Самый жуткий кошмар Бертрана Рассела
Как по мне, самым неожиданным явлением, возникшим в результате работы Гёделя 1931 года, стал новый удивительный тип математической причинности (если можно использовать такой необычный термин). Я никогда не видел, чтобы прочие комментаторы освещали его открытие с такой стороны, и все дальнейшее будет моей личной интерпретацией. Чтобы разъяснить мою точку зрения, мне придется вернуться назад к знаменитой формуле Гёделя – назовем ее KG в его честь – и разобрать, что же ее существование означало для ПМ.
Как мы увидели в конце Главы 10, сжатое до своей сути значение KG (или, точнее, вторичное значение – высокоуровневое, нечисловое, нерасселовское значение, которое было обнаружено гениальным отображением Гёделя) представляет собой хлесткое утверждение: «KG недоказуема внутри ПМ». Итак, естественный вопрос – тот самый естественный вопрос: «Что же, KG правда недоказуема внутри ПМ?»
Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно положиться на догмат о том, что все, что доказуемо внутри ПМ, является истинным утверждением (или, наоборот, никакая ложь не доказуема в ПМ). Это счастливое положение дел в Главе 10 мы назвали непротиворечивостью. Если бы ПМ не была непротиворечива, она могла бы доказать уйму неправды о целых числах, поскольку, как только вы докажете одну конкретную ложь (вроде «0 = 1»), из нее по правилам ПМ сразу последует бесконечное число прочих («1 = 2», «0 = 2», «1 + 1 = 1», «1 + 1 = 3», «2 + 2 = 5» и так далее). Вообще-то, все еще хуже: если бы хоть одно, сколь угодно мутное и невразумительное ложное утверждение было бы доказуемо в ПМ, то любое мыслимое арифметическое утверждение, не важно, истинное или ложное, стало бы доказуемым, и все величественное сооружение обрушилось бы, оставив лишь жалкие руины. Короче говоря, доказуемость хотя бы одной лжи означала бы, что ПМ не имеет никакого отношения к арифметической истине в принципе.
Что же тогда было бы самым жутким кошмаром Бертрана Рассела? Им было бы то, что однажды кто-то может придумать ПМ-доказательство формулы, выражающей неверное арифметическое утверждение (хороший пример такового «0 = s0»), поскольку в тот же миг ПМ можно было бы выбрасывать на помойку. Впрочем, к счастью для Рассела, каждый логик на планете скорее поставил бы на то, что снежок за сто лет не растает в аду. Иными словами, самый жуткий кошмар Бертрана Рассела – это всего лишь кошмар, и он никогда не выйдет за пределы страны сновидений.
Почему логики и математики – не только Рассел, но и все остальные (включая Гёделя) – поставили бы на это? Что ж, аксиомы ПМ точно верны, а ее правила вывода настолько просты и незыблемо здравы, насколько только можно вообразить. Как можно получить из этого ложь? Представить, что в ПМ могут быть ложные теоремы, почти буквально так же сложно, как вообразить, что два плюс два равняется пяти. Так что заодно со всеми математиками и логиками поверим Расселу и Уайтхеду на слово и предположим, что их великолепный дворец логики непротиворечив. Отныне и впредь мы будем великодушно предполагать, что ПМ никогда не доказывает никаких ложных утверждений – все ее теоремы определенно являются утверждениями верными. Тогда, вооружившись нашим дружелюбным предположением, давайте зададимся вопросом: «Что было бы, если бы KG была доказуема внутри ПМ?»
Странная страна, где «потому что» совпадает с «хотя»
В самом деле, читатель, давайте мы с вами предположим, что KG доказуема в ПМ, и затем посмотрим, куда это предположение – я назову его «Сценарий доказуемой KG» – нас приведет. Ирония в том, обратите внимание, что сама KG не верит в Сценарий доказуемой KG. KG упрямо кричит всему миру: «Я не доказуема!» Так что если мы правы насчет KG, дорогой читатель, тогда KG ошибается на свой счет, как бы громко она ни кричала. В конце концов, ни одна формула не может быть сразу и доказуемой (как мы заявляем про KG), и недоказуемой (как KG сама заявляет). Один из нас должен быть не прав. (А для каждой формулы быть неправильной значит быть ложной. Эти два термина синонимы.) Итак… если Сценарий доказуемой KG актуален, то KG неправильна (= ложна).
Хорошо. Наши рассуждения начались со Сценария доказуемой KG и пришли к заключению «KG ложна». Иными словами, если KG доказуема, она также ложна. Но постойте, это что – доказуемая ложь в ПМ? Мы же только что, несколько мгновений назад, твердо заявили, что ПМ никогда не докажет лжи? Да, заявили. Мы согласились с повсеместным убеждением логиков, что ПМ непротиворечива. Если мы своих позиций не сдаем, Сценарий доказуемой KG должен быть неверным, поскольку он ведет к самому жуткому кошмару Рассела. Нам нужно отречься от него, отменить его, отказаться от него, аннулировать его и отозвать его, поскольку принять его – значит прийти к заключению («ПМ противоречива»), которое, как мы знаем, неверно.
Стало быть, тем самым Сценарий доказуемой KG признается негодным, что оставляет нам противоположный сценарий: KG недоказуема. И забавно то, что именно об этом KG и кричит на каждом углу. Мы видим, что заявление KG о самой себе – «Я недоказуема!» – истинно. В общем, мы установили два факта: (1) KG недоказуема в ПМ; (2) KG истинна.
Мы только что обнаружили в ПМ очень странную аномалию: тут есть арифметическое (теоретико-числовое, если быть чуть более точным) утверждение, в истинности которого мы уверены, но столь же мы уверены в том, что оно недоказуемо — и, в довершение всего, эти два с виду противоречивых факта являются следствиями друг друга! Иными словами, KG недоказуема не только хотя она истинна, но, хуже того, потому что она истинна.
Эта странная ситуация решительно беспрецедентная и глубоко извращенная. Это плевок в лицо Кредо Математика, которое утверждает, что истина и доказуемость – две стороны одной монеты, что они всегда вместе, поскольку одно влечет за собой другое. Вместо этого мы только что встретили случай, в котором – поразительно! – истина влечет за собой недоказуемость, и наоборот. Как вам такая щекотливая ситуация?
Неполнота происходит из силы
Тот факт, что существует теоретико-числовая истина, которая недоказуема в ПМ, означает, как вы можете помнить из Главы 9, что ПМ является неполной. В ней есть дырки. (Пока мы видели только одну дыру – KG, – но оказывается, что их гораздо больше – вообще-то, бесконечно много.) Некоторые утверждения теории чисел, которые должны быть доказуемы, ускользнули из обширной сети доказательств ПМ – утекли сквозь ее ячейки. Это, безусловно, другой кошмар – пожалуй, не такой разгромный, как самый жуткий кошмар Бертрана Рассела, но некоторым образом еще более вероломный и удручающий.
Математики и логики в 1931 году, конечно, не ожидали такого положения дел. Ничто не предвещало, что аксиомы и правила вывода «Принципов математики» окажутся слабыми или в чем-то дефектными. Совершенно наоборот: казалось, что они заключают в себе практически всякую истину о числах, которую только можно себе представить. Во введении статьи Гёделя 1931 года, процитированной в Главе 10, это явно обозначено. Если помните, он написал, говоря о «Принципах математики» и теории множеств Цермело – Френкеля: «Эти две системы настолько обширны, что все методики доказательств, ныне используемые, были формализованы в них, т. е. сжаты до нескольких аксиом и правил вывода».
То, что Гёдель здесь излагает, было практически всеобщим кредо на тот момент, так что открытие неполноты ПМ в последовавших за этим двадцати пяти страницах обрушилось как гром среди ясного неба.
Масла в огонь подлило то, что заключение Гёделя происходило не из слабости ПМ, а из ее силы. Этой силой был тот факт, что числа настолько гибкие и «хамелеонные», что их закономерности могут имитировать паттерны рассуждений. Гёдель использовал простой, но удивительный факт, что привычные целые числа могут танцевать совершенно так же, как танцуют непривычные символьные паттерны ПМ. Если говорить конкретнее, принципиальные числа, которые он изобрел, действуют неотличимо от доказуемых строк, а одна из естественных сил ПМ состоит в том, чтобы говорить о принципиальных числах. По этой причине она могла говорить о себе (через код). Одним словом, выразительная сила ПМ и порождает неполноту. Какая фантастическая ирония!
Второй самый жуткий кошмар Бертрана Рассела
Любое расширение ПМ (скажем, система с бóльшим количеством аксиом, или правил, или и того и другого) была бы столь же выразительной в плане гибкости чисел, как и ПМ (иначе она была бы слабее, а не сильнее), так что она успешно попалась бы в ту же Гёделеву ловушку – с готовностью подорвалась бы на собственной мине.
Позвольте мне растолковать это более подробно. Строкам, доказуемым в большей и предположительно более совершенной системе Супер-ПМ, изоморфно подражало бы множество чисел, более изобильное, чем принципиальные числа (а потому давайте назовем их «суперпринципиальные числа»). На этом этапе Гёдель, в точности как и для ПМ, тут же создал бы новую формулу KH для Супер-ПМ, которая утверждала бы: «Число h не суперпринципиальное», и, конечно, он бы устроил все так, чтобы h было числом Гёделя для самой KH. (Когда это было сделано для ПМ, сделать это для Супер-ПМ легче легкого.) Паттерн рассуждений, по которому мы только что прошли для ПМ, в точности повторился бы снова, и предположительно более мощная система точно таким же образом стала бы жертвой неполноты – ровно по тем же причинам, что и ПМ. Старая пословица говорит об этом коротко и ясно: «Чем выше взлетишь, тем больнее падать».
Иными словами, дырка в ПМ (и в любой другой аксиоматической системе, такой же богатой, как ПМ) произошла не по какому-то беспечному недосмотру Рассела и Уайтхеда; это просто неизбежное свойство любой системы, достаточно гибкой для того, чтобы запечатлеть хамелеонные качества целых чисел. ПМ достаточно богата для того, чтобы суметь обернуться и посмотреть на себя саму, как видеокамера, которая смотрит на экран, на который сама же и отправляет картинку. Если вы соберете достаточно хорошую телесистему, ее способность замкнуть петлю неизбежна. А чем выше разрешение системы, тем более правдивой получается картинка.
Как и в дзюдо, сила оппонента становится причиной его уязвимости. Курт Гёдель, маневрируя как черный пояс, использовал силу ПМ, чтобы разбить ее вдребезги: не так, впрочем, катастрофично, как противоречивостью, но совершенно неожиданным образом – разбить ее неполнотой. Тот факт, что обойти чернопоясный фокус Гёделя без пополнения или расширения ПМ никак нельзя, называется «существенной неполнотой» – второй по степени жути кошмар Рассела. Но в отличие от его самого жуткого кошмара, который остался всего лишь плохим сном, этот кошмар случился наяву.
Бесконечная череда монстров
Мало того, что эта лодка потонет, несмотря на расширение ПМ, хуже того – KG далеко не единственная дырка в ПМ. В любой аксиоматической системе есть бесконечно много путей для гёделевской нумерации, и каждый из них производит нового сородича KG. Они все разные, но похожи между собой как клоны. Если вы вознамерились удержать эту лодку на плаву, вы можете подбрасывать KG и любого из ее клонов в ПМ в качестве новой аксиомы (если на то пошло, можете подбросить их все разом!), но толку от вашего геройства будет мало; рецепт Гёделя немедленно произведет новенького сородича KG. И опять эта новая самореферентная гёделевская строка будет «в точности такой же, как» KG и великое множество ее клонов, но она не будет идентична ни одной из них. И ее вы тоже можете подбросить, и получите еще одного сородича! Кажется, что дыры множатся внутри сопротивляющейся лодки ПМ точно так же, как по весне множатся маргаритки и фиалки. Теперь понятно, почему я называю этот кошмар более вероломным и удручающим, чем первый кошмар Рассела.
Этот удивительно извращенный и все же поразительно прекрасный маневр огорошил не только Бертрана Рассела, но практически каждого математика и мыслителя, включая великого немецкого математика Давида Гильберта, одной из главных целей в жизни которого было строго обосновать всю математику при помощи аксиоматической конструкции (это называлось «программой Гильберта»). Вплоть до того, как в 1931 году грянул Великий гром, повсеместно считалось, что эта благородная цель была достигнута Уайтхедом и Расселом.
Другими словами, математики того времени повсеместно верили в то, что я выше назвал «Кредо Математика (версия “Принципов математики”)». Шокирующее открытие Гёделя, что пьедестал, на котором они вполне обоснованно разместили свою веру, был фундаментально и непоправимо ущербным, следовало из двух вещей. Первой было наше любезное предположение, что пьедестал непротиворечив (то есть мы никогда не найдем лжи, притаившейся среди теорем ПМ); другая заключалась в недоказуемости внутри ПМ KG и всех ее бесконечных родственников, которые, как мы только что показали, были последовательностью, вытекающей из их самореференции – и из непротиворечивости ПМ.
Напоследок подытожим еще раз: что делает KG (или любого из ее родственников) недоказуемой? Выражаясь максимально кратко, ее самореферентное значение. Если бы KG была доказуема, замкнутая петля ее значения перевернулась бы и сделала бы ее недоказуемой, и тогда ПМ стала бы противоречивой – а мы знаем, что это не так.
Но, заметьте, мы не производили никакого детального анализа природы выкладок, которые бы пытались вывести KG. На самом деле мы полностью проигнорировали расселовское значение KG (то, что я называл его первичным значением), то есть заявление, что исполинское число, которое я назвал «g», обладает довольно загадочным и изысканным теоретико-числовым свойством, которое я назвал нахальностью или непринципиальностью. Вы можете заметить, что за последние пару страниц не появлялось ни слова о принципиальных или непринципиальных числах и их теоретико-числовых свойствах и вообще не упоминалось число g. Мы ловко миновали все эти числовые проблемы, глядя только на вторичное значение KG, значение, которого Бертран Рассел так никогда и не понял. Несколько строк абсолютно нечисловых рассуждений (во втором разделе этой главы) убедили нас, что это утверждение (сделанное о числах), по всей видимости, не может быть теоремой ПМ.
Непротиворечивость обрекает величественную гору на неприступность
Представьте, что команда спутниковых исследователей только что обнаружила неожиданный горный пик в Гималаях (назовем его «KJ»), и представьте, что они немедленно и с полной уверенностью заявляют, что из-за особого, крайне необычного свойства этой вершины, по всей видимости, не существует пути к ней наверх. Едва взглянув на единственный снимок, сделанный вертикально вниз с высоты в 400 километров, команда объявляет KJ неприступным пиком, причем они приходят к этому драматическому заключению, ни на секунду не задумавшись об особенностях горы, заметных с традиционной альпинистской перспективы, не говоря уже о том, чтобы замарать руки и действительно опробовать какой-то из бесчисленных возможных ходов, ведущих по крутым склонам к вершине. «Не-а, ни один не годится! – радостно заявляют они. – Нет смысла проверять какой-либо из них – вы обречены на провал!»
Если бы приключилось такое странное событие, оно бы значительно отличалось от того, как прежде приходили к заключениям о покоряемости гор. До сих пор альпинисты должны были опробовать много маршрутов – да-да, опробовать их многократно, с разнообразным снаряжением и в разных погодных условиях, – и даже тысячи поражений подряд не послужили бы железным доказательством, что эта гора навеки неприступна; все, что можно было заключить, так это то, что она до сих пор не поддавалась восхождению. Правда же, сама идея «доказательства неприступности» совершенно чужда для занятий альпинизмом.
Напротив, наша команда исследователей, даже не подумав ни об одном из бесконечного множества потенциальных маршрутов, ведущих к вершине (и уж точно не опробовав их по-настоящему), заключила по какому-то оригинальному свойству KJ, что она по природе своей неприступна. И все же это их заключение, это их заявление не просто вероятно или весьма похоже на правду, оно сделано с абсолютной уверенностью.
Это представляет собой беспрецедентный, перевернутый с ног на голову, направленный сверху вниз вид причинно-следственных связей в альпинизме. Какое такое свойство может отвечать за неприступность определенной горы? Традиционные альпинисты-эксперты пришли бы в замешательство от безапелляционного заявления, что на каждом возможном маршруте альпинистам неизбежно встретится некое фатальное препятствие. Они могут скромно заключить, что отдаленный пик очень трудно покорить, глядя на него снизу вверх и пытаясь учесть все мыслимые маршруты, по которым можно двигаться к вершине. Но наша отважная команда, напротив, посмотрела только на самую верхушку KJ и заключила сверху вниз, что попросту не существует маршрута, который бы вел к ней от подножия.
Когда на команду надавили очень сильно, исследователи наконец объяснили, как они пришли к такому оглушительному заключению. Оказалось, что фотография KJ, вид сверху, сделана не в обычном освещении, которое бы не выявило ничего особенного, а в недавно открытом «излучении Гёделя». Если воспринимать KJ при помощи этого новейшего средства, обнажается глубоко скрытое множество фатальных структур.
Проблема происходит из консистенции скал, на которых громоздятся ледники у самой верхушки; она настолько хрупка, что, стоит альпинисту подобраться к вершине, малейший добавочный вес (даже крупинка соли; даже ресничка малютки-шмеля!) тут же вызовет разрушительное землетрясение, и вся гора обрушится, не оставив камня на камне. Так что недоступность пика, оказывается, никак не связана с попытками взойти на вершину; она связана с изначальной нестабильностью, присущей самой вершине, и более того, с нестабильностью такого типа, который можно обнаружить только в излучении Гёделя. Какая глупая фантазия, не так ли?
Нисходящая причинность в математике
Так и есть. Но сенсация Гёделя, хоть и настолько же фантастическая, фантазией не была. Она была строгой и точной. Она раскрыла поразительный факт, что скрытое значение формулы может иметь особый тип «нисходящей» причинно-следственной силы, определяющей, истинна формула или нет (а также ее выводимость либо невыводимость внутри ПМ или любой другой достаточно богатой аксиоматической системы). Всего лишь зная значение формулы, можно судить о ее истинности или ложности, не прилагая усилий к тому, чтобы вывести ее старомодным образом, который требует методично продираться «вверх» от аксиом.
Это не только странно, это поразительно. Обычно нельзя просто посмотреть на то, что говорит математическое высказывание, и просто призвать содержание этого утверждения самостоятельно сделать вывод, истинно это утверждение или ложно (доказуемо или недоказуемо).
Например, если я вам скажу: «Существует бесконечно много совершенных чисел» (чисел вроде 6, 28 и 496, сумма делителей которых равняется самому числу), вы не будете знать, истинно или нет мое заявление – назовем его «Бес», – и то, что вы будете долго вглядываться в текст заявления «Бес» (не важно, изложено оно при помощи русских слов или некоей тернистой формальной нотации вроде нотации ПМ), ничуть вам не поможет. Вам придется опробовать разные подходы к этому пику. Так вы можете обнаружить, что 8128 – следующее совершенное число после 496; вы можете заметить, что ни одно из совершенных чисел, которые вы придумаете, не является нечетным, что довольно нечестно; вы можете увидеть, что каждое из них имеет форму p (p + 1) / 2, где p – это нечетное простое число (вроде 3, 7 или 31), а p + 1 – это также степень 2 (вроде 4, 8 или 32), и так далее.
Некоторое время спустя, вероятно, долгая череда неудач в доказательстве Беса может постепенно привести вас к подозрению, что это ложь. В таком случае вы можете решить сменить цель и опробовать разные подходы к соседнему пику-сопернику – а именно, к отрицанию Беса, или –Бес, – который является утверждением: «Не существует бесконечного количества совершенных чисел», что равносильно утверждению, что существует самое большое совершенное число (это напоминает о нашем старом знакомом P, предположительно самом большом простом числе на свете).
Но предположим, что на вас снизошла гениальность и вы открыли новую разновидность «излучения Гёделя» (например, какую-нибудь новую хитрую нумерацию Гёделя, включающую всю стандартную гёделевскую механику, которая заставляет принципиальные числа танцевать в идеальной синхронности с доказуемыми строками), которая позволила вам проникнуть взглядом в скрытый второй уровень значений, которыми обладает Бес, – в скрытое значение, которое заявляет для тех счастливчиков, которые знают, как его расшифровать: «Целое число b не принципиально», где b оказалось числом Гёделя для самого Беса. Что ж, дорогой читатель, я подозреваю, вы без промедления узнаете этот сценарий. Вы быстро поймете, что этот Бес, равно как и KG, при помощи нового кода Гёделя делает утверждение о себе: «Бес недоказуем в ПМ».
В этом невероятно приятном, но крайне маловероятном сценарии вы могли бы немедленно, без дальнейших поисков как в мире целых чисел и их делителей, так и в мире строгих доказательств, заключить, что Бес одновременно истинен и недоказуем. Иными словами, вы бы заключили, что утверждение «Существует бесконечно много совершенных чисел» верно, а также вы бы заключили, что у него нет доказательства через аксиомы и правила вывода ПМ, и в конце концов вы бы заключили, что отсутствие доказательства Беса в ПМ – это прямое следствие его истинности.
Вы можете решить, что сценарий, который я только что изобразил, полная чушь, но он полностью аналогичен тому, что сделал Гёдель. Просто вместо того, чтобы начать с априори хорошо известного и интересного утверждения о числах, а затем по счастливой случайности столкнуться с очень странным альтернативным значением внутри его, Гёдель тщательно составил утверждение о числах и обнаружил, что из-за того, как он его построил, у него есть очень странное альтернативное значение. Помимо, собственно, этого, такие два сценария идентичны.
Уверен, вы можете сказать, что гипотетический сценарий Беса и настоящий сценарий KG радикально отличаются от того, как традиционно работала математика. Они представляют собой перевернутые вверх ногами рассуждения – рассуждения вниз от предполагаемых теорем, а не вверх от аксиом, и в особенности рассуждения от скрытого значения предполагаемых теорем, а не от поверхностных заявлений о числах.
Гёру и тщетный поиск Машины истины
Помните Гёру, гипотетическую машину, которая отличает принципиальные числа от нахальных (непринципиальных)? В Главе 10 я заметил, что если бы мы построили такого Гёру или если бы кто-то нам его дал, мы могли бы определять истинность или ложность совершенно любой теоретико-числовой гипотезы. Чтобы это сделать, нам нужно было бы лишь перевести гипотезу Г в формулу ПМ, вычислить ее число Гёделя г (нехитрая задача) и затем спросить Гёру: «Число г принципиальное или нахальное?» Если Гёру возвращается с ответом «г принципиальное», мы объявляем: «Раз г принципиальное, гипотеза Г доказуема и потому истинна»; если же Гёру возвращается с ответом «г нахальное», тогда мы объявляем: «Раз г нахальное, гипотеза Г недоказуема и потому ложна». И поскольку Гёру всегда (мы так условились) выдает нам один или другой из этих ответов, мы можем просто расслабиться и позволить ему решать математические загадки любого уровня сложности, какие мы только сможем придумать.
Это прекрасный сценарий для решения всех задач одним лишь маленьким устройством, но, к сожалению, теперь мы можем увидеть, что в нем есть губительный изъян. Гёдель открыл нам, что в ПМ (на самом деле в любой формальной аксиоматической системе вроде ПМ) между истиной и доказуемостью лежит глубокая бездна. То есть, увы, есть много истинных утверждений, которые нельзя доказать. Так что, если формула ПМ не является теоремой, вы не можете считать это верным признаком того, что она ложна (хотя, к счастью, если формула является теоремой, это верный признак того, что она истинна). Так что даже если Гёру работает точно так, как обещалось в рекламе, и всегда выдает верный ответ «да» или «нет» на любой вопрос вида: «Число n принципиальное?», он все же не сможет ответить на любой наш математический вопрос.
Пусть и не такой информативный, как мы надеялись, Гёру все же был бы славной машинкой в арсенале; но оказывается, что даже это не наш расклад. Надежного разделителя на принципиальное/нахальное вообще не может существовать. (Я не буду тут вдаваться в детали, но их можно найти во множестве текстов по математической логике или вычислимости.) Похоже, что все наши мечты вдруг решили разом обрушиться – и в некотором смысле именно это случилось в 1930-х, когда впервые была обнаружена великая пропасть между абстрактным понятием истины и механическими путями установления истины и поразительный масштаб этой бездны начал доходить до сознания людей.
Один из последних гвоздей в гроб мечтаний математиков в этой сфере вбил логик Альфред Тарский, когда он показал, что не существует даже способа выразить в нотации ПМ утверждение «n является числом Гёделя истинной формулы теории чисел». Открытие Тарского означало, что, хотя существует бесконечное множество чисел, которые соответствуют истинным утверждениям (при использовании некоторой особой гёделевской нумерации), и дополняющее его бесконечное множество чисел, которые соответствуют ложным утверждениям, нет никакой возможности представить это различие как теоретико-числовое. Другими словами, множество всех чисел ППФ разделено на две взаимодополняющие части по дихотомии истина/ложь, но разделительная черта настолько специфична и неуловима, что ее нельзя охарактеризовать никаким математическим образом.
Все это может выглядеть ужасно извращенным, но если так, это чудесная извращенность, которая раскрывает глубину вековых стремлений человечества в математике. Наш общий поиск математической истины показывает себя как поиск чего-то неописуемо зыбкого, и потому, в некотором смысле, священного. Мне снова вспоминается, что имя Гёдель содержит в себе слово «Бог» – и кто знает, какие еще загадки скрываются в этих двух точках сверху?
Перевернутое восприятие развитых существ
Как показала вышеописанная экскурсия, странные петли в математической логике обладают очень удивительными свойствами, включающими то, что походит на своего рода перевернутую причинность. Но это вовсе не первый раз, когда мы в этой книге сталкиваемся с перевернутой причинностью. Это явление проглядывало в наших дискуссиях о Столкновениуме и человеческом мозге. Мы заключили, что эволюция предназначила человеческим существам быть воспринимающими созданиями – созданиями, которые фильтруют мир, разделяя его на макроскопические категории. Соответственно, нам суждено описывать то, что происходит с нами, включая то, что делают другие люди и что делаем мы сами, не в терминах лежащей в основе всего физики частиц (которая на много порядков отдалена от нашего ежедневного восприятия и от знакомых нам категорий), а в терминах таких абстрактных и нечетко определенных высокоуровневых паттернов, как матери и отцы, друзья и любовники, продуктовые магазины и кассы, мыльные оперы и реклама пива, безумцы и гении, религии и стереотипы, комедии и трагедии, обсессии и фобии, и, конечно, убеждения и желания, надежды и опасения, страхи и сны, амбиции и зависти, преданности и ненависти, и многие, многие другие паттерны, которые от микромира физической причинности отделяют миллионы метафорических миль.
Отсюда получается любопытная перевернутость нашего обычного человеческого восприятия мира: мы созданы, чтобы воспринимать «большие вещи» вместо «маленьких вещей», хотя, похоже, настоящие двигатели реальности расположены именно в микросфере. Тот факт, что наши умы видят лишь высокий уровень, полностью игнорируя низкий уровень, напоминает мне о возможностях высокоуровневого видения, которое нам открыл Гёдель. Он нашел способ взять колоссально длинную формулу ПМ (KG или ее родственника) и прочесть ее в краткой, легко воспринимаемой манере («KG не имеет доказательства в ПМ»), вместо того чтобы читать ее как низкоуровневое числовое утверждение, что определенное громадное целое число обладает определенным эзотерическим рекурсивно определенным теоретико-числовым свойством (непринципиальностью). Пока стандартное низкоуровневое прочтение строки ПМ лежит на поверхности для всеобщего обозрения, понадобился гений для того, чтобы вообразить, что параллельно с ним может существовать высокоуровневое значение.
Напротив, для создания, которое думает мозгом (или Столкновениумом), читать его собственную мозговую активность на высоком уровне естественно и просто (например: «Я помню, в каком ужасе я был, когда бабушка отвела меня посмотреть “Волшебника страны Оз”»), тогда как невидимая и не вызывающая подозрений низкоуровневая активность, которая поддерживает высокий уровень (бесчисленные нейротрансмиттеры, скачущие как ненормальные через синаптическую щель, или симмы, миллиардами молча влетающие друг в друга), полностью спрятана. Мыслящее создание не знает почти ничего о субстрате, который позволяет этому мышлению случиться, и тем не менее оно знает все о символической интерпретации мира и очень тесно знакомо с тем, что оно называет «Я».
Как бы то ни было, нам остается наше «Я»
Редкий мыслитель стал бы обесценивать свои повседневные, знакомые символы и свое вездесущее ощущение «Я» и занялся бы дерзкими измышлениями, что где-то физически внутри его черепа (или Столкновениума) может находиться тайный, скрытый, нижний уровень, наполненный неким невидимым бурлением, которое не имеет ничего общего с его символами (или симмболами), но как-то задействует мириады микроскопических крупиц, которые самым загадочным образом начисто лишены символических качеств.
Если так думать о человеческой жизни, кажется довольно любопытным, что мы осознали наш мозг в высокоуровневых, нефизических терминах (вроде надежд и убеждений) задолго до того, как мы осознали его в низкоуровневых невральных терминах. (На самом деле многие люди никогда не вступают в контакт со своими мозгами на этом уровне.) Если бы в случае «Принципов математики» все происходило аналогичным образом, то осознание высокоуровневого гёделевского значения определенных формул ПМ сильно предвосхитило бы осознание их куда более базовых расселовских значений, но это немыслимый сценарий. В любом случае мы, люди, эволюционировали, чтобы воспринимать и описывать себя в высокоуровневых менталистских терминах («Я надеюсь прочесть “Евгения Онегина” следующим летом»), а не в низкоуровневых физикалистских терминах (представьте невообразимо длинный список состояний всех нейронов, ответственных за ваше намерение прочесть «Евгения Онегина» следующим летом), хотя человечество коллективно понемногу движется в направлении к последнему.
Медленно продвигаясь к нижнему уровню
Такие менталистские понятия, как «убеждение», «надежда», «вина», «зависть» и прочее, возникли за целую вечность до того, как человек задумался о попытках обосновать их как повторяющиеся, узнаваемые паттерны в некотором физическом субстрате (в живом мозге, рассмотренном на мелкозернистом уровне). Тенденция медленно продвигаться от интуитивного понимания на высоком уровне к научному пониманию на низком уровне напоминает мне о том, что абстрактное представление о гене как о базовой единице передачи наследственности от родителя к потомку было смело постулировано и затем внимательно изучалось в лабораториях за много десятилетий до того, как для него было найдено некое «твердое» физическое обоснование. Когда микроскопические структуры, которые позволили физической «картине» привязаться к абстрактному представлению, были наконец обнаружены, они оказались крайне неожиданными сущностями: ген представлял собой средней длины отрезок очень длинной струны, закрученной спиралью, сделанной из всего лишь четырех видов молекул (нуклеотидов), которые следовали один за другим и образовывали цепочку длиной в миллионы единиц.
А затем чудесным образом оказалось, что химический состав этих четырех молекул в некотором смысле идентичен – в контексте наследования самым главным были их только что открытые информативные свойства, а не традиционные физико-химические. То есть надлежащее описание того, как работает наследование и воспроизведение, в большой степени могло абстрагироваться от химии, сохраняя лишь высокоуровневую картину процесса информационных манипуляций.
В сердце этого процесса информационных манипуляций лежала высокая абстракция под названием «генетический код», которая отображала любое три-нуклеотидное «слово» (или «триплет») из возможных шестидесяти четырех на одну из двадцати разных молекул, принадлежащих к совершенно постороннему семейству химических веществ (аминокислоты). Другими словами, глубокое понимание генов и наследования возможно, только если вы тесно знакомы с высокоуровневым отображением – посредником в передаче значения. Это должно звучать знакомо.
О свиньях, собаках и скупости
Если вы хотите понимать, что происходит в биологической клетке, вам нужно научиться думать на новом информационном уровне. Хотя теоретически одной физики и достаточно, ее не хватит для разговора о жизнеспособности. Очевидно, что элементарные частицы заботятся о себе, вовсе не заботясь об информационных уровнях биомолекул (не говоря о человеческих категориях восприятия, абстрактных убеждениях, «Я», патриотизме или горячем желании со стороны особенно громадной агломерации биомолекул сочинить набор из двадцати четырех прелюдий и фуг). Из всех этих элементарных частиц, которые занимаются микроскопическими делами, возникают макроскопические события, которые и приключаются с биосуществами.
Однако, как я упоминал ранее, если вы решите сосредоточиться на уровне частиц, вы не сможете провести четкую границу, отделяющую сущность вроде клетки или свиньи от остального мира, в котором они находятся. Понятия вроде «клетки» или «свиньи» незначительны на таком низком уровне. Законы физики элементарных частиц не уважают такие понятия, как «свинья», «клетка», «ген» или «генетический код», и даже понятие «аминокислоты». Законы физики элементарных частиц задействуют только частицы, а более крупные макроскопические границы, проведенные для удобства мыслящих существ, не более значимы для них, чем границы избирательных участков для бабочек. Электроны, фотоны, нейтрино и так далее проносятся сквозь такие искусственные границы без малейших угрызений совести.
Если вы последуете маршрутом частиц, вам придется идти до конца, а это, к сожалению, означает выйти далеко за пределы одной свиньи. Это подразумевает принять в расчет все частицы всех членов свиного семейства, все частицы хлева, в котором они живут, грязи, в которой они валяются, фермера, который их кормит, атмосферы, которой они дышат, капель дождя, которые на них падают, раскатов грома, которые заставляют барабанные перепонки свиней резонировать, частицы всей земли, всего солнца и космического радиоактивного фона, который пропитывает всю Вселенную и распространяется во времени вплоть до Большого взрыва, и так далее. Это слишком масштабная задача для конечных ребят вроде нас, так что нам приходится довольствоваться компромиссом: смотреть на вещи не на таком всеобъемлющем, не на таком детализированном уровне, но (к счастью для нас) на уровне, более простом для понимания – на информационном уровне.
На этом уровне биологи говорят и думают о том, что означают гены, а не сосредотачиваются на их традиционных физико-химических свойствах. И они безоговорочно принимают тот факт, что этот новый «скупой и скромный» образ рассуждений предполагает, что гены, благодаря их информативным свойствам, обладают собственными причинными свойствами – или, иными словами, что определенные крайне абстрактные широкомасштабные события или положения дел (например, высокоуровневая регулярность, с которой золотистые ретриверы склонны быть очень нежными и дружелюбными) могут быть правомерно привязаны к значениям молекул.
Для людей, которые напрямую взаимодействуют с собаками, а не с молекулярной биологией, такого рода вещи сами собой разумеются. Собачники постоянно говорят о темпераменте и ментальных склонностях той или иной породы, как будто все это совершенно оторвано от физики и химии ДНК (не говоря о более тонком физическом уровне, чем ДНК), как будто это располагается на чисто абстрактном уровне «черт характера, присущих породам собак». И поразительно то, что собачники в не меньшей степени, чем молекулярные биологи, могут прекрасно ладить друг с другом, говоря и думая таким образом. Это действительно работает! В самом деле, если бы они (или молекулярные биологи) попытались делать это чисто физическим или чисто молекулярно-биологическим образом, они бы немедленно увязли в бесконечных деталях невообразимого количества взаимодействий микросущностей, составляющих собак и их гены (не говоря об остальной Вселенной).
Итог всего этого в том, что наиболее насущный способ говорить о собаках и свиньях, по словам Роджера Сперри, оперирует высокоуровневыми сущностями, которые безнаказанно помыкают низкоуровневыми сущностями. Вспомните, что именно неосязаемое, абстрактное свойство простоты числа 641 опрокидывает твердые, вещественные кости домино, расположенные в «простом отрезке» Доминониума. Что это, если не обратная причинность; и она напрямую приводит нас к заключению, что самый эффективный способ думать о мозге, в котором есть символы – и для большинства задач самый истинный способ, – это думать, что всеми микроштуками внутри их помыкают идеи и желания, а не наоборот.