На несколько лет Биглоу переключился на выхаживание безнадежно старых и дряхлых автомобилей. Для обычного автомобилиста машина является просто средством передвижения, позволяющим ему добираться туда, куда хочется, но для истинного любителя каждая новая машина — это вызов его способностям к преодолению трудностей. Инженер такого типа никогда не удовлетворится обычной машиной. Либо он постарается сделать свою машину лучшей в мире, либо употребит всю свою изобретательность для того, чтобы заставить работать машину, место которой уже давно на свалке металлолома. Если вы пускаетесь в путь с таким любителем за рулем, то можете не опасаться никаких серьезных происшествий, но без приключений вам никогда не обойтись. Помню, однажды фон Нейман хотел поговорить с Биглоу, которым он интересовался как одним из возможных участников работы по созданию быстродействующих вычислительных машин. Из Принстона мы позвонили в Нью-Йорк, и Биглоу согласился приехать к нам на своей машине. Мы подождали до назначенного часа, но Биглоу не появился; не приехал он и еще через час. И только потеряв всякую надежду, мы услышали пыхтение древней машины. Это Биглоу, наконец, добрался к нам буквально на последнем такте мотора машины, которая в других руках остановилась бы уже много месяцев тому назад.
Мы с Биглоу вначале попытались определить границы применимости нашего метода прогнозирования, так как заранее почти с полной уверенностью можно было предположить, что возможности этого метода довольно ограничены. На этот раз, вместо того чтобы испытывать нашу систему прогнозирования на гладких кривых, мы решили испытать ее на кривой, состоящей из двух прямых, образующих угол.
Следует сказать, что прибор для прогнозирования состоял из двух блоков, одного, который все время следил за данной кривой, и другого, который на основе полученной информации о поведении кривой в прошлом устанавливал, как будет выглядеть эта кривая через некоторое время в будущем. Когда мы испытывали прибор не на гладкой кривой, а на кривой, в которой за одним отрезком прямой следует другой, наклоненный под определенным углом к первому, мы обнаружили, что система по-прежнему работает, но чрезвычайно странным образом.
Удивительным, волнующим и, по правде говоря, неожиданным было то, что прибор, сконструированный для наилучшего слежения за гладкой кривой, оказался слишком чувствительным для угловых точек. При переходе через такую точку в нем возникали сильнейшие автоколебания. Мы несколько раз исследовали это явление и каждый раз получали одни и те же результаты. Отсюда было уже недалеко до мысли о том, что встретившееся нам явление заложено в порядке вещей и его невозможно изменить. Но это значит, что в самой природе процесса прогнозирования заложено то, что приборы, рассчитанные на точное слежение за гладкими кривыми, оказываются чрезмерно чувствительными в применении к ломаным. По-видимому, здесь мы еще раз сталкиваемся с тем же противодействием природы, которое проявляется в принципе неопределенности Гейзенберга, согласно которому нельзя одновременно точно определить, где находится частица и с какой скоростью она при этом движется.
Чем больше мы изучали возникшую задачу, тем больше убеждались в том, что мы правы и что встретившаяся нам трудность является принципиальной. Но если уж мы не могли достигнуть того, к чему стремились (впрочем, без особой надежды на удачу), т. е. построить идеальную систему прогнозирования, годную во всех случаях, нам оставалось по одежке протягивать ножки и попытаться разработать такую систему прогнозирования, которая была бы наилучшей среди всех, не противоречащих законам математики. При этом было необходимо ответить на один важный вопрос: что следует понимать под наилучшей системой прогнозирования? Уменьшение ошибки слежения за гладкой кривой ведет к увеличению ошибок, связанных с излишней чувствительностью следящей системы при слежении за ломаной. Чем же следует руководствоваться в поисках компромисса между ошибками этих двух типов?
Ответ на этот вопрос заключается в том, что при выработке разумного компромисса можно руководствоваться только статистическими представлениями. Зная статистическое распределение кривых, которые нам надо экстраполировать, т. е., например, зная статистическое распределение путей самолетов, по которым ведется стрельба, можно искать такой метод прогнозирования, при котором некоторая величина, характеризующая ошибку, принимает наименьшее значение. Наиболее естественной величиной, с которой мы и начали (руководствуясь в первую очередь надеждой на простоту соответствующих расчетов, а не на то, что полученные при этом результаты будут иметь особенно большое военное значение), является средний квадрат ошибки прогнозирования.
Иначе говоря, мы каждый раз определяли квадрат ошибки прогнозирования (т. е. квадрат разности между истинным и предсказанным значениями координаты кривой), а затем подсчитывали среднее значение этой величины за все время работы нашего прибора, которое и старались минимизировать.
При этом мы смогли сформулировать задачу прогнозирования как некоторую задачу о нахождении минимума, т. е. придать ей определенную математическую форму, зависящую, разумеется, от предположений о свойствах статистической совокупности кривых, которые нам придется экстраполировать. Область математики, посвященная решению задачи о нахождении минимума величин, зависящих от вида некоторых кривых, известна под названием вариационного исчисления и представляет собой специальную математическую дисциплину, имеющую многочисленные применения. В наиболее обычных случаях задачи вариационного исчисления сводятся к некоторым дифференциальным уравнениям, определяющим функции или кривые, удовлетворяющие требуемым условиям минимума; однако в ряде случаев (с одним из которых как раз нам и пришлось встретиться) они приводят к родственным, уравнениям другого типа, называемым в математике интегральными.
К счастью, я уже занимался теорией интегральных уравнений и раньше, но еще более удачным оказалось то, что уравнения, к которым привело нас решение задачи прогнозирования, представляли собой лишь немного более общий случай уравнений, ранее изученных Эберхардом Хопфом и мною. Таким образом, я смог не только поставить задачу прогнозирования, но и решить ее. В довершение всех удач полученное решение было по форме довольно простым. Оказалось, что решение, найденное нами на бумаге, нетрудно воплотить в конкретный прибор; для этого нужно было только собрать несложную схему из индуктивностей, емкостей и сопротивлений и подключить ее к небольшому электродвигателю того типа, который можно купить у любой фирмы, выпускающей измерительные приборы.
Мы построили прибор, преобразовывавший высоту движущейся точки в электрическое напряжение. Затем мы пропускали это изменяющееся во времени напряжение через совокупность сопротивлений, конденсаторов и катушек с магнитными сердечниками. В другой точке системы мы снимали напряжение и непрерывно измеряли его вольтметром. Конкретный тип вольтметра, использовавшегося нами, позволял строить непрерывный график изменения напряжения. Эта запись использовалась в качестве выходного сигнала и служила для прогнозирования значения напряжения на некоторый интервал времени вперед.
Следующая задача, которой я занялся, состояла в прогнозировании на основании неточных данных о прошлом. Эта задача также сводилась к задаче на нахождение минимума, причем здесь уже нам надо было располагать не только статистикой самих упреждаемых кривых, но и статистикой ошибок в определении прошлых координат этих кривых. После этого рассматриваемая задача о нахождении минимума свелась к другому уравнению Винера — Хопфа, решаемому при помощи тех же методов. Таким образом, и здесь удалось построить вполне удовлетворительную математическую теорию.
В науке часто недостаточно решить какую-нибудь задачу или группу задач. После этого нужно присмотреться к этим задачам и заново осмыслить, какие же задачи вы решили. Нередко, решая одну задачу, мы автоматически находим ответ и на другой вопрос, о котором раньше вовсе не думали.
Именно так обстояло дело с новой теорией прогнозирования. Оказалось, что в теории прогнозирования будущих значений полезного сигнала, наблюдаемого в смеси с шумами, на основе данных о статистических характеристиках полезного сигнала и шума содержится также и основная идея нового подхода к задаче о таком разделении полезных сигналов и шумов, которое можно было бы считать наилучшим.
Мы обнаружили это в самое подходящее время, когда только что появившаяся новая техника радиолокации встретилась с серьезными трудностями. При использовании радиолокаторов было крайне важно уметь обнаруживать слабые сигналы на фоне маскирующего сигнал шума. Для инженера-электрика шум — это отнюдь не только те звуки, которые можно услышать, но и любое нежелательное электрическое возмущение. Например, шумом являются мерцание и мелькание изображения в плохо настроенном телевизоре. Шумами называются и все те сигналы, которые проходят через радиолокационную систему и вместо того, чтобы уточнять характер полезного сигнала, лишь искажают его.
Отделение полезного сигнала от шума осуществляется при помощи фильтра. Электрические фильтры известны давно и уже много лет назад начали использоваться в телефонии, для того чтобы очищать полезный сигнал от сопутствующих ему шумов. Первоначально они конструировались так, чтобы пропускать все сигналы из определенного диапазона частот, практически не изменяя их интенсивности, и как можно сильнее ослаблять сигналы с частотами, лежащими вблизи указанного диапазона, но все же выходящими из него.
Когда же на основании опыта телефонных фильтров были созданы фильтры для телевизионных установок, оказалось, что, начиная с некоторого момента, чем лучше становились характеристики фильтра, тем хуже он работал в телевизионной схеме. В чем же здесь дело? Ответ заключается в том, что телефонные фильтры были рассчитаны на специальные характеристики человеческого уха. Ухо человека представляет собой весьма чувствительный прибор для определения высоты звука, оно достаточно точно оценивает его громкость и очень мало реагирует на так называемые фазовые соотношения, другими словами, лишь очень грубо регистрирует те моменты времени, когда колебания воздуха проходят через нуль. Переменный же ток, как я уже говорил, характеризуется не одной величиной, определяющей его интенсивность, а сразу двумя величинами, определяющими его интенсивность и фазу. Рисунок, изображающий переменный ток, можно сравнить с плоским гребнем. Перемещая такой гребень взад и вперед в его плоскости, я меняю определенную величину, которую и называют фазой. В акустике такие изменения фазы не являются совершенно неосязаемыми, но роль их очень невелика, и поэтому первоначальные телефонные фильтры и другие фильтры для звуковых колебаний обычно строились без всякого учета возможных изменений фазы.