Вспомнив далее, что в двоичной системе счисления 2 = 10, мы можем переписать число 11211 в виде 12011, или в виде 20011, или, наконец, в виде 100011. Лишь последняя форма является истинно двоичной, ибо только в ней не используются никакие другие цифры, кроме 0 и 1. Переходя теперь обратно к десятичной системе счисления, получим: 32 + 0(16) + 0(8) + 0(4) + 2 + 1 = 35. Этот метод получил название метода умножения в двоичной системе счисления. Я хочу подчеркнуть еще раз, что по существу он ничем не отличается от обычного метода умножения, использующего десятичную систему счисления.
Принцип действия аналоговых вычислительных устройств является совсем другим: здесь за основу можно принять, например, то, что в электродинамометре две катушки притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению сил протекающих по ним токов, и что эту силу притяжения можно измерить, если снабдить прибор специальной шкалой. Поэтому, если по обмотке одной катушки течет ток в семь единиц, а другой — в пять единиц, то показание прибора в соответствующих единицах будет равно 35. Приборы такого типа, используемые для перемножения чисел, получили название аналоговых в связи с тем, что они заменяют первоначальную ситуацию, в которой было необходимо умножить одну какую-то величину на другую, новой ситуацией, в которой роль этих величин играют уже две силы тока, причем токи эти ведут себя аналогично исходным величинам, т. е. должны перемножаться между собой для определения величины некоторого физического эффекта.
Цифровые вычислительные машины отличаются от аналоговых, в частности, тем, что они в принципе позволяют получить ответ с любой степенью точности, определяемой лишь точностью задания исходных данных, в то время как точность аналоговых устройств ограничена той точностью, с которой исходная ситуация оказывается аналогичной некоторой другой, используемой в качестве модели в наших вычислениях. Типичными аналоговыми устройствами были, например, машины Буша, предназначенные для решения дифференциальных уравнений.
Что же касается относительных достоинств вычислительных машин этих двух типов, то разнообразие и гибкость современных электрических и прочих измерительных приборов позволяют в настоящее время построить достаточно хорошую аналоговую машину с меньшими затратами труда и времени, чем необходимо для создания цифровой машины такого же качества. Однако если нам нужны большая скорость или высокая точность вычислений, то все преимущества оказываются на стороне цифровых машин. Только некоторые исключительные по своим качествам физические приборы могут обеспечить точность, превышающую одну десятитысячную часть измеряемой величины, что соответствует всего лишь точности, получаемой при использовании четырех десятичных разрядов или менее четырнадцати двоичных разрядов в цифровой машине.
Кроме того, физические измерения с такой степенью точности вряд ли могут оказаться очень быстрыми. Аналоговые устройства принципиально не способны обеспечить скорость вычислений, достаточную для проведения наиболее точных и сложных из тех расчетов, необходимость в которых возникает в современной науке и технике. Поэтому мне кажется, что наивысший расцвет использования устройств такого рода сейчас уже позади.
Что же касается цифровых машин, то мне пришлось углубиться в изучение самих принципов их работы. В обычном настольном арифмометре принцип работы заключается в том, что в зависимости от положения одних колес определяется положение некоторых других. Каждое из таких положений выбирается из числа десяти возможных, отличающихся величиной угла поворота относительно некоторого «начального положения». Эти десять положений нетрудно задать с помощью десяти зубцов. Однако при использовании металлических колес мы сталкиваемся со сложными проблемами преодоления инерции и сил трения, существенно ограничивающих возможности наших машин.
Со всех точек зрения казалось желательным заменить механическую систему выбора, осуществляемую в старых цифровых машинах, электронной. Можно было ожидать, что в результате такой замены новые машины окажутся по крайней мере в двух отношениях более совершенными, чем старые. Во-первых, инерция потока электронов значительно меньше инерции любой механической системы, и, во-вторых, в электрических цепях технически гораздо легче с помощью усилителей бороться с потерями энергии, вызываемыми процессами типа трения (например, выделением тепла в сопротивлениях). По этим причинам я был абсолютно уверен в том, что быстродействующие вычислительные машины недалекого будущего будут электронными и цифровыми. Надо, однако, сказать, что в то время такие идеи стали уже довольно часто встречаться в научной литературе, так что здесь моя точка зрения была лишь одним из проявлений духа эпохи.
Как я уже сказал, в десятичных цифровых машинах в качестве основной логической операции используется выбор из десяти различных возможностей, в то время как в двоичной машине такую же роль играет выбор из двух возможностей. Повсеместное использование десятичной системы счисления, по-видимому, объясняется просто тем, что десять — это число пальцев на наших руках. Некоторые народности, например индейцы майя, вероятно, использовали для счета пальцы рук и ног и поэтому пришли к двадцатеричной системе счисления. Любопытно отметить, что если бы люди не отличались от героев мультфильмов Уолта Диснея, т. е. имели бы всего по четыре пальца на каждой руке, то, по-видимому, у нас была бы распространена восьмеричная система счисления, лишь незначительно отличающаяся от двоичной (так как 8 = 2 × 2 × 2).
Тем не менее можно считать, что нам повезло, так как десятичная система счисления хотя и не является самой удобной, но все же много удобнее, чем, скажем, тринадцатеричная. В самом деле, в вычислительных машинах, основанных на десятичной системе, используются колеса с десятью зубцами, расположенными на одинаковых расстояниях друг от друга. Для создания таких колес надо уметь строить правильные десятиугольники, т. е. правильные многоугольники с десятью вершинами. Эта задача планиметрии неизмеримо более проста, чем задача построения правильного многоугольника с тринадцатью сторонами.
Однако при использовании электронных схем устройства, заменяющие колеса в механических счетных машинах, не зависят уже от законов планиметрии и здесь выбор из десяти равноправных возможностей моделируется не так легко. Наиболее естественным в электронных схемах оказался выбор одного из двух возможных исходов.
Схемы с двумя различными состояниями устойчивого равновесия были известны уже давно и получили название триггерных. Единственная возможность для построения схемы с десятью различными состояниями заключается, по-видимому, в использовании комбинации из нескольких таких триггерных схем. По самому принципу работы триггера число различных состояний сложной триггерной схемы определяется числом различных комбинаций состояний каждого из триггеров, и это число должно быть степенью двух. Поэтому естественный способ построения схемы с десятью устойчивыми состояниями заключается в использовании схемы с шестнадцатью состояниями, шесть из которых не употребляются.
Однако при конструировании машины нам приходится затрачивать усилия и деньги не только на то, что машина будет делать, но и на все то, что эта машина могла бы делать; поэтому, используя лишь десять состояний из шестнадцати возможных, мы вынуждены будем расходовать на 37,5 процентов больше того, что в действительности необходимо. По этим причинам я считал, что быстродействующая машина для решения дифференциальных уравнений в частных производных должна быть двоичной цифровой электронной машиной.
Для того чтобы работать в двоичной системе счисления, нужно иметь машины, которые осуществляют выбор одной из двух возможностей, таких, как, например, наличие или отсутствие отверстия в кусочке картона — перфорационной карте. Устройство этого типа уже в то время использовалось в машинах «Холлерит», выпускавшихся корпорацией IBM. Однако такой метод физического представления чисел в двоичной системе счисления непригоден для действительно быстродействующей вычислительной машины. Пробивание отверстий в перфокарте — очень медленная операция в масштабах времени, где за единицу берется продолжительность одной операции порядка миллионных долей секунды. А именно такого порядка продолжительности операции надо достичь, чтобы можно было утверждать, что наша машина действительно быстродействующая. Кроме того, при сложных вычислениях число уже использованных перфокарт, от которых нам нужно теперь как-то избавиться, и число новых перфокарт, которыми нужно запастись на будущее, очень скоро стало бы астрономическим.
Разумеется, скорость пробивки отверстий можно значительно повысить, заменив механический перфоратор устройством, в котором для этой цели используется электрический разряд, однако задача хранения и использования огромных масс карточек при этом нисколько не упростится. Поэтому естественно было прийти к мысли об использовании металлической ленты с магнитными отметками, наносимыми электромагнитом. Такие отметки можно считывать с высокой скоростью и с такой же скоростью стирать их, после чего лента становится пригодной для повторного использования.
Одна из основных задач, связанных с использованием таких лент, заключается в том, что размеры отметок нужно делать как можно меньшими, с тем чтобы на данной площади можно было разместить как можно больше четко различимых отметок. А для этого необходимо использовать записывающие и считывающие магнитные головки с исключительно малыми размерами полюсов. В то же время мне казалось, что уменьшение размеров полюсов магнитных головок не приведет к желаемому результату вследствие распространения магнитного поля вдоль ленты, если только сама лента или по крайней мере ее эффективный магнитный слой не будут чрезвычайно тонкими.
В результате, частично в качестве вывода из собственных размышлений, частично под влиянием совместного обсуждения этих вопросов с моими коллегами, хорошо знакомыми с техническими новинками в этой области, у меня возникла идея о том, что задачи обеспечения двух основных требований, предъявляемых к магнитной ленте, — прочности и возможности намагничивания — нужно решать по отдельности. А именно, следует выбрать какой-либо достаточно прочный немагнитный металл, на который наносится тонкий магнитный слой. В то время я больше всего думал о тонком слое железа, нанесенном на ленту из латуни или какого-нибудь другого немагнитного металла, но по совету кого-то из моих коллег я подумывал также о ленте, которая в настоящее время получила самое широкое распространение, — о бумажной ленте, покрытой тонким слоем магнитной окиси железа.