Картонная петля, коленная петля
Я уже описал в Главе 4, насколько меня в детстве завораживал дерзкий способ закрывать картонные коробки, складывая четыре их створки по кругу, одну под другую. Последнюю запретную створку я всегда закрывал с дрожью удовольствия (слегка вздрагиваю от этого и по сей день), чувствуя, что отчаянно флиртую с парадоксальностью. Впрочем, нужно ли говорить, что настоящий парадокс так и не был достигнут.
Близкий родственник этой «картонной петли» – «коленная петля», представленная на соседней странице. Вот он я, с широкой улыбкой (назову себя A), в самом центре Антерсельва-ди-Меццо сижу на коленях молодой девушки (B), которая тоже улыбается, и B сидит на коленях у C, C на коленях у D и так далее, пока круг не замкнул K, оказавшись на коленях у меня. Мы сидим по кругу друг у друга на коленях и не падаем. Если вы никогда не играли в эту игру, предлагаю вам попробовать. Можно почувствовать себя изрядно озадаченным, думая о том, откуда взялась эта петля.
Как и картонная петля, эта петля слегка касается парадоксальности, поскольку каждый из ее одиннадцати коленных каскадов накладывается поверх предыдущего, но раз коленная петля может быть воплощена в физическом мире, очевидно, что она не может являть собой истинный парадокс. И все же, когда я играл роль «A» в этой коленной петле, мне казалось, что я пусть косвенно, но сижу на своих собственных коленях! Это ощущение было чрезвычайно странным.
В поисках странной петлеобразности у Эшера
И все же, когда я говорю «странная петля», у меня на уме что-то другое – менее конкретное, более иллюзорное. Под «странной петлей» я подразумеваю – по крайней мере, в первом приближении – не физический круговой оборот, а абстрактную петлю, в круговой последовательности этапов которой есть сдвиг с одного уровня абстракции (или структуры) на другой, который ощущается как шаг вверх по иерархии, и все же каким-то образом последовательные шаги «вверх» создают замкнутый круг. То есть несмотря на ощущение, что мы удаляемся все дальше от начала, к нашему собственному смятению, мы обнаруживаем, что оказались в точности там же, откуда мы начинали. Короче говоря, странная петля – это парадоксальная, перескакивающая с уровня на уровень петля обратной связи.
Одним из самых каноничных (и, как ни печально это признавать, изрядно затасканных) примеров является литография М. К. Эшера «Рисующие руки» (Drawing hands[13]), на которой (смотря откуда вы начали) можно увидеть, как правая рука рисует изображение левой (пока ничего парадоксального), а левая рука, в свою очередь, рисует правую (и тут внезапно это становится глубоким парадоксом).
Здесь абстрактным сдвигом в уровнях становится скачок вверх от рисуемого к рисунку (или, что то же самое, от картины к художнику), так как последний во многих интуитивных смыслах «выше» первого. Для начала, рисующий всегда разумное, подвижное существо, тогда как рисунок – это застывшее, неподвижное изображение (возможно, неодушевленного объекта, возможно, живого существа, но в любом случае статичное). Во-вторых, рисующий трехмерен, тогда как рисунок двумерен. И в-третьих, художник выбирает, что ему нарисовать, тогда как рисунок не имеет права голоса. По крайней мере, в этих трех смыслах скачок от рисунка к рисующему ощущается как скачок «вверх».
Как мы только что установили, скачок от нарисованной картины к рисующему по определению резкий, заметный и направлен вверх – и все же в «Рисующих руках» это правило направленности вверх резко и явно нарушается, так как каждая из рук иерархически «выше» другой! Как это возможно? Что ж, ответ очевиден: все это лишь рисунок, всего лишь фантазия. Но поскольку он выглядит так реалистично, поскольку он так успешно затягивает нас в свой парадоксальный мир, он дурачит нас, хотя бы ненадолго заставляя поверить в собственную реальность. И более того, мы с удовольствием поддаемся этому обману, несмотря на популярность картины.
Абстрактная структура «Рисующих рук» являла бы собой прекрасный пример истинной странной петли, если бы не один маленький дефект – то, что, как нам кажется, мы видим, не истинно; это подделка! Конечно, она нарисована так безукоризненно, что нам кажется, что мы видим форменный, чистой воды, самый что ни на есть парадокс, – но эта убежденность возникает внутри нас только благодаря тому, что мы придержали свое недоверие и мысленно соскользнули в соблазнительный мир Эшера. Мы все, хотя бы на мгновение, попались на удочку иллюзии.
Поиски странных петель внутри обратной связи
Так существует ли истинная странная петля – парадоксальная структура, которая тем не менее, несомненно, находится в мире, в котором мы живем, – или так называемые странные петли лишь иллюзии, которые едва соприкасаются с парадоксом, всегда лишь фантазии, которые только заигрывают с ним, всегда лишь очаровательные пузыри, которые неизбежно лопаются, стоит подойти к ним слишком близко?
Что ж, как насчет обратной видеосвязи, нашей давней знакомой, в качестве кандидата в странные петли? Увы, хоть этот современный феномен очень петлеобразен и заигрывает с бесконечностью, в нем нет ни капли парадоксальности – как и в его более простой старшей сестре, обратной аудиосвязи. Конечно, если вы направите видеокамеру прямо на экран (или поднесете микрофон прямо к динамику), у вас возникнет странное чувство, будто вы играете с огнем, не только потому, что вы нарушили как будто бы естественную иерархию, но и потому, что вы как будто бы создали настоящий бесконечный регресс, – но стоит задуматься об этом, и вы поймете, что, во-первых, никакой железной иерархии там не было вовсе, да и будто-бы-бесконечность не была достигнута; тут-то пузырь и лопается. Так что хотя петли обратной связи подобного рода – это, бесспорно, петли, но, несмотря на то, что они и выглядят немного странными, они не являются членами категории «странная петля».
Поиски странных петель в Расселовых потемках
К счастью, неиллюзорные странные петли существуют. Я говорю «к счастью», потому что тезис книги в том, что мы сами – не наши тела, но наши личности – являемся странными петлями, и если бы все странные петли были бы иллюзиями, то и мы были бы иллюзиями, а это было бы очень печально. Так что, к счастью, некоторые странные петли существуют в реальном мире.
С другой стороны, нельзя так запросто выставить одну из них на всеобщее обозрение. Странные петли стеснительные создания, они стремятся избегать дневного света. Типичный пример этого феномена был, в общем-то, впервые открыт Куртом Гёделем в 1930 году, он нашел его притаившимся в мрачной, суровой, как будто бы защищенной от парадоксов крепости теории типов Бертрана Рассела.
Что делал 24-летний австрийский логик, рыская по этой строгой и неприступной британской цитадели? Его завораживали парадоксы, и хотя он знал, что Рассел и Уайтхед наверняка вытурили их, он все же интуитивно чувствовал, что в невероятно богатой и гибкой природе чисел скрывалось некое стремление позволить парадоксам расцвести даже в самой засушливой пустыне, даже в самом стерильном гранитном дворце. Подозрения Гёделя возникли из-за избытка парадоксов, которые недавно совсем по-новому заставили взглянуть на числа, и он был убежден, что за этими затейливыми играми стояло что-то значимое, пусть некоторые люди и утверждали, что знают способы сгладить остроту положения.
Мистер Берри, бодлианский библиотекарь[14]
Один из этих причудливых парадоксов сочинил оксфордский библиотекарь по имени Дж. Дж. Берри в 1904 году, за два года до рождения Гёделя. Берри заинтересовался скрытыми возможностями словесного описания чисел. Он заметил, что, если достаточно тщательно поискать, можно найти довольно краткое описание любого целого числа. Например, число 7 можно назвать одним слогом, число 343 тремя слогами («семь в третьей»), число 1 000 010 можно назвать пятью слогами («миллион десять») и так далее. Каким минимальным количеством слогов вы сможете описать число 1737?
В целом можно подумать, что чем больше число, тем длиннее должно быть его описание, но все зависит от того, насколько просто описать число при помощи «примечательных» целых чисел – этих редких чисел, которые обладают исключительно короткими именами или описаниями вроде крайне экономного шестисложного описания «десять в триллионной». Конечно, в основном большие числа не являются ни примечательными, ни их соседями. В самом деле, по большей части числа «сумрачные» и допускают только очень длинные и сложные описания, так как они попросту «трудно описуемые», как дальний аванпост, расположенный в самой глубинке, куда можно добраться только по множеству узких проселочных дорог, которые становятся тем уже и ухабистее, чем ближе вы подходите к цели.
Рассмотрим 777 777, стандартное название которого «семьсот семьдесят семь тысяч семьсот семьдесят семь» достаточно длинное – 14 слогов. Но у этого числа есть и более короткое описание: «777 на 1001» («семьсот семьдесят семь на тысячу один»), а это 12 слогов. Экономия!
Постаравшись, мы можем придумать кучу разных выражений, которые обозначают число 777 777, и некоторые из них могут содержать очень мало слогов. Как насчет «трижды тридцать семь на тысячу один»? Получим 11 слогов! А как насчет «7007 на 111» («семь тысяч семь на сто одиннадцать»)? 10 слогов! А что насчет «число из шести семерок в ряд»? Всего 9! Насколько сильно мы можем сжать описание этого числа? Ответ вовсе не прозрачен, поскольку 777 777, вероятно, имеет некоторое неочевидное арифметическое свойство, которое позволяет его выразить очень емко. Это описание может даже ссылаться на примечательные числа, куда большие, чем 777 777!
Библиотекарь Берри, размышляя о неочевидной задаче поиска все более коротких описаний, придумал дьявольское определение одного очень особенного числа, которое в его честь я окрестил b: число b является наименьшим натуральным числом, описание которого на английском языке требует хотя бы тридцать слогов. Иными словами, b невозможно в точности описать менее чем тридцатью слогами. И раз уж для его описания требуется такое огромное количество слогов, мы знаем, что b должно быть огромным числом. Насколько большим приблизительно может быть b?
Любое огромное число, которое вы встретите в газете, журнале, астрономическом или физическом тексте, почти наверняка может быть описано дюжиной слогов, самое большее двадцатью. Например, число Авогадро (6 × 1023) может быть описано очень лаконично («шесть на десять в двадцать третьей» – всего восемь слогов). Не так-то просто будет найти настолько громадное число, для описания которого, как бы вы ни старались, потребуется как минимум тридцать слогов.
В любом случае число Берри b по определению первое такое натуральное число, которое невозможно уварить до менее чем тридцати слогов нашего языка. Это – я повторю, выделив фразу курсивом, – наименьшее целое число, описание которого требует хотя бы тридцать слогов. Но погодите-ка! Сколько слогов содержит моя курсивная фраза? Подсчитаем их – 29. Нам как-то удалось описать b меньшим количеством слогов, чем допускает его определение. Более того, курсивная фраза не просто «как-то» описывает b; это и есть его определение! Так что идея о существовании b гадким образом подрывает сама себя. Что-то очень странное тут происходит.
Не могу описать, насколько неописуемо это было!
Так получилось, что некоторые распространенные слова в языке обладают общим саморазрушительным свойством. Возьмем, к примеру, прилагательное «неописуемый». Если я скажу: «Их дом был неописуемым», после этой фразы у вас точно возникнет некий визуальный образ – хотя (или, скорее, именно поскольку) это прилагательное предполагает, что никакое описание для него не подходит. Еще более странно будет сказать: «Шины грузовика были неописуемо огромными», или: «Не могу передать, как я благодарен вам за вашу доброту». Это саморазрушительное качество странным образом имеет ключевое значение для коммуникации.
Существует также «младшая версия» парадокса Берри, изобретенная несколько десятилетий спустя, которая работает следующим образом. Некоторые натуральные числа интересны. Число 0 интересно, поскольку умножение любого числа на 0 дает 0. Число 1 интересно, поскольку умножение 1 на любое число оставляет его неизменным. Число 2 интересно, поскольку это наименьшее четное число, а число 3 интересно, поскольку это число сторон простейшего двумерного многоугольника (треугольника). Число 4 интересно, поскольку это первое составное число. Число 5 интересно, поскольку (помимо прочего) это количество правильных трехмерных многогранников. Число 6 интересно, поскольку это факториал трех (3 × 2 × 1), а также третье треугольное число (3 + 2 + 1). Я могу продолжить перечисление, но суть вы уловили. Вопрос в том, когда нам попадется первое неинтересное число. Может, это 62? Или 1729? Что ж, каким бы оно ни было, это определенно интересное свойство числа! Так что 62 (или любой другой ваш числовой кандидат) все же оказывается интересным – интересным из-за своей неинтересности. Таким образом, идея «наименьшего неинтересного числа» ударяет по себе самой, и это определенно напоминает работающее против себя самого определение b, числа Берри.
От языковых вывертов подобного рода, как мы уже знаем, скрутило чувствительный желудок Бертрана Рассела, и все же, к его чести, никто иной, как Б. Рассел впервые опубликовал парадоксальное число b Дж. Дж. Берри. В его заметке об этом числе, опубликованной в 1906 году, в год рождения Гёделя (восемь слогов!), Рассел постарался отклонить острие этого парадокса, заявив, что он является иллюзией, возникшей из наивного злоупотребления словом «описываемый» в контексте математики. Употребление этого слова, заявлял Рассел, необходимо разложить в бесконечную иерархию разных типов описуемости – описаний на уровне 0, которые могут ссылаться только на понятия чистой арифметики; описаний на уровне 1, которые могут использовать арифметику, а также ссылаться на описания уровня 0; описаний на уровне 2, которые могут ссылаться на арифметику, а также на описания уровней 0 и 1; и так далее, и тому подобное. Таким образом, идея «описуемости», не сведенная к определенному иерархическому уровню, являлась химерой, объявил Рассел, убежденный, что открыл глубокую новую истину. И с помощью этого новейшего типа теории (новейшей теории типов), заявил он, удалось привить иммунитет бесценному, нежному миру строгой доказуемости от уродливой, тошнотворной чумы Берри-Берри.
Нечеткость сгубила Берри
Хотя я согласен с Расселом, что в парадоксе Берри происходит что-то сомнительное, я расхожусь с ним во мнении, что именно. Слабое место, на котором сосредоточен я, заключается в том, что английский язык – безнадежно неточное средство для формулирования математических утверждений; его слова и фразы слишком размыты. То, что сперва кажется точным, оказывается исполненным двусмысленностей. Например, выражение «девять в кубе плюс сорок восемь, на десять в кубе плюс один», которое тоже является одним из описаний вышеупомянутого числа 777 777, на деле двусмысленно – его, например, можно истолковать как произведение 777 и 1000 с единицей на конце, что равняется 777 001.
Но некоторая двусмысленность здесь – лишь верхушка айсберга. Суть дела в том, что крайне неясно, какого рода английские выражения считаются описанием чисел. Взгляните на следующие фразы, которые подразумеваются как описание некоторых конкретных натуральных чисел:
• количество различных языков, на которых когда-либо говорили на земле;
• количество твердых тел в Солнечной системе;
• количество различных магических квадратов размером 4 на 4;
• количество интересных натуральных чисел меньше 100.
Что с ними не так? Что ж, в каждой из них фигурирует недостаточно определенное понятие.
Что, например, подразумевается под «языком»? Является ли языком язык жестов? На нем «говорят»? Есть ли четкая граница между языками и диалектами? Сколькими «различными языками» выстлан путь от латыни до итальянского? На скольких «различных языках» говорили со времен неандертальцев до латыни? Является ли языком церковная латынь? А поросячья латынь? Даже если бы у нас были видеозаписи каждого человеческого высказывания за миллионы лет существования земли, идея объективно соотнести каждое с определенным «официальным» языком, затем отделить друг от друга все «по-настоящему различные» языки и, наконец, подсчитать их была бы по-прежнему абсурдной несбыточной мечтой. Идея посчитать все «предметы» в мусорном баке уже достаточно бессмысленна, что уж говорить о подсчете всех языков за все времена!
Продолжая мысль, что считается «твердым телом»? Считаются ли искусственные спутники? А случайные и неприкаянные обломки, оставленные астронавтами? Считается ли каждый астероид? Все до единого камушки, болтающиеся в кольцах Сатурна? Как насчет крупинок пыли? Как насчет отдельных атомов, болтающихся в открытом космосе? Где заканчивается Солнечная система? И так далее, до бесконечности.
Вы можете возразить: «Но это не математические понятия! Идея Берри была в том, чтобы использовать математические определения натуральных чисел». Хорошо, но покажите мне четкую границу между математикой и остальным миром. Определение Берри опирается, например, на размытое понятие «подсчета слогов». Сколько слогов в словах «декабрь», «кентавр», «смысл», «монокль», «аутодафе»? Впрочем, не важно; допустим, мы установили строгий и объективный способ подсчета слогов. И все же, что считается «математическим понятием»? Действительно ли математическая дисциплина определена так четко? Например, каково точное определение понятия «магический квадрат»? Разные авторы определяют его по-разному. Необходимо ли провести опрос математического сообщества? И если да, кто же считается членом этого туманного сообщества?
Что насчет туманного понятия «интересных чисел»? Можем ли мы дать ему какое-то математическое уточнение? Как вы видели выше, причины для того, чтобы назвать число «интересным», могут касаться геометрии и прочих разделов математики – но, опять же, где лежат границы математики? Является ли разделом математики теория игр? Что насчет медицинской статистики? Что насчет теории о закручивании усиков растений? И так далее, и так далее.
Итак, идея об «англоязычном определении натурального числа» обернулась непроходимым болотом, и изворотливое определение Берри числа b, в той же степени, что и изворотливая идея Эшера о двух руках, рисующих друг друга, оказалось плодом гениального воображения, а не настоящей странной петлей. Очередной многообещающий кандидат в странные петли улетел в трубу!
Хотя в этом коротком отступлении я выставил идею Берри 1904 года в наивном свете, я должен обратить внимание, что шестьдесят лет спустя молодой математик Грег Чайтин, вдохновленный идеей Берри, использовав компьютерные программы вместо определений на английском языке, придумал ее более точно определенную сестру, и этот умный ход повлек за собой радикально новое доказательство и радикально новый взгляд на теорему Гёделя 1931 года. Продолжив с новой позиции, Чайтин и другие стали развивать важную новую ветвь математики, известную как «алгоритмическая теория информации». Мы уйдем сильно в сторону, если погрузимся в нее, но, надеюсь, я сумел передать, насколько плодотворным было наблюдение Берри, послужившее почвой для революционных идей Гёделя.
Сэндвич с арахисовым маслом и барбарисом[15]
Попытка Бертрана Рассела вставить палки в колеса парадоксальной конструкции Берри, установив формализм, исключающий все самореферентные лингвистические высказывания и самосодержащие множества, была не только опрометчивой, но и ошибочной. Как же так? Что ж, одна моя подруга недавно рассказала мне о запрете в стиле Рассела, установленном одной ее подругой, молодой и идеалистичной мамой. Эта женщина, исходя из лучших побуждений, строго-настрого запретила в доме игрушечные пистолеты. Какое-то время запрет работал, пока однажды она не сделала своему сыну сэндвич с арахисовым маслом. Парень быстро обгрыз его в форме пистолета, взял его и, направив на маму, закричал: «Пау-пау! Мам, ты умерла!» Этот иронический анекдот служит иллюстрацией к важному уроку: среда, которая остается после всех ваших жестких запретов, может оказаться достаточно гибкой для того, чтобы вылепить именно те вещи, которые вы запретили.
И правда, то, что Рассел отстранил Берри, возымело очень слабый эффект, поскольку в интеллектуальной сутолоке тех дней, на стыке столетий, изобреталось (или раскапывалось) все больше и больше парадоксов. В воздухе висело ощущение, что могут случиться поистине необыкновенные вещи, и современные потомки разных древних парадоксов всплывали в строго логичном мире чисел, в мире, в котором ничего подобного раньше не случалось, в первозданном раю, появление парадоксов в котором никому и не снилось.
Хотя эти новые виды парадоксов как будто нападали на прекрасный, священный мир доказательств и чисел (или, скорее, из-за этого тревожного ощущения), очень немногие математики смело отправились на поиски еще более глубоких и более волнующих парадоксов – то есть на поиски еще более серьезных угроз самим основам их собственной научной дисциплины! Это звучит как странная затея, но они верили, что в перспективе их поиски станут целительными для математики, поскольку выявят ее ключевые слабые места, покажут, какие из пошатнувшихся основ следует укрепить, чтобы они стали незыблемыми. Короче говоря, поглубже нырнуть в новую волну парадоксов было полезным, если не обязательным занятием для всех, кто работал с основами математики, поскольку новые парадоксы ставили важнейшие вопросы о природе доказательств – и, таким образом, об ускользающей природе мышления, – и, таким образом, о загадочной природе самого человеческого ума.
Автобиографический отрывок
Как я упомянул в Главе 4, в возрасте четырнадцати лет я наткнулся на маленькое сокровище Эрнста Нагеля и Джеймса Р. Ньюмана – «Доказательство Гёделя», – и оно околдовало меня почти парадоксальными идеями, вокруг которых была сосредоточена работа Гёделя. Одна из страннейших петель того периода моей жизни заключалась в том, что как раз в то время я познакомился с семьей Нагелей. Они жили в Манхэттене, но 1959–1960 учебный год они проводили «на западе», в Стэнфорде, и поскольку Эрнест Нагель и мой отец были хорошими друзьями, вскоре я познакомился со всей их семьей. Почти сразу после окончания стэнфордского года Нагелей я имел затейливое удовольствие прочесть «Доказательство Гёделя» целиком и вслух моему другу Сэнди, их старшему сыну, в полном зелени дворе их загородного дома, среди мягких холмов близ Браттлборо, штат Вермонт. Сэнди был моим ровесником, и мы оба исследовали математику с исступленным, знакомым только подросткам упоением.
Отчасти меня так неистово привлекала странная петлеобразность, лежащая в основе работы Гёделя. Но за другой частью моего неистового любопытства стояло чувство, что настоящим предметом исследования Гёделя, как и многих людей, которых он вдохновил, была загадка человеческого сознания и механизмы человеческого мышления. Казалось, своей статьей 1931 года Гёдель внезапно и резко вытащил на свет так много вопросов – вопросов вроде…
Что происходит в головах математиков, когда они делают свою самую творческую работу? Всегда ли это лишь оговоренные правилами манипуляции с символами, выведение теорем из ограниченного набора аксиом? Какова природа человеческого мышления вообще? То, что происходит в наших головах, лишь детерминистский физический процесс? Если так, значит ли это, что все мы, даже сколь угодно выдающиеся и «не такие, как все», лишь рабы строгих законов, управляющих невидимыми частицами, из которых сделаны наши мозги? Может ли творчество возникнуть из набора строгих правил, управляющих мизерными объектами или числовыми паттернами? Может ли машина, работающая по правилам, быть такой же творческой, как человек? Может ли запрограммированная машина придумывать идеи, не запрограммированные в ней заранее? Может ли машина принимать собственные решения? Иметь собственные мнения? Быть сбитой с толку? Знать, что она сбита с толку? Сомневаться в том, что она сбита с толку? Верить в собственную свободу воли? Верить в то, что свободы воли у нее нет? Быть осознанной? Сомневаться в собственной осознанности? Иметь самость, душу, «Я»? Считать, что ее горячая вера в собственное «Я» лишь иллюзия, но иллюзия неизбежная?
Идеалистические мечты о математике
В безрассудные дни моей юности, каждый раз, когда я заходил в университетский книжный магазин (а это случалось так часто, как только возможно), я немедленно устремлялся в математическую секцию и прочесывал все книги, имеющие отношение к символической логике и природе символов и смыслов. Так и получилось, что на эти темы я покупал книгу за книгой, вроде известной, но устрашающей книги Рудольфа Карнапа «Логический синтаксис языка» (The Logical Syntax of Language) и книги Ричарда Мартина «Истина и обозначение» (Truth and Denotation), не говоря уже о бесчисленных текстах по символической логике. Пока я очень внимательно читал некоторые из них, тома Карнапа и Мартина стояли на моей полке, насмехаясь надо мной и дразня, как будто совершенно недосягаемые. Они были трудными, почти что непроницаемыми, но я продолжал думать о том, что если однажды, в один великий день я все же смогу их прочесть и полностью постичь, я наконец-то смогу проникнуть в самую суть загадки мышления, смысла, творчества и сознания. С высоты нынешних дней это звучит до смешного наивно (во-первых, воображать, что это достижимая цель, а во-вторых, верить, что именно эти книги заключают в себе все секреты), но в то время я искренне в это верил!
В шестнадцать лет я получил необычный опыт преподавания символической логики в Стэнфордской младшей школе (моей собственной младшей альма-матер), опираясь на новейшие материалы философа и педагога Патрика Суппеса, который, как оказалось, жил на одной улице с моей семьей и чье классическое «Введение в логику» (Introduction to Logic) стало одним из моих самых надежных проводников. Суппес проводил эксперимент, чтобы понять, можно ли привить детям паттерны строгих логических заключений тем же путем, что и арифметику, и однажды директор школы, который хорошо меня знал с тех пор, как я сам был учеником, столкнувшись со мной в холле школы, спросил, не хочу ли я вести у шестиклассников (среди которых была и моя сестра Лора) символическую логику трижды в неделю на протяжении целого года. Я ухватился за эту возможность, и весь год я невероятно наслаждался ею, несмотря на то что некоторые из ребят порой доставляли мне хлопот (резинки в глаз и проч.). Я научил свой класс использовать многие правила логического вывода, включая благозвучное modus tollendo tollens – рассуждение от противного, и впечатляюще звучащий «гипотетический силлогизм»; и все это время я оттачивал свое мастерство не только как начинающий логик, но и как учитель.
Страстью, которая мной управляла, было жгучее желание сорвать покровы с тайны процесса человеческого мышления, прийти к пониманию того, как это возможно, что триллионы безмолвных, синхронных вспышек, ежесекундно происходящих внутри человеческого черепа, позволяют человеку думать, воспринимать, помнить, воображать, создавать и чувствовать. Примерно в то же время я читал книги о мозге, изучал несколько иностранных языков, исследовал экзотические системы письменности разных стран, изобретал способы заставить компьютер генерировать грамматически сложные и псевдоосмысленные предложения на английском и других языках и слушал удивительно мотивирующий курс психологии. Все эти различные пути сводились к плотной туманности вопросов об отношении между умом и механизмом, между ментальностью и механистичностью.
Тогда, в моем взрослеющем уме, наука о паттернах (математика) и наука о парадоксах (метаматематика) были хитро переплетены между собой. Каким-то образом я был убежден, что все загадочные тайны, поглотившие мое внимание, станут кристально понятными, как только я в совершенстве овладею этими двумя переплетенными дисциплинами. И, хотя на протяжении пары следующих десятилетий я потерял практически всю веру в то, что эти дисциплины содержат (пусть даже неявно) ответы на все эти вопросы, единственным, что я не терял никогда, было интуитивное чутье, что у самого сердца извечной загадки «Что такое Я?» крутился бесплотный вихрь тщательно выстроенной Гёделем петли.
Неспроста в этой книге, хотя я движим в основном вопросами о сознании и самости, мне пришлось посвятить несколько страниц фону, необходимому для (очень грубого) понимания идей Гёделя – а именно теории чисел и логике. Конечно, в обоих случаях доза не будет слишком серьезной, но я должен выполнить хотя бы набросок того, о чем идет речь в этих сферах; в противном случае мы не сможем продолжить. Так что, пожалуйста, пристегните ремни, дорогой читатель. На протяжении следующих двух глав погода может нас слегка потрепать.
Постскриптум
Удовлетворенно закончив эту главу, я вспомнил, что у меня есть две книги об «интересных числах» – «Пингвиний словарь любопытных и интересных чисел» (The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers) Дэвида Уэллса, автора и математика, которым я глубоко восхищаюсь, и «Замечательные числа» (Les Nombres remarquables) Франсуа Ле Лионне, одного из двух основателей знаменитого французского литературного движения Oulipo. Я смутно припоминаю, что в обеих этих книгах был представлен список «интересных чисел» в порядке возрастания, так что я решил проверить, какое первое натуральное число было пропущено в каждой из них.
Как я и подозревал, оба автора героически постарались включить все существующие натуральные числа, но неизбежно, по причине конечности человеческих знаний и человеческой смертности, в каждой из книг рано или поздно начинались пробелы. Первый пробел у Уэллса случился на числе 43, тогда как Ле Лионне продержался чуть дольше, до 49. Я лично был не слишком удивлен числом 43, но 49 показалось мне удивительным: в конце концов, это квадрат, что подразумевает хотя бы крупицу интереса. С другой стороны, я признаю, что квадраты после нескольких встреч с ними начинают слегка утомлять, так что отчасти я могу понять, почему одно лишь это свойство оказалось недостаточным для того, чтобы Ле Лионне включил 49 в итоговый список. Уэллс указал несколько интригующих свойств числа 49 (не упомянув о том, что это квадрат), и, напротив, Ле Лионне обратил внимание на несколько очень удивительных свойств числа 43.
Так что я решил найти наименьшее натуральное число, которое бы обе книги сочли полностью лишенным интереса, и этим числом оказалось 62. К слову, таков будет мой возраст, когда книга выйдет из печати. Может ли быть, что 62 в итоге все-таки интересно?