«Принципы математики» и ее теоремы
В начале XX века Бертран Рассел, вдохновленный максимой «Найди и изучи парадоксы; придумай и построй хорошо укрепленные стены, чтобы они не прошли!» (мои, не его слова), решил, что в «Принципах математики», в его новой, обнесенной валом крепости математических доказательств, ни одно множество не сможет включать самое себя и ни одно высказывание не сможет, обернувшись, говорить о самом себе. Эти похожие друг на друга запреты предназначались для того, чтобы уберечь «Принципы математики» от ловушки, в которую попадали другие, более наивные теории. Однако, когда Курт Гёдель поближе присмотрелся к тому, что я буду называть ПМ, – к формальной системе, применяемой в «Принципах математики» для рассуждения о множествах (и о числах, но они, определенные в терминах множеств, появились позже), – обнаружилось кое-что странное.
С вашего позволения, я слегка поясню разницу между «Принципами математики» и ПМ. Первая состоит из трех увесистых томов, тогда как ПМ состоит из набора четких правил по преобразованию символов; эти правила изложены и исследуются в глубинах книжных томов с использованием довольно мудреной системы обозначений (см. в конце этой главы). Аналогичная разница между массивным томом Исаака Ньютона под названием «Принципы»[16] и изложенными в нем законами механики.
Хотя понадобилось множество глав с выкладками и теоремами, прежде чем строго, с использованием точных правил по перестановке символов был продемонстрирован довольно непримечательный факт, что один плюс один равняется двум (что в системе обозначений ПМ записывается как «s0 + s0 = ss0», где буква s обозначает «следующий за»), Гёдель все же понял, что ПМ, будучи ужасно громоздкой, обладала невероятной мощью, когда речь заходила о целых числах – скорее даже, когда речь заходила о сколь угодно неявных свойствах целых чисел. (Кстати, словосочетание «сколь угодно неявные свойства» уже выдает весь секрет, хотя подсказка настолько завуалированная, что почти невозможно догадаться, на что намекают эти слова. Понадобился Гёдель, чтобы полностью разобраться.)
Например, как только в «Принципах математики» был введен теоретический аппарат по работе с множествами, достаточный, чтобы появились базовые арифметические понятия вроде сложения и умножения, в формальных терминах ПМ стало легко определять более интересные понятия, среди которых были «квадрат» (например, квадрат целого числа), «не квадрат», «простое число» и «составное число».
Теоретически мог бы существовать целый том «Принципов математики», полностью посвященный исследованию вопроса о том, какие натуральные числа являются суммой двух квадратов, а какие нет. Например, 41 является суммой 16 и 25, и существует бесконечно много прочих натуральных чисел, которые можно получить, сложив два квадрата. Назовем их членами Класса А. С другой стороны, 43 не является суммой никакой пары квадратов, и, соответственно, существует бесконечно много прочих натуральных чисел, которые нельзя получить, сложив два квадрата. Назовем их членами Класса B. (К какому классу относится 109? Что насчет 133?) Несмотря на деликатность задачи, полностью постичь эту элегантную дихотомию на множестве всех натуральных чисел исследователям теории чисел удалось задолго до рождения Гёделя.
Аналогично, можно вообразить еще один том «Принципов математики», полностью посвященный изучению вопроса, какие числа являются, а какие не являются суммой двух простых чисел. Например, 24 является суммой 5 и 19, тогда как 23 не является суммой какой-либо пары простых чисел. И, опять же, мы можем назвать эти два класса натуральных чисел Классом C и Классом D соответственно. В каждом классе бесконечное количество членов. Задача полностью постичь эту элегантную дихотомию на множестве всех натуральных чисел для специалистов по теории чисел представляется крайне сложной; и она по сей день не решена, хотя за два с лишним столетия с момента, как проблема была сформулирована впервые, ученые сильно продвинулись вперед.
Смешивая две непохожие идеи: простые числа и квадраты
Прежде чем мы возьмемся за неожиданное и поворотное осознание Гёделем ПМ, необходимо сперва сказать пару слов о глубокой радости от изучения паттернов, а затем о глубокой радости от понимания, что за ними стоит. Именно упорный поиск математиками ответа на вопрос «почему» и составляет в итоге природу их науки. Один из моих любимых фактов из теории чисел, надеюсь, послужит хорошим примером и немного вас развлечет.
Давайте зададимся достаточно простым вопросом о простых числах. Какие простые числа являются суммой двух квадратов (как, например, 41), а какие нет (как, например, 43)? Иными словами, давайте вернемся к Классам A и B, каждый из которых бесконечен, и спросим, какие простые числа к какому классу относятся. Возможно ли, что почти все простые числа относятся к одному из этих классов и лишь немногие к другому? Или пятьдесят на пятьдесят? В каждом ли из классов бесконечно много простых чисел? Если взять случайное простое число p, есть ли легкий и быстрый способ определить, к какому из классов p относится (не перебирая все возможные суммы квадратов, меньших, чем p)? Есть ли некая предсказуемая модель, в соответствии с которой числа распределяются по этим двум классам, или там царит беспорядочный хаос?
Некоторым читателям, возможно, кажется, что эти вопросы специфичны, более того, что браться за них неестественно, но математики по сути своей очень любопытные люди, и частенько их ужасно привлекает мысль о том, чтобы исследовать связи между понятиями, которые априори не кажутся взаимосвязанными вовсе (как, например, простые числа и квадраты). Часто случается, что находится неожиданная и тесная связь – некая безумная скрытая закономерность, с виду просто магическая, из-за открытия или разоблачения которой вдоль позвоночника иногда пробегает мистическая нервная дрожь. Я лично безо всякого стыда признаю свою невероятную восприимчивость к этим коктейлям из трепета, красоты, загадочности и неожиданности, изрядно щекочущим нервы.
Чтобы притереться к такого рода вещам, давайте возьмем список всех простых чисел до 100 – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 – между прочим, довольно беспорядочный и хаотичный список, – и перепишем его, выделяя те простые числа, которые являются суммой двух квадратов (то есть простые числа из Класса A), и оставляя нетронутыми те, которые не являются (простые числа из Класса B). Вот что мы получим:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…
Видите ли вы здесь что-нибудь интересное? Ну, по крайней мере, уже не выглядит неожиданным тот факт, что соревнование довольно равное? Почему так? Почему либо Класс A, либо Класс B не может доминировать? Возьмут ли простые числа Класса A или Класса B со временем верх или их приблизительный баланс будет продолжаться вечно? Чем дальше в бесконечность мы будем продвигаться, тем ближе будет баланс к точному соотношению пятьдесят на пятьдесят? Если так, почему сохраняется такой удивительный и деликатный баланс? Для меня в этом есть что-то невероятно манящее, так что я предлагаю вам посмотреть немного на этот пример – скажем, пару минут – и попытаться найти в нем какую-нибудь закономерность, прежде чем продолжать.
Охота на паттерны
Итак, читатель, мы с вами снова встретились – надеюсь, после некоторых паттерновых поисков с вашей стороны. Скорее всего, вы заметили, что непреднамеренно и случайно (случайно ли?) после выделения наш список распался на одиночек и парочки. Уже обнаружилась скрытая связь?
Посмотрим на это еще немного. Жирным шрифтом выделены парочки 13–17, 37–41 и 89–97, тогда как не выделены 7-11, 19–23, 43–47, 67–71 и 79–83. Теперь предлагаю заменить все парочки буквой П, а все одиночки буквой О, сохраняя выделение, которое отличает Класс A от Класса B. Так мы получим следующую последовательность букв:
О, О, О, П, П, П, О, О, П, П, О, О, О, П, О, П, П…
Есть ли здесь некая закономерность или ее нет? Как вы думаете? Если мы оставим только буквы Класса A, получится так: ООПОПОООП; если же мы оставим только буквы Класса B, получится так: ОППОПОПП. Если тут и есть периодичность или какая-то менее очевидная ритмичность, ее трудно уловить. Ни в обычной строке, ни в жирной не бросается в глаза никакой предсказуемый паттерн, и в смеси из них тоже не видно ничего примечательного. Мы заподозрили баланс в распределении чисел по двум классам, но пока что совершенно неясно, откуда он мог бы взяться. Вызывающе, но досадно.
Люди, которые упорно преследуют паттерны
В этот момент я чувствую необходимость указать на различие между двумя классами людей, а не чисел. Есть те, кого мысль о поиске паттернов привлекает мгновенно, и те, кто сочтет его неинтересным, возможно, даже противным. Первые – это, по сути, те, у кого есть математические наклонности, а вторые – у кого их нет. Математики – это люди, которых в глубине души манит – а если честно, то с легкостью соблазняет, – необходимость найти паттерны там, где изначально кажется, что их нет. Именно страстные поиски порядка в кажущемся беспорядке подпитывают их пламя и разжигают в их душах огонь. Я надеюсь, что вы относитесь к этому классу людей, дорогой читатель, но даже если нет, прошу, потерпите еще немного.
Может казаться, что мы уже раскусили паттерн типов – а именно, что мы вечно будем натыкаться на одиночек и парочки. Даже если пока что мы не можем сказать, как будут разбросаны О-шки и П-шки, по крайней мере, похоже, что применение дихотомии «сумма-двух-квадратов vs не-сумма-двух-квадратов» к последовательности простых чисел разбивает ее на одиночек и парочки, а это уже невероятное открытие! Кто бы мог подумать?
К сожалению, я должен признать, что вожу вас за нос. Если мы просто добавим следующее простое число, а именно 101, в наш список, оно подорвет порядок, который мы как будто нашли. В конце концов, простое число 101, будучи суммой двух квадратов, 1 и 100, и потому принадлежащее к Классу A, должно быть напечатано жирным шрифтом, так что наша мнимая пара 89–97 оказывается жирной тройкой. Таким образом, наша обнадеживающая идея о последовательности из О-шек и П-шек пошла прахом.
Что в этот момент делает охотник за паттернами? Сдается? Конечно, нет! Потерпев неудачу, изворотливый охотник за паттернами всего лишь перегруппировывается. В самом деле, давайте воспользуемся подсказкой этого слова и попробуем перегруппировать последовательность простых чисел другим способом. Допустим, мы разделим эти два класса, расположив их на двух разных строках, и получим следующее:
Да – квадрат + квадрат: 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, …
Нет – квадрат + квадрат: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, …
Видите что-нибудь? Если нет, позвольте вам намекнуть. Что, если вы просто вычислите разность между соседними числами в каждой строке? Попробуйте сами – или, если вам очень лень, просто читайте дальше.
В верхней строке вы получите 3, 8, 4, 12, 8, 4, 12, 8, 12, 16, 8, 4, тогда как в нижней строке вы получите 4, 4, 8, 4, 8, 12, 4, 12, 8, 4, 8, 4. На этом этапе кое-что уже должно бросаться в глаза даже самому безразличному читателю: здесь не только явно преобладает несколько чисел (4, 8 и 12), но, кроме того, все эти натуральные числа делятся на 4. Похоже, что это уже больше, чем просто совпадение.
И самое большое число в обоих списках – 16 – также делится на 4. Будет ли этот новый паттерн – исключительно числа, кратные 4, – продолжаться вечно? (Конечно, в самом начале праздник нам портит «3», но мы можем списать это на то, что число 2 – единственное четное простое число. Ничего страшного.)
Где есть паттерн, там есть причина
Нескольких предыдущих строк обозначают веру в то, что этот паттерн не может быть просто совпадением. Обнаружив паттерн такого рода, математик инстинктивно спросит: «Почему? Какова причина этой закономерности?» Любой математик не только задастся вопросом, в чем причина, но, что более важно, каждый из них будет безоговорочно верить, что, найдись эта причина или нет, она должна быть. В мире математики ничто не происходит «случайно». Существование идеального паттерна, закономерности, которая продолжается вечно, свидетельствует о том, что что-то происходит за кадром – точно так же, как дым свидетельствует об огне. Математики считают своим священным долгом искать его, обнаруживать и предавать гласности.
Эта деятельность называется, как вы все знаете, «поиском доказательства», или, иначе говоря, превращением гипотезы в теорему. Покойный Пал Эрдёш, великий и эксцентричный венгерский математик, однажды бросил шутливое замечание, что «математик – это устройство, которое превращает кофе в теоремы», и хотя в его остроте определенно есть доля истины, было бы вернее сказать, что математики – это устройства, которые находят гипотезы и превращают их в теоремы.
В основе математического склада ума лежит непоколебимая вера в то, что если некоторое математическое утверждение X истинно, то у X есть доказательство, и наоборот. В самом деле, в сознании математика «иметь доказательство» – это не больше и не меньше, чем «быть истинным»! Симметрично, «быть ложным» означает «не иметь доказательства». Можно найти намеки на идеальный, бесконечный паттерн, произведя числовое исследование, как мы сделали выше, но как можно знать наверняка, что предполагаемая закономерность будет продолжаться вечно, не имея конца? Как, например, можно быть уверенным, что простых чисел бесконечно много? Откуда нам знать, что однажды не наступит последнее, Великое Простое Число P?
Если бы оно существовало, P было бы поистине важным и интересным числом, но если вы посмотрите на длинный список последовательно идущих простых чисел (список выше из простых чисел до 100 дает некоторое представление), вы увидите, что, хотя их ритм слегка «ухабистый», со странными пробелами тут и там, эти пробелы между простыми числами всегда довольно малы по сравнению с самими числами. Учитывая эту весьма явную тенденцию, если бы простые числа внезапно закончились, было бы ощущение, что мы безо всяких предупреждений свалились с края Земли. Это было бы огромным потрясением. И все же, откуда нам знать, что этого не случится? И можем ли мы это узнать? Здорово обнаруживать при помощи компьютера, что новые простые числа продолжают появляться вплоть до миллиардов и триллионов, но это не дает железной гарантии, что они просто не прекратятся вдруг где-то чуть дальше. Нам нужно полагаться на логические рассуждения, чтобы добраться туда: хотя конечный набор свидетельств может наводить на вполне определенные догадки, на него попросту нельзя положиться, поскольку бесконечность сильно отличается от любого конечного числа.
Бороздя океан простых чисел и срываясь с его края
Вы, вероятно, где-нибудь видели Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел, но если нет, вы пропустили один из важнейших столпов человеческого знания за все времена. Подобный пробел в жизненном опыте можно сравнить с тем, как если бы вы никогда не пробовали шоколад или не слышали ни одной музыкальной пьесы. Я не могу потерпеть такого серьезного пробела в знаниях моих читателей, так что рискнем!
Предположим, что P, Великое Последнее Простое Число на Свете, существует, и посмотрим, к чему приведет это предположение. Если P существует, то это значит, что есть Конечный Закрытый Клуб Всех Простых, в котором P является знаменитым, венценосным, завершающим членом. Что ж, давайте просто возьмем и перемножим все простые числа Закрытого Клуба, чтобы получить восхитительно огромное число под названием Q. Это число Q, таким образом, делится на 2, а также на 3, 5, 7, 11 и так далее. Q по определению делится на каждое простое число из Клуба, а значит, на каждое простое число во Вселенной! А теперь, в качестве радостного последнего штриха, как в день рождения, добавим одну свечку на вырост, получив Q + 1. Итак, у нас есть громадное число, которое, мы уверены, не простое, поскольку P (которое, очевидно, осталось позади числа Q) наше Великое Последнее Простое, самое большое простое число из всех. Все числа после P являются, по нашему изначальному предположению, составными. Отсюда Q + 1, значительно превосходящее P и потому составное, обязано иметь какой-нибудь простой делитель. (Запомните это, пожалуйста.)
Каким может быть этот простой делитель? Это точно не 2, поскольку на 2 делится Q, которое лишь на ступеньку ниже Q + 1, а два четных числа никогда не находятся на единичном расстоянии друг от друга. Им также не может быть 3, поскольку на 3 число Q делится тоже, а числа, кратные 3, не бывают соседями! В общем, какое бы простое число p из Клуба мы ни выбрали, мы обнаружим, что p не является делителем Q + 1, поскольку на p делится его сосед снизу, число Q (а кратные p числа никогда не соседствуют друг с другом – они встречаются только через каждые p чисел). Таким образом, рассуждения показали, что ни один из членов Конечного Закрытого Клуба Всех Простых не является делителем Q + 1.
Но чуть выше я заметил (и попросил вас запомнить), что Q + 1, будучи составным, обязано иметь простой делитель. Провал! Мы оказались в ловушке, сами себя загнали в угол. Мы состряпали безумное число – число, которое, с одной стороны, должно быть составным (т. е. иметь младший простой делитель) и все же, с другой стороны, не имеет младшего простого делителя. Противоречие возникло из нашего предположения, что существует Конечный Закрытый Клуб Простых, увенчанный славным числом P, так что у нас нет выбора, кроме как вернуться и разрушить эту любопытную, но сомнительную мечту.
Не может существовать «Великое Последнее Простое на Свете»; не может существовать «Конечный Закрытый Клуб Всех Простых». Это выдумка. Истина, как мы только что показали, в том, что список простых продолжается бесконечно. Мы никогда-никогда не «свалимся с края Земли», как бы далеко ни продвинулись. В этом мы сейчас убедились благодаря безупречным рассуждениям, и никакое конечное количество вычислительных плаваний по числовым морям не могло бы убедить нас подобным образом.
Если понимание, почему не существует последнего простого числа (в противовес простому знанию, что это так), для вас оказалось новым опытом, надеюсь, вам удалось насладиться им так же, как кусочком шоколада или музыкальной пьесой. И, как и в случае с ними, вы можете возвращаться и погружаться в этот опыт много раз, каждый раз находя его освежающим. Более того, это доказательство служит богатым источником для других доказательств – Вариаций на Тему Евклида (хоть мы и не будем здесь их изучать).
Кредо Математика
Мы только что вблизи рассмотрели очаровательный пример того, что я называю «Кредо Математика», под которым я подразумеваю следующее:
X истинно, поскольку существует доказательство X;
X истинно, и потому существует доказательство X.
Обратите внимание, это работает в обе стороны. Первая половина Кредо заявляет, что доказательства являются гарантами истинности, а вторая половина заявляет, что где есть закономерность, там есть причина. Конечно, мы сами можем и не разоблачить эти скрытые причины, но мы твердо и несомненно убеждены, что они существуют и в теории могут однажды быть кем-то обнаружены.
Усомниться в любой из половин Кредо для математика немыслимо. Усомниться в первой половине означало бы вообразить, что доказанное утверждение все же может быть ложным, что высмеивало бы саму идею «доказательства», а усомниться во второй строке означало бы вообразить, что внутри математики могут существовать идеальные, не допускающие исключений паттерны, которые продолжаются вечно, не следуя при этом никакому ритму, не имея на это никаких причин. Для математиков идея безупречной, но беспричинной структуры не имеет никакого смысла. В этом отношении все математики – родня Альберта Эйнштейна, который, как известно, заявил, что «Бог не играет в кости». Эйнштейн имел в виду, что в природе ничто не происходит без причины, а для математиков это значит, что всегда существует единая, основная причина – непоколебимый символ их веры.
Бесконечных совпадений не бывает
Вернемся теперь к простым числам Класса A против Класса B, поскольку мы еще не совершили наше открытие, еще не испытали мистическую дрожь, о которой я говорил. Освежу вашу память: мы заметили, что каждая строка характеризуется разностями вида 4n – то есть 4, 8, 12 и так далее. Мы не доказали этот факт, но мы наблюдали его достаточно часто, чтобы построить гипотезу.
Нижняя строка нашего представления начинается с 3, так что наша гипотеза будет предполагать, что все остальные числа в строке получаются путем сложения 3 с числами, кратными 4, и, следовательно, каждое число в этой строке можно представить в виде 4n + 3. Аналогично (если мы игнорируем неподходящую 2 вначале), первое число в верхней строке – это 5, то есть если наша гипотеза верна, каждое последующее число в этой строке можно представить как 4n + 1.
Ладно, ладно – наша гипотеза предполагает достаточно незатейливую модель: простые числа вида 4n + 1 могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, тогда как простые числа вида 4n + 3 не могут. Если эта догадка верна, она устанавливает прекрасную, эффектную связь между простыми числами и квадратами, застающую нас врасплох (ведь эти два класса чисел на первый взгляд выглядят абсолютно не связанными друг с другом). Это искра чистой магии – той магии, ради которой и живут математики.
И все же для математика эта вспышка радости является лишь началом истории. Это как расследование убийства: мы нашли тело, но кто виноват? Всегда должно быть объяснение. Понять или найти его может быть непросто, но оно должно быть.
Теперь мы знаем (или, по крайней мере, всерьез подозреваем) наличие прекрасного бесконечного паттерна, но в чем причина? Краеугольное предположение о наличии причины заключается в том, что наш паттерн далек от «бесконечного совпадения», что он происходит по единственной веской, основополагающей причине; что за всеми этими «независимыми» фактами лежит один-единственный феномен.
Оказывается, что в промелькнувшем перед нами паттерне скрыто куда больше. Не только все простые числа вида 4n + 3 никогда не раскладываются в сумму двух квадратов (доказать это легко), но также оказывается, что любое простое число вида 4n + 1 можно представить в виде одной и только одной суммы квадратов. Возьмем, к примеру, 101. Число 101 не только равняется 100 + 1, но нет никакой другой суммы квадратов, которая давала бы в результате 101. Наконец, оказывается, что в пределе чем дальше мы продвигаемся, тем ближе к 1 становится отношение количества чисел в Классе A к количеству чисел в Классе B. Это означает, что изящный баланс, который мы наблюдали у простых чисел до 100 и предположительно продлили до бесконечности, строго доказуем.
Хоть я и не буду продолжать углубляться в изучение конкретно этого примера, я скажу, что эта теорема доказывается во многих учебниках по теории чисел (она далеко не тривиальна), то есть паттерн подтверждается доказательством. Как я сказал ранее, X истинно, поскольку X доказуемо, и наоборот, X истинно и потому доказуемо.
Долгие поиски доказательств и их природы
Выше я упомянул, что вопрос «Какие числа являются суммой двух простых?», поставленный почти 300 лет назад, так и не был полностью решен. Впрочем, математики – упорные ищейки, и их поиски доказательства могут продолжаться веками, даже тысячелетиями. Нескончаемые поражения не подрывают их боевой дух на пути к доказательству математического паттерна, который, исходя из числовых тенденций, скорее всего, продолжается вечно. В самом деле, обширные эмпирические подтверждения математических гипотез, которые удовлетворили бы большинство людей, лишь раззадоривают и расстраивают математиков. Им нужно доказательство не хуже Евклидова, а не куча точечных проверок! Ими движет вера в то, что доказательство должно существовать – иными словами, если доказательства не существует, предполагаемый паттерн должен быть ложным.
Так образуется обратная сторона Кредо Математика:
X ложно, поскольку не существует доказательства X;
X ложно, и потому не существует доказательства X.
Одним словом, доказуемость и истинность для математика одно и то же, равно как недоказуемость и ложность. Это синонимы.
В течение нескольких веков после эпохи Возрождения математика разветвилась на множество отраслей науки, и в разных ее ветвях были найдены разнообразные доказательства. Время от времени, правда, результаты строгих доказательств получались совершенно абсурдными, но никто не мог точно определить, где все пошло наперекосяк. Появлялись все более странные результаты, и сомнения насчет самой природы доказательств тревожили математиков все сильнее, пока наконец, в середине девятнадцатого века, не возникло мощное движение, целью которого было определить, что же такое рассуждение, и навечно связать его с математикой, объединив две сущности в одну.
Многие философы и математики сделали свой вклад в это благородное движение, и на пороге двадцатого века цель, похоже, забрезжила на горизонте. Математические рассуждения как будто бы удалось точно охарактеризовать многократным использованием определенных базовых законов логики, которые окрестили правилами вывода, или modus ponens: если вы доказали результат X, а также доказали X⇒Y (стрелочка здесь представляет собой операцию импликации, а запись означает «если X истинно, то Y тоже истинно»), то вы можете отправлять Y в корзину доказанных результатов. Существует и несколько других фундаментальных правил вывода, но было решено, что их требуется не так уж и много. В первом десятилетии двадцатого века Бертран Рассел с Альфредом Нортом Уайтхедом закодировали эти правила в довольно тернистой форме (см. ниже), таким образом позволив, как всем казалось, добавить логику ко всем отраслям математики и создать их безукоризненный, идеальный союз.
Благодаря великому труду Рассела и Уайтхеда «Принцип математики» людям больше не нужно было бояться упасть в скрытые расщелины ложных рассуждений. Теоремы теперь понимались как итоговый результат последовательных манипуляций с символами, предпосылками которых служили либо аксиомы, либо более ранние теоремы. Математическая истина складывалась теперь так элегантно. И пока вырисовывались очертания этого Священного Грааля, в городе Брюнн, в Австро-Венгрии, рос маленький мальчик.