Посмотрим теперь, что на самом деле обозначают нотные знаки. Положение ноты выше или ниже на пяти нотных линейках обозначает ее высоту, т. е. частоту соответствующего колебания, последовательность нот по горизонтали определяет порядок следования колебаний во времени. Временные обозначения на нотной бумаге указывают относительную длительность звуков и пауз — целые ноты, половинные, четвертные и т. д., а также абсолютную длительность. Таким образом, на первый взгляд создается впечатление, что система музыкальных обозначений характеризует колебания в двух взаимно независимых отношениях: по частоте и по длительности.
Более полное рассмотрение этого вопроса показывает, однако, что дело обстоит совсем не так просто, как кажется сначала. Число колебаний в секунду, указанное в обозначении ноты в виде характеристики ее частоты (или высоты), на самом деле также имеет отношение к временной протяженности. Поэтому частота ноты и ее распределение во времени взаимодействуют друг с другом весьма сложным образом.
В идеале простое гармоническое колебание — это нечто неизменно повторяющееся на протяжении всего времени от самого удаленного прошлого до самого удаленного будущего. В некотором смысле оно существует sub specie aeternitatis[52]. Начало и окончание ноты неизбежно связаны с изменением ее частотного состава, может быть и малым, но всегда вполне реальным. Нота, длящаяся лишь ограниченное время, разлагается на целую полосу простых гармонических колебаний, и ни одно из этих колебаний нельзя рассматривать как единственно существующее. Уточнение положения звука на шкале времени связано с увеличением неточности в значении его частоты, и, наоборот, более точное указание частоты влечет за собой большую неопределенность во времени.
Эти соображения имеют отнюдь не только чисто теоретическую ценность — они реально ограничивают возможности музыканта. Никто не может сыграть жигу[53] на нижнем регистре органа. Если данной ноте соответствует частота в шестнадцать колебаний в секунду, а продолжительность равна одной двадцатой секунды, то получится всего одно сжатие воздуха, лишенное всяких следов периодичности. Естественно, что оно не прозвучит как определенная нота, а будет восприниматься барабанной перепонкой просто как отдельный толчок. При этом сложный механизм отражения импульсов, создающий музыкальное звучание органных труб, вообще не сможет даже начать действовать. В результате быстрая жига, сыгранная на нижнем регистре органа, окажется даже не плохой музыкой, а вообще не будет музыкой.
Связанный с этим парадокс гармонического анализа был важным пунктом моего доклада, сделанного в Геттингене в 1925 году. В то время я уже ясно представлял себе, что законы физики в каком-то смысле аналогичны музыкальным обозначениям и что изложенные выше соображения могут оказаться вполне реальными и важными, хотя их и не приходится слишком принимать всерьез, если ограничиться рассмотрением лишь временных интервалов, не меньших некоторого весьма малого промежутка времени. Иными словами, я стремился подчеркнуть, что в музыке, как и в квантовой теории, имеется существенная разница между поведением, относящимся к очень малым интервалам времени (или пространства), и тем, что мы считаем нормальным поведением, выбирая при этом какой-либо привычный нам масштаб времени, и что безграничная делимость реального мира представляет собой понятие, которое в современной физике нельзя использовать без специальных оговорок.
Для того чтобы выяснить связь этих моих идей с реальным развитием квантовой теории, мы должны заглянуть на несколько лет вперед и обратиться ко времени, когда Вернер Гейзенберг сформулировал свой принцип двойственности или индетерминизма (неопределенности). В классической физике Ньютона частица может иметь в данный момент времени определенное положение и определенный импульс или, что почти то же самое, определенное положение и определенную скорость. Гейзенберг теоретически обнаружил, что в условиях, при которых положение частицы можно измерить с очень высокой точностью, ее импульс или скорость можно измерить только с малой точностью, и наоборот. Эта двойственность имеет точно ту же самую природу, что и двойственность между высотой и длительностью в музыке, и, действительно, Гейзенберг объяснил ее с помощью того же самого гармонического анализа, о котором я говорил в Геттингене по крайней мере на пять лет раньше.
Главную роль в создании и первоначальном развитии квантовой механики в Геттингене сыграли Макс Борн и Гейзенберг. Макс Борн был гораздо старше Гейзенберга, но, хотя в основе новой теории, несомненно, лежали его идеи, честь создания квантовой механики как самостоятельного раздела науки принадлежит его более молодому коллеге. Спокойный, мягкий человек, музыкант в душе, Борн больше всего на свете любил играть с женой на двух роялях. Ученый удивительной скромности, он получил Нобелевскую премию только в 1954 году, после того как сосватал нескольким своим ученикам темы, которые дали им возможность добиться этой чести гораздо раньше, чем ему самому.
Гейзенбергу в то время было немногим более двадцати лет, он совсем не отличался склонностью к самоотречению и вкусил радости успеха в самом начале карьеры. Постепенно он увлекся националистическими идеями, доставив своему учителю немало горьких минут. Борн переживал увлечение Гейзенберга особенно тяжело еще потому, что сам был евреем, а Гейзенберг в конце концов присоединился к нацистам. Это уже было в достаточной степени трагично для любого нормального человека, но к этому нельзя не добавить, что когда после войны Борн уехал в Великобританию, его самым блестящим студентом был Клаус Фукс.
Как я уже говорил, моя геттингенская работа не осталась незамеченной. Гильберт, Курант и Борн роняли время от времени замечания, из которых можно было понять, что я получу на следующий год приглашение приехать на некоторое время в Геттинген. Борн собирался в ближайшем будущем прочесть курс лекций в Массачусетском технологическом институте, и я хотел воспользоваться этим временем, чтобы поработать с ним вместе.
Профессор Борн прибыл в Соединенные Штаты в состоянии крайнего возбуждения, вызванного новым построением квантовой теории атома, которое было только что предложено Гейзенбергом. Эта теория имела существенно дискретный характер, и математическим аппаратом, который она использовала, являлись квадратные массивы чисел, называемые матрицами. Разобщенность отдельных строк и отдельных столбцов этих матриц оказывалась связанной с разобщенностью отдельных спектральных линий в спектре атома. Но так как не все части спектра атома состоят из дискретных линий, Борна очень интересовала возможность обобщения таких матриц, или таблиц чисел, позволяющая прийти также к чему-то непрерывному, сопоставимому с непрерывной частью спектра. Подобное обобщение требовало большой специальной работы, и в этом вопросе он рассчитывал на мою помощь.
Я не могу здесь подробно рассказывать о своем участии в этой весьма специальной и в высшей степени абстрактной работе, которая в то же время была лишь переходным этапом в общем развитии квантовой теории. Скажу только, что я в то время уже был знаком с обобщением понятия матрицы, представляющим собой то, что теперь называют операторами. Борн испытывал глубокое недоверие к обоснованности моего метода и страшно хотел узнать, получат ли мои математические измышления одобрение Гильберта. Гильберт отнесся к ним очень благосклонно, и начиная с того времени операторы неизменно играют существенную роль в квантовой теории. Примерно тогда же их независимо ввел в квантовую теорию и Поль Дирак в Англии. Помимо того, операторы оказались весьма полезными для установления связи квантовой механики Гейзенберга с еще одной формой квантовой механики, одновременно предложенной венским профессором Эрвином Шредингером.
С тех пор квантовая механика вступила в активную фазу своего развития. Целая группа молодых ученых — Дирак, Вольфганг Паули, фон Нейман, все приблизительно того же возраста, что и Гейзенберг, — чуть ли не каждый день делала какое-нибудь открытие в этой области. В такой обстановке лихорадочного напряжения мне, как всегда, работалось плохо. К тому же я не чувствовал никакой потребности заниматься вопросами, которыми интересовалось столько выдающихся ученых. Мне казалось, что некоторые философские идеи, вытекающие из моей старой работы о броуновском движении, можно с успехом использовать в квантовой механике; но проблемы, которые привлекали мое внимание, и тот круг вопросов, для разрешения которых я мог бы воспользоваться своим методом, в ближайшие двадцать лет так и не стали актуальными. В последние годы я снова вернулся к этой теме, на сей раз вместе с Арманом Зигелем из Бостонского университета, и у меня, наконец, появилась надежда сделать в этой области что-то полезное, что еще не успели сделать другие.
Рассказывая о своей работе — о той, которая уже сделана, и о той, которую еще предстоит сделать, — я все время помню (и читатель, надеюсь, тоже), что задача физики заключается сейчас совсем не в дальнейшем усовершенствовании уже существующей общей теории, основы которой совершенно ясны. Нынешняя физика представляет собой ряд отдельных теорий, которые еще ни одному человеку не удалось убедительно согласовать между собой. Кто-то очень хорошо сказал, что современный физик по понедельникам, средам и пятницам — специалист по квантовой теории, а по вторникам, четвергам и субботам — по теории относительности; в воскресенье он уже совсем не специалист, а просто грешник, истово молящийся богу, чтобы он кого-нибудь вразумил, желательно, конечно, его самого, и помог как-нибудь примирить эти две теории.
5. СТИПЕНДИЯ ГУГГЕНХЕЙМА. СВАДЕБНОЕ ПУТЕШЕСТВИЕ В ЕВРОПУ
Последние годы мы с Маргарет виделись лишь от случая к случаю и оба чувствовали, что так дальше продолжаться не может. Преподавательская работа и собственная семья отнимали у нее почти все время. Мое же положение все еще было недостаточно прочным, чтобы я мог взять на себя обязательства женатого человека. Только признание, которого я добился в Германии, сразу же отразившееся на моем экономическом статусе в МТИ, позволило мне, наконец, всерьез подумать о женитьбе. На рождество Маргарет приехала в Бостон. Я снова сделал предложение, и на сей раз оно было принято. Мы решили пожениться и провести медовый месяц в Европе; оставалось уладить кое-какие мелочи.