Двойное значение формул ПМ
Представьте, как был ошеломлен новоиспеченный рыцарь лорд Рассел, когда юным австрийским турком, названным Куртом, было напечатано заявление о том, что «Принципы математики» – мощная интеллектуальная крепость, усердно возведенная как оплот против ужасного бича самореференции, – на деле изрешечена формулами, которые, судя по всему, утверждают о себе всевозможные абсурдные и непостижимые вещи. Как вообще можно было допустить такой произвол? Как бессмысленное щебетание самореферентных утверждений сумело проскользнуть за толстый крепостной вал прекрасной и вечной Теории Разветвленных Типов? Этот австрийский выскочка-чародей наверняка навел какую-нибудь порчу, но каким образом он провернул свое черное дело?
Ответ скрывается в его классической статье – «О формально неразрешимых утверждениях “Принципов математики” и схожих систем (I)», – в которой Гёдель пересмотрел понятие смысла и заключил, что значение формул ПМ не так просто – не так недвусмысленно – как думал Рассел. Стоит отметить, что сам Рассел настаивал на том, что причудливым длинным формулам ПМ не был присущ тот или иной смысл. В самом деле, поскольку теоремы ПМ были наштампованы по формальным правилам, которые не обращали внимания на смысл, Рассел часто говорил, что весь его труд – это просто набор бессмысленных знаков (и, как вы видели в конце Главы 9, страницы «Принципов математики» часто выглядят скорее как экзотическое произведение искусства, нежели как математический труд).
И все же Рассел предусмотрительно замечал, что все его забавные узоры из подков, звездочек и закорючек при желании могли быть интерпретированы как утверждения о числах и их свойствах, поскольку можно заставить прочитать бессмысленное вытянутое яйцо «0» как число ноль, в той же степени бессмысленный крест «+» как сложение и так далее, и в таком случае все теоремы ПМ становятся утверждениями о числах – а не просто пустой болтовней о них. Представьте, каким ударом было бы для Рассела увидеть узор из закорючек «ss0 + ss0 = sssss0» среди теорем ПМ! Для него это было бы полнейшей катастрофой. Поэтому он был вынужден признать, что в его мутноватом труде был смысл (иначе зачем бы он потратил столько лет своей жизни, работая над ним, и зачем бы ему заботиться о том, какие строки являются теоремами?) – но этот смысл зависел от того, какое отображение используется для связи фигур на бумаге с абстрактными величинами (например, ноль, один, два…), операциями (например, сложение), отношениями (например, равенство), логическими понятиями (например, «не», «и», «существует», «для всех») и так далее.
Зависимость Рассела от систематических отображений, привносящих смыслы в его крепость из символов, довольно красноречива, поскольку открытие юного турка Гёделя было попросту другим систематическим отображением (надо сказать, куда более сложным), при помощи которого можно было найти другие смыслы в той же самой крепости. Иронично, что открытие Гёделя было весьма в расселовском духе.
На основании нового искусного кода Гёделя, который систематически отображал строки символов на числа и наоборот (вспомните также, что он отображал типографские правила перестановки на численные расчеты и наоборот), многие формулы можно было прочесть на втором уровне. Первый уровень смыслов, полученный прежним стандартным отображением, всегда был про числа, как Рассел и заявлял, но второй уровень смыслов, благодаря недавно обнаруженному отображению Гёделя (сидящий на закорках у первого отображения Рассела), был о формулах, и раз оба уровня зависели от отображений, новый уровень смыслов Гёделя был не менее реальным и не менее полноценным, чем исходный расселовский, – просто чуть более трудноуловимым.
Смыслы добавляются бесплатно благодаря тебе, аналогия!
За многие годы размышлений о том, что Гёдель сделал в 1931 году, именно его осознание истоков смысла – осознание, что благодаря отображениям полноценный смысл может возникнуть там, где его совершенно не ожидали, – всегда поражало меня сильнее всего. Я считаю это осознание столь же глубоким, сколь и простым. Однако я до странного редко слышал, если слышал вообще, чтобы об этой идее говорили в том ключе, который бы раскрывал глубину, которую я в этом вижу, так что в этой главе я решил попробовать принять этот вызов самостоятельно. Для этого я использую ряд примеров, которые начнутся достаточно тривиально, но по ходу дела прибавят в изяществе и, я надеюсь, в юморе тоже. Итак, поехали.
Стоя с другом в очереди в кафе, я вижу большой шоколадный торт на блюде за стойкой и прошу официанта положить мне кусок. Мой друг явно колеблется, но не поддается соблазну. Мы идем к столику, и, откусив кусочек, я говорю: «Господи, это ужасно невкусно». Я, конечно, имею в виду, что ужасен не только мой кусок, но и весь торт в целом, так что мой друг может счесть, что удержаться было мудрым (или удачным) решением. Бытовое наблюдение такого рода показывает, что мы неизбежно обобщаем вовне. Мы бессознательно думаем: «Этот кусок торта очень походит на весь остальной торт, так что утверждение о нем будет столь же применимо к любому другому куску». (Здесь подразумевается и еще одна аналогия о том, что восприятие еды у моего друга близко к моему, но оставим это.)
Посмотрим на другой пример, чуть более смелый. На вечеринке я вижу тарелку с горой печенья, беру одно, откусываю и говорю, обращаясь к своим детям: «Это очень вкусно!» Дети немедленно берут и себе по одному. Почему? Потому что они хотят попробовать что-то вкусное. Да, но как они перескакивают от утверждения о моем печенье к выводам об остальных печеньях на тарелке? Очевидный ответ таков: все печенья в некотором смысле «одинаковые». Но, в отличие от кусков торта, печенья не являются частями одного физического объекта, и потому они чуть «более разные» друг относительно друга, чем куски торта, – но они были сделаны одним человеком из одних ингредиентов с использованием одного оборудования. Все эти печенья из одной партии относятся к одной категории. По всем значимым параметрам они для нас взаимозаменяемы. Разумеется, каждое из них уникально, но в контекстах, которые имеют значение при употреблении человеком печенья, они почти наверняка эквивалентны. Поэтому, если я говорю об одном конкретном: «Ничего себе, как вкусно!», смысл моего утверждения благодаря силе аналогии неявно перескакивает на любое из них. Да, бесспорно, довольно тривиальная аналогия позволяет перескочить с одного печенья на другое, когда все они берутся с одной тарелки, но все же это аналогия, и она позволяет воспринять мое конкретное утверждение «Это вкусно!» как общее утверждение про все печенья сразу.
Возможно, для вас такие аналогии выглядят слишком несерьезно. Первая подразумевает аналогию между несколькими кусками одного торта, вторая – аналогию между несколькими печеньями на тарелке. Такие банальности вообще достойны называться аналогиями? Для меня в этом нет сомнений; в самом деле, большая часть нашей богатой ментальной жизни состоит из плотной ткани мириадов незаметных, расхожих аналогий не сложнее этих двух. Однако мы настолько привыкли принимать такие расхожие аналогии как должное, что склонны считать, что слово «аналогия» должно обозначать что-то куда более возвышенное. Но один из самых частых рефренов моей жизни таков: мы должны с большим уважением относиться к тому, что выглядит банальнейшей аналогией, поскольку именно они зачастую берут начало в самых глубоких истоках человеческого сознания и обнажают их.
Использование аналогий в обычной жизни
Как мы только что увидели, замечание, сделанное с целью высказаться о ситуации A, может неявно примениться к ситуации B, даже если не было намерения говорить о B и B вовсе не было упомянуто. Для этого требуется только простая аналогия – непринужденное отображение, которое обнаруживает, что обе ситуации по сути имеют одну основную структуру или концептуальное ядро – и тогда дополнительный смысл можно будет прочитать вне зависимости от того, решит ли человек это сделать. Короче говоря, утверждение об одной ситуации можно услышать так, будто его сделали об аналогичной – или, вводя слегка технический термин, изоморфной — ситуации. Изоморфизм – это всего лишь формализованная и строгая аналогия – такая, в которой сеть параллелей между двумя ситуациями произносится недвусмысленно и четко, – и дальше я буду свободно использовать этот термин.
Когда аналогия между ситуациями A и B вызывающе очевидна (не важно, насколько она проста), мы порой используем ее, чтобы говорить «намеренно случайно» о ситуации B, притворяясь, что говорим лишь о ситуации A. «Эй, Энди! Снимай свою грязную обувь, когда заходишь в дом!» Эта фраза, брошенная в адрес пятилетнего сына, который топчется на пороге со своим другом Биллом, тоже вымазанным в грязи, очевидно, адресована Биллу в той же степени, что и Энди, путем очень простой, очень прозрачной аналогии (скачок с одного мальчика на другого, если угодно, очень похож на предыдущий скачок с одного печенья на другое). Намек по аналогии позволяет нам передать сообщение вежливо, но эффективно. Конечно, нам нужно быть уверенными, что человек, на которого направлено наше неявное сообщение (здесь это Билл), в курсе аналогии A/B, иначе наша хитроумная и дипломатичная уловка пропадет зря.
Вперед и вверх по нашей цепочке примеров! Люди в романтических ситуациях используют такие схемы постоянно. Однажды вечером, во время страстного и нежного объятия Ксеркс спросил свою дорогую Йоланду: «У меня изо рта плохо пахнет?» Он совершенно искренне ждет ответа, и это весьма заботливо с его стороны, но в то же время его вопрос несет в себе (намеренно или нет) второй смысловой уровень, уже не такой заботливый: «У тебя изо рта плохо пахнет!» Йоланда отвечает на его вопрос, но, конечно, она также мигом подхватывает возможный альтернативный смысл. Вообще-то, она подозревает, что настоящим намерением Ксеркса было сказать ей о запахе у нее изо рта, а не узнать насчет своего – он просто был дипломатичен.
Итак, как одно утверждение может говорить сразу на двух уровнях? Как может второй смысл проскочить внутрь первого? Вы знаете ответ, как и я, дорогой читатель, но позвольте все равно его произнести. Точно как и в случае с грязной обувью, здесь есть очень простая, очень громкая, очень выпуклая, очень очевидная аналогия между двумя участниками, и это значит, что любое утверждение о X будет (или, по крайней мере, может быть) отнесено в то же время и к Y. Отображение X/Y, эта аналогия, частичный изоморфизм – как бы вы это ни назвали – эффективно и надежно переносит смысл от одной структуры к другой.
Давайте взглянем на этот режим коммуникации в чуть более деликатной романтической ситуации. Одри, не будучи уверенной, насколько серьезны намерения Бена, «невинно» переводит разговор на их общих друзей, Синтию и Дейва, и «невинно» спрашивает Бена, что он думает о неспособности Дейва признаться Синтии. Бен не дурак и немедленно чувствует угрозу, так что сперва он опасается говорить что-то конкретное, поскольку может изобличить себя, даже говоря «только» о Дейве, но затем он также понимает, что эта опасность дает ему возможность донести до Одри некоторые вещи, которые он не решался обсудить напрямую. Соответственно, Бен с продуманной небрежностью отвечает, что может представить, почему Дейву неловко признаться, ведь Синтия, в конце концов, куда умнее его. Бен надеется, Одри поймет намек, что ему тоже неловко признаться, поскольку она куда лучше разбирается в искусстве, чем он. Он доносит до нее свой намек косвенно, но отчетливо при помощи довольно явной аналогии между парами, которую и Одри, и Бен выстроили в своих головах за несколько последних месяцев, не обмолвившись ни словом. Бену удалось совершенно явственно говорить о себе, не говоря о себе напрямую; более того, и он и Одри это понимают.
Предыдущая ситуация может показаться вам очень надуманной и оставить впечатление, что возможность увидеть одну романтическую ситуацию как «шифр» для другой довольно призрачная и маловероятная. Но нельзя было бы ошибиться сильнее. Если двое состоят в романтических отношениях (и даже если не состоят, но хотя бы один из них допускает возможность искры), то почти каждый разговор между ними о какой бы то ни было романтике, про кого бы он ни зашел, с большой вероятностью будет истолкован одной или обеими сторонами как указывающий на их собственную ситуацию. Такого рода закольцованность почти неизбежна, поскольку романы, даже очень хорошие, полны неопределенности и томлений. Мы всегда в поисках намеков и осознаний нашей романтической жизни, а аналогии – великолепный источник намеков и осознаний. Таким образом, то, что мы замечаем аналогию между собой и другой парой, которая играет центральную роль в разговоре, почти идентично куску торта, поданному нам на тарелочке с голубой каемочкой. Главный вопрос в том, насколько он вкусный.
Скрытая двусмысленность в замечаниях деревенского пекаря
Непрямые отсылки вроде тех, которые мы обсудили только что, – частый художественный прием в литературе, где из-за мощных аналогий, которые читатели с легкостью проводят между ситуациями A и B, слова, произнесенные персонажами в ситуации A, можно без труда услышать как относящиеся к ситуации B. Порой персонажи в ситуации A совершенно не знают о ситуации B, что может создать юмористический эффект, тогда как в других случаях персонажи в ситуации A те же, что и в ситуации B, но не знают (или не думают) об аналогии, которая связывает две ситуации, в которых они участвуют. Последнее, конечно, создает весьма ироническое впечатление.
Поскольку недавно я увидел славный тому пример, я не могу устоять и не рассказать о нем. Это произошло в конце фильма 1938 года, снятого Марселем Паньолем, – «Жена булочника». Со своей женой Аурелией, что сбежала с местным пастухом, вернувшись домой с повинной три дня спустя, деревенский пекарь с забавным именем Эмабль[19] нежен и мил – но со своей кошкой Помпонетт, которая, так уж вышло, тремя днями ранее тоже сбежала, бросив своего партнера Помпона, и тоже вернулась в один день с Аурелией (все это, разумеется, происходит по чистому совпадению), Эмабль совершенно беспощаден. Встав на сторону пострадавшего Помпона (кто-то скажет, «отождествляя себя с ним»), Эмабль потоком обвинений разносит Помпонетт в пух и прах; все это происходит на глазах у только что вернувшейся Аурелии, и зритель понимает, что все его хлесткие слова вполне могли быть обращены против нее. Словно этого мало, Аурелия съедает хлеб в форме сердца, который Эмабль приготовил себе на ужин (он понятия не имел, что она вернется), пока в то же время гулящая кошечка Помпонетт, на которой надет ошейник с большим сердечком, ест еду, которую только что положили для ее дорогого Помпона.
Воспринимает ли Эмабль вопиюще очевидную аналогию? Может ли он быть настолько доброй и всепрощающей душой и не замечать, что Аурелия и Помпонетт два сапога пара, и может ли изумительно двусмысленная ругань, которую он жестоко (но справедливо) вываливает на кошку, невинно иметь для него лишь один смысл?
Как бы то ни было, я призываю вас пойти и посмотреть этот фильм; это душераздирающий шедевр. И если по странному случаю ваша дорогая половинка, сидя рядом и наслаждаясь фильмом за компанию с вами, только что вернулась в гнездо после небольшой интрижки на стороне, просто представьте, как он или она начнет ерзать во время финальной сцены! Но с чего бы кому-то снаружи фильма чувствовать, как жалит град жестоких упреков, высказанных кем-то внутри фильма? Ох, ну… сила аналогии прямо пропорциональна ее меткости и прозрачности.
Шанталь и уровни смыслов, которые сидят на закорках
Теперь давайте рассмотрим аналогию, грани которой различаются сильнее, чем два печенья или двое любовников, и даже сильнее, чем загулявшая жена и загулявшая кошка. Это аналогия, которая возникает, пусть и неявно, когда мы смотрим программу по телевизору – скажем, шоу о французском пекаре, его жене, его друзьях и его кошке. Суть в том, что на самом деле мы не смотрим на то, как развлекаются люди и кошки – по крайней мере, не буквально. Когда мы так говорим, мы используем удобное условное обозначение, поскольку на самом деле мы видим мириады пикселей, которые идеально синхронизированным пошаговым образом копируют подвижные узоры из цветных пятен, которые однажды были рассеяны одушевленными и неодушевленными объектами где-то далеко и давным-давно в какой-то французской деревне. Мы видим около миллиона точек, которые «шифруют» некоторые произведенные людьми действия, но, к счастью, этот шифр нам расшифровать очень просто – это настолько не требует усилий, что мы втягиваемся в отображение, в этот изоморфизм (в аналогию экран/сцена, если угодно), и нас будто «переносит» в некоторое отдаленное место и время, где мы будто бы наблюдаем за происходящими как по-настоящему событиями; и попытки четко разделить, «в самом деле» мы наблюдаем события или нет, кажутся нам раздражающими придирками. (Говорим ли мы «в самом деле» друг с другом, когда говорим по телефону?)
Слишком просто забыть, что моль, мухи, собаки, кошки, новорожденные, телевизионные камеры и прочие мелкодушные существа не воспринимают телеэкран так же, как мы. Хотя это сложно себе представить, они видят пиксели в сыром, неинтерпретированном виде, и потому телеэкран для них лишен давних-и-далеких смыслов точно так же, как куча листьев, картина Джексона Поллока или газетная статья на малагасийском языке (приношу свои извинения, если вы говорите на малагасийском; в таком случае, пожалуйста, замените его на исландский – и не говорите мне, что знаете и его!). Навык «читать» телеэкран на репрезентативном уровне лежит за пределами интеллекта этих созданий, даже если для большинства людей это становится обычным делом уже около двухлетнего возраста.
Так что собака, бессмысленно глядящая в экран, которая не способна воссоздать никаких образов и даже не знает, что какие-то образы подразумевались, не сильно отличается от лорда Рассела, который пустым взглядом уставился на формулу своей обожаемой системы ПМ и видит только ее «простой» (арифметический) смысл, тогда как другой смысл, смысл, благодаря Гёделю возникший из отображений, лежит за пределами его интеллекта, совершенно недоступный, совершенно немыслимый. Или, возможно, вы думаете, что это сравнение несправедливо по отношению к сэру Бертрану, и я в некотором роде согласен, так что позвольте мне сделать его чуть более реалистичным и щедрым.
Вместо собаки, которая сидит перед экраном телевизора и видит только пиксели на месте людей, представьте маленькую трехлетнюю Шанталь Дюплесси, которая смотрит «Жену булочника» вместе с родителями. Для всех троих французский язык родной, так что языкового барьера у них нет. В точности как ее maman и papa, Шанталь сквозь пиксели видит события в деревне, и, когда наступает прекрасная финальная сцена и Эмабль выговаривает своей кошке, Шанталь все смеется и смеется над яростью Эмабль – но она ни на секунду не подозревает, что для его слов есть другое прочтение. Она слишком юна, чтобы постичь аналогию между Аурелией и Помпонетт, так что для нее тут есть только одно значение. Смысл, переданный режиссером Паньолем через аналогию, принимает как должное «простое» (хоть и ускользающее от собак) отображение пикселей на отдаленные события и потому сидит у этого отображения на закорках; родители воспринимают этот смысл без усилий, но на данный момент он лежит за пределами интеллекта Шанталь и совершенно для нее недоступен. Через несколько лет, конечно, все изменится – Шанталь научится улавливать аналогии между всевозможными сложными ситуациями, – но так обстоят дела сейчас.
С помощью такой ситуации мы можем провести более реалистичную и более щедрую параллель с Бертраном Расселом (и вот еще одна аналогия!). Шанталь, в отличие от собаки, видит не только бессмысленный узор света на экране; она без усилий видит людей и события – «простой» смысл узоров. Но есть и второй уровень смысла, который принимает как должное людей и события, смысла, который передается через аналогию между событиями, и именно этот более высокий уровень смысла ускользает от Шанталь. Очень похожим образом более высокий уровень смысла Гёделя, передающийся через его отображение, через его поразительную аналогию, ускользает от Бертрана Рассела. Из того, что я прочел о Расселе, он так никогда и не увидел второго уровня смысла формул ПМ. В некотором печальном смысле, создатель так и не научился читать свои собственные священные книги.
Пикеты у Элитной лавки
Как я предположил выше, ваша загулявшая вторая половинка может хорошо считать дополнительный уровень смысла, слушая, как Анабель распекает Помпонетт. Поэтому пьеса или фильм могут нести в себе уровни смыслов, о которых автор и не мечтал. Давайте рассмотрим, например, малоизвестную пьесу 1931 года «Пикетчики у Элитной лавки», написанную общественной деятельницей и драматургом Розалин Уодхэд (слышали про нее?). Пьеса посвящена нелегальной акции протеста, устроенной работниками Элитной лавки Альфа и Берти (признаюсь, я так и не смог понять, чем они торговали). В пьесе есть сцена, в которой покупателей, подходящих ко входу магазина, призывают не пересекать пикетный заслон и не покупать ничего в магазине («Альф и Берти хуже смерти! Пожалуйста, не пересекайте наш пикет у Элитной лавки! Пожалуйста, проходите к семейному магазину напротив!»). Талантливые руки нашего драматурга привели эту простую ситуацию к крайне напряженной драме. Но по каким-то причинам прямо перед премьерой пьесы билетеры театра вступили в отчаянный спор с актерами, игравшими в пьесе, что привело к нелегальной акции протеста союза билетеров в премьерный вечер: они выстроили пикетный заслон и умоляли потенциальных зрителей не пересекать их ряды, чтобы посмотреть «Пикетчиков у Элитной лавки».
Понятное дело, с учетом такого внезапного политического контекста, строки, произносимые актерами внутри пьесы, заключали в себе мощный второй смысл для аудитории, дополнительный смысл, которого Розалин Уодхэд не подразумевала вовсе. Собственно, слова пикетирующей работницы Элитной лавки по имени Кейджи[20], которая после того, как хамоватая матрона отталкивает ее и надменно устремляется в роскошный торговый зал Альфа и Берти, с отвращением заявляет: «Все, кто пересек пикетную линию перед Элитной лавкой Альфа и Берти, мерзавцы», неизбежно трактуется каждым в аудитории (которая по умолчанию состоит исключительно из людей, которые пересекли пикетную линию снаружи театра) как: «Все, кто пересек пикетную линию перед театром, мерзавцы», что, конечно, равносильно словам: «Все, кто сейчас сидит в аудитории, мерзавцы», что также можно услышать как: «Вы не должны слышать эти строки», что диаметрально противоположно намерению актеров, включая ту, что играла Кейджи, по отношению к аудитории, поскольку они невероятно ценили их присутствие в театре, которому препятствовали пикетные заслоны билетеров.
Но что могут актеры поделать с тем фактом, что они, несомненно, называли свою глубокоуважаемую аудиторию «мерзавцами» и намекали на то, что никто не должен был приходить и слушать эти строки? Ничего. Им приходилось цитировать строки пьесы, и возникала аналогия, вопиющая и явная, так что ироничный, перевернутый, самореферентный смысл строк Кейджи, как и многих других в пьесе, был неизбежен. Правда, самореференция была непрямой – переданная посредством аналогии, – но это не делало ее менее реальной или явной, чем прямая отсылка. В самом деле, то, что нам хочется назвать прямой отсылкой, тоже передается посредством кода – кода, связывающего слова и вещи, которым мы обладаем благодаря родному языку (малагасийскому, исландскому и т. д.). Этот код всего лишь проще (или, по крайней мере, лучше нам знаком). В общем, как будто бы отчетливое различие между прямой отсылкой и непрямой отсылкой – это лишь вопрос степени, оно вовсе не черно-белое. Повторюсь, сила аналогии прямо пропорциональна ее меткости и прозрачности.
Принц Хиппия, или Мате-драматика
Что ж, оставим Розалин Уодхэд и удивительную двусмысленность строк в «Пикетчиках у Элитной лавки», в этой правда довольно малоизвестной работе. Давайте лучше поговорим о всемирно известной пьесе «Принц Хиппия, или Мате-драматика», в 1910–1913 годах написанной знаменитым британским драматургом У. Тедом Энраслом (про него вы уж точно слышали!). Наевшись этими больно умными пьесами-о-пьесах, которые тогда были на пике популярности, он вознамерился написать пьесу, которая бы не имела ничего общего ни с драматургией, ни с игрой на сцене. И потому в его прославленной пьесе, как вы наверняка помните, все персонажи строго обязаны говорить о различных, от очень простых до весьма загадочных, свойствах целых чисел. Разве можно было уйти еще дальше от написания пьесы о пьесе? Например, в самом начале первого акта прекрасная принцесса Блоппия делает знаменитое заявление: «7 на 11 на 13 будет 1001!», на что очаровательный принц Хиппия взволнованно отвечает: «И потому число 1001 составное, а не простое!» Поистине небесная математика, не правда ли. (Можете застонать.)
Но вот в третьем акте становится поистине жарко. Кульминация наступает, когда принцесса Блоппия упоминает арифметический факт о некотором очень большом целом числе g, и принц Хиппия отвечает: «И потому число g нахальное, а не принципиальное!» (Редкая аудитория на этом крайне мате-драматическом выкрике Хиппии не вздыхает в унисон.) Любопытный момент заключается в том, что гордый принц, похоже, не имеет представления о важности того, о чем он говорит, и, что еще более иронично, сам драматург У. Тед Энрасл об этом, похоже, не подозревал тоже. Однако же всем известно, что в этом замечании принц Хиппия утверждает – посредством промежуточной связующей плотной аналогии, – что определенная длинная строка типографских символов «ненаписуема» с использованием стандартного набора драматургических правил, какими они были в те стародавние времена. И забавно то, что якобы ненаписуемая строка не иначе, чем то самое заявление, которое только что произнес актер, играющий принца Хиппию!
Как вы можете себе представить, хотя У. Тед Энрасл постоянно выписывал длинные строки символов, которые соответствовали популярным драматургическим правилам (в конце концов, это был его хлеб!), ему и не снилась связь между натуральными числами (своеобразные свойства которых его любопытные персонажи аккуратно произносили) и скромными строками символов, которые он выписывал для того, чтобы затем их прочли и запомнили актеры. Тем не менее когда почти двадцать лет спустя это чудное совпадение разоблачили перед аудиторией театралов в жутко остроумной рецензии «О прежде ненаписуемых заявлениях в “Принце Хиппии, или Мате-драматике” и схожих пьесах (I)» под авторством язвительного молодого турко-венского театрального критика Герда Кюлота (детали я опущу, так как история слишком широко известна), его пронзительная убедительность была тут же оценена многими, и в итоге театралы, которые прочли дерзкую рецензию Кюлота, обрели возможность услышать многие из знаменитых строк, произнесенных в «Принце Хиппии, или Мате-драматике» так, будто они, несмотря на намерение У. Теда Энрасла, были вовсе не о числах, будто это были прямые (и порой весьма колкие) комментарии о самой пьесе У. Теда Энрасла!
И прошло совсем немного времени, прежде чем искушенная аудитория переосмыслила странные замечания чудаковатого нумеролога Кве Джии (героини «Принца Хиппии, или Мате-драматики», которая прославилась тем, что болтала без умолку о том, почему нахальные числа нравятся ей больше, чем принципиальные); посредством аллюзий, которые теперь казались до смешного очевидными, они повествовали о том, почему она предпочитала драматические строки, которые были ненаписуемыми (с использованием актуальных на тот день правил драматургии), тем, которые были написуемы. Театралы-любители нашли этот вариант понимания пьесы восхитительным сверх всякой меры, поскольку он изобличал «Принца Хиппию» как пьесу-о-пьесе (отмщение!), хотя большая часть лавров за это осознание досталась неучтивому молодому иностранному критику, а не почтенному драматургу в годах.
У. Тед Энрасл, бедняга, был просто ошарашен – иначе и не скажешь. Кто в здравом уме мог истолковать слова Кве Джии таким превратным образом? Они были лишь о числах! В конце концов, его единственным намерением было написать драму, которая была бы о числах и только о числах, и он годами батрачил ради того, чтобы достичь этой благородной цели!
У. Тед Энрасл бросился рьяно доказывать в своих публикациях, что его пьеса была решительно не о пьесе и уж точно не о самой себе! В самом деле, он зашел так далеко, что стал настаивать, что рецензия Герда Кюлота была, по всей видимости, не о «Принце Хиппии, или Мате-драматике», а о какой-то другой пьесе, возможно, схожей пьесе, возможно, аналогичной пьесе с похожим названием, написанной парочкой параноидальных парадоксофобов, но ни в коем случае не о его пьесе.
И все же, как бы он ни возражал, У. Тед Энрасл ничего не мог поделать с тем, как аудитория теперь интерпретировала строки его обожаемой пьесы, поскольку две идеи – нахальность определенных целых чисел и ненаписуемость определенных строк сценического диалога – виделись теперь просвещенным театралам как два в точности изоморфных явления (ровно настолько же изоморфных, как параллельные похождения Аурелии и Помпонетт). Искусное отображение, найденное озорным Кюлотом и радостно обнародованное в его рецензии, сделало оба смысла в равной степени применимыми (по крайней мере, для любого, кто прочитал и понял рецензию). Вся соль иронии была в том, что в случае малоальтернативных арифметических реплик, вроде знаменитого выкрика принца Хиппии, было проще и более естественно услышать их как отсылки к ненаписуемым строкам пьесы, нежели как отсылки к непринципиальным числам! Но хоть У. Тед Энрасл и прочел рецензию Кюлота много раз, похоже, он так и не уловил, о чем в ней говорилось.
И снова аналогия оказалась скрытной
Ладно, ладно, всему есть предел. Игра окончена! Я хочу признаться. Несколько предыдущих страниц я дурачился, говоря о странно названных пьесах, а также о странно названной рецензии критика со странным именем, но по правде говоря (и вы всю дорогу знали об этом, дорогой читатель), я на самом деле говорил о совсем других вещах – а именно, о странной петле, которую австрийский логик Курт Гёдель (Герд Кюлот) обнаружил и разоблачил внутри «Принципов математики» Рассела и Уайтхеда.
«Так, так, – слышу я протестующий голос (но, конечно, это не ваш голос), – каким образом вы могли на самом деле говорить об Уайтхеде и Расселе и “Принципах математики”, если написанные вами строки были не о них, а об У. Теде Энрасле, “Принце Хиппии, или Мате-драматике” и прочем?» Что ж, опять же все благодаря силе аналогии; это все та же игра, что и в «романах с ключом», в которых писатель не так уж и тайно сообщает о людях из реальной жизни, якобы говоря только о вымышленных персонажах, и читатель точно знает, кто имеется в виду, благодаря таким наглядным и ослепительным аналогиям, что их невозможно упустить любому, кто достаточно осведомлен о культурном контексте.
Итак, мы проделали путь вверх по лестнице моих примеров о высказываниях с двойным дном, от вскользь брошенного в кафе «Это ужасно невкусно» до сверхсложно устроенной драматической строки «Число g непринципиальное». Мы многократно увидели, как аналогии и отображения дают начало вторым смыслам, которые сидят на подкорках у первых. Мы увидели, что каждый первичный смысл завязан на негласные отображения, и в итоге мы увидели, что все смыслы передаются посредством отображений, то есть все смыслы возникают из аналогий. Это и есть то самое глубокое осознание Гёделя, в полной мере разработанное в его статье 1931 года, которое опрокинуло на землю все чаяния, воплощенные в «Принципах математики». Надеюсь, что для всех моих читателей проницательная идея Гёделя теперь понятна как дважды два.
Как может быть написана «ненаписуемая» строка?
Возможно, что-то стало вас беспокоить, когда вы узнали, что в знаменитых строках принца Хиппии о числе g говорится об их ненаписуемости. Разве тут нет внутреннего противоречия? Если какая-то строка в какой-то пьесе действительно ненаписуема, как бы драматург смог ее написать? Или, переворачивая этот вопрос, как классические строки принца Хиппии возникли бы в пьесе У. Теда Энрасла, если их никогда не писали?
В самом деле, очень хороший вопрос. Но теперь, пожалуйста, вспомните, что я определил «написуемую строку» как строку, которую мог бы написать драматург, тщательно следующий набору твердо установленных драматургических правил. Иными словами, понятие «написуемости» косвенно ссылается на некоторую конкретную систему правил. Это означает, что «ненаписуемой» является вовсе не та строка, которую никто никогда не смог бы написать, а та, которая всего лишь нарушает одно или более драматургических правил, которые большинством драматургов принимаются как должное. Следовательно, ненаписуемая строка вполне может быть написана – просто не тем, кто жестко придерживается этих правил.
Для драматурга, действующего строго в рамках правил, написать такую строку было бы крайне непоследовательно; какой-нибудь грубый театральный критик в поисках новых способов съязвить мог бы даже написать: «Пьеса X просто мегапротиворечивая!» Так что, возможно, именно осознание неожиданной и аномальной «мегапротиворечивости» У. Теда Энрасла вызвало тот вздох в аудитории на мате-драматичном выкрике принца Хиппии. Ничего удивительного, что Герда Кюлота почитали за указание на то, что прежде ненаписуемая строка была написана!
«Не» – это не источник странности
Читатель может решить, что странная петля непременно обладает саморазрушительным или самоотрицающим качеством («Эта формула недоказуема»; «Эта строка ненаписуема»; «Вы не должны присутствовать на этой постановке»). Однако отрицание не играет существенной роли в странной петельности. Странность просто становится более пикантной или смешной, если петля обладает саморазрушительным качеством. Вспомните «Рисующие руки» Эшера. В них нет отрицания – обе руки рисуют. Представьте, если бы одна стирала другую!
В этой книге странность петли происходит единственно из того, каким образом система может «поглотить» себя путем внезапного перекручивания, грубо нарушая то, что мы приняли за нерушимый иерархический порядок. В обоих случаях – и с «Принцем Хиппией, или Мате-драматикой», и с «Принципами математики» – мы увидели, что система, заботливо созданная для того, чтобы говорить только о числах и не говорить о себе, все равно в итоге говорит о себе «скрытным» образом – и это происходит исключительно по причине изменчивой природы чисел, которая так богата и сложна, что эта гибкость позволяет числовым закономерностям отражать совершенно любой другой паттерн.
Ровно настолько же странная петля, хоть и чуть менее драматичная, появилась бы, если бы Гёдель состряпал самоподтверждающую формулу, которая бы задиристо утверждала о себе самой: «Эта формула доказуема при помощи правил ПМ», что напоминает мне о безрассудстве Мухаммеда («Я – Величайший») Али, а также о Сальвадоре («Великом») Дали. И правда, через несколько лет после Гёделя такие самоподтверждающие формулы были состряпаны и изучены логиками вроде Мартина Хуго Лёба и Леона Хенкина. У этих формул также были удивительные и глубокие свойства. Поэтому я повторюсь, что странная петельность локализована не в кувырке из-за слова «не», а в неожиданном, нарушающем иерархию перевороте, вызванном словом «этот».
Однако я должен сразу же указать на то, что фразу вроде «эта формула» внутри скрытной формулы Гёделя вы не найдете – точно так же, как фразы «эта аудитория» вовсе нет в строках Кейджи: «Все, кто пересек пикетную линию перед Элитной лавкой Альфа и Берти, мерзавцы». Непредвиденное значение: «Люди в этой аудитории мерзавцы», скорее, неизбежное следствие вопиюще очевидной аналогии (или отображения) между двумя совершенно разными пикетными линиями (одна снаружи театра, другая на сцене), а значит, если обобщить, между пересекающими пикет зрителями и пересекающими пикет персонажами пьесы, которую они смотрят.
Открытие Гёделя показало: предубеждения, что подозрительные слова вроде «этот» (или «я», или «здесь», или «сейчас» – «индексикалы», как их называют философы, – слова, которые отсылают исключительно к говорящему или к чему-то, что тесно связано с говорящим или с самим сообщением) являются незаменимым ингредиентом для того, чтобы в системе возникла самореференция – наивная иллюзия; напротив, странная перекрученность – это простое, естественное следствие неожиданного изоморфизма между двумя разными ситуациями (той, о которой идет речь, с одной стороны, и той, которая говорит, с другой). Убедившись, что все индексикальные понятия вроде «этот» были совершенно исключены из его формальной системы, Бертран Рассел верил, что его творение будет иметь вечный иммунитет против бича перекрученности, – но своим судьбоносным изоморфизмом Курт Гёдель показал, что подобная вера была лишь неоправданным догматом.
Числа как репрезентативное средство
Почему этот вид изоморфизма впервые всплыл, когда кто-то тщательно разглядывал «Принципы математики»? Почему никто не подумал об этом до того, как случился Гёдель? Он всплыл, потому что «Принципы математики» в основе своей о натуральных числах, и Гёдель увидел, что мир натуральных чисел настолько богат, что для любого паттерна из объектов любого типа существуют числа, которые будут идеально отображать эти объекты и их паттерн, числа, танец которых будет в точности совпадать с танцем объектов из этого паттерна. Ключ в том, чтобы танцевать тот же танец.
Курт Гёдель был первым, кто осознал и применил тот факт, что положительные целые числа, хотя они и могут на первый взгляд казаться очень суровыми и разрозненными, на самом деле составляют глубоко разнообразное репрезентативное средство. Они могут повторять или отражать паттерн любого вида. Как любой человеческий язык, где существительные и глаголы (и т. д.) могут пускаться в бесконечно сложные танцы, так и натуральные числа могут пускаться в бесконечно сложные танцы сложения и умножения (и т. д.) и таким образом «говорить», с помощью шифра или аналогии, о событиях любого рода, числовых и нечисловых. Вот что я имел в виду, когда в Главе 9 написал, что на семена разрушения ПМ уже намекал с виду невинный факт, что ПМ была достаточно мощной для того, чтобы говорить о сколь угодно неявных свойствах целых чисел.
Люди в более ранние времена предугадали значительную часть этого богатства, когда попытались запечатлеть природу многих разнообразных аспектов окружающего мира – звезд, планет, атомов, молекул, цветов, кривых, нот, гармоний, мелодий и так далее – в числовых уравнениях и других типах числовых закономерностей. Четыре века назад Галилео Галилей, запустив эту тенденцию, произнес знаменитое: «Книга Природы написана на языке математики» (мысль, которая может казаться шокирующей для людей, которые любят природу, но ненавидят математику). И все же, несмотря на все эти столетия крайне успешной математизации различных аспектов мира, никто до Гёделя не понял, что одной из областей, которую математика может смоделировать, является сама математика.
Итог получается таков: непредвиденный самореферентный поворот, который, как обнаружил Гёдель, проскользнул внутрь «Принципов математики», был естественным и неизбежным следствием глубокой репрезентативной силы целых чисел. Как то, что видеосистема может создать самореферентную петлю, – это вовсе не чудо, а очевидная банальность, объясняемая мощностью видеокамер (или, если быть более точным, чрезвычайно богатой репрезентативной мощностью очень большого массива пикселей), так и то, что «Принципы математики» (или любая другая сравнимая система) содержит самонаправленные фразы вроде формулы Гёделя, поскольку система чисел, как и видеокамера (только еще вернее!) может «указать» на любую систему вообще и может в совершенстве воспроизвести паттерн этой системы на метафорическом «экране», состоящем из набора ее теорем. И, как и в обратной видеосвязи, завихрения, возникающие оттого, что ПМ указывает на саму себя, имеют всевозможные неожиданные, стихийные свойства, которые требуют совершенно новый словарь для их описания.