, что могут дать мои идеи в применении к новой области. И опять мне удалось добиться успеха, построив теорию, охватывающую не только спектры, которые, подобно спектрам излучения паров химических элементов, сосредоточены в отдельных линиях, но и спектры совсем другого типа, в которых энергия непрерывно распределена по целому интервалу частот. Что же касается теории Бора, то она относилась только к случаю линейчатых спектров. Оказалось, что с помощью некоторых рассуждений, которыми я уже и раньше пользовался в своих исследованиях по обобщенному гармоническому анализу, можно было получить все основные результаты Бора и ряд значительно более широких новых результатов, касающихся также случая непрерывного спектра.
Идеи, использовавшиеся в этих исследованиях, очень тесно примыкали к тем, которые я уже применял при изучении броуновского движения. В частности, мне снова пригодились непрерывные кривые, являющиеся столь извилистыми, что ни в какой их точке нельзя сказать, какое же они имеют направление. При обсуждении вопроса о броуновском движении я отмечал, что ранее такие кривые были в науке на положении пасынков: они рассматривались как совершенно неестественные патологические объекты, выдуманные математиками от чрезмерной абстрактности и не имеющие никакого отношения к реальному физическому миру. Мне же удалось построить физическую по существу теорию, в которой такие кривые играли основную роль.
Совсем неожиданно у меня завязались дружеские отношения еще с одним европейским математиком, на сей раз, правда, не на основе общих научных интересов, а благодаря семейным связям. Мне не раз попадались на глаза статьи Леона Лихтенштейна, немецкого ученого, бывшего редактором самого солидного реферативного математического журнала того времени и работавшего в области гидродинамики. Я знал, что у моего отца был двоюродный брат Леон, который, как и он, когда-то учился в Берлинском технологическом институте. Особого интереса к инженерному делу он, однако, не проявлял и в конце концов оставил технику, чтобы заняться научно-исследовательской работой в области прикладной математики. Отец давно потерял его из виду и не знал, где он работает и удалось ли ему чего-нибудь достигнуть на новом поприще.
Однажды мы получили письмо от моей нью-йоркской тетушки, в котором сообщалось, что Леон добился в математике гораздо больших успехов, чем можно было ожидать. Она же нам написала, что его фамилия Лихтенштейн. Тогда-то мне и пришло в голову, что двоюродный брат отца Леон и известный математик Лихтенштейн, очевидно, одно и то же лицо. Я написал Лихтенштейну и прямо спросил его, не доводится ли он нам родственником. В ответ пришло дружественное письмо, подтвердившее мою догадку. Лихтенштейн знал о моем существовании и о моих работах и приглашал навестить его, когда я в следующий раз буду в Европе. Он по-прежнему жил в Берлине, хотя преподавал в Лейпцигском университете, где, как я потом узнал, занимал должность декана факультета наук.
Установив с помощью писем какие-то отношения с Булиганом и Лихтенштейном, я летом вместе с Бертой приехал в Европу. Прежде всего я отправился в Пуатье к Булигану. Он встречал меня на станции, держа в руках экземпляр одной из моих статей, чтобы я мог его узнать. Булиган оказался простым и славным молодым бретонцем. Он пригласил меня погостить у них дома. В Пуатье есть на что посмотреть. Это очаровательный город, очень романтичный, со множеством интересных архитектурных памятников. Булиган познакомил меня с одним из своих друзей, преподавателем лицея и знатоком местных достопримечательностей, самые интересные из которых они вдвоем мне показали.