См. [Davies].
165 Пал Эрдёш… однажды бросил шутливое замечание… Эрдёш, убежденный «матеист», часто говорил о доказательствах из «Книги», воображаемого талмуда, содержащего идеальные божественные доказательства всех великих истин. Мое видение «матеизма» можно найти в Главе 1 [Hofstadter and FARG].
168 Вариаций на Тему Евклида… См. [Chaitin].
169 Бог не играет в кости… См. [Hoffmann], это одна из лучших книг, что я читал.
170 эта теорема доказывается во многих учебниках по теории чисел… См. [Hardy and Wright] и [Niven and Zuckerman].
171 В первом десятилетии двадцатого века… История того, что подтолкнуло к формализации математики и логики, хорошо изложена в [DeLong], [Kneebone] и [Wilder].
173 в городе Брюнн… рос маленький мальчик… См. [Goldstein] и [Yourgrau].
174 Фибоначчи… исследовал то, что мы сегодня знаем как «числа Фибоначчи»… См. [Huntley].
174 Этот почти-но-не-совсем-циклический способ… См. [Péter] и [Hennie].
177 большая команда математиков… Недавно вышла книга [Ash and Gross], которая поставила целью разъяснить суть туманных идей этой команды. Я восхищаюсь их храбрыми попытками донести эти идеи до широкой публики, но подозреваю, что это невыполнимая задача.
177 трое математиков… Это были Ян Бюжо, Морис Миньот и Самир Шикшек. Оказалось, доказательство того, что 144 – единственный квадрат в последовательности Фибоначчи (кроме 1), не требует высокоабстрактных умозаключений, хотя оно довольно тонкое. Доказать это удалось в 1964 году Джону Кону.
178 аналогия Гёделя была подогнана очень точно… Суть и смысл работы Гёделя хорошо представлены во многих книгах, включая [Nagel and Newman], [DeLong], [Smullyan 1961], [Jeffrey], [Boolos and Jeffrey], [Goodstein], [Goldstein], [Smullyan 1978], [Smullyan 1992], [Wilder], [Kneebone], [Wolf], [Shanker] и [Hofstadter 1979].
179 в течение долгих веков по кусочкам развивалась… См. [Nagel and Newman], [Wilder], [Kneebone], [Wolf], [DeLong], [Goodstein], [Jeffrey] и [Boolos and Jeffrey].
188 Все, что вы умеете, я умею лучше!.. Мой дорогой друг Дэн Деннет однажды написал (в славной рецензии на [Hofstadter and FARG], перепечатанной в [Dennett 1998]), следующую фразу: «“Все, что вы умеете, я могу обернуть в рекурсию!”[44] – один из девизов Дуга, и он, конечно, рекурсивно применяет его ко всему, что делает».
Что ж, эта шутливая фразочка создает впечатление, что Дуг сам придумал этот «девиз» и действительно его озвучил (иначе зачем Дэн поставил его в кавычки?). На самом деле я никогда такого не говорил и не думал, и Дэн просто «рекурсивно меня обставил» в своем неподражаемом стиле. К моему удивлению, этот «девиз» вошел в оборот, и люди цитировали его мне так, будто я действительно его придумал и в него верил. Вскоре я от этого устал, поскольку девиз Дэна, хоть он был остроумным и смешным, не вписывался в мой образ. Так или иначе, своей ремаркой я просто попытался сокрушить мнение, что вышеуказанный девиз – действительно слова Хофштадтера, хотя я не думаю, что эта попытка возымеет значительный эффект.
190 допустим, вам хочется узнать, истинно или ложно высказывание X… Мечта о механическом методе надежной сортировки утверждений в две урны – «истина» и «ложь» – известна как поиск алгоритма принятия решений. Абсолютное отсутствие алгоритма принятия решений для истины (или доказуемости) обсуждается в [DeLong], [Boolos and Jeffrey], [Jeffrey], [Hennie], [Davis 1965], [Wolf] и [Hofstadter 1979].
193 Ни одна формула не может буквально содержать в себе… [Nagel and Newman] очень хорошо освещает эту идею, как и [Smullyan 1961]. См. также [Hofstadter 1982].
194 элегантную лингвистическую аналогию… Оригинальную идею ищите в [Quine] (которая вообще-то является вариацией идеи Гёделя (которая, в свою очередь, вариация идеи Жюля Ришара (которая является вариацией идеи Георга Кантора (которая является вариацией идеи Евклида (при участии Эпименида))))), а в [Hofstadter 1979] ищите вариацию на тему Куайна.
202 «…и схожих систем (I)»… Гёдель поставил римскую цифру в конце названия статьи, поскольку опасался, что недостаточно четко расписал свои идеи, и ожидал, что придется писать продолжение. Однако его работа быстро заслужила похвалу Джона фон Неймана и других уважаемых фигур, которые стремительно обеспечили неизвестному Гёделю великую славу, хотя большей части математического сообщества потребовались десятилетия, чтобы усвоить смысл его результатов.
206 с большим уважением относиться к тому, что выглядит банальнейшей аналогией… См. [Hofstadter 2001] и [Sander], а также Главу 24 в [Hofstadter 1985] и [Hofstadter and FARG].
218 Пьеса X просто мегапротиворечивая… Это созвучно «Пьеса X омега-противоречивая», что является фонетическим реверансом математическим понятиям омега-непротиворечивости и омега-неполноты, которые обсуждаются во многих книгах Библиографии, например [DeLong], [Nagel and Newman], [Hofstadter 1979], [Smullyan 1992], [Boolos and Jeffrey] и других. Для наших более скромных целей, впрочем, достаточно знать, что эта «о»-содержащая шалость здесь – просто игра слов.
219 И правда, через несколько лет после Гёделя такие самоподтверждающие формулы были состряпаны… См. [Smullyan 1992], [Boolos and Jeffrey] и [Wolf].
224 Почему логики… поставили бы на это… См. [Kneebone], [Wilder] и [Nagel and Newman] в поисках причин прочно уверовать в непротиворечивость систем, подобных ПМ.
225 не только хотя… но, хуже того, потому что… Еще один подход к странному вопросу о превращении «хотя» в «потому что» можно найти в Главе 13 [Hofstadter 1985].
227 она успешно попалась бы в ту же гёделевскую ловушку… Забавную интерпретацию бесконечной повторяемости гёделевской конструкции, которая показывает невозможность искусственного интеллекта, можно найти в главе Дж. Р. Лукаса в [Anderson], которую тщательно проанализировали (и, хочется верить, опровергли) в [DeLong], [Webb] и [Hofstadter 1979].
228 это называлось «программой Гильберта»… См. [DeLong], [Wolf], [Kneebone] и [Wilder].
232 В этом невероятно приятном, но крайне маловероятном сценарии… [DeLong], [Goodstein] и [Chaitin] рассматривают негёделианские формулы, которые неразрешимы по гёделианским причинам.
234 Надежного разделителя на принципиальное/нахальное… не может существовать… В [DeLong], [Boolos and Jeffrey], [Jeffrey], [Goodstein], [Hennie], [Wolf] и [Hofstadter 1979] можно найти обсуждение многих ограничивающих выводов вроде этого (который является теоремой Чёрча).
234 Один из последних гвоздей… вбил логик Альфред Тарский… В [Smullyan 1992] и [Hofstadter 1979] можно найти обсуждение глубоких выводов Тарского. В последнем рассмотрен новаторский подход к классическому парадоксу лжеца («Это высказывание ложно») с использованием идей Тарского, где средой является человеческий мозг, а не аксиоматическая система.
235 что походит на своего рода перевернутую причинность… В [Andersen] можно найти подробное техническое обсуждение обратной причинности. Менее техническое обсуждение находится в [Pattee] и [Simon]. См. также Главы 11 и 20 в [Hofstadter and Dennett], особенно «Размышления». [Laughlin] приводит потрясающую аргументацию тезиса, что в физике макроскопическая арена фундаментальнее и «глубже», чем микроскопическая.
238 сохраняя лишь высокоуровневую картину процесса информационных манипуляций… См. [Monod], [Berg and Singer], [Judson] и Главу 27 в [Hofstadter 1985].
241 о соответствующих символах в наших мозгах… Осторожное обсуждение этого явления можно найти в [Hofstadter 1979], особенно в диалоге «Прелюдия… и Муравьиная фуга» и Главах 11 и 12.
242 запретного и недоступного уровня кварков и глюонов… Попытки объяснить эти крайне замысловатые понятия можно найти в [Weinberg 1992] и [Pais 1986].
242 лишь чуть более доступного уровня генов… См. [Monod], [Berg and Singer], [Judson] и Главу 27 («Генетический код: произвольный?»[45]) в [Hofstadter 1985].
244 лучше всего мы умеем понимать наши собственные действия… См. [Dennett 1987] и [Dennett 1998].
247 приукрашенная фантастическим талмудом альтернативных версий… В [Steiner 1975] есть обширная и вызывающая дискуссия об «альтернативности», а в диалоге «Контрафактус» в [Hofstadter 1979] представлен любопытный сценарий, включающий «мгновенные сослагательные повторы». В [Kahneman and Miller] и Главе 12 [Hofstadter 1985] также можно найти дальнейшие размышления о неустанном мелькании гипотез в человеческом подсознании. [Hofstadter and FARG] описывает семейство вычислительных моделей человеческого мышления, ключевой особенностью архитектуры которых является постоянное просчитывание возможных альтернатив.
248 на размещение петли саморепрезентации… См. [Morden], [Kent] и [Metzinger].
254 с течением лет «Я» уточняется и стабилизируется… См. [Dennett 1992].
257 мы не можем перестать привязывать реальность к нашим «Я» и к «Я» других людей… См. [Kent], [Dennett 1992], [Brinck], [Metzinger], [Perry] и [Hofstadter and Dennett].
258 Я был крайне впечатлен, когда прочитал про «Стэнли», мобильного робота… См. [Davis 2006].
262 просто большая губчатая луковица из неодушевленных молекул… Думаю, в этом может убедить почти любая книга о мозге; меня-подростка в этом убедила [Penfield and Roberts].
263 первопроходца-робототехника и провокационного писателя Ханса Моравека… Еще несколько провокационных гипотез Моравека об обозримом будущем человечества можно найти в [Moravec].
263 из органических химических свойств углерода… См. Главу 22 [Hofstadter and Dennett], в которой Джон Сёрл говорит о «правильном веществе», на которое опирается то, что он называет «семантическими причинными силами мозга» – довольно благозвучный, но мутный термин, под которым Сёрл подразумевает, что, когда человеческий мозг вроде его собственного или, скажем, мозг поэта Дилана Томаса заставляет своего владельца выразиться словами, эти слова не только