Наконец, в начале XIX столетия целая группа ученых — венгерский математик Янош Больяй, русский математик Лобачевский и великий немецкий математик Гаусс — пришла к смелому заключению о том, что отказ от аксиомы о параллельности вообще не приводит ни к какому противоречию, а означает только переход к новой, неевклидовой геометрии. Начиная с этого времени, все более и более росло понимание того, что так называемые постулаты геометрии, а также постулаты других математических дисциплин вовсе не являются непререкаемыми истинами. К ним начали относиться как к предположениям, которые можно принять или отвергнуть в зависимости от особенностей изучаемой математической системы.
Это соблазнительное отношение к математическим постулатам как к предположениям, произвольно устанавливаемым исследователем в зависимости от решаемой задачи, а не как к неизменным законам мышления постепенно стало обычным для математиков во всех странах. В Америке одним из первых пропагандистов этой точки зрения и, пожалуй, главным из ее ранних сторонников был Эдвард В. Хантингтон из Гарвардского университета; я учился вместе с ним в 1912 году, и он оказал большое влияние на мой образ мыслей.
В Англии главным постулационистом был, вероятно, Уайтхед, но он соединял с чистым постулационизмом представление о том, что изучаемые математикой объекты сами представляют собой некоторые логические конструкции, а не просто какие-то величины, описываемые совокупностью постулатов. Например, точки он иногда рассматривал как совокупность всех тех выпуклых фигур, про которые обычно говорят, что они содержат данную точку. Любопытно отметить, что аналогичные идеи независимо высказывал и Хантингтон и что важное исследование в этом направлении еще на несколько лет раньше было выполнено философом Джосайей Ройсом[26]. Но классическим примером конструкционализма в математике остается определение целых чисел, данное Уайтхедом и Расселом в «Принципах математики».
Различие между постулационистской трактовкой чисел и конструкционалистской трактовкой, предложенной Уайтхедом и Расселом, заключается в следующем. Для постулациониста числа являются некоторыми неопределяемыми объектами, связанными совокупностью принятых формальных отношений, или предметами особого рода, строящимися на основе нашего опыта при помощи определенных правил комбинирования данных более простых исходных опытов. При постулационистской трактовке числа являются просто объектами, связанными отношениями «перед» и «после» так, что если a находится перед b, а b перед c, то a будет находиться перед c, и что для каждого числа, отличного от нуля, существует число, находящееся непосредственно перед ним (т. е. непосредственно ему предшествующее). Это и есть основные постулаты при таком подходе к числовой системе.
При конструкционалистской трактовке чисел сперва вводится понятие единичного множества — такой совокупности объектов, что, взяв любой из них, мы будем иметь тот же самый объект. Число «один» после этого служит для обозначений совокупности всех единичных множеств. Диадой далее называется совокупность объектов, не являющаяся единичным множеством, но становящаяся единичным множеством после удаления из нее любого из входящих в нее объектов. Тогда число «два» — это совокупность всех диад. После этого триада определяется как совокупность объектов, не являющаяся ни единичным множеством, ни диадой, но превращающаяся в диаду, при удалении любого из входящих в нее объектов, а число «три» — как совокупность всех триад. Подобным образом при помощи процесса, называемого процессом математической индукции, может быть построено полное множество всех положительных целых чисел.
Неспециалисту все эти рассуждения могут показаться пустой игрой отвлеченными понятиями. В самом деле, разве, вводя эти определения первых целых чисел, мы не пользовались цифрами 1, 2 и 3 лишь в слегка завуалированном виде? Но для логика это возражение звучит малоубедительно, так как большая точность приведенных выше определений позволяет ему стать на твердую почву и перейти отсюда к более сложным математическим идеям.
Искусство построения все более и более сложных математических объектов, таких, как множества множеств и отношения между отношениями, было известно мне и из работ Хантингтона и из работ Рассела. К тому времени я уже написал две-три статьи о применении этой техники к некоторым элементарным математическим ситуациям.
Постулационизм и конструкционализм, о которых здесь идет речь, отнюдь не были чисто математическими течениями. Постулационистские взгляды, в частности, разделяют многие физики. И теория относительности Эйнштейна, и новая квантовая механика представляют собой как раз те разделы, в которых физика вырвалась из рамок классической геометрии Евклида и приняла новые определения, задаваемые некоторыми совокупностями аксиом, но не опирающиеся на неизменную и незаменимую геометрическую интуицию, лежащую в основе старой кантианской теории пространства.
Конечно, справедливо, что тенденция придумывать постулаты ради постулирования и писать научные статьи ради их писания получила широкое распространение в современной математике. И все-таки холодное и суровое посредничество логики подобно холодному и суровому посредничеству мрамора принуждает к определенной внутренней дисциплине всех и в том числе поклонников нового образа свободы, за исключением, быть может, самых пустых и пошлых математиков.
Как я уже говорил, меня воспитали в постулационистских традициях, но в первые годы создания конструкционализма, выросшего из постулационизма, я приобщился и к этому движению. Раздумывая, с кем из французских ученых я мог бы совместно заниматься наукой, я искал такого человека, работы которого показывали бы, что он связан с одним или с обоими из этих двух направлений мысли. В этом отношении Фреше не имел соперников среди французских математиков.
До сих пор я говорил о развитии постулационизма и конструкционализма только в Англии и в Америке. В Германии тоже довольно рано появились представители обоих этих направлений; наиболее значительными и оригинальными среди них были Г. Фреге и Шредер. Во Франции, наоборот, сравнительно поздно привились новые навыки мышления, но как только постулационизм получил здесь признание, Фреше стал бесспорным вождем нового направления. Я сам сделал одну или две не совсем безуспешные попытки дополнить постулационизм Фреше и использовать его в качестве аппарата для конструкционалистского изучения новых более сложных пространств, в которых роль точек играют кривые. Эти мои попытки фактически лежали, однако, уже вне рамок собственных работ Фреше.
Я написал Фреше и попросил его взять меня в ученики на время летних каникул, которые предшествовали конгрессу в Страсбурге. В ответ пришло очень теплое письмо с приглашением приехать. Фреше собирался провести лето в Беарне на испанской границе, но потом его планы изменились, и он предложил мне сначала поработать вместе с ним в Страсбурге, а в конце лета перебраться в маленькую деревушку в Лотарингии, которую немцы называли Дагсбург, а французы — Дабо.
В начале июля я уже находился на борту французского пассажирского парохода «Ла Турен», совершавшего регулярные рейсы между Америкой и Францией. На том же пароходе плыли в Европу несколько друзей нашей семьи, которые обещали родителям приглядывать за мной. Однако уже наступили насквозь пропитанные джином двадцатые годы, и я обнаружил, что мои пуританские привычки плохо согласуются с представлениями моих стражей о радостях морских путешествий.
Я не принадлежал к числу идейных трезвенников и с удовольствием пил вино, которое подавали к столу. Правда, я всегда разбавлял его водой, так как крепкие спиртные напитки не доставляли мне удовольствия. К сожалению, компания, в которую я попал, не только придерживалась противоположных взглядов, но еще всячески старалась изменить мои вкусы. Эти попытки возмущали меня до глубины души. Я считаю, что обычай заставлять людей пить — такое же посягательство на личную свободу, как стремление синеносых[27] утвердить сухой закон. В общем, я плохо чувствовал себя на пароходе и ни с кем не сблизился. Я с нетерпением ждал той минуты, когда можно будет сойти на берег и расстаться, наконец, с моими спутниками.
Во время путешествия произошел один довольно интересный, хотя и не очень приятный эпизод. Погода нам не благоприятствовала, большую часть пути было хмуро и облачно. Под конец в течение нескольких дней никак не удавалось определить высоту солнца. Пароход шел с полной скоростью, а курс определялся только по лагу и компасу. Поддерживать связь по радио в то время уже умели, но ориентироваться с его помощью еще не научились, хотя это можно было сделать, используя точную систему перекрестного пеленгования. Капитан считал, что мы находимся у Бишоп Рок[28], и собирался пристать к берегу. Внезапно в тумане прямо перед носом корабля показались скалы. Немедленно раздалась команда: «Полный назад!» Но было уже поздно — мы оказались в опасной зоне.
Идя задним ходом, корабль получил на корме основательную пробоину. В третий класс начала проникать вода, еще немного, и пассажиров охватила бы паника. К счастью, офицерам удалось сохранить порядок, правда, с помощью одного французского боксера, который случайно оказался в числе пассажиров и авторитета которого оказалось достаточно, чтобы остановить панику.
Нам всем предложили спуститься в каюты и надеть спасательные пояса. У меня было не очень приятное ощущение, когда я поднимался наверх среди беспорядочно снующей толпы. Очень хотелось оказаться на палубе как можно скорее, но я понимал, что малейшая попытка ускорить общее движение или пройти впереди других в эти минуты не только акт трусости, но и прямая угроза общему благополучию. Усилием воли я заставлял себя уступать дорогу и подниматься наверх размеренным шагом.