Винтнер по-прежнему оставался нашим летним соседом. Мы решили в 1940—41 учебном году поработать вместе, и он ради этого приехал в Кембридж. К несчастью, в тот год военная тематика поглощала все мое внимание. Я понимал, что, нарушая наш неофициальный договор, я поступаю в какой-то степени нечестно по отношению к Винтнеру. Но оказалось, что он в состоянии игнорировать тягостность политической напряженности, а я нет. И хотя я охотно уделял нашей совместной работе часть своего времени, я не мог сосредоточить на ней все свои интересы. Так мы и шли двумя разными дорогами, постепенно уходя все дальше и дальше друг от друга.
Весной разразилась катастрофа в Норвегии, катастрофы во Франции ждали со дня на день. Душевный покой, который приносила нам жизнь в Нью-Хемпшире, куда мы убегали от потрясений внешнего мира, ничего не стоил перед лицом близящейся гибели европейской цивилизации.
В августе 1940 года в Дартмуте состоялся летний съезд Американского математического общества. Он был настолько приятным, насколько мог быть приятным съезд, во время которого всех по-настоящему интересовала только война.
Так как в технике связи приходится производить много сложных вычислений с комплексными числами, сотрудники телефонной компании Белла построили специальный прибор — цифровую вычислительную машину, выполняющую всевозможные расчеты. При этом они воспользовались одним очень важным нововведением. Дело в том, что обычная арабская цифровая система придает специальное значение числу 10, оправданное только привычкой и не находящее никакого подтверждения в основных законах арифметики. Вместо того чтобы записывать каждое число в виде суммы стольких-то единиц, стольких-то десятков, стольких-то сотен и т. д., мы можем с тем же правом представить целое число в виде суммы единиц, двоек, четверок, восьмерок и т. д. В этом случае вместо десяти цифр, используемых в обычной арифметике, нам понадобятся только две цифры, а именно нуль и единица.
Русские крестьяне при арифметических расчетах в какой-то мере использовали такое представление чисел, называемое двоичной системой счисления[129]. Большое преимущество этой системы перед обыкновенной состоит в том, что таблица умножения сводится здесь к единственному утверждению, что 1 × 1 = 1.
Нетрудно понять, что механизировать арифметические расчеты, выполняющиеся в двоичной системе счисления, значительно легче, чем обычные вычисления над числами, записанными в десятичной системе счисления. Это и было учтено в машине лаборатории телефонной компании Белла, использующей двоичную запись чисел. Единственным серьезным недостатком такой машины является то, что во всех остальных случаях люди все-таки пользуются десятичной системой и встречающиеся числовые данные всегда представляются в виде десятичных чисел. Тем не менее в тех случаях, когда приходится выполнять много громоздких вычислений, часто бывает выгодно пренебречь этим обстоятельством и перевести все исходные данные в двоичную систему, а все окончательные результаты — обратно в десятичную.
В технике двоичная система счисления иногда используется при измерении толщины механических деталей с помощью специального набора «эталонов толщины». Предположим, что у нас имеется один эталон толщиной точно в один дюйм, один эталон толщиной в два дюйма, один эталон толщиной в четыре дюйма и один — толщиной в восемь дюймов. Тогда, комбинируя эти эталоны, мы можем получить любые толщины, равные целому числу дюймов от одного до пятнадцати включительно. Для этого надо только ставить наши эталоны друг на друга в следующих комбинациях:
1 дюйм — эталон в 1 дюйм,
2 дюйма — эталон в 2 дюйма,
3 дюйма — эталон в 2 дюйма и эталон в 1 дюйм,
4 дюйма — эталон в 4 дюйма,
5 дюймов — эталон в 4 дюйма и эталон в 1 дюйм,
6 дюймов — эталон в 4 дюйма и эталон в 2 дюйма,
7 дюймов — эталон в 4 дюйма, эталон в 2 дюйма и эталон в 1 дюйм,
8 дюймов — эталон в 8 дюймов,
9 дюймов — эталон в 8 дюймов и эталон в 1 дюйм,
10 дюймов — эталон в 8 дюймов и эталон в 2 дюйма,
11 дюймов — эталон в 8 дюймов, эталон в 2 дюйма и эталон в 1 дюйм,
12 дюймов — эталон в 8 дюймов и эталон в 4 дюйма,
13 дюймов — эталон в 8 дюймов, эталон в 4 дюйма и эталон в 1 дюйм,
14 дюймов — эталон в 8 дюймов, эталон в 4 дюйма и эталон в 2 дюйма,
15 дюймов — эталон в 8 дюймов, эталон в 4 дюйма, эталон в 2 дюйма и эталон в 1 дюйм.
Это представление толщины с помощью наборов эталонов эквивалентно записи чисел от 1 до 15 в виде следующих совокупностей единиц и нулей: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 и 1111.
Я не помню, до или после собрания в Дартмуте Венивар Буш разослал преподавателям МТИ опросный лист, чтобы собрать предложения о наилучшем использования ученых в случае вступления США в войну. Я придерживался в этом вопросе совершенно определенного мнения и был твердо убежден в необходимости научного сотрудничества, которое помогло бы преодолеть барьеры между различными науками и в то же время было бы добровольным, сохраняя за учеными значительную долю инициативы и личной ответственности. Я не питал никакого доверия к планам, осуществление которых требовало почти полного подчинения отдельной личности вышестоящим инстанциям, пользующимся непререкаемым авторитетом и неизбежно ограничивающим работу каждого человека узкими рамками. Поэтому я предлагал такую систему организации, при которой небольшие мобильные объединения ученых, работающих в различных областях, трудятся над разрешением определенного круга проблем. Я предполагал, что, добившись каких-то конкретных результатов, объединение сможет передать их специальной руководящей «группе внедрения» и, обогатившись новыми научными сведениями и опытом совместной работы, в полном составе перейдет к разрешению следующей задачи.
Из всего этого ничего не вышло. Люди, привыкшие работать почти исключительно с помощью различных механических приспособлений, обычно проникаются к ним неумеренной любовью, в значительной мере вызванной тем, что механизмы не подвластны капризам, свойственным человеческим существам.
Механизация легко становится чем-то вроде религии. К счастью, перипетии последних двадцати лет у многих, в том числе и у Буша, поколебали веру в беспредельные возможности машины. Однако осталось еще достаточно людей, которые не успели так близко, как Буш, познакомиться со всеми недостатками и достоинствами машин и, следуя моде, предпочитали большие лаборатории и авторитетную администрацию.
Возвращаясь с собрания Математического общества, я обсуждал с Левинсоном — как ученый он уже прочно стоял на собственных ногах — общие проблемы устройства вычислительных машин, поскольку я подумывал о том, чтобы избрать эту область своей военной специальностью. В течение некоторого времени я по просьбе Буша занимался поисками путей использования вычислительных машин для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных, и у меня создалось впечатление, что наиболее подходящим средством механизации их решения может быть техника сканирования, применяемая в телевидении. Опыт работы с вычислительными машинами, основанными на двоичной системе счисления, убедил меня, что электронная двоичная машина как раз и может служить устройством, осуществляющим быстрые вычисления, требующиеся при решении задач, описываемых уравнениями в частных производных.
Я совершенно отчетливо представлял себе, что машина, способная решать уравнения в частных производных, должна производить немыслимо большое количество операций в немыслимо короткое время. Отсюда следовало, что будущее быстродействующих вычислительных машин, предназначенных для таких целей, не могло основываться на развитии моделей Буша, в которых физические величины представлялись электрическими токами или какими-либо переменными механическими параметрами самой машины, а скорее требовало какого-то чудодейственного усовершенствования обыкновенного электрического арифмометра, использующего, как я уже говорил, двоичную систему счисления вместо десятичной.
Теперь, когда я всерьез заинтересовался вопросами, связанными со скоростью вычислений, мне пришлось рассмотреть относительные достоинства двух основных стратегий вычислительной техники. Одна из этих стратегий, которой придерживался Буш, получила название техники аналоговых устройств и заключалась в том, что числам, участвовавшим в вычислениях, сопоставлялись какие-то измеримые физические величины, имеющие значение, равное соответствующему числу. Другой, цифровой метод вычислительной техники, который используется, например, в обычных настольных арифмометрах, исходит из представления каждого числа в виде определенной последовательности цифр.
Существенным различием между аналоговыми и цифровыми вычислительными машинами является то, что только цифровая машина в принципе работает так же, как и мы сами, когда решаем задачу с помощью карандаша и бумаги. Изображая некоторое число символом 56, мы имеем в виду, что оно является суммой пяти десятков и шести единиц. Если нам нужно умножить это число на 38, т. е. на сумму трех десятков и восьми единиц, мы выполняем эту операцию в таком порядке, как это показано ниже:
При этом нам ни разу не пришлось воспользоваться чем-либо выходящим за рамки таблицы умножения и простейших правил сложения или вспоминать, что наши числа 56 и 38 — это на самом деле 56 градусов или 38 дюймов.
Однако существуют такие цифровые вычислительные машины, в которых число 10 не играет никакой особенной роли и которые работают, исходя из двоичной системы счисления. Для того чтобы понять, как это делается, рассмотрим, например, умножение 7 × 5 = 35 и представим числа 7 и 5 в виде
7 = 4 + 2 + 1,
5 = 4 + 1.
Согласно приведенным равенствам в двоичной системе счисления число 7 изображается числом 111, число 5 — числом 101 (это и значит, что 7 равно сумме одной четверки, одной двойки и одной единицы, а 5 — сумме одной четверки, нуля двоек и одной единицы). При выполнении операции умножения этих двух чисел мы поступим теперь следующим образом: