бы отказаться от этой важнейшей для технического института работы. Но нас начали ценить по достоинству и, уж во всяком случае, перестали считать людьми второго сорта по сравнению с преподавателями инженерных кафедр.
Комптон всегда был доступен, прост в обращении, искренен и любезен. С его назначением институт снова оказался в крепких руках, и поступательное движение вперед, прерванное смертью Маклорена, возобновилось.
Новое назначение Буша было связано с теми же переменами, которые привели в институт Комптона. Буш был блестящим администратором и в качестве заместителя Комптона занимался всеми вопросами, связанными с лабораториями, избавив самого Комптона от множества мелких дел, весьма обременительных, когда приходится руководить большим учебным заведением; персоналом Буш почти не занимался.
Комптон считал своим долгом поднять жалованье преподавателей института до уровня, который был достигнут в Гарвардском, Принстонском и других больших университетах. Война и трудности послевоенного периода помешали осуществлению этих планов, и мы так и не сравнялись с другими институтами нашего типа. Но благие намерения тоже чего-нибудь стоят, тем более, что делалось все возможное для того, чтобы их осуществить.
Лично я считал себя облагодетельствованным новым режимом. Это касалось и моего жалованья, и моих надежд на создание в институте специального научно-исследовательского математического центра. Я получил должность доцента и отныне мог считать, что завоевал достаточно прочное положение.
Мое знакомство с Ли произошло как раз в период бурного обновления МТИ. Буш в это время был в зените славы инженера-электрика. Его предложение взять Ли в качестве аспиранта — одно из самых больших благодеяний, которыми я ему обязан, и я до сих пор вспоминаю о нем с чувством глубокой благодарности.
Приблизительно в это время у нас с Маргарет появилась новая приятная обязанность — принимать дома коллег из Европы. Я довольно много занимался теорией электрических цепей и другими вопросами электротехники, поэтому мне приходилось часто встречаться с приехавшими из Берлина Рихардом Кауэром и с его женой. Но, пожалуй, самыми интересными и наиболее плодотворными оказались для меня встречи с Эберхардом Хопфом, который приехал из Германии в Гарвардский университет, в основном чтобы работать вместе с Дж. Д. Биркгофом.
Хопф очень интересовался небесной механикой и поэтому хорошо знал Биркгофа. Он сумел полностью оценить значение его последней работы, посвященной доказательству эргодической теоремы, той самой эргодической теоремы, которая была необходима для придания окончательной формы замечательным идеям Уилларда Гиббса. Эта работа, между прочим, — поразительное свидетельство tour de force[73] Биркгофа. Он занялся эргодической теорией без всякой предварительной подготовки, не обладая никакими специальными знаниями в области интеграла Лебега и даже не особенно им интересуясь. Несмотря на это, руководствуясь только своей математической интуицией, он сумел получить одну из важнейших теорем, вплоть до настоящего времени занимающую центральное положение в теории интеграла Лебега.
Так как я давно интересовался интегралами Лебега и теорией вероятностей, нам с Хопфом было о чем поговорить. Однако лучшая работа, которую мы вместе с ним сделали, касалась дифференциальных уравнений, встречающихся при изучении радиационного равновесия звезд. Внутри звезды имеется большая область, плотно заполненная электронами и атомными ядрами, а также световыми квантами, излучаемыми ядрами и электронами. Вне звезды расположен пояс, заполненный одним излучением или в крайнем случае излучением и очень разреженной материей. Различные типы частиц, из которых состоит световое излучение (радиация) и вещество звезды, находятся в определенном равновесии друг с другом, резко меняющем свой характер при переходе через поверхность звезды. Нетрудно составить уравнения, описывающие такое радиационное равновесие, но гораздо труднее найти общий метод решения этих уравнений.
Уравнения, описывающие радиационное равновесие звезд, принадлежат к типу, называемому теперь нашими именами[74]. Они тесно связаны с другими уравнениями, возникающими в задачах, в которых речь идет о двух различных физических режимах, разделенных резкой границей. В качестве примера можно указать на атомную бомбу, представляющую собой фактически модель звезды, в которой, как и в самой звезде, имеется поверхность, отделяющая область с одними физическими условиями от области с другими условиями; и действительно, некоторые важные задачи, касающиеся атомной бомбы, естественно формулируются в терминах уравнений Винера-Хопфа. Одним из таких вопросов является очень важный вопрос о размере, начиная с которого атомная бомба автоматически взрывается.
С моей точки зрения, однако, наиболее замечательное использование уравнений Винера-Хопфа относится к случаям, когда граница между двумя разными режимами проходит во времени, а не в пространстве, т. е., иначе говоря, когда один из наших режимов представляет собой состояние вселенной до некоторого фиксированного момента времени, а второй — ее состояние после этого момента. Особенно подходит этот аппарат для разбора некоторых аспектов теории прогнозирования, в которой известные данные о прошлом используются для того, чтобы определить будущее. Имеются также многие более общие задачи, которые можно решить при помощи того же самого аппарата уравнений Винера-Хопфа относительно некоторых функций времени. Среди них в первую очередь следует упомянуть задачу о фильтрации волн, возникающую в тех случаях, когда мы получаем сигнал, искаженный каким-то «шумом», и нам требуется выделить по возможности точно содержащееся в нем исходное сообщение.
Задачи прогноза и фильтрации оказались весьма важными в ходе последней войны и сохранили свое значение в последующие годы в связи с вызванным войной развитием новой техники. Задачи о прогнозе, в частности, существенны при управлении зенитной стрельбой, поскольку зенитные орудия должны учитывать будущее движение самолета точно так же, как охотник учитывает скорость летящей утки. Задачи о фильтрации все время используются в радиолокационной технике, а в последнее время и предсказание и фильтрация нашли применение в современной статистической метеорологии.
Осенью 1929 года я получил приглашение прочесть курс лекций о своих исследованиях в Броуновском университете. Официально приглашение исходило от декана факультета Ричардсона, но устроил его, конечно, Тамаркин, имя которого я уже упоминал. Ричардсон, худощавый доброжелательный шотландец, родом из Маритайм Провинсиз[75], приютил Тамаркина в Соединенных Штатах, оказав неоценимую услугу Броуновскому университету. Я приезжал в университет раз в неделю и неизменно встречал самый радушный прием. Останавливался я обычно у Тамаркина, жена которого к этому времени тоже приехала в Штаты.
Тамаркины и в Америке продолжали жить открытым домом, хотя обычаи страны и затруднения с прислугой делали такой образ жизни почти невозможным. Миссис Тамаркина мужественно сопротивлялась трудностям жизни в Провиденсе[76] и изо всех сил стремилась удовлетворить потребности своего мужа в хорошей пище и напитках. Чрезмерное напряжение сил подтачивало ее здоровье, а чрезмерное увлечение гастрономией плохо сказывалось на больном сердце Тамаркина. Миссис Тамаркина в конце концов умерла от флебита[77]; Тамаркин считал, что это произошло из-за того, что она переутомилась, и страшно упрекал себя. Весельчак, человек необычайной отзывчивости, он и после смерти жены никогда не отказывал своим младшим коллегам в возможности сколь угодно широко пользоваться его обширными знаниями. Но прежнее так и не вернулось. Через несколько лет Тамаркин умер — не выдержало сердце.
В тот год родился наш последний ребенок — младшая дочь Пегги. Я приезжал на машине в Броуновский университет прямо после дежурств в больнице. С двумя детьми я и впрямь чувствовал себя отцом семейства; Маргарет приходилось теперь еще больше времени уделять домашним делам.
Я был в это время страшно занят работой над статьей, в которой стремился собрать воедино все, что мне удалось сделать в области обобщенного гармонического анализа. Эта статья была опубликована в шведском журнале «Акта математика» (Acta Mathematica), пользовавшемся большим уважением среди ученых всего мира. По существу, это была даже не статья, а маленькая книжка. Ее появлением на свет я обязан Тамаркину, уговорившему меня дать законченное изложение всех полученных мной результатов. Он внимательно просматривал мою рукопись на всех этапах работы и придирался ко всем доказательствам, отчего моя работа, конечно, очень выиграла. Думаю, что в какой-то степени я сумел удовлетворить Тамаркина, потому что через некоторое время по его инициативе американский журнал «Анналы математики» (Annals of Mathematics) предложил мне написать статью приблизительно такого же характера о тауберовых теоремах.
Работы по обобщенному гармоническому анализу и о тауберовых теоремах по размеру приближались к небольшим книгам; статья из «Анналов математики» сейчас опубликована в виде отдельного научного труда. Сколько раз, работая потом над своими статьями, я сожалел о том, что не могу больше пользоваться самоотверженной помощью Тамаркина.
Мои исследования этих лет тесно соприкасались с работами нескольких русских математиков, и в России к ним относились с особым интересом. На довольно длительный срок у меня установилась очень своеобразная связь с ведущими математиками этой страны. Я никогда не встречал никого из них и, по-моему, даже никогда ни с кем из них не переписывался. Но Хинчин и Колмогоров, два наиболее видных русских специалиста по теории вероятностей, долгое время работали в той же области, что и я. Больше двадцати лет мы наступали друг другу на пятки: то они доказывали теорему, которую я вот-вот готовился доказать, то мне удавалось прийти к финишу чуть-чуть раньше их. Ни я, ни, как мне думается, они не делали этого намеренно. Просто мы случайно достигли периода наивысшей творческой активности в одно и то же время и владели более или менее одинаковым запасом знаний.